高中數(shù)學(xué)：教案：高中數(shù)學(xué)人教A版2019必修 第二冊 平面向量數(shù)乘運(yùn)算的坐標(biāo)表示

6.3.4平面向量數(shù)乘運(yùn)算的坐標(biāo)表示

因闌島匾園國(教師獨(dú)具內(nèi)容)

課程標(biāo)準(zhǔn)：1.會(huì)用坐標(biāo)表示平面向量的數(shù)乘運(yùn)算.2.能用坐標(biāo)表示平面向量共

線的條件.

教學(xué)重點(diǎn)：1.平面向量數(shù)乘運(yùn)算的坐標(biāo)表示.2.平面向量共線定理的坐標(biāo)表

示.

教學(xué)難點(diǎn)：平面向量的共線問題.

核心素養(yǎng)：1.通過用坐標(biāo)表示平面向量共線條件的推導(dǎo)過程培養(yǎng)邏輯推理素

養(yǎng).2.通過運(yùn)用平面向量共線的條件來解決問題提升數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).

【新知1拓展

1.線段定比分點(diǎn)的坐標(biāo)公式

(1)線段定比分點(diǎn)的定義

Ip^p\

如圖所示，設(shè)點(diǎn)P(x,力是線段〃逐上不同于匕鳥的點(diǎn)，且滿足一」=兒

1^1

即和幾屋，兒叫做點(diǎn)P分有向線段后2所成的比，點(diǎn)P叫做有向線段月2的以4

為定比的定比分點(diǎn).

(2)定比分點(diǎn)的坐標(biāo)表示

設(shè)尸|(茍，弘)，P2(x2,④，則(x一崗，y—7i)=A(.x2—x,yi—y),即

X—X\=AXLx

.y—y\=ayi—y

*Xj+-X2

x=1+-'

當(dāng)XW-l時(shí)，〈

Zi+4角

y--------

1+A,

則點(diǎn)尸的坐標(biāo)為作斗，

十/I十八,

特別地，①當(dāng)4=1時(shí)，點(diǎn)尸的坐標(biāo)為卜產(chǎn)，牛),這就是線段的中

點(diǎn)坐標(biāo)公式；

②若八〈0,則點(diǎn)尸在尸山的延長線上或其反向延長線上，由向量共線的坐標(biāo)

表示及共線向量定理同樣可得點(diǎn)尸的坐標(biāo)為［哈斗，哈￥).

2.兩個(gè)向量共線條件的表示方法

已知a=(x”/)，6=(蒞，及)，

(1)當(dāng)，W0時(shí)，a=Ab.

(2)為%—%%=0.

(3)當(dāng)用用工0時(shí)，—,即兩向量的相應(yīng)坐標(biāo)成比例.

Xiy2

3.向量共線的坐標(biāo)表示的應(yīng)用

兩向量共線的坐標(biāo)表示的應(yīng)用，可分為兩個(gè)方面：

(1)已知兩個(gè)向量的坐標(biāo)判定兩向量共線.聯(lián)系平面幾何平行、共線的知識(shí),

可以證明三點(diǎn)共線、直線平行等幾何問題.要注意區(qū)分向量的共線、平行與幾何

中的共線、平行.

(2)已知兩個(gè)向量共線，求點(diǎn)或向量的坐標(biāo)，求參數(shù)的值.要注意方程思想的

應(yīng)用，向量共線的條件、向量相等的條件等都可作為列方程的依據(jù).

溫評(píng)價(jià)自測:

1.判一判(正確的打“J”，錯(cuò)誤的打"X")

(1)已知向量a=(—2,4),b=(1,—2),則a=—28.()

(2)已知4(0,2),8(4,4),則線段46的中點(diǎn)坐標(biāo)為(2,3).()

(3)已知/(I,-3),彳8,m，且4B,。三點(diǎn)共線，則C點(diǎn)的坐標(biāo)可能是

(9,1).()

(4)若&=(為，m)，6=(及，必)，則&〃8時(shí)，有力■=”■成立.()

X2y-2

2.做一做

(1)下列各組向量中，共線的是()

A.a=(-2,3),b=(4,6)B.a=(2,3),b=(3,2)

C.a=(l,—2),b=(7,14)D.a=(—3,2),b—(6,—4)

⑵已知向量a=(2,-3),若a=2b,則b=()

A.(4,-6)B.(-6,4)

C.(l,—I)D.卜|,1)

⑶若平面內(nèi)三點(diǎn)/(—2,3),6(3,-2),共線，則必為()

11

A.~B.—~

C.-2D.2

(4)已知三點(diǎn)/(一1,1),6(0,2),C(2,0),若硼口近是相反向量，則〃點(diǎn)的

坐標(biāo)為

核心素養(yǎng)I形成

HEXINSUYANGXINGCHENG

題型一向量數(shù)乘運(yùn)算的坐標(biāo)表示

例1設(shè)向量a,力的坐標(biāo)分別是(一1,2),(3,-5),求下列各向量：

(1)a-\-b；(2)a—b；(3)3a；(4)2a+5b.

［跟蹤訓(xùn)練1］在。/時(shí)中，AD=⑶7),AB=(-2,3),對(duì)稱中心為0,則宓

等于()

/11

--5B-

I22

C?-5)D.&5)

題型二向量數(shù)乘運(yùn)算的簡單應(yīng)用

例2已知向量a=(1,2),b=(2,3),c=(3.4),且c=入舊十九6,則人，

心的值分別為()

A.-2,1B.1,—2

C.2,-1D.-1,2

［跟蹤訓(xùn)練2］已知向量漉=(4,3),血=(—3,—1),點(diǎn)/(—1,-2).

(1)求線段被的中點(diǎn)"的坐標(biāo)；

(2)若點(diǎn)P(2,y)滿足龍=4麗(4WR),求4與y的值.

題型三向量共線

例3(1)已知向量a=(1,2),b=(2,3),若向量4a+力與向量c=(-4,

-7)共線，則4=—.

(2)已知a=(1,2),6=(—3,2),當(dāng)在為何值時(shí)，Aa+6與4-36平行？平

行時(shí)它們是同向還是反向？

題型四三點(diǎn)共線問題

例4(1)若點(diǎn)4(1,-3),彳8,%C(x,1)共線，則刀=.

(2)設(shè)向量成=(左12),南=(4,5),應(yīng)'=(10,公，當(dāng)A為何值時(shí)，A,B,C

三點(diǎn)共線？

［跟蹤訓(xùn)練4］已知點(diǎn)4(x,0),8(2.1),<7(2,x),。(6,2x).

(1)求實(shí)數(shù)x的值，使向量宓與之哄線；

(2)當(dāng)向量宓與西典線時(shí)，點(diǎn)4B,C,〃是否在一條直線上？

題型五向量共線的應(yīng)用

例5⑴線段版版的端點(diǎn)麻，版的坐標(biāo)分別為(1,5),(2,3),且筋/=一2/瓶，

則點(diǎn)."的坐標(biāo)為()

A.(3,8)B.(1,3)

C.(3,1)D.(—3,—1)

(2)在△/)仍中，已知點(diǎn)。(0,0),4(0,5),8(4,3),加=犧,Qb=^OB,AD

與a1交于點(diǎn)必，求點(diǎn)"的坐標(biāo).

［變式探究］若將本例(2)中的“狂;而”改為“血=冰,其他條件不變，

X.O

再試求"點(diǎn)的坐標(biāo).

[跟蹤訓(xùn)練5](1)已知兩點(diǎn)月⑶2),R(—8,3),點(diǎn)/Q，，滿足科幾屋,

求4及y的值.

(2)如圖，已知點(diǎn)1(4,0),6(4,4),C(2,6),求47和仍的交點(diǎn)戶的坐標(biāo).

隨堂水平.達(dá)標(biāo)

SUITANGSHUIPINGDABIAO'

1.已知向量a=(1,2),6=(4,1),若(a+2b)〃(2a—26),則一的值等于

()

11

A.]B-3

C.1D.2

2.設(shè)點(diǎn)尸是4(1,-2),2(—3,5)連線上一點(diǎn)，且痔一^兩，則點(diǎn)尸的

坐標(biāo)為()

A.(5,-9)B.(—9,5)

C.(-7,12)D.(12,-7)

3.(多選)已知力(3,-6),3(—5,2),且4B,C三點(diǎn)在一條直線上，則C

點(diǎn)的坐標(biāo)可能是()

A.(—9,6)B.(—1,—2)

C.(—7,—2)D.(6,-9)

4.與a=(12,5)平行的單位向量為.

5.平面內(nèi)給出三個(gè)向量a=⑶2),6=(—1,2),c=(4,1),求解下列問題:

⑴求3a+Z>—2c；

(2)求滿足a=mb+nc的實(shí)數(shù)m,n；

(3)若(a+Ac)//(2b—a),求實(shí)數(shù)k.

課后課Hl精練

KEHOUKESHIJINGLIAN

A級(jí)￡》學(xué)考水平合格練

一、選擇題

1.下列各組向量中，能作為表示它們所在平面內(nèi)所有向量的基底的是()

A.a=(0,0),6=(1,—2)

B.a=(—1,2),b=(5,7)

C.a=(3,5),b=(6,10)

D.a=(2,—3),6=(4,—6)

2.已知兩點(diǎn)/(2,—1),8(3,1),與能平行且方向相反的向量a可能是()

A.(1,-2)B.(9,3)

C.(—1,2)D.(—4,—8)

3.設(shè)向量a=(l,—3),b=(—2,4),c=(—1,—2),若表示向量4a,4b

—2c,2(a—c),d的有向線段首尾相連能構(gòu)成四邊形，則向量"為()

A.(2,6)B.(-2,6)

C.(2,-6)D.(—2,—6)

j,tan.,b=(cosa,1),且a〃力,貝!!cos^H-(

4.已知向量)

1

A.亞B."

3

1D.-平

C.

3o

5.(多選)已知A(2,1),6(0,2),6,(-2,1),(7(0,0),則下列結(jié)論正確的是

)

A.直線3與直線胡平行

?>.AB+BC=CA

C.0A+0C=0B

[).AC=dB-2OA

二、填空題

6.向量a=(A,1)與力=(4,〃)共線且方向相同，則〃=.

7.在△48。中，點(diǎn)尸在宛上，S.BP=2PC,點(diǎn)0是〃1的中點(diǎn)，若次=(4,3),

兩=(1,5),則反'=.

8.已知兩點(diǎn)4(1,0),6(1,十)，。為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)C在第二象限，且N/OC

=120°.若龍'=一2湯+4市(46R),則兒=.

三、解答題

9.已知向量澇=(3,-4),南=(6,-3),龍=(5—無一3一力，其中0

為坐標(biāo)原點(diǎn).

(1)求線段的中點(diǎn)"的坐標(biāo)；

(2)若點(diǎn)4B,。不能構(gòu)成三角形，求x,y應(yīng)滿足的條件；

(3)若花=2或?，求x,y的值.

B級(jí)￡

1.已知4B,。三點(diǎn)的坐標(biāo)為(一1,0),(3,-1),(1,2),并且雄=；衣，BF

O

=；比，求證：EF//AB.

O

2

2.已知片(2,-1),￡(—1,3),尸在直線片￡上，旦|月利=可|朋I.求點(diǎn)尸

0

的坐標(biāo).

6.3.4平面向量數(shù)乘運(yùn)算的坐標(biāo)表示

因凰圖新園閏(教師獨(dú)具內(nèi)容)

課程標(biāo)準(zhǔn)：1.會(huì)用坐標(biāo)表示平面向量的數(shù)乘運(yùn)算.2.能用坐標(biāo)表示平面向量共

線的條件.

教學(xué)重點(diǎn)：1.平面向量數(shù)乘運(yùn)算的坐標(biāo)表示.2.平面向量共線定理的坐標(biāo)表

示.

教學(xué)難點(diǎn)：平面向量的共線問題.

核心素養(yǎng)：1.通過用坐標(biāo)表示平面向量共線條件的推導(dǎo)過程培養(yǎng)邏輯推理素

養(yǎng).2.通過運(yùn)用平面向量共線的條件來解決問題提升數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).

'新知］拓展

1.線段定比分點(diǎn)的坐標(biāo)公式

（1）線段定比分點(diǎn)的定義

Ip^p\

如圖所示，設(shè)點(diǎn)尸（必。是線段產(chǎn)出上不同于8的點(diǎn)，且滿足^=4,

\pp2\

即和4屋，兒叫做點(diǎn)f分有向線段陷所成的比，點(diǎn)尸叫做有向線段月2的以九

為定比的定比分點(diǎn).

⑵定比分點(diǎn)的坐標(biāo)表示

設(shè)P\（Ti,為），R（xz，㈤，則（x—荀，y—Zi）=A（x2—x,y2—y）,即

X—X\=AXLx,

.y_7i=Ay2~y，

"Xj+AX2

x=1+X'

當(dāng)兒W—l時(shí),<

71+^y2

/=1+A-

則點(diǎn)尸的坐標(biāo)為C，

I1十八1十人）

特別地，①當(dāng)4=1時(shí)，點(diǎn)尸的坐標(biāo)為段上，空，，這就是線段尸史的中

點(diǎn)坐標(biāo)公式；

②若人（0,則點(diǎn)P在尸山的延長線上或其反向延長線上，由向量共線的坐標(biāo)

表示及共線向量定理同樣可得點(diǎn)尸的坐標(biāo)為（*產(chǎn)，行牛，

2.兩個(gè)向量共線條件的表示方法

已知a=（x"％）,6=（而，%），

(1)當(dāng)人力0時(shí)，a=4b.

(2)xi%—天M=0.

⑶當(dāng)孫mo時(shí),臺(tái)會(huì)即兩向量的相應(yīng)坐標(biāo)成比例.

3.向量共線的坐標(biāo)表示的應(yīng)用

兩向量共線的坐標(biāo)表示的應(yīng)用，可分為兩個(gè)方面：

(1)已知兩個(gè)向量的坐標(biāo)判定兩向量共線.聯(lián)系平面幾何平行、共線的知識(shí),

可以證明三點(diǎn)共線、直線平行等幾何問題.要注意區(qū)分向量的共線、平行與幾何

中的共線、平行.

(2)已知兩個(gè)向量共線，求點(diǎn)或向量的坐標(biāo)，求參數(shù)的值.要注意方程思想的

應(yīng)用，向量共線的條件、向量相等的條件等都可作為列方程的依據(jù).

±1評(píng)價(jià)自測

1.判一判(正確的打“J”，錯(cuò)誤的打“X”)

(1)已知向量a=(―2,4),b=(1,—2),則a=—26.()

⑵已知4(0,2),6(4,4),則線段46的中點(diǎn)坐標(biāo)為(2,3).()

(3)已知力(1,-3),彳8,",且力，B,。三點(diǎn)共線，則。點(diǎn)的坐標(biāo)可能是

(9,1).()

⑷若a=(x-)」=(如〃則a〃,時(shí)，有比寸成立.()

答案⑴J(2)V(3)V(4)X

2.做一做

(1)下列各組向量中，共線的是(

A.a=(—2,3),b—(4,6)B.a=(2,3),b=(3,2)

C.a=(1,—2),b=(7,14)D.a=(—3,2),b=(6,—4)

(2)已知向量a=(2,-3),若a=2b,貝Ib—()

A.(4,—6)B.(-6,4)

3

D

-2-

(3)若平面內(nèi)三點(diǎn)/(—2,3),6(3,—2),/共線，則必為()

11

--

A.2-2

C.

2R.2

-D.

(4)已知三點(diǎn)4一1,1),8(0,2),。⑵0),若力物口⑦是相反向量，則〃點(diǎn)的

坐標(biāo)為.

答案(1)D(2)C(3)A(4)(1,-1)

核心素養(yǎng)

-----------------------------------------------------------------------HEXINSUYANGXINGCHENG-------------------------------------------------------------------------

題型一向量數(shù)乘運(yùn)算的坐標(biāo)表示

例1設(shè)向量a,b的坐標(biāo)分別是(一1,2),(3,-5),求下列各向量：

(l)a+6；②a—b；(3)3a；(4)2a+5b

［解］(1)a+6=(―1,2)+(3,—5)=(2,-3).

(2)a—b=(—l,2)—(3,—5)=(—4,7).

(3)3a=3(—1,2)=(—3,6).

(4)2a+5Z>=2(-l,2)+5(3,-5)=(—2,4)+(15,-25)=(13,-21).

［金版點(diǎn)睛

向量的坐標(biāo)運(yùn)算主要是利用向量的加法、減法、數(shù)乘運(yùn)算法則進(jìn)行的，若已

知有向線段兩端點(diǎn)的坐標(biāo)，則應(yīng)先求出向量的坐標(biāo)，然后進(jìn)行向量的坐標(biāo)運(yùn)算，

另外，解題過程中要注意方程思想的運(yùn)用.

［跟蹤訓(xùn)練1］在。/比》中，AD=(3,7),龍=(一2,3),對(duì)稱中心為0,則仍

C.&-5

答案B

解析J而=一；(筋+疵=—；(1,10)=(—J,1—5).

乙乙乙I乙2/

題型二向量數(shù)乘運(yùn)算的簡單應(yīng)用

例2已知向量a=(1,2),b=(2,3),c=(3,4),且c=3a+426,則兒”

42的值分別為（）

A.-2,1B.1,—2

C.2,—1D.—1,2

［解析］因?yàn)閏=九a十九6,所以（3,4）=?。?,2）+42（2,3）=（兒+242,2

［41+242=3,

九+342）,所以1°..,_.解得幾產(chǎn)一1，42=2.

、2月］十342=4,

［答案］D

［金版點(diǎn)睛

利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算求參數(shù)的思路

已知含參數(shù)的向量等式，依據(jù)某點(diǎn)的位置探求參數(shù)的問題，其本質(zhì)是向量坐

標(biāo)運(yùn)算的運(yùn)用，用已知點(diǎn)的坐標(biāo)和參數(shù)表示出該點(diǎn)的坐標(biāo)，利用點(diǎn)的位置確定其

橫、縱坐標(biāo)應(yīng)滿足的條件，建立關(guān)于參數(shù)的方程（組）或不等式（組）進(jìn)行求解.

［跟蹤訓(xùn)練2］已知向量位=（4,3）,蒞）=（—3,—1）,點(diǎn)力（-1,-2）.

（1）求線段8〃的中點(diǎn)〃的坐標(biāo)；

⑵若點(diǎn)尸（2,力滿足比=九礪（46R）,求4與y的值.

解⑴設(shè)夙國,%),因?yàn)殄?(4,3),力(一1,-2),

所以(為+1,%+2)=(4,3),

%+1=4,矛1=3,

所以所以所以8(3,1).

Zi+2=3,?y=1，

同理，可得〃（一4,—3）,

1

2-

設(shè)劭的中點(diǎn)物（及，%），則x2

⑵由陽=(3,1)—(2,0=(1,1一。,

布=(—4,—3)—⑶1)=(—7,-4),

又。=AWA￡R),

所以（1,1—y）=4（-7,—4）=（一74，一4八）.

1=一74，

所以《所以V

1—y=—44，

題型三向量共線

例3(1)已知向量a=(1,2),b=(2,3),若向量4a+8與向量c=(—4,

-7)共線，則a=—.

(2)已知a=(1,2),6=(—3,2),當(dāng)衣為何值時(shí)，布+。與a—3b平行？平

行時(shí)它們是同向還是反向？

［解析］⑴因?yàn)閍=(1,2),b=(2,3),

所以Ha+b=(九24)+⑵3)=(4+2,24+3).

因?yàn)橄蛄咳隺+力與向量c=(-4,—7)共線，

所以一7(兒+2)+4(24+3)=0.所以4=2.

(2)解法一：ka+b=k{l,2)+(-3,2)=(A-3,24+2),

a~3b=(1,2)-3(-3,2)=(10,-4),

當(dāng)履+，與a—36平行時(shí)，存在實(shí)數(shù)兒，使Aa+，=4(a-32>).

由(k—3,2A+2)=4(10,-4)，

A—3=104，

所以解得k=A=—

2A+2=-44,o

當(dāng)寸，ka+b與a—35平行，

o

這時(shí)Aa+b=—；a+b=-J(a-3b),

oo

因?yàn)閮?—2<0，所以松+8與a—3b反向.

解法二：由題意知4a+6=(4—3,24+2),a—3b=(10,—4),

因?yàn)閗a~\~b與a—3b平行,

所以(4—3)X(-4)-10X(2A+2)=0,

解得左=一；.這時(shí)ka+b=—；a+6=一；(a—3b).

ooo

所以當(dāng)A=-%寸，4a+b與a—3b平行，并且反向.

［答案］(1)2(2)見解析

金版點(diǎn)直

向量共線的判定方法

(1)利用向量共線定理,由a=4b(bWO)推出a//b.

(2)利用向量共線的坐標(biāo)表達(dá)式為必一用必=0直接求解.

［跟蹤訓(xùn)練3］已知向量a=(，§,1),b=(0,—1),c=(A,4).若a—

25與c共線，則4=.

答案1

解析因?yàn)閍—2，=(M§,3)與C=(A,十)共線，所以3仁小義小,故A

=1.

題型四三點(diǎn)共線問題

例4(1)若點(diǎn)4(1,-3),彳8,以x,1)共線，則矛=.

(2)設(shè)向量游=(4,12),08=(4,5),交=(10,當(dāng)4為何值時(shí)，A,B,C

三點(diǎn)共線？

［解析］⑴定=(7,m，~AC=(^—1,4).

因?yàn)辄c(diǎn)4B,C共線，所以宓與脫洪線.

7

所以7X4—］(x—1)=0,解得x=9.

(2)解法一：若4B,C三點(diǎn)共線，則宓，充共線，則存在實(shí)數(shù)人使得血=

AAC,

因?yàn)槔?第一湯=(4—A,-7),

衣=龐'—應(yīng)1=(10—A,A-12).

所以(4—k,-7)=4(10—k,k—12).

［4—k=410—k，

即《=..1O解得左=-2或A=ll.

1-7=AA-12，

所以當(dāng)A=—2或11時(shí)，A,B,。三點(diǎn)共線.

解法二：由題意知荔，死共線，

因?yàn)橛?第一應(yīng)=(4一匕-7),

AC=OC-OA=(\Q-k,A-12),

所以(4—A)(A—12)+7(10—A)=0,

所以〃一94-22=0,解得衣=-2或4=11.

所以當(dāng)在=-2或11時(shí)，A,B,。三點(diǎn)共線.

［答案］(1)9(2)見解析

金版點(diǎn)睛

三點(diǎn)共線的實(shí)質(zhì)與證明步驟

(1)實(shí)質(zhì)：三點(diǎn)共線問題的實(shí)質(zhì)是向量共線問題.兩個(gè)向量共線只需滿足方向

相同或相反，兩個(gè)向量共線與兩個(gè)向量平行是一致的.

(2)證明步驟：利用向量平行證明三點(diǎn)共線需分兩步完成：①證明向量平行;

②證明兩個(gè)向量有公共點(diǎn).

［跟蹤訓(xùn)練4］已知點(diǎn)Z(x,0),8(2x,l),<7(2,x),〃(6,2x).

(1)求實(shí)數(shù)x的值，使向量宓與3線；

(2)當(dāng)向量宓與儂線時(shí)，點(diǎn)/，B,C,〃是否在一條直線上？

解(1)能=(x,1),CD=(4,x).

'：AB//CD,：.x=4,解得x=±2.

(2)由已知得及：=(2—2x,x—l),

當(dāng)x=2時(shí)，送=(-2,1),AB=(2,1),

...礪口反不平行，此時(shí)4B,C,〃不在一條直線上；

當(dāng)x=-2時(shí)，比=(6,-3),9=(—2,1),

：.AB//BC,此時(shí)4,B,。三點(diǎn)共線.

又宓〃宓，：.A,B,C,〃四點(diǎn)在一條直線上.

綜上，當(dāng)x=—2時(shí)，A,B,C,〃四點(diǎn)在一條直線上.

題型五向量共線的應(yīng)用

例5⑴線段掰必的端點(diǎn)隨，必的坐標(biāo)分別為(1,5),(2,3),旦浦U—2,孩，

則點(diǎn)"的坐標(biāo)為()

A.(3,8)B.(1,3)

C.(3,1)D.(-3,-1)

(2)在仍中，已知點(diǎn)0(0,0),1(0,5),8(4,3),OC=\OA,OD=^OB,AD

與切交于點(diǎn)必求點(diǎn)"的坐標(biāo).

［解析］⑴設(shè)"(*,［),由總力=—2誠，得(x—1,y—5)=—2(2—才,3—力.由

向量相等，

[x—1=—22—x,x=3,

得解得

[y—5=—23—y,Lr=i，

二點(diǎn)"的坐標(biāo)為⑶1).故選C.

⑵二點(diǎn)0(0,0),力(0,5),6(4,3),

.",04=(0,5),OB=(4,3).

?:左=(xc，丹)=輛=(0,

.?.點(diǎn)C的坐標(biāo)為(o,

同理可得點(diǎn)〃的坐標(biāo)為(2,斗

設(shè)點(diǎn)物的坐標(biāo)為(x,y),則感’=(x,y—5),

'：A,M,〃三點(diǎn)共線，，格位英線.

7,、

2(y—5)=0,

即7x+4y=20.①

而由=(x,L|)，踮=(4-0,3-1)=(4,力，

'：C,M,8三點(diǎn)共線，.?.砒心線.

即7*-16尸-20.②

由①②，得犬=7，y=2..,.點(diǎn)〃的坐標(biāo)為(7，2J.

［答案］(DC(2)見解析

［變式探究］若將本例⑵中的“沅=；加改為“血=物”,其他條件不變,

xO

再試求，"點(diǎn)的坐標(biāo).

解???點(diǎn)。(0,0),4(0,5),6(4,3),

.?.—=(0,5),龍=(4,3),又沅三;福，

?"點(diǎn)坐標(biāo)為(0，”同理〃點(diǎn)坐標(biāo)為(2,5

設(shè)"的坐標(biāo)為(x,y),

則(x,y—5),^=(2,—g),

?:A,M,〃三點(diǎn)共線，...砥蒞哄線.

7

/.--X—2(y—5)=0,即7x+4尸20,①

又曬=(x,y—|),滂=(4,胃，C,M,6三點(diǎn)共線，

4(y—|)=0,即x-3y+5=0,②

由①②，解得x=g,尸告二點(diǎn)"的坐標(biāo)為修，到

金版點(diǎn)睛

1.兩個(gè)特殊點(diǎn)的坐標(biāo)公式

(1)中點(diǎn)坐標(biāo)公式：必)，Pz(xi,④的中點(diǎn)為/(x,y),則少,y

=2,

(2)重心坐標(biāo)公式：在△力回中，4(汨，乂)，8(吊，④，。(如必)，則△46。

為+尼+為3+凡+信

的重心坐標(biāo)為

33

2.由向量共線求交點(diǎn)坐標(biāo)的方法

根據(jù)題意求出有關(guān)向量的坐標(biāo)

利用向量共線的坐標(biāo)表示得到

有關(guān)方程組

解得方程組的解

［跟蹤訓(xùn)練5］(1)已知兩點(diǎn)4(3,2),2(一8,3),點(diǎn)石，［滿足丘兒朋,

求4及y的值.

(2)如圖，已知點(diǎn)履4,0),8(4,4),<7(2,6),求力。和陽的交點(diǎn)尸的坐標(biāo).

’517A=~,

由向量相等，得〈22解得〈小

49

〔夕一2=A3—y,尸點(diǎn).

⑵Y旗與拗線，故設(shè)辦=兒宓=(44，4兒)，

則/戶=(44—4,44)，AC==(2—4,6—0)=(—2,6).

由應(yīng)與死共線，得(44-4)義6—44義(-2)=0.

3

解得力=]

...尻(40,44)=(3,3).故點(diǎn)尸的坐標(biāo)是(3,3).

隨堂水平

------------------------------------------------------------------------------SUITANGSHUIPINGDABIAO---------------------------------------------------------------------------------

1.已知向量a=(1,2),b=(A,1),若(a+2b)〃(2a—2b),則，的值等于

()

11

A,aB,3

C.1D.2

答案A

解析a+2A=(l,2)+2(4，1)=(1+24，4),2a—28=2(1,2)—2(4,

1)=(2—24，2),由3+26)〃(23-26)可得2(1+24)-4(2—2/1)=0,解得

2_1

2.設(shè)點(diǎn)P是片(1,—2),2(—3,5)連線上一點(diǎn)，且格一；麗，則點(diǎn)尸的

坐標(biāo)為()

A.(5,-9)B.(—9,5)

C.(-7,12)D.(12,-7)

答案C

解析???KP=一義曲，￡是行的中點(diǎn)，

...尸(一7,12).故選C.

3.(多選)已知力(3,-6),5(—5,2),且力，B,C三點(diǎn)在一條直線上，則C

點(diǎn)的坐標(biāo)可能是()

A.(-9,6)B.(—1,—2)

C.(—7,—2)D.(6,-9)

答案ABD

解析設(shè)C(x,y),則赤=(x-3,y+6),J5=(-8,8).'：A,B,C三點(diǎn)在

v—3v~\~6

同一條直線上，??.==、一，即x+y+3=0,將四個(gè)選項(xiàng)分別代入x+y+3=0

驗(yàn)證可知，A,B,D均符合.故選ABD.

4.與a=(12,5)平行的單位向量為一.

解析設(shè)與a平行的單位向量為e=(x,力,

r12r12

x=

V+y=1,~n'

解得＜或＜

12y—5x=0,55

/=13、尸一F

5.平面內(nèi)給出三個(gè)向量a=(3,2),8=(—1,2),c=(4,1),求解下列問題:

⑴求33+，一2c；

(2)求滿足a=mb+nc的實(shí)數(shù)m,〃；

⑶若(a+kc)//(2b—a),求實(shí)數(shù)k.

解(1)3a+b~2c=3(3,2)+(-1,2)-2(4,1)=(0,6).

⑵Va=mb+nc,A(3,2)="(-1,2)+T?(4,1),

(5

一勿+4〃=3,9

[2m+n=2,8

(3)9：a+kc=(3,2)+A(4,1)=(3+4左2+A),

2b—a—2(—1,2)—(3,2)=(—5,2),

又(a+Ac)//(2b—a),

???2(3+44)=-5(2+Q,

16

k=

13,

課后課Hl精練

KEHOUKESHIJINGLIAN

A級(jí)￡》學(xué)考水平合格練

一、選擇題

1.下列各組向量中，能作為表示它們所在平面內(nèi)所有向量的基底的是()

A.a=(0,0),6=(1,—2)

B.a=(—1,2),b=(5,7)

C.a=⑶5),b=(6,10)

D.a=(2,—3),b~(4,—6)

答案B

解析A中，a=(0,0)與力=(1,一2)共線，不能作為表示它們所在平面內(nèi)

所有向量的基底；C中，a=⑶5)與8=(6,10)=2a共線，不能作為表示它們所

在平面內(nèi)所有向量的基底；D中，a=(2,-3)與8=(4,-6)=2a共線，不能作

為表示它們所在平面內(nèi)所有向量的基底.故選B.

2.已知兩點(diǎn)加2,—1),8(3,1),與油平行且方向相反的向量a可能是()

A.(1,-2)B.(9,3)

C.(—1,2)D.(—4,—8)

答案D

解析花=(3—2,1+1)=(1,2),：(—4,-8)=-4(1,2),(—4,-8)

滿足條件.

3.設(shè)向量a=(1,—3),b=(—2,4),c=(―1,—2),若表示向量4a,4b

—2c,2(a—c),d的有向線段首尾相連能構(gòu)成四邊形，則向量"為()

A.(2,6)B.(-2,6)

C.(2,16)D.(—2,—6)

答案D

解析由題意，得4a+4力-2c+2(a—c)+d=0,則d=-4a—48+2c—2(a

-c)=-6a-4b+4c=(—2,—6).

1)，且a〃6,則cos[-y+a

4.已知向量a=|q,tanaJ,8=(cos。)

1

B.

3

J.2^2

C.D.

33

答案C

sina”一

解析因?yàn)閍//b,所以可一tanacosa=0,^7，coso=0>所以

o

1

sina=1,所以cosl~+al=—sina=-1.故選C.

o

5.(多選)已知4(2,1),6(0,2),。(一2,1),0(0,0),則下列結(jié)論正確的是

()

A.直線0。與直線加平行

?>.AB+BC=CA

C.0A+0C=0B

D.AC=dB-2OA

答案ACD

解析因?yàn)榛ā?(—2,1),9=(2,-1),所以沆'=—瓦，又直線0C,為不

重合，所以直線0C〃為，所以A正確；因?yàn)檠?反'=而#方，所以B錯(cuò)誤；因?yàn)?/p>

游+狂(0,2)=/，所以C正確；因?yàn)閼?yīng)'=(—4,0),OB-2OA=(Q,2)-2(2,1)

=(-4,0),所以D正確.

二、填空題

6.向量a=(〃,1)與b=(4,〃)共線且方向相同，則〃=.

答案2

解析Va//b,4=0,〃=2或〃=—2,又a與6方向相同，.*./?=

7.在中，點(diǎn)。在a1上，且加=2瓦;，點(diǎn)。是〃1的中點(diǎn)，若反1=(4,3),

兩=(1,5),貝威=.

答案(一6,21)

解析府一自=而=(1,5)—(4,3)=(—3,2),因?yàn)辄c(diǎn)0是〃'的中點(diǎn),所以就

=QC,所以無：=/+宓=(1,5)+(-3,2)=(-2,7).因?yàn)樵?2無所以交=詼+

瓦=3瓦=3(—2,7)=(-6,21).

8.已知兩點(diǎn)4(1,0),