矩形性質(zhì)作業(yè)設(shè)計(jì)

華師大版數(shù)學(xué)八年級下冊第十九章第一節(jié)19.1.1矩形的性質(zhì)

同步練習(xí)

一、選擇題

1.矩形具有而一般平行四邊形不具有的性質(zhì)是（）

A.對角相等B.對邊相等C.對角線相等D.對角線互相平分

答案：C

解答：矩形具有而一般平行四邊形不具有的性質(zhì)是對角線相等.

分析：平行四邊形的對角線互相平分，矩形的對角線相等且平分.

2.如圖，矩形A8CD沿AE折疊，使點(diǎn)。落在邊上的尸點(diǎn)處，如果/BAF=60°,那

么ZDAE等于（）

A.15°B.30°C.45°D.60°

答案：A

解答：由翻折變換的性質(zhì)可知=在矩形ABCD中/BAD=9（T,又/BAF

=60°,所以/DA尸=/BAD—/BA尸=3（T,所以/DAE=1竽.

分析：根據(jù)翻折變換的性質(zhì)可知△AE72

3.若矩形的一條角平分線分一邊為3cm和5cm兩部分，則矩形的周長為（）

A.22cmB.26cmC.22cm或26cmD.28cm

答案：C

解答：如圖（1）所示，此時(shí)矩形的周長為2x[5+（3+5）]=26cm；如圖（2）所示，此時(shí)

矩形的周長為2x[3+（5+3）]=22cm,所以選C.

分析：如上圖所示，在矩形A3C。中NAOC=90°,因?yàn)?。E平分NAOC,所以/即C=-

2

ZADC^45°,所以在RtZ\EDC中，DE=EC.

4.由矩形的一個(gè)頂點(diǎn)向其所對的對角線引垂線，該垂線分直角為1：3兩部分，則該垂線與

另一條對角線的夾角為（）

A.22.5°B.45°C.30°D.60°

答案：B

解答：根據(jù)題意可以得到如下圖所示，因?yàn)樵诰匦蜛BC。中，ZBAD=90a,又因?yàn)榇咕€

3

AE分NA4。為1：3兩部分，所以/ZME=90°X—=67.5°,所以NA￡>2=90°一/DAE

4

=22.5°,又OA=OD,所以NZMO=/ADO=22.5°,所以/CAE=/ZME—NZMO=

45°,即該垂線與另一條對角線的夾角為45°.

分析：本題目的關(guān)鍵在于將數(shù)學(xué)語言轉(zhuǎn)化為圖形進(jìn)行解題.

5.如圖，在矩形4BC。中，DE±AC,ZADE=-ZCDE,那么/2DC等于（

2

A.60°B.45°C.30°D.22.5°

答案：C

12

解答：因?yàn)樵诰匦蜛8CD中NAOC=90°,又因?yàn)镹AOE=—/QDE,所以—/

23

AZ）C=60°,又因?yàn)镈E_LAC,所以為直角三角形，所以/AC〃=30°,又因?yàn)??！?/p>

=OC,所以N3r>C=NAC￡）=30°.

分析：矩形的對角線相等且平分.

6.如圖，矩形ABC。中，E是BC的中點(diǎn)，且NAE￡>=90。.當(dāng)AO=10cm時(shí)，A3等于（）

A.10cmB.5cmC.5A/2cmD.5^/3cm

答案：B

解答：在矩形ABC。中，NB=NC=90。，AB^DC,因?yàn)镋是BC的中點(diǎn)，AD=10cm,所

AB=DC

以8E=EC=5cm,在△ABE與△OCE中，＜ZB=ZC,所以所以AE=

BE=EC

ED,又因?yàn)?AEO=90。，所以/EAZ)=45。，所以/BAE=90。一/E4Q=45。，所以A8=

BE=5cm.

分析：矩形的四個(gè)角都是直角.

7.將矩形紙片A8CD按如圖所示的方式折疊，AE、EE為折痕，ZBA￡=30°,AB=43,

折疊后，點(diǎn)C落在邊上的C'處，并且點(diǎn)8落在EC'邊上的5'處.則BC的長為()

答案：C

解答：因?yàn)椤鰽BE之AAB'E,所以5后=3'后，/AEB=/AEB',又因?yàn)?8=90°,Z

BAD=90°,N2AE=30°,所以8E=1,AE=2,ZAEB=ZAEB'=60°,NEAD

=60°,所以AAEC'是等邊三角形，所以C'E=AE=2,因?yàn)椤鰿EP0AC'EF,所以EC

=C'E=2,所以8C=BE+EC=3.

分析：△ABE與AAB'E對折，兩個(gè)三角形全等，ACEF與AC'E/對折，兩三角形也全等，

根據(jù)邊角關(guān)系求出BC.

8.一個(gè)長方形在平面直角坐標(biāo)系中三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)為(-1,-1),(-1,2),(3,-

1),則第四個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)為()

A.(2,2)B.(3,2)C.(3,3)D.(2,3)

答案：B

解答：如圖可知第四個(gè)頂點(diǎn)為(3,2),所以選B.

分析：本題可在畫出圖后，根據(jù)矩形的性質(zhì)，得知第四個(gè)頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)應(yīng)為3,縱坐標(biāo)應(yīng)為

2.

9.如圖，矩形ABC。中，42=1,AD=2,M是CD的中點(diǎn)，點(diǎn)尸在矩形的邊上沿A今BoCTW

運(yùn)動(dòng)，則4APM的面積y與點(diǎn)P經(jīng)過的路程尤之間的函數(shù)關(guān)系用圖象表示大致是下圖中的

()

解答：點(diǎn)尸由A到B這一段中，三角形的AP邊上的高不變，因而面積是路程尤的正比例函

數(shù)，當(dāng)尸到達(dá)B點(diǎn)時(shí)，面積達(dá)到最大，值是1.在尸由2到C這一段，面積隨著路程的增

大而減小；到達(dá)C點(diǎn)，即路程是3時(shí)，最小是一；由C到M這一段，面積越來越?。划?dāng)P

2

到達(dá)M時(shí)，面積最小變成0.因而應(yīng)選A.

分析：根據(jù)每一段函數(shù)的性質(zhì)，確定其解析式，特別注意根據(jù)函數(shù)的增減性，以及幾個(gè)最值

點(diǎn)，確定選項(xiàng)比較簡單.

10.如圖，矩形A8C。中，AB=3,BC=5.過對角線交點(diǎn)。作OE_LAC交A。于E,貝UAE

的長是()

答案：D

解答：如下圖，連接EC,由矩形的性質(zhì)可得AO=CO,又因E0LAC,則由線段的垂直平

分線的性質(zhì)可得EC=AE,設(shè)AE=x,則ED=AD-AE=5-x,在RtA￡?C中，根據(jù)勾股

定理可得ECZUDEZ+DCZ,即％2=（5—X『+32,解得X=3.4.故選D.

分析：利用線段的垂直平分線的性質(zhì)，得到EC與AE的關(guān)系，再由勾股定理計(jì)算出AE的

長.

11.一次數(shù)學(xué)課上，老師請同學(xué)們在一張長為18厘米，寬為16厘米的矩形紙板上，剪下一

個(gè)腰長為10厘米的等腰三角形，且要求等腰三角形的一個(gè)頂點(diǎn)與矩形的一個(gè)頂點(diǎn)重合，其

它兩個(gè)頂點(diǎn)在矩形的邊上，則剪下的等腰三角形的面積為多少平方厘米()

A.50B.50或40C.50或40或30D.50或30或20

答案：C

解答：如圖四邊形ABC。是矩形，AD=18cm,AB=16cm；本題可分三種情況：

1

①如圖（1）：△AE/7中，AE=AF=10cm；所以=5?AE?AF=50cm9；

(1)(2)(3)

②如圖(2)：AAGH中，AG=GH=10cm；在R33G"中，BG=AB-AG=16-10=6cm；

11

根據(jù)勾股定理有：BH=8cm；所以506〃=彳人6^^1=5'8乂10=40。79?；

③如圖(3)：△AMN中，AM=MN=10cm；在RtADMN中,MO=A￡>—AM=18—10=8cm；

110

根據(jù)勾股定理有。N=6cm；所以SMMN=—AM?DN=-xl0x6=30cm~?故選C.

分析：本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)、勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵在于

能夠進(jìn)行正確的討論.

12.如圖，將矩形ABC。沿AE折疊，若/BAO=30。，貝Ij/AE。等于()

AB

A.30°B.45°C.60°D.75°

答案：C

解答：根據(jù)題意得：NDAE=/EAD\ZD=ZD'=90°,又因?yàn)?54。，=30。，所以/EAD

=-（90°-30°）=30°,所以/AED'=90°—30°=60°.故選C.

2

分析：根據(jù)折疊的性質(zhì)求NEA。，再在R3EA。中求NAEO.

13.在矩形A3C。中，42=1,AD=6,A尸平分NZMB,過C點(diǎn)作CE_LBD于E,延長

AF,EC交于點(diǎn)H,下列結(jié)論中：?AF=FH；②BO=BF；?CA=CH；④BE=3ED；正確

的是（）

A.②③B.③④C.①②④D.②③④

答案：D

解答：VAB=1,AD=6,；.BZ）=AC=2,OB=OA=O￡）=OC=1,：./\OAB,AOCD

為正三角形，平分NZMB,.?.NFAB=45。，即AAB尸是一個(gè)等腰直角三角形.尸

=AB=\,即②正確；平分/DAB,：.ZFAD=45°,NCAH=45°—30°

=15。，：/ACE=30。（正三角形上的高的性質(zhì)）；./AHC=15。，，CA=CH即③正確；由

正三角形上的高的性質(zhì)可知：DE=OD^2,OD=OB,即④正確；若AF=FH,

那么點(diǎn)尸為等腰三角形CAH的中點(diǎn)，那么C8垂直于AH,顯然不成立，①所以不正確.故

選D.

分析：這是一個(gè)特殊的矩形：對角線相交成60。的角.利用等邊三角形的性質(zhì)結(jié)合圖中的特

殊角度解答.

14.如圖，矩形的兩條對角線相交于點(diǎn)。，ZA0B=6Q°,AB=2,則矩形的對角線

AC的長是（）

A.2B.4C.D.4A/3

答案：B

解答：因?yàn)樵诰匦蜛BCD中，所以AO=-AC^-BD^BO,又因?yàn)镹AOB=60。，所以△AOB

22

是等邊三角形，所以A0=AB=2,所以AC=2AO=4.故選B.

分析：本題的關(guān)鍵是利用等邊三角形和矩形對角線的性質(zhì)求長度.

15.已知AC為矩形A2C。的對角線，則圖中N1與N2一定不相等的是（）

解答:A項(xiàng)的對頂角相等;B,C項(xiàng)不確定；D項(xiàng)一定不相等，因?yàn)镹1=/ACQ,Z2>ZACD.

分析：本題主要是利用三角形的外角大于和它不相鄰的任一內(nèi)角來分析.

二、填空題

16.在矩形A8CZ）中，對角線AC,2。相交于點(diǎn)0,若對角線AC=10cm,邊8C=8cm,

則△AB。的周長為.

答案：16cm

解答：在矩形A8CO中，對角線AC,8。相交于點(diǎn)O,對角線AC=10cm,.?./A8C=90。,

OA=OB=-AC=5cm,"：BC=8cm,：.AB=AC1-BC1=6cm,.?.△ABO的周長為：

分析：根據(jù)勾股定理求出邊AB的長度是本題的解題關(guān)鍵.

17.矩形ABCD的兩條對角線相交于O,ZAOB=6Q°,AB=S,則矩形對角線的長.

答案：16

解答：如下圖所示，：四邊形A8CZ）是矩形，.*.OA=O8=OC=OD,AC=BD,又；NAOB

60°,...△AOB是等邊三角形，：.OA^AB=8,：.AC^BD^16.

分析：本題的關(guān)鍵在于△AOB是等邊三角形的判定與其性質(zhì)的利用.

18.矩形的兩條對角線的夾角為60。，一條對角線與短邊的和為15,則短邊的長是

,對角線的長是.

答案：5|10

解答：如下圖所示，ZAOB=6Q°,AB+AC=15；:在矩形ABC。中，ZAOB=60°,.1.△

AOB是正三角形，：.AB^OA,：.AC^2AB,又：AB+AC=15,；.AB=5,AC=10即短邊

分析：矩形的性質(zhì)與兩條對角線的夾角為60。相結(jié)合得到所需的正三角形.

19.矩形A8CD的對角線相交于。，AC^2AB,則△CO。為三角形.

答案：等邊三角形

解答：在矩形A8CD中，AO=OC=OB=OD,'：AC=2AB,：.AO=OB=AB,:.△COD為

等邊三角形.

分析：矩形的兩條對角線相等且平分.

20.如果一個(gè)矩形較短的邊長為5cm,兩條對角線所夾的角為60。，則這個(gè)矩形的面積

是

答案:256cm2

解答：如下圖，AB=5cm,ZAOB=60°,二?在矩形4BCD中，AO=OC=OB=OD,又：/

AOB=60°,.?.△AO8為等邊三角形，VAB=5cm,：.AO=AB=5cm,AC=10cm,.1

BC=s/ACa-AB2=5A/3cm,這個(gè)矩形的面積為：AB.^=25^/3cm2.

D

B

分析：矩形的兩條對角線相等且平分.

三、解答題

答案：

解答：證明：是矩形，：.AD=BC,OA=OB,ZDAB=ZCAB^90°,：.ZOAB=

ZOBA,：.ZDAB-ZOAB=ZCBA~ZOBA,即/DAE=NC8凡'：E,尸分別是OA,OB

的中點(diǎn)，：.AE=-OA,BF=-OB,：,AE=BF,AAADE^ABCF(SAS).

22

(2)若A￡)=4cm,AB=8cm,求。P的長.

答案：J?cm

解答：解：在矩形A8CD中，AZ)=4cm,AB=8cm,：.BC=4cm,DC=8cm,：.BD=

A/BC2+DC2=4，^cm,；.03=2&cm,又..?尸是08的中點(diǎn)，.\。尸=；0B=逐小11.

分析：矩形的兩條對角線相等且平分.

22.如圖，在矩形A2CD中，已知AB=8cm,2C=10cm,折疊矩形的一邊AD,使點(diǎn)。落

在BC邊的中點(diǎn)尸處，折痕為AE,求CE的長.

答案:3cm

解答：解：根據(jù)題意可得：BC=A￡）=AF=10cm,DE=DF,又：在A3尸中，ZABF=90°,

ABF=-JAF2-AB2=6cm,：.FC=BC~BF=4cm,設(shè)CE=x,那么EF=OE=8—x,

又：NC=90。，所以石。2+尸。2=跖2即必+42=（8—%）2,；,x=3,.?.CE=3cm.

分析：通過翻折的性質(zhì)，將所求和已知的線段轉(zhuǎn)換到同一個(gè)三角形中是解題的關(guān)鍵.

23.如圖，在矩形A8CD中，AE平分NBA。，Zl=15°.

(1)求/2的度數(shù).

答案：30。

解答：解：：在矩形A8CO中，AE平分NBA。，Zl=15°,：.ZAEB=ZEAD=45°,：.

Z2=ZA￡B-Z1=3O°.

(2)求證：BO=BE.

答案：3cm

解答：證明：由(1)可知/2=30°,.,.NBAO=60°,,：OA=OB,是等邊三角

形，