蘇教版高中數(shù)學選擇性必修第一冊第2章圓與方程2-2直線與圓的位置關(guān)系練習含答案

2.2直線與圓的位置關(guān)系基礎(chǔ)過關(guān)練題組一直線與圓的位置關(guān)系1.(教材習題改編)若點P(a,b)在圓O:x2+y2=1內(nèi),則直線ax+by=1與圓O的位置關(guān)系為()A.相交B.相切C.相離D.不能確定2.(2024福建福州第一中學期中)設(shè)m∈R,則直線l:mx+y-2m-1=0與圓x2+y2=5的位置關(guān)系為()A.相離B.相切C.相交或相切D.相交3.已知點M(-1,0),N(1,0),若某直線上存在點P,使得PM·PN=0,則稱該直線為“相關(guān)點直線”.給出下列直線:①y=x+3;②y=43x;③y=2;A.①③B.②④C.②③D.①④4.(2024河北滄衡八校聯(lián)盟期中)若曲線(x+3)(3x-y-2)=0與圓x2+(y-m)2=m2恰有4個公共點,則m的取值范圍是5.(2024河北石家莊部分學校期中)在平面直角坐標系xOy中,已知點M(-2,0),N(1,0),動點P滿足PMPN(1)求動點P的軌跡方程;(2)若直線l過點M,且點N到l的距離為1,求l的方程,并判斷l(xiāng)與動點P的軌跡的位置關(guān)系.題組二直線與圓相切問題6.(2024江蘇連云港七校期中)圓A:x2+y2-4x=0在點P(1,-3)處的切線l的方程為()A.x+3y+2=0B.x+C.x-3y+4=0D.x?7.(2024江蘇淮安期初調(diào)研)已知動點P在直線3x+4y-10=0上,過點P作圓O:x2+y2=1的一條切線,切點為A,則PA的最小值為()A.1B.2C.8.(2024陜西渭南質(zhì)檢)過坐標原點O作圓(x-3)2+(y-4)2=1的兩條切線,切點分別為A,B,則AB=()A.49.(2024湖北荊州沙市中學月考)已知圓O1:x2+(y-2)2=1,圓O2:(x-3)2+(y-4)2=4,過x軸上一點P分別作兩圓的切線,切點分別是M,N,當PM+PN取最小值時,點P的坐標為.

10.(2024江蘇揚州中學期中)已知圓C經(jīng)過A(1,4),B(5,0)兩點,且在x軸上的截距之和為2.(圓在坐標軸上的截距指圓與坐標軸交點的橫(縱)坐標)(1)求圓C的標準方程;(2)圓M與圓C關(guān)于直線x-y+1=0對稱,求過點(3,0)且與圓M相切的直線方程.題組三圓的弦長與中點弦11.(教材習題改編)已知☉O的圓心是坐標原點O,且被直線x-3y+23=0截得的弦長為25,則A.x2+y2=4B.x2+y2=8C.x2+y2=12D.x2+y2=1612.已知圓C:(x+1)2+(y-2)2=16,直線l過點P(2,3),且與圓C交于A,B兩點,若點P為線段AB的中點,則直線l的方程為()A.x+3y-11=0B.3x+y-9=0C.x-3y+7=0D.3x-y-3=013.(2023湖南長沙第一中學等名校聯(lián)考)已知圓C:(x-2)2+y2=4,直線l過點A(1,1),且交圓C于P,Q兩點,則弦長PQ的取值范圍是()A.[2,2]B.[C.[2,22]D.[214.(2024江蘇連云港贛榆期中)已知直線l:3x-4y+5=0與圓C:x2+y2-6x-2y+a+5=0相切.(1)求實數(shù)a的值及圓C的標準方程;(2)已知直線m:kx-y+2=0與圓C相交于A,B兩點,若△ABC的面積為2,求直線m的方程.15.(2023江蘇連云港贛榆智賢中學學情檢測)在以下這三個條件中任選一個,補充在下面的問題中,并求解.①圓經(jīng)過點C(3,4);②圓心在直線x+y-2=0上;③y軸被圓截得的弦長為8,且圓心M的坐標為整數(shù).已知圓M經(jīng)過點A(-1,2),B(6,3),且.

(1)求圓M的方程;(2)求以N(2,1)為中點的弦所在直線的方程.能力提升練題組一直線與圓的位置關(guān)系1.(2024湖南長沙第一中學月考)實數(shù)x,y滿足x2+y2+2x=0,則y-A.0,43B.(-∞,0]C.-1,13D.(-∞,-1]2.(2023江蘇淮安月考)已知A(a,0),B(a+3,0),直線x+3y=1上存在唯一一點P,使得PB=2PA,則a的值為()A.-6B.-2或6C.2或-6D.-23.(多選題)(2024江蘇南通如皋調(diào)研)已知曲線C:x=4yA.曲線C為y軸右邊的半圓(含y軸上的點)B.若曲線C與直線l有且僅有一個公共點,則0<m≤4C.若曲線C與直線l有兩個不同的公共點,則2-22<m≤0D.若曲線C與直線l沒有公共點,則m>2+22或m<2-224.(2024安徽A10聯(lián)盟期中)過直線l:x-y+4=0上任意一點P作圓O:x2+y2=4的兩條切線,切點分別為A,B,則直線AB過定點,記線段AB的中點為Q,則點Q到直線l的距離的最小值為.

題組二圓的切線與弦長問題5.(2024吉林長春東北師范大學附屬中學期中)已知圓C:(x-4)2+y2=16,點A是直線x-y+4=0上的一個動點,過點A作圓C的兩條切線,切點分別為P,Q,則線段PQ的長度的取值范圍是()A.[4,42)B.[26.(多選題)(2024江蘇揚州高郵調(diào)研)已知直線l:x+y-5=0,圓C:(x-1)2+y2=2,若點P為直線l上的一個動點,則下列說法正確的是()A.直線l與圓C相交B.若點Q為圓C上的動點,則PQ∈[2,+∞)C.與直線l平行且被圓C截得的弦長為2的直線為x+y+2-5=0或x+y-2-5=0D.圓C上存在兩個點到直線l的距離為37.(2023江蘇宿遷泗陽實驗高級中學調(diào)研)在平面直角坐標系xOy中,已知點P(2,4),圓O:x2+y2=4,則下列結(jié)論正確的是()A.過點P與圓O相切的直線方程為3x-4y+10=0B.過點P作圓O的切線,切點分別為M,N,則直線MN的方程為x+2y-4=0C.過點P作圓O的切線,切點分別為M,N,則PM=3D.過點P的直線m與圓O相交于A,B兩點,若∠AOB=90°,則直線m的方程為x-y+2=0或7x-y-10=08.(2024江蘇鹽城一中、大豐中學聯(lián)考)已知圓C:(x-1)2+y2=1,直線l:y=k(x+1),若l與x軸交于點A,過l上一點P作圓C的切線,切點為T,且PA=2PT,則k的取值范圍是.

9.(2023黑龍江雙鴨山第一中學月考)直線ax+y-a-1=0與圓C:x2+(y-3)2=25交于A,B兩點,分別過A,B兩點作圓的切線,設(shè)切線的交點為M,則點M的軌跡方程為.

10.(2024北京第三十五中學期中)已知圓C經(jīng)過坐標原點O和點(2,2),且圓心在x軸上.(1)求圓C的方程;(2)直線l1經(jīng)過點A(4,1),且l1與圓C相交所得的弦長為23,求直線l1的方程;(3)直線l2經(jīng)過點A(4,1),且l2與圓C相切,求直線l2的方程.題組三直線與圓位置關(guān)系的綜合應(yīng)用11.(多選題)(2023江蘇南京師范大學附屬中學期中)已知圓C:x2+y2-4y+3=0,一條光線從點P(2,1)射出,經(jīng)x軸反射,下列結(jié)論正確的是()A.圓C關(guān)于x軸對稱的圓的方程為x2+y2+4y+3=0B.若反射光線所在直線平分圓C的周長,則入射光線所在直線的方程為3x-2y-4=0C.若反射光線所在直線與圓C相切于A,與x軸相交于點B,則PB+BA=2D.若反射光線所在直線與圓C交于M,N兩點,則△CNM面積的最大值為112.(2022廣東廣州育才中學期中)設(shè)m∈R,圓M:x2+y2-2x-6y=0,若動直線l1:x+my-2-m=0與圓M交于點A,C,動直線l2:mx-y-2m+1=0與圓M交于點B,D,則AC+BD的最大值是.

13.(2024江蘇泰州靖江高級中學期中)已知M(x,y),A(1,2),B(-2,-1),且MA=2MB,點Q(-2,2).(1)求MQ的最大值和最小值;(2)求y-2(3)求y-x的最大值和最小值.14.(2023江蘇南通如皋中學綜合測試)已知圓C的圓心位于x軸的正半軸上,該圓與直線3x-4y+7=0相切,且截y軸所得的弦長為23,圓C的面積小于13.(1)求圓C的標準方程;(2)設(shè)過點M(0,3)的直線l與圓C交于不同的兩點A,B,O為坐標原點,以O(shè)A,OB為鄰邊作平行四邊形OADB.是否存在這樣的直線l,使得直線OD與MC恰好平行?如果存在,求出l的方程;如果不存在,請說明理由.

答案與分層梯度式解析2.2直線與圓的位置關(guān)系基礎(chǔ)過關(guān)練1.C因為點P(a,b)在圓O:x2+y2=1內(nèi),所以a2+b2<1,設(shè)圓心O到直線ax+by=1的距離為d,則d=1a2+b2.C直線l的方程可化為m(x-2)+y-1=0,由x-2=0,又22+12=5,即點A在圓x2+y2=5上,所以過點A的直線l與圓相交或相切.故選C.3.B由題意可知,點P的軌跡是以坐標原點為圓心,1為半徑的圓,其方程是x2+y2=1.解法一:把y=x+3代入x2+y2=1并整理得,x2+3x+4=0,則Δ=9-4×4=-7<0,∴直線與圓相離,∴直線y=x+3不是“相關(guān)點直線”.同理,通過聯(lián)立直線和圓的方程,可得直線y=43x,y=2x+1與圓相交,直線y=2與圓相離,所以②④符合題意.故選B解法二:圓心(0,0)到直線y=x+3,即x-y+3=0的距離為|0-0+3|2=322同理,通過比較圓心到直線的距離與半徑的大小,可得直線y=43x,y=2x+1與圓相交,直線y=2與圓相離.所以②④符合題意.故選B解題關(guān)鍵點P在直線上且PM·PN=0,說明點P也在圓x2+y2=1上,即直線與圓相交或相切,4.答案-∞,-145解析因為曲線(x+3)(3x-y-2)=0與圓x2+(y-m)2=m所以直線x+3=0,3x-y-2=0均與圓x2+(y-m)2=m2相交,且兩直線的交點(-則3<|m|,|3×0-m-2|5.解析(1)設(shè)P(x,y),由PMPN=2得(x+2)2故動點P的軌跡方程為(x-2)2+y2=4.(2)圓(x-2)2+y2=4的半徑r=2,圓心坐標為(2,0),設(shè)為C,顯然直線l的斜率存在,設(shè)其方程為y=k(x+2),即kx-y+2k=0,點N到l的距離為|k+2k所以l的方程為y=±122(x+2),即x±2所以圓心C到l的距離為|2+2|12+(±26.A解法一:易知切線斜率存在,設(shè)切線l的方程為y+3=k(x-1).易知圓心A(2,0),半徑r=2,所以A到l的距離d=|k所以k=-33,即切線l的方程為x+3y+2=0.故選A解法二:將圓A的方程化為標準形式為(x-2)2+y2=4,易知點P(1,-3)在圓A上,則在點P處的切線l的方程為(x-2)(1-2)-3y=4,化簡得x+3y+2=0.規(guī)律總結(jié)本題解法二用到以下結(jié)論:若點P(x0,y0)在圓(x-a)2+(y-b)2=r2上,則過點P的切線方程為(x-a)(x0-a)+(y-b)(y0-b)=r2.這個結(jié)論在解小題時可以直接應(yīng)用.7.C由題可知圓心O(0,0),半徑r=1,設(shè)P(x0,y0),則3x0+4y0-10=0,即y0=10-3x故PA=OP則當x0=65時,PA取得最小值,為1故選C.8.A解法一:圓(x-3)2+(y-4)2=1的圓心為(3,4),半徑r=1,記M(3,4).連接OM,AM,BM(圖略),則OM=32+42=5,OA=52-12=26,所以S△AOM=12解法二:易得直線AB的方程為(0-3)(x-3)+(0-4)×(y-4)=1,即3x+4y-24=0.圓心(3,4)到直線AB的距離為|3×3+4×4-24|32+42=方法技巧本題解法二中求直線AB的方程時,用到了以下結(jié)論:過圓(x-a)2+(y-b)2=r2外一點P(x0,y0)作圓的兩條切線,切點分別為A,B,則直線AB的方程為(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2.9.答案(1,0)解析如圖所示:設(shè)P(t,0),則PM+PN=P=t=(t取A(0,-3),B(3,2則PM+PN=PA+PB≥AB,當且僅當A,P,B三點共線時,取等號,此時kAB=23-(-310.解析(1)設(shè)圓C的方程為x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0),令y=0,得x2+Dx+F=0,則x1+x2=-D=2(x1,x2為圓C與x軸交點的橫坐標),得D=-2,則圓C的方程為x2+y2-2x+Ey+F=0.將A(1,4),B(5,0)代入可得1+16-2+4解得E所以圓C的方程為x2+y2-2x-15=0,即(x-1)2+y2=16.(2)由(1)知圓心C(1,0),設(shè)M(a,b),∵M(a,b)與C(1,0)關(guān)于直線x-y+1=0對稱,∴a+12-b2若過點(3,0)的直線斜率不存在,則方程為x=3,此時圓心M到直線x=3的距離為3+1=4,滿足題意;若過點(3,0)且與圓M相切的直線斜率存在,設(shè)其方程為y=k(x-3),即kx-y-3k=0,則圓心M到直線kx-y-3k=0的距離為|-4k-2|k所以切線方程為34綜上,所求直線的方程為x=3或3x-4y-9=0.11.B原點到直線x-3y+23=0的距離d=設(shè)☉O的半徑為r,則2r2-d2=2r2-3=25,解得r=2212.B解法一:由已知得C(-1,2),所以kCP=3-22+1因為P(2,3)為弦AB的中點,所以CP⊥AB,所以kAB=-3,所以直線l的方程為y-3=-3(x-2),即3x+y-9=0.故選B.解法二:設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則(x1+1)2+(y1-2)2=16①,(x2+1)2+(y2-2)2=16②,因為P(2,3)為AB的中點,所以x1+x2=4,y1+y2=6,所以①-②整理得y2所以直線l的斜率為-3,所以直線l的方程為y-3=-3(x-2),即3x+y-9=0.故選B.13.D圓心C(2,0),半徑r=2,因為(1-2)2+12=2<4,所以點A(1,1)在圓內(nèi).當l過圓心C時,弦長PQ取最大值4,當l⊥AC時,圓心C到l的距離最大,為AC=(2-1)2+(0-1)2=2,此時弦長PQ取最小值,為214.解析(1)將圓C的方程化為標準形式,得(x-3)2+(y-1)2=5-a,故圓心C(3,1),半徑為5-a因為l與圓C相切,所以|3×3-4×1+5|3所以圓C的標準方程為(x-3)2+(y-1)2=4.(2)設(shè)圓心C到直線m的距離為d,則AB=24-d2,所以S△ABC=12AB·d=d4-d2=2,解得d=2所以直線m的方程為x+y-2=0或x-7y+14=0.15.解析選條件①.(1)設(shè)圓M的方程為x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0),由題意得5-所以圓M的方程為x2+y2-6x+2y-15=0,即(x-3)2+(y+1)2=25.(2)由(1)知圓心M(3,-1),則直線MN的斜率kMN=1+12-3故弦所在直線的斜率k=-1k所以弦所在直線的方程為y-1=12(x-2),即y=1選條件②.(1)設(shè)圓M的方程為x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0),由題意得5-所以圓M的方程為x2+y2-6x+2y-15=0,即(x-3)2+(y+1)2=25.(2)同條件①.選條件③.(1)設(shè)圓M的方程為x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0),由題意得5-D因為y軸被圓所截得的弦長為8,所以方程y2+Ey+F=0有兩個不等的實數(shù)根y1,y2,且|y1-y2|=(y1+y由??可得D=-6,E=2,F=-15或D=-20649又因為圓心M的坐標為整數(shù),所以D=-6,E=2,F=-15.故圓M的方程為x2+y2-6x+2y-15=0,即(x-3)2+(y+1)2=25.(2)同條件①.能力提升練1.Cx2+y2+2x=0可化為(x+1)2+y2=1,y-令y-1x-1=t,化簡得tx-y+1-t=0,所以問題轉(zhuǎn)化為直線tx-y+1-t=0與圓(x+1)2即|1-2t|t2+1≤1,解得0≤t≤43,所以-1≤y-12.B設(shè)P(x,y),由PB=2PA可得(x-a-3)2+y2=4(x-a)2+4y2,整理可得(x-a+1)2+y2=4,故點P的軌跡是以(a-1,0)為圓心,2為半徑的圓.直線x+3y=1上存在唯一一點P,使得PB=2PA,等價于直線x+3y=1與圓(x-a+1)2+y2=4相切,則|a-1+0-1|1+3=2,解得a=-2或a=6.3.AC將x=4y-y2變形得x2=4y-y2,即x2+(y-2)2=4(x≥易知直線l的斜率為1,如圖所示.l與曲線C有一個交點有兩種情況:①l位于l1與l2之間(包括l1不包括l2),若l位于l1,則l過點(0,4),此時4=0+m,得m=4;若l位于l2,則l過原點,此時0=0+m,得m=0,所以0<m≤4.②l與曲線C相切,則|0-2+m|2=2,解得m=2+22又m為l在y軸上的截距,所以m=2-22.綜上,當l與曲線C有且僅有一個公共點時,0<m≤4或m=2-22,B錯誤.當l與曲線C有兩個公共點時,l位于l2與l3之間(包括l2不包括l3),故2-22<m≤0,C正確.當l與曲線C沒有公共點時,l位于l1上方或l3下方,故m>4或m<2-22,D錯誤.故選AC.4.答案(-1,1);2解析設(shè)P(x0,y0),則y0=x0+4,由題意可得直線AB的方程為(x0-0)(x-0)+(y0-0)·(y-0)=4,即x0x+y0y=4,又y0=x0+4,∴直線AB的方程為x0(x+y)+4y-4=0,故直線AB過定點(-1,1).設(shè)Q(x,y),M(-1,1),由MQ·整理得點Q的軌跡方程為x+因為點-12,所以直線l與圓x+所以點Q到直線l的距離的最小值為325.C如圖,根據(jù)切線的性質(zhì)可知PQ=2PD,PQ⊥AC,PC⊥PA.易知圓心C(4,0),半徑r=4.所以PC=4,PA=AC又S△APC=12PC·PA=12AC所以PD=PC·PAAC又點C(4,0)到直線x-y+4=0的距離d=82所以AC≥d=42,所以0<4AC所以42≤PQ=81-4AC2<8.6.BD易知圓心C(1,0),半徑r=2.對于A,圓心C(1,0)到直線l:x+y-5=0的距離d=|1+0-5|2對于B,圓C上的點到l的最小距離為d-r=2,故PQ∈[2,+∞),B正確.對于C,設(shè)與l:x+y-5=0平行的直線方程為x+y+m=0(m≠-5),記為l',則圓心到直線l'的距離d'=r2-222故直線l'為x+y+2-1=0或x+y-2-1=0,C錯誤.對于D,由于圓C上的點到直線l的最小距離為d-r=2,最大距離為d+r=32,2<322故選BD.7.D易知圓心O(0,0),半徑r=2.對于A,當直線的斜率不存在時,其方程為x=2,圓心O到直線的距離d=2=r,所以直線x=2是過點P的圓的切線;當直線的斜率存在時,設(shè)其方程為y-4=k(x-2),即kx-y-2k+4=0,∴圓心O到直線的距離d=|-2k+4|k∴過點P的圓的切線方程為x=2或3x-4y+10=0,故A錯誤.對于B,易知直線MN的方程為(2-0)·(x-0)+(4-0)·(y-0)=4,即x+2y-2=0,故B錯誤.對于C,∵OP=22對于D,易知AB=22,∴圓心到直線m的距離d'=2,顯然直線m的斜率存在,設(shè)直線m的方程為y-4=k'(x-2),即k'x-y-2k'+4=0,∴d'=|-2k∴直線m的方程為x-y+2=0或7x-y-10=0,故D正確.故選D.8.答案-解析由題意得A(-1,0),圓心C(1,0),半徑r=1,設(shè)P(x0,y0),則PT=PC因為PA=2PT,所以(x0+1則點P的軌跡方程為x2-6x+y2-1=0,即(x-3)2+y2=10,表示圓心為(3,0),半徑為10的圓,所以存在PA=2PT,即直線l與圓(x-3)2+y2=10有交點,所以|3k-0+k|k2+1≤10,整理得k2故k的取值范圍為-159.答案x-2y-19=0解析由ax+y-a-1=0易知該直線過定點(1,1),圓C:x2+(y-3)2=25的圓心為C(0,3),設(shè)M(x,y),A(m,n),N(1,1),則CA=(m,n?3),由于CA⊥AM,AN⊥CM,因此CA·化簡得mx+ny-3y+3n=m2+n2,mx+ny-x-3n-y+3=0,兩式相減得x-2y+6n-3=m2+n2①,(得到兩動點坐標的關(guān)系式)又因為A(m,n)在圓x2+(y-3)2=25上,所以m2+n2-6n=16②,(相關(guān)動點坐標滿足的關(guān)系式)將②代入①可得x-2y-19=0,故點M的軌跡方程為x-2y-19=0.解題模板本題求動點的軌跡方程,由直線方程為ax+y-a-1=0易知該直線過定點(1,1),與圓C:x2+(y-3)2=25交于A,B兩點,所以A,B兩點都是動點,多動點問題通常利用代入法求軌跡方程,一般步驟為設(shè)所求動點為(x,y),相關(guān)動點為(x1,y1),將動點(x1,y1)滿足的關(guān)系式代入動點(x,y)與(x1,y1)滿足的坐標關(guān)系式,消去x1,y1,得到動點(x,y)滿足的關(guān)系式,即動點(x,y)的軌跡方程.10.解析(1)設(shè)圓心C的坐標為(a,0),依題意得|a|=(a即a2=a2-4a+8,解得a=2,所以圓C的方程為(x-2)2+y2=4.(2)由題意知圓心C到直線l1的距離為22由題意知l1的斜率存在.設(shè)直線l1的方程為y-1=k(x-4),即kx-y-4k+1=0,則|-2k+1|k∴直線l1的方程為4x-3y-13=0或y-1=0.(3)由(1)知圓心C(2,0),半徑r=2.①當l2的斜率不存在時,方程為x=4,則圓心C到直線l2的距離d=2=r,此時直線l2與圓C相切,符合題意;②當l2的斜率存在時,設(shè)其方程為y-1=k1(x-4),即k1x-y-4k1+1=0,則圓心C到l2的距離d=|-2k1+1|k12+1=r=2,解得k1綜上,直線l2的方程為x-4=0或3x+4y-16=0.11.ABD對于A,由圓C的方程知圓心C(0,2),半徑r=12∴圓C關(guān)于x軸對稱的圓的圓心為(0,-2),半徑為1,∴所求圓的方程為x2+(y+2)2=1,即x2+y2+4y+3=0,A正確;對于B,∵反射光線所在直線平分圓C的周長,∴反射光線所在直線經(jīng)過圓心C(0,2),∴入射光線所在直線經(jīng)過點(0,-2),設(shè)為C',∴kC'P=1+22∴入射光線所在直線的方程為y=32x-2,即3x-2y-4=0,B正確對于C,易知反射光線所在直線經(jīng)過點P(2,1)關(guān)于x軸的對稱點(2,-1),設(shè)為P',∴PB+BA=P'B+BA=P'A.∵P'A=P'對于D,設(shè)∠CMN=θ0<則圓心C(0,2)到反射光線所在直線的距離d=sin