新蘇科版九年級(jí)上冊(cè)初中數(shù)學(xué)圓的有關(guān)性質(zhì)(含解析)

圓的有關(guān)性質(zhì)

一.選擇題

1.（2019?江蘇無(wú)錫?3分）如圖，PA是。。的切線(xiàn)，切點(diǎn)為A,P。的延長(zhǎng)線(xiàn)交

0。于點(diǎn)3,若NP=40。，則的度數(shù)為（）

A.20°B.25°C.40°D.50°

【分析】連接OA,如圖，根據(jù)切線(xiàn)的性質(zhì)得/PAO=90。，再利用互余計(jì)算

出NAOP=50。，然后根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形外角性質(zhì)計(jì)算N3的度

數(shù).

【解答】解：連接。4,如圖，

???PA是。0的切線(xiàn)，

：.OA±AP,

：.ZPAO=90°,

VZP=40°,

NAOP=50。，

'：OA=OB,

：.ZB=ZOAB,

；ZAOP=ZB+ZOAB,

：.ZB=lZAOP=lx50°=25°.

22

【答案】B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了切線(xiàn)的性質(zhì)：圓的切線(xiàn)垂直于經(jīng)過(guò)切點(diǎn)的半徑.若出現(xiàn)

圓的切線(xiàn)，必連過(guò)切點(diǎn)的半徑，構(gòu)造定理圖，得出垂直關(guān)系.

2.（2019?浙江杭州?3分）如圖，P為圓。外一點(diǎn)，PA,分別切圓。于A,

【分析】連接。4OB、OP,根據(jù)切線(xiàn)的性質(zhì)得出OALPA,OBLPB,然

后證得RtAAOPgRtaBOP,即可求得PB=PA=3.

【解答】解：連接OA、OB、OP,

'：PA,分別切圓。于A,8兩點(diǎn)，

：.OALPA,OBYPB,

在RtAAOP和RtABOP中，

（OA=OB,

IOP=OP'

.".RtABOP（HL）,

：.PB=PA=3,

【答案】B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了切線(xiàn)長(zhǎng)定理，三角形全等的判定和性質(zhì)，作出輔助線(xiàn)根

據(jù)全等三角形是解題的關(guān)鍵.

二.填空題

1.（2019?銅仁?4分）如圖，四邊形A8CO為。。的內(nèi)接四邊形，ZA=100°,

則NOCE的度數(shù)為

【解答】解：???四邊形ABC。為。。的內(nèi)接四邊形,

：.ZDCE=ZA=100°,

故答案為：100。

2.（2019?江蘇宿遷?3分）直角三角形的兩條直角邊分別是5和12,則它的內(nèi)切

圓半徑為2.

【分析】先利用勾股定理計(jì)算出斜邊的長(zhǎng)，然后利用直角三角形的內(nèi)切圓的

半徑為也工（其中“、。為直角邊，c為斜邊）求解.

【解答】解：直角三角形的斜邊=J=]=13,

所以它的內(nèi)切圓半徑=3+12-13=2.

2

故答案為2.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心：三角形的內(nèi)心到三角形三邊的

距離相等；三角形的內(nèi)心與三角形頂點(diǎn)的連線(xiàn)平分這個(gè)內(nèi)角；直角三角形的

內(nèi)切圓的半徑為也二（其中。、匕為直角邊，c為斜邊）.

3.（2019?江蘇鹽城J分）如圖，點(diǎn)A、B、C、D、E在。。上，且弧48為

50°,則NE+NC=

【答案】155

【解析】如圖，因?yàn)榛?0。，則弧所對(duì)的圓周角為25。，

ZE+ZC=180°-25°=155°.

4.（2019?廣西北部灣經(jīng)濟(jì)區(qū)?3分）《九章算術(shù)》作為古代中國(guó)乃

至東方的第一部自成體系的數(shù)學(xué)專(zhuān)著，與古希臘的《幾何原本》

并稱(chēng)現(xiàn)代數(shù)學(xué)的兩大源泉.在《九章算術(shù)》中記載有一問(wèn)題“今有

圓材埋在壁中，不知大小.以鋸鋸之，深一寸，鋸道長(zhǎng)一尺，問(wèn)徑幾何？”小輝

同學(xué)根據(jù)原文題意，畫(huà)出圓材截面圖如圖所示，已知：鋸口深為1寸，鋸道

AB=1尺（1尺=10寸），則該圓材的直徑為寸.

【答案】26

【解析】

解：設(shè)。。的半徑為r.

在放△A。。中，AO=5,OD=r-l,OA=r,U

則有戶(hù)=52+（r-1）2,匕3仁二^

解得-13,

的直徑為26寸，

故答案為：26.

設(shè)。。的半徑為r.在放△AOO中，AD=5,OD=r-l,OA=r,則有戶(hù)=5?+（r-

1）2,解方程即可.

本題考查垂徑定理、勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)利用參數(shù)構(gòu)建方程解

決問(wèn)題，屬于中考?？碱}型.

三.解答題

1.（2019?江蘇宿遷?10分）在放△ABC中，ZC=90°.

（1）如圖①，點(diǎn)。在斜邊A3上，以點(diǎn)。為圓心，08長(zhǎng)為半徑的圓交A8

于點(diǎn)。，交BC于點(diǎn)、E,與邊AC相切于點(diǎn)G求證：Z1=Z2；

（2）在圖②中作。M,使它滿(mǎn)足以下條件：

①圓心在邊43上；②經(jīng)過(guò)點(diǎn)&③與邊AC相切.

（尺規(guī)作圖，只保留作圖痕跡，不要求寫(xiě)出作法）

DB

B

圖①圖②

【分析】(1)連接OF,可證得。尸〃BC,結(jié)合平行線(xiàn)的性質(zhì)和圓的特性可

求得N1=NOFB=N2,可得出結(jié)論；

(2)由(1)可知切點(diǎn)是NABC的角平分線(xiàn)和AC的交點(diǎn)，圓心在8口的垂

直平分線(xiàn)上，由此即可作出。M.

【解答】解：(1)證明：如圖①，連接。F,

是。。的切線(xiàn)，

OE.LAC,

VZC=90°,

.'.OE//BC,

：.Z1=ZOFB,

'：OF=OB,

：.ZOFB=Z2,

AZ1=Z2.

(2)如圖②所示。M為所求.①

c

②作3尸的垂直平分線(xiàn)交A3于M,以M3為半徑作圓，

即。M為所求.

證明：...M在8尸的垂直平分線(xiàn)上，

：.MF=MB,

：.ZMBF=ZMFB,

又：臺(tái)產(chǎn)平分N4BC,

Z.NMBF=NCBF,

：.ZCBF=ZMFB,

J.MF//BC,

VZC=90°,

J.FMLAC,

與邊AC相切.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查圓和切線(xiàn)的性質(zhì)和基本作圖的綜合應(yīng)用.掌握連接圓

心和切點(diǎn)的半徑與切線(xiàn)垂直是解題的關(guān)鍵，

2.(2019?貴陽(yáng)?10分)如圖，已知A8是。。的直徑，點(diǎn)尸是。。上一點(diǎn)，連接

OP,點(diǎn)A關(guān)于OP的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)C恰好落在。。上.

(1)求證：OP//BC；

(2)過(guò)點(diǎn)C作。。的切線(xiàn)CD,交AP的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)Q.如果NO=90。，DP

=1,求的直徑.

D

【分析】（1）由題意可知靠=同，根據(jù)同弧所對(duì)的圓心角相等得到NAOP

=ZPOC=kZAOC,再根據(jù)同弧所對(duì)的圓心角和圓周角的關(guān)系得出NABC

2

=LZAOC,利用同位角相等兩直線(xiàn)平行，可得出尸。與8C平行；

2

（2）由CO為圓。的切線(xiàn)，利用切線(xiàn)的性質(zhì)得到OC垂直于CO,又A。垂

直于CD,利用平面內(nèi)垂直于同一條直線(xiàn)的兩直線(xiàn)平行得到0C與A。平行，

根據(jù)兩直線(xiàn)平行內(nèi)錯(cuò)角相等得到NAPO=NCOP,由NAOP=NCOP,等量

代換可得出NAPO=NAOP,再由。4=0P,利用等邊對(duì)等角可得出一對(duì)角

相等，等量代換可得出三角形AOP三內(nèi)角相等，確定出三角形AOP為等邊

三角形，根據(jù)等邊三角形的內(nèi)角為60。得到NAOP為60。，由OP平行于

BC,利用兩直線(xiàn)平行同位角相等可得出NO3C=NAOP=60。，再由。8=

OC,得到三角形OBC為等邊三角形，可得出NCOB為60。，利用平角的定

義得到NPOC也為60。，再加上OP=OC,可得出三角形POC為等邊三角

形，得到內(nèi)角NOCP為60。，可求出NPCD為30。，在直角三角形PCO中，

利用30。所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半可得出PO為PC的一半，而PC等于

圓的半徑OP等于直徑A3的一半，可得出PO為AB的四分之一，即

4PD=4.

【解答】（1）證明：..工關(guān)于。尸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)。恰好落在。。上.

AP=PC

:.ZAOP=ZCOP,

ZAOP=LZAOC,

2

又?:ZABC=kZAOC,

2

/.ZAOP=ZABC,

，PO//BC；

(2)解:連接PC,

?.?CD為圓。的切線(xiàn)，

A0C1CD,又A&CO,

OC//AD,

：.ZAPO=ZCOP,

■:ZAOP=ZCOP,

：.ZAPO=ZAOP,

：.OA=AP,

'：OA=OP,

...△APO為等邊三角形，

NAOP=60。，

XVOP//BC,

：.ZOBC=ZAOP=60°,XOC=OB,

:.ABCO為等邊三角形,

：.ZCOB=6Q°,

：.ZPOC=180°-(NAOP+NCO8)=60°,又OP=OC,

...△POC也為等邊三角形，

/.ZPCO=60°,PC=OP=OC,

又?.?/OCO=90。，

：.ZPCD=3Q°,

在中，PD=LPC,

2

又：PC=OP=1AB,

2

:.PD=1AB,

4

."3=4P0=4.

D

【點(diǎn)評(píng)】此題考查了切線(xiàn)的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，含30。直角三

角形的性質(zhì)，軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)，圓周角定理，以及平行線(xiàn)的判定與性質(zhì)，熟練

掌握性質(zhì)及判定是解本題的關(guān)鍵.

3.(2019?天津“0分)已經(jīng)PA,P3分別與圓。相切于點(diǎn)A,B,ZAPB=80°,C為圓

。上一點(diǎn).

(I)如圖①，求/ACB得大??；

(II)如圖②，AE為圓。的直徑，AE與相交于點(diǎn)。，若求NEAC的

.<21)

【解析】⑺如圖，連接。4,OB

是圓。的切線(xiàn)，

C.OALPA,OBLPB

即：N0AP=N08P=90°

ZAPB=8Q°

：.在四邊形。AP8中，ZAOB=3600-ZOAP-ZOBP-NAPB=100°

?.?在圓。中，ZACB=-ZAOB

2

：.ZACB=50°

(〃)如圖，連接CE

YAE為圓。的直徑

ZACE=9Q°

由(1)知，ZACB=5Q°,ZBCE=ZACE-ZACB=40°

：.ZBAE=ZBCE=40°

,在△ABO中，A3=AO

/ADB=NABD=:(180°-ZBAE)=70°

又乙ADB是XAOC的一個(gè)外角，ZEAC=ZADB-ZACB

：.ZEAC=20°

4.(2019?浙江杭州?12分)如圖，已知銳角三角形ABC內(nèi)接于圓O,ODLBC

于點(diǎn)。，連接OA.

(1)若/BAC=60。，

①求證：OD=—OA.

2

②當(dāng)OA=1時(shí)，求△ABC面積的最大值.

（2）點(diǎn)E在線(xiàn)段0A上，OE=OD,連接。E,設(shè)NA5C="zN0E。，ZACB

=nZOED（m,〃是正數(shù)），若NABCVNACB,求證：〃L〃+2=0.

【分析】（1）①連接08、0C,則N8OD=!BOC=NBAC=60。，即可求

2

解；②3C長(zhǎng)度為定值，△ABC面積的最大值，要求BC邊上的高最大，即可

求解；

（2）ZBAC=180°-ZABC-ZACB=180°-inx-nx=LzBOC=ZDOC,

2

ffOZAOD=ZCOD+ZAOC=180°-mx-tu+2nvc=180°+mx-nx,即可求

解.

【解答】解：（1）①連接03、0C,

則NBOD=L?OC=N84C=60。，

2

：.ZOBC=30°,

.?.0。=108=工04

22

②???BC長(zhǎng)度為定值，

.'.△ABC面積的最大值，要求8c邊上的高最大,

當(dāng)AO過(guò)點(diǎn)。時(shí)，AO最大，即：AD=AO+OD=1,

2

△ABC面積的最大值=L<BCxAO=Lx2OBsi〃60°x3=色區(qū);

24

（2）如圖2,連接0C,

圖2

設(shè)：ZOED=x,

則NABC=/m:,ZACB=nx,

則N3AC=180°-/ABC-ZACB=180°-mx-nx=kZBOC=ZDOC,

'：ZAOC=2ZABC=2iwc,

NAO￡）=NCO￡）+NAOC=180°-mx-nx+2mx=180°+/?^-nx,

'：OE=OD,，ZAOD=180°-2x,

即：180°+/nr-nx=180°-2x,

化簡(jiǎn)得：m-n+2=0.

【點(diǎn)評(píng)】本題為圓的綜合運(yùn)用題，涉及到解直角三角形、三角形內(nèi)角和公

式，其中（2）,/4。0=/。。。+/4。。是本題容易忽視的地方，本題難

度適中.

5.（2019?四川自貢?8分）如圖，。。中，弦A2與CD相交于點(diǎn)E,AB=CD,

連接A。、BC.

求證：（1）俞=祕(mì)；（2）AE=CE.

DVO

【分析】（1）由AB=C。知益=而，即G+眾=55+前，據(jù)此可得答案;

(2)由俞=前知AO=8C,結(jié)合NA￡>E=NC8E,NZME=N8CE可證

△ADE/XCBE,從而得出答案.

【解答】證明(1),：AB=CD,

，益=而，SPAD+AC=BC+AC-

AAD=BC;

(2)VAD=BC?

：.AD=BC,

又,/NADE=NCBE,NDAE=NBCE,

：./\ADE^/\CBE(ASA),

：.AE=CE.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查圓心角、弧、弦的關(guān)系，圓心角、弧、弦三者的關(guān)系

可理解為：在同圓或等圓中，①圓心角相等，②所對(duì)的弧相等，③所對(duì)的弦

相等，三項(xiàng)“知一推二”，一項(xiàng)相等，其余二項(xiàng)皆相等.

6.(2019?浙江湖州?10分)已知在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線(xiàn)/i分別交龍軸和

y軸于點(diǎn)A(-3,0),8(0,3).

(1)如圖1,已知。尸經(jīng)過(guò)點(diǎn)0,且與直線(xiàn)八相切于點(diǎn)求。P的直徑

長(zhǎng)；

(2)如圖2,已知直線(xiàn)&y=3x-3分別交x軸和y軸于點(diǎn)。和點(diǎn)。，點(diǎn)Q

是直線(xiàn)/2上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，以。為圓心，2加為半徑畫(huà)圓.

①當(dāng)點(diǎn)。與點(diǎn)C重合時(shí)，求證：直線(xiàn)人與。。相切；

②設(shè)。。與直線(xiàn)21相交于M,N兩點(diǎn)，連結(jié)QM,QN.問(wèn)：是否存在這樣的

點(diǎn)Q，使得△QMN是等腰直角三角形，若存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存

在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

h/1

'D

圖1圖2

【分析】(1)證明△ABC為等腰直角三角形，則。P的直徑長(zhǎng)=BC=A8,

即可求解;

(2)證明CM=ACsi〃45o=4x返=2點(diǎn)=圓的半徑，即可求解；

2

(3)分點(diǎn)M、N在兩條直線(xiàn)交點(diǎn)的下方、點(diǎn)M、N在兩條直線(xiàn)交點(diǎn)的上方

兩種情況，分別求解即可.

連接BC,

圖1

ZBOC=90°,.?.點(diǎn)尸在8C上,

???◎P與直線(xiàn)Zi相切于點(diǎn)3,

/.ZABC=90°,而0A=03,

??.△ABC為等腰直角三角形，

則。尸的直徑長(zhǎng)=BC=AB=3&;

(2)過(guò)點(diǎn)作

h

yh

AL.

7AqTcx

圖2

由直線(xiàn)b：y=3x-3得：點(diǎn)C(1,0),

則。4/=4。S加45。=4*返=2&=圓的半徑,

2

故點(diǎn)”是圓與直線(xiàn)/.的切點(diǎn)，

即：直線(xiàn)/i與。。相切；

(3)如圖3,

①當(dāng)點(diǎn)M、N在兩條直線(xiàn)交點(diǎn)的下方時(shí)，

'圖3

由題意得：MQ=NQ,NMQN=90。，

設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(如3//J-3),則點(diǎn)N(m,m+3),

則NQ=m+3-3m+3=2y[2,

解得：m=3-V2；

②當(dāng)點(diǎn)M、N在兩條直線(xiàn)交點(diǎn)的上方時(shí)，

同理可得：m=3+V2；

故點(diǎn)P的坐標(biāo)為(3-加，6-3A/2)或(3+血，6+3血).

【點(diǎn)評(píng)】本題為圓的綜合運(yùn)用題，涉及到一次函數(shù)、圓的切線(xiàn)性質(zhì)等知識(shí)

點(diǎn)，其中（2）,關(guān)鍵要確定圓的位置，分類(lèi)求解，避免遺漏.

7.（2019?廣西賀州?10分）如圖，BO是。。的直徑，弦與OA相交于點(diǎn)

E,與。。相切于點(diǎn)A,交。？的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)RZF=30°,ZBAC=

120°,BC=8.

（1）求NADB的度數(shù)；

（2）求AC的長(zhǎng)度.

【分析】（1）由切線(xiàn)的性質(zhì)得出AFLOA,由圓周角定理好已知條件得出

NF=NDBC,證出AF〃5C,得出OA_LBC,求出/8。4=90。-30。=

60°,由圓周角定理即可得出結(jié)果；

（2）由垂徑定理得出3E=CE=L8C=4,得出AB=AC,證明aAOB是等

2

邊三角形，得出AB=OB,由直角三角形的性質(zhì)得出0七=工。8,BE=

2

y/3OE=4,求出。即可得出AC=AB=OB=2OE=^/1.

33

【解答】解：（1）???4/與。。相切于點(diǎn)A,

：.AF±OA,

?.?8。是。。的直徑，

：.ZBAD=9Q0,

VZBAC=120°,

/.ND4c=30。，

：.ZDBC=ZDAC=3Q°,

VZF=30°,

：.ZF=ZDBC,

J.AF//BC,

：.OA1BC,

：.ZBOA=90°-30°=60°,

NADB=l_NAO8=30。；

2

(2)\'OA±BC,

:.BE=CE=LBC=4,

2

：.AB=AC,

VZAOB=60°,OA=OB,

.?.△AOB是等邊三角形，

：.AB=OB,

\'ZOBE=30°,

：.OE=^-OB,BE=MOE=4,

2

：.OE=^&,

3

：.AC=AB=OB=2OE=^H.

3

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了切線(xiàn)的性質(zhì)、圓周角定理、等邊三角形的判定與性質(zhì)、

垂徑定理、直角三角形的性質(zhì)等知識(shí)；熟練掌握切線(xiàn)的性質(zhì)和圓周角定理,

證出0A_L3C是解題的關(guān)鍵.

8.(2019?廣西賀州“0分)如圖，8。是。。的直徑，弦與OA相交于點(diǎn)

E,與。。相切于點(diǎn)A,交OB的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)E,ZF=30°,ZBAC=

120°,BC=8.

(1)求NADB的度數(shù)；

(2)求AC的長(zhǎng)度.

【分析】(1)由切線(xiàn)的性質(zhì)得出AFLOA,由圓周角定理好已知條件得出

ZF=ZDBC,證出A尸〃BC,得出0A_L3C,求出N3OA=90。-30。=

60°,由圓周角定理即可得出結(jié)果；

(2)由垂徑定理得出8E=CE=LBC=4,得出A8=AC,證明AAOB是等

2

邊三角形，得出A8=0B,由直角三角形的性質(zhì)得出OE=LOB,BE=

2

V3OE=4,求出OE=電,即可得出AC=A8=O8=2OE=色叵.

33

【解答】解：(1)?.?人尸與。。相切于點(diǎn)A,

：.AF1OA,

?.?8。是。。的直徑，

：.ZBAD=9Q°,

'：ZBAC=120°,

.'.ND4c=30。，

ZDBC=ZDAC=3Q°,

VZF=30°,

：.ZF=ZDBC,

：.AF//BC,

：.OA1BC,

：.ZBOA=90°-30°=60°,

ZADB=LZAOB=3Q°；

2

(2),JOALBC,

:.BE=CE=LBC=4,

2

：.AB=AC,

'：ZAOB=60°,OA=OB,

.'.△AOB是等邊三角形，

：.AB=OB,

"：ZOBE=3Q°,

：.OE=kOB,BE=43OE=4,

：.0E=^^,

3_

:.AC=AB=OB=2OE=^H.

3

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了切線(xiàn)的性質(zhì)、圓周角定理、等邊三角形的判定與性質(zhì)、

垂徑定理、直角三角形的性質(zhì)等知識(shí)；熟練掌握切線(xiàn)的性質(zhì)和圓周角定理,

證出是解題的關(guān)鍵.

9.（2019?廣東省廣州市?12分）如圖，。。的直徑AB=10,弦AC=8,連接

BC.

（1）尺規(guī)作圖：作弦C。，使C0=B。（點(diǎn)。不與B重合）,連接AO；

（保留作圖痕跡，不寫(xiě)作法）

（2）在（1）所作的圖中，求四邊形ABC。的周長(zhǎng).

【分析】（1）以C為圓心，C8為半徑畫(huà)弧，交。。于。，線(xiàn)段CO即為所

求.

（2）連接BD,OC交于點(diǎn)E,設(shè)OE=x,構(gòu)建方程求出x即可解決問(wèn)題.

【解答】解：（1）如圖，線(xiàn)段CO即為所求.

（2）連接B。，OC交于點(diǎn)E,設(shè)OE=x.

???A8是直徑，

/.ZACB=90°,

***BC=VAB2-AC2=7102-82=6,

?BC=CD,

'?BC=CD，

:.OCLBD^E.

'.BE=DE,

BE1=BC2-EC2=OB2-OE1,

62-(5-x)2=52-x2,

解得》=工，

5

\'BE=DE,BO=OA,

：.AD=2OE=1^-,

5

四邊形ABCD的周長(zhǎng)=6+6+10+11=3.

55

【點(diǎn)評(píng)】本題考查作圖-復(fù)雜作圖，圓周角定理，解直角三角形等知識(shí)，解

題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)利用參數(shù)，構(gòu)建方程解決問(wèn)題.

10.(2019?貴州省安順市?12分)如圖，在AABC中，AB=AC,以A3為直徑

的。。與邊BC,AC分別交于。，E兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)。作。HLAC于點(diǎn)

(1)判斷與。。的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由;

(2)求證：”為CE的中點(diǎn)；

(3)若8C=10,cosC=S,求AE的長(zhǎng).

5

【解答】(1)解：與。。相切.理由如下:

連結(jié)O。、AD,如圖,

???A3為直徑,

AZADB=90°,BpADLBC,

\'AB=AC,

：.BD=CD,

而AO=B。，

為△ABC的中位線(xiàn)，

C.OD//AC,

'：DHLAC,

：.ODA.DH,

為。。的切線(xiàn)；

(2)證明：連結(jié)。E,如圖，

???四邊形ABDE為。。的內(nèi)接四邊形，

：.ZDEC=ZB,

，：AB=AC,

：.ZB=ZC,

：.ZDEC=ZC,

"：DHLCE,

：.CH=EH,即H為CE的中點(diǎn)；

(3)解：在放△AOC中，CD=1.BC=5,

2

cosC=—=^-,

AC5

??AC=5yf^,

在RtACDH中,\"cosC=^.=Ji,

CD5

**?CH=\f^9

:.CE=2CH=2后

:.AE=AC-CE=5娓-2顯=3疾.

11.(2019?廣西北部灣經(jīng)濟(jì)區(qū))如圖，△ABC是。。的內(nèi)

接三角形，A3為。。直徑，AB=6,AO平分N8AC交

BC于點(diǎn)E,交。。于點(diǎn)。連接BD.

(1)求證：NBAD=NCBD；

(2)若NAE3=125。，求一^的長(zhǎng)(結(jié)果保留兀).

【答案】(1)證明：..飛。平分NBAC,

：.ZCAD=ZBAD,

Y4CAD=/CBD,

：.ZBAD=ZCBD；

(2)解：連接OD,

,/ZAEB=\25°,

：.ZAEC=55°,

〈AB為。。直徑，

二ZACE=90°,

：.ZCAE=35°,

：.ZDAB=ZCAE=35°,

：.ZBOD=2ZBAD=10°,

???—的長(zhǎng)="x：=產(chǎn)?

180't

【解析】

（1）根據(jù)角平分線(xiàn)的定義和圓周角定理即可得到結(jié)論；

（2）連接0。，根據(jù)平角定義得到NAEC=55。，根據(jù)圓周角定理得到

ZACE=90°,求得NC4E=35。，得到/8。。=2/區(qū)4。=70。，根據(jù)弧長(zhǎng)公式即可

得到結(jié)論.

本題考查了三角形的外接圓與外心，圓周角定理，弧長(zhǎng)的計(jì)算，正確的識(shí)別圖

形是解題的關(guān)鍵.

12.（2019?廣東省廣州市?12分）如圖，。。的直徑4?=10,弦AC=8,連接

BC.

（1）尺規(guī)作圖：作弦CD,使CO=3C（點(diǎn)。不與B重合），連接AO；

（保留作圖痕跡，不寫(xiě)作法）

（2）在（1）所作的圖中，求四邊形ABCD的周長(zhǎng).

【分析】（1）以C為圓心，C8為半徑畫(huà)弧，交。。于。，線(xiàn)段CD即為所

求.

（2）連接8。，OC交于點(diǎn)E,設(shè)。E=x,構(gòu)建方程求出x即可解決問(wèn)題.

【解答】解：（1）如圖，線(xiàn)段即為所求.

(2)連接8。，0C交于點(diǎn)、E,設(shè)OE=x.

???45是直徑,

/.ZACB=90°,

,BC=VAB2-AC2=V102-82=6,

'：BC=CD,

???BC=CD?

:.OCLBD^E.

：.BE=DE,

"：BE'=BC2-EC2=OB2-O*

62-(5-x)2=52-x2,

解得尤=工，

5

\'BE=DE,BO=OA,

：.AD=20E=H,

5

四邊形ABCD的周長(zhǎng)=6+6+10+11=3.

55

【點(diǎn)評(píng)】本題考查作圖-復(fù)雜作圖，圓周角定理，解直角三角形等知識(shí)，解

題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)利用參數(shù)，構(gòu)建方程解決問(wèn)題.

13.(2019?貴州省安順市?12分)如圖，在△ABC中，AB=AC,以AB為直徑

的。。與邊BC,AC分別交于。，E兩點(diǎn),過(guò)點(diǎn)D作DHLAC于點(diǎn)H.

(1)判斷?！迸c。。的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；

(2)求證：H為CE的中點(diǎn);

(3)若BC=10,cosC=叵,求AE的長(zhǎng).

5

【解答】(1)解：。”與。。相切.理由如下:

連結(jié)。。、AD,如圖，

;AB為直徑，

AZADB=9Q0,gpAD±BC,

\'AB=AC,

：.BD=CD,

而A0=8。，

.?.O。為△ABC的中位線(xiàn)，

：.OD//AC,

,：DHLAC,

：.ODLDH,

為。。的切線(xiàn)；

(2)證明：連結(jié)DE,如圖，

四邊形ABDE為。。的內(nèi)接四邊形，

:.4DEC=/B,

'：AB=AC,

：.ZB=ZC,