高中數(shù)學(xué)數(shù)列綜合練習(xí)題及答案

（完整版）高中數(shù)學(xué)數(shù)列綜合練習(xí)題及答案

一、單選題

1.在自然界中，樹木的分叉、花瓣的數(shù)量、植物種子的排列等都遵循了某種數(shù)學(xué)規(guī)律，直到

13世紀(jì)意大利數(shù)學(xué)家萊昂納多?裴波那契從免子繁殖問題發(fā)現(xiàn)了一組神奇的數(shù)字1,1,2,

3,5,8,13,21,34,它揭示了植物生長(zhǎng)的規(guī)律，我們將其稱為裴波那契數(shù)列，該數(shù)

列也可以表示為也,｝,=a2=1,an+2=an+an+t（neN,）,下面結(jié)論：

①q+4+…+=an+2-1,②a：+a；+.?■+.：=anan+l,③q+a3+.?.+a2n_,=a2n,

④出+能+…=出向-1，則以上正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（）

A.4B.3C.2D.1

2.己知數(shù)列｛q｝滿足：qeN*,6+產(chǎn)］芥j（［可］表示不超過的最大整數(shù)）.設(shè)

當(dāng)確定q=左（二eN,）時(shí)得到q可能的值的個(gè)數(shù)記為力（%）,下列四個(gè)命題：

①力（同1）=1②若此N*且公eN*,“任）=力（陰③若丘N*,則

/信）=為+2&+1④源（1）=1+［工（2）+/⑵+…+力⑵］+［工（3）+&⑶+…+/⑶］.正

確的命題個(gè)數(shù)是（）

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

3.設(shè)正項(xiàng)等比數(shù)列｛叫的前"項(xiàng)和為S”，且〃“?-=5，則卜（）

9%

9

W竺

U

--28一

A.9B.8D.

2727

4.在等差數(shù)列｛〃〃｝中，見=1，。5=5,則4=（）

A.13B.14C.15D.16

5.數(shù)列3,8,15,24,35,…的一個(gè)通項(xiàng)公式4等于（)

A.n2+2B.A?一〃+3C.nr+2nD.2/72+n

6.在等差數(shù)列｛q｝中，若4一%+%-3+45=（，則tan（%+%）=（)

A.B.舊C.-V3D.

3~T

7.記S〃為等比數(shù)列的前〃項(xiàng)和,若包+@=8（4+火）,。2+4+60=1。，則兀=

)

A.45B.75C.80D.90

8.已知等差數(shù)列｛q｝的前〃項(xiàng)和為S〃，若%=2,且、4=邑，則下列說法中正確的是

（）

A.｛〃”｝為遞增數(shù)列B.當(dāng)且僅當(dāng)〃=5時(shí)，S.有最大值

C.不等式S〃>0的解集為｛〃￡N*|〃wio｝D.不等式可>。的解集為無限集

9.在等差數(shù)列｛/｝中，若4+2a2+34+4%=50,則6=()

A.2B.3C.5D.7

10.已知數(shù)列｛“,｝的前"項(xiàng)和為5“，若4=1,??+1=25?(n>l),則々022=()

A.2x32021B.32⑼C.32WUD.2x32020

11.一張報(bào)紙，其厚度為。，面積為。，現(xiàn)將報(bào)紙對(duì)折5次，這時(shí)報(bào)紙的厚度和面積分別是

()

hb

A.32a—B.64a,——

93264

bb

C.128a，D.256。，

128256

12.在等比數(shù)列｛a“+1｝中，/=8,%=26,則%=()

2197

A.80B.242C,-------D.244

8

13.設(shè)等比數(shù)列｛q｝的前〃項(xiàng)和為5.，且有％-2%=5,$3=3,則｛4｝的公比為()

A.g或58.2或勺C.-萬或-5D.—2或一g

14.若等差數(shù)列｛4｝的公差為小前〃項(xiàng)和為S",則"d<0"是"S"有最大值”的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

15.在等差數(shù)列｛4｝中，若4+%=18,則4=()

A.9B.18C.27D.36

二、填空題

16."中國(guó)剩余定理"又稱"孫子定理"，可見于中國(guó)南北朝時(shí)期的數(shù)學(xué)著作《孫子算經(jīng)》卷

下中的“物不知數(shù)”問題，原文如下：今有物不知其數(shù)，三三數(shù)之剩二，五五數(shù)之剩三，七

七數(shù)之剩二.問物幾何？現(xiàn)有一個(gè)相關(guān)的問題：將1到2022這2022個(gè)自然數(shù)中被3除余2

且被5除余4的數(shù)按照從小到大的順序排成一列，構(gòu)成一個(gè)數(shù)列14,29,44...,則該數(shù)列

的項(xiàng)數(shù)為.

17.如圖①，1個(gè)白色圓圈對(duì)應(yīng)1個(gè)黑色圓圈和1個(gè)白色圓圈，1個(gè)黑色圓圈對(duì)應(yīng)2個(gè)黑

色圓圈和1個(gè)白色圓圈，如果按照這種規(guī)律進(jìn)行下去，圖②中第7行的黑色圓圈的個(gè)數(shù)為

第?行

O第2行

八小

oe?第3行

①

18.已知數(shù)列｛4｝與也｝滿足4用-4=2(%-2).若』=3〃+5,且q=l,則數(shù)列｛4｝

的通項(xiàng)公式為.

19.已知等差數(shù)列｛%｝滿足4=1,g=2,則｛%｝的前5項(xiàng)和醺=.

20.已知數(shù)列｛4｝滿足＜=%=0，|%+L%|=2,則｛4｝前5項(xiàng)和的最大值為.

三、解答題

21.已知數(shù)列｛an｝各項(xiàng)均為正數(shù)，且對(duì)任意“GN,均滿足

("1)%=#+23+33+…+〃3.

2

⑴計(jì)算S,02,的值；

⑵試根據(jù)(D的計(jì)算，利用合情推理歸納出｛an｝的通項(xiàng)公式.

22.已知數(shù)列｛4“｝中，4=1,%=2,4,+2=機(jī)，(kwl)，〃eN*，a2+a3,a,+a4,

4+為成等差數(shù)列.

⑴求k的值和｛%｝的通項(xiàng)公式；

⑵設(shè)4=「"’〃粕，求數(shù)列出｝的前n項(xiàng)和5“.

log2a?,“為偶數(shù)

23.為了方便出行，緩解交通壓力，保護(hù)環(huán)境，推進(jìn)生態(tài)文明建設(shè)，市政府大力推行共享

交通工具出行.某企業(yè)根據(jù)市場(chǎng)發(fā)展情況推出共享單車和共享電動(dòng)車兩種產(chǎn)品，市場(chǎng)調(diào)查

發(fā)現(xiàn)，由于兩種產(chǎn)品中共享電動(dòng)車速度更快，故更受市民歡迎.一般使用共享電動(dòng)車的概

率為使用共享單車的概率為該企業(yè)為了促進(jìn)市民消費(fèi)，使用共享電動(dòng)車一次記2

分，使用共享單車一次記1分，每個(gè)市民各次使用共享交通工具選擇意愿相互獨(dú)立，市民

之間選擇意愿也相互獨(dú)立.

⑴從首次使用共享交通工具的市民中隨機(jī)抽取3人，記總得分為隨機(jī)變量X,求X的分布

列和數(shù)學(xué)期望；

(2)記某一市民已使用該企業(yè)共享交通工具的累計(jì)得分恰為〃分的概率為。(比如：C表示

累計(jì)得分為1分的概率，2表示累計(jì)得分為2分的概率，〃eN*),試探求匕與4T之間

的關(guān)系，并求數(shù)列｛2｝的通項(xiàng)公式.

,、(4+1,〃為奇數(shù)，

24.已知等差數(shù)列｛%｝中，4=3,6=6,且勿頭

[2"”,〃為偶數(shù).

⑴求數(shù)列出｝的通項(xiàng)公式及前20項(xiàng)和；

(2)若c“=也”，記數(shù)列仁｝的前n項(xiàng)和為5?，求S,.

【參考答案】

一、單選題

1.A

【解析】

【分析】

利用累加法求解計(jì)算并判斷.

【詳解】

由己知at+a2=a3,a2+a3=a4a?+an+i=a?+2,

累加得q+42+…+4"=。"+2-1>

由q=a2,a2+a,=a4,a4+a5=a6，…，a2n_2+a2n_t=a2?,

累加得4+4+…+。2,1=。2”；

由q+〃2=%，%+%=%，…，”2“T+，“=，

累加整理得。+4+~+。2“=出“+1-1;

aa

因?yàn)閚+2=?+4用，4+2（%+。向）=

a；+a；+,??+%=%+玲+%+”?+《；=。3a4+%，,,+a；

=a4a5+a；+..?+a；=???=an_{an+a：=anan+l,

故選：A

【點(diǎn)睛】

求解本題的關(guān)鍵是利用遞推關(guān)系%+2=a“+a,,M（〃eN*）,由累加法求解.

2.D

【解析】

【分析】

根據(jù)/，伏）定義，即對(duì)a,,=%確定的可能值，利用歸納法得出生的個(gè)數(shù)，即<（&）的值，

從而判斷各命題.

【詳解】

①人（而可=1,即用=聞1,因此出=2021（若,任N*,則6eN*,因此由只能

是整數(shù)），所以4=202-,只有一種可能，因此人（、麗）=1,正確；

②若人W且AeW,以伙）=力儼）

aH*,所以a“+i=%,反之若a.x=k壬N*,因此a.eN*一定成立，所以必有

an=k\從而以⑻=力（3）成立，正確；

③若力化）=2公+2&+1,

對(duì)力（%），a&=kwN*,則為=%2或%="","2+2，收+2k，

若％=，公+i（i=L2,…,2幻,則。2=公+"于是4=（/+i>,共2人種,

若見=公，則生=/或%=獷1，M3,…，，這里對(duì)應(yīng)任何一種情況，

必有q=a；,因此共有2^+1種，

所以力（幻=2r+1+2%,正確；

④源。）=1+［以2）+以少…+J⑵］+［工（3）+?。?）+…+J（3）］

若4+2=1，則4+i=l或4+1=血，”"+|=6，

若an+l=>/2,則。0=2,若4用=,則?！?3,

若”.+1=1，則％=i或75,

同樣若q=血，則%-|=2,若q=豆，貝|J《I=3,

因此加式I）=￡+1⑴+工⑵+力（3）=力⑴+九⑵+九⑶+力⑵+力（3）=…,

依此類推，源⑴=僅）+"（2）+力（2）+…+￡,（2）］+［＜⑶+&3）+…+￡（3）］

又出=1時(shí),只能有6=1,即4⑴=1,

所以源⑴=1+［力（2）+右（2）+…+＜（2）］+［工（3）+人（3）+…+力（3）］成立，命題④正

確.

正確命題有4個(gè).

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題考查數(shù)列新定義，解題難點(diǎn)是確定數(shù)列的項(xiàng)，方法是歸納法（數(shù)學(xué)歸納法的思想），

關(guān)鍵是數(shù)列的定義，當(dāng)。“任N*時(shí)，。向="」為正整數(shù)，a.eN*時(shí)，。,用=瘋可能為整

數(shù)也可以不是整數(shù)，這樣才能正確明的取值確定%一的取值，從而得出結(jié)論，本題屬于難

題.

3.D

【解析】

【分析】

由已知求出公比夕后，結(jié)合等比數(shù)列前〃項(xiàng)和公式可得結(jié)論.

【詳解】

因?yàn)榈?用=白，所以的*=焉，所以鬻&=八!，又?jǐn)?shù)列是正項(xiàng)數(shù)列，所以

yUnUn+l）

1bt［S.邑+/S、31328

q=1所以，：n=i+/=i+q）=方.

jJ3?3n//

故選：D.

4.A

【解析】

【分析】

利用等差數(shù)列的基本量，即可求解.

【詳解】

設(shè)等差數(shù)列的公差為d,%=%+2"=1+2"=5,解得：d=2,

則為=%+4〃=13.

故選：A

5.C

【解析】

【分析】

用排除法對(duì)選項(xiàng)逐一分析即可.

【詳解】

本題為選擇題，可用排除法，對(duì)選項(xiàng)逐一分析,

對(duì)于A答案,展開可得數(shù)列為3,6,11……，不符合題意，故A錯(cuò)誤，

對(duì)于B答案,展開可得數(shù)列為3,5,9......,不符合題意，故B錯(cuò)誤，

對(duì)于D答案,展開可得數(shù)列為3,10,21.…，不符合題意，故D錯(cuò)誤,

對(duì)于C答案,展開可得數(shù)列為3,8,15,24.......符合題意，故C正確，

故選：C

6.C

【解析】

【分析】

TT

先由等差數(shù)列的性質(zhì)求得為=g,再由處+%=2%代入計(jì)算即可求解.

【詳解】

由等差數(shù)列性質(zhì)知q+a”=%+%，.,.勾-丹+生-%+4=%=(，

/.tan(%+%)=tan(2%)=lan笄=-tany=一6.

故選：C.

7.B

【解析】

【分析】

設(shè)等比數(shù)列｛q｝的公比為4,根據(jù)已知條件求出夕的值，利用等比數(shù)列的求和公式以及基

本性質(zhì)可求得幾的值.

【詳解】

設(shè)等比數(shù)列｛4｝的公比為夕，由4+4=8(4+%)可知4心+“543=8(4+4),所以

q=2,

S[2=(4+%+勾)+(生+&+4o)+(%+%+4I)+(。4+6+42)

=!(?,+?6+"“>)+(%+?6+“">)+4(“2+4+《0)+/(%+。6+《0)

(a2+%+4(>)]—nl+q+q-=10x^—+14-2+4^=75,

故選：B.

8.C

【解析】

【分析】

利用J=跖可求得％=。，結(jié)合等差數(shù)列通項(xiàng)公式可得4，4；由此可求得“”S“；根據(jù)S,的

二次函數(shù)性和可,的一次函數(shù)性依次判斷各個(gè)選項(xiàng)即可.

【詳解】

由S,=S7得：%+4+%=57-$4=0，，36=0,即4=0；

/、f&=4+2d=2

設(shè)等差數(shù)列｛”“｝的公差為d,則5+5d=0，解得：.

對(duì)于A,?.々〈O,，｛4｝為遞減數(shù)列，A錯(cuò)誤；

,.?"cN",，當(dāng)〃=5或〃=6時(shí)，S.取得最大值，B錯(cuò)誤；

對(duì)于C,由-g〃2+?〃>o得：...”GO,C正確；

in22

對(duì)于D,,：an=--—(?-1)=--n+4,，由?！?gt;0得：n<6,

則不等式為>0的解集為｛1,2,3,4,5｝,為有限集，D錯(cuò)誤.

故選：C.

9.C

【解析】

【分析】

根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式直接計(jì)算可得.

【詳解】

設(shè)等差數(shù)列｛4｝的公差為d,

則由q+24+343+44=50可得10q+20d=50,即q+24=5,即%=5.

故選：C.

10.D

【解析】

【分析】

利用。向=5向-S“得出⑸｝是等比數(shù)列，求得通項(xiàng)公式52以后可得/竣.

【詳解】

??+,=25?(?>1),得S“r-S”=2S,,,所以S“"=3S",又因?yàn)?=q=l,

所以｛5“｝為等比數(shù)列，其中首項(xiàng)為1，公比為3,

20212020

所a2022=2s2021=2x1x3'-=2x3.

故選：D.

11.A

【解析】

【分析】

根據(jù)對(duì)折一次后所得厚度和面積與此前厚度和面積的比例關(guān)系可直接得到結(jié)果.

【詳解】

每對(duì)折一次，厚度變?yōu)樵瓉淼?倍，則對(duì)折5次后的報(bào)紙厚度為25a=32〃；

每對(duì)折一次，面積變?yōu)樵瓉淼?，則對(duì)折5次后的報(bào)紙面積為d6=2.

232

故選：A.

12.B

【解析】

【分析】

根據(jù)題意求出等比數(shù)列｛4+1｝的公比和首項(xiàng)，即可求出生+1,從而求出生.

【詳解】

等比數(shù)歹J也,+1｝的公比4==y=3,

a5+1=(/+1)/=9x3,=243,

/.a5=242.

故選：B.

13.C

【解析】

【分析】

由等比數(shù)列的基本量法求解.

【詳解】

設(shè)公比為。，由%-24=5,$3=3,得

f2c<q=41

%q-2qq=5a=-

i2c，解得，1或，｝7,

面+a聞+他=3[^=--[g=_5

故選：C.

14.A

【解析】

【分析】

根據(jù)等差數(shù)列前n項(xiàng)和的函數(shù)性質(zhì)及4=0的等差數(shù)列，判斷題設(shè)條件間的推出關(guān)系，結(jié)合

充分、必要性定義即可知答案.

【詳解】

由等差數(shù)列前n項(xiàng)和：5“=，〃2+(4_1).〃，

當(dāng)d<0時(shí)，由品對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)性質(zhì)：開口向下，即S,有最大值；

若等差數(shù)列僅“｝是各項(xiàng)為。的常數(shù)列，5.最大值也為0,此時(shí)"=0；

所以"d<0"是"S“有最大值〃的充分不必要條件.

故選：A

15.A

【解析】

【分析】

根據(jù)等差中項(xiàng)，可知/+%=2%，由此即可求出結(jié)果.

【詳解】

因?yàn)閿?shù)列｛q｝是等差數(shù)列，由等差中項(xiàng)可知4+%=2%=18,

所以4=9.

故選：A.

二、填空題

16.134

【解析】

【分析】

被3除余2的數(shù)構(gòu)成以首項(xiàng)為2,公差為3的等差數(shù)列被5除余4的數(shù)構(gòu)成以

首項(xiàng)為4,公差為5的等差數(shù)列％=5〃-1,分析觀察可知所得數(shù)列以首項(xiàng)為14,公差為

15的等差數(shù)列%=15〃-1.

【詳解】

自然數(shù)中被3除余2的數(shù)從小到大依次構(gòu)成以首項(xiàng)為2,公差為3的等差數(shù)列，即

an=2+3（〃-=

自然數(shù)中被5除余4的數(shù)從小到大依次構(gòu)成以首項(xiàng)為4,公差為5的等差數(shù)列，即

bn=4+5（n-l）=5n-l

所得數(shù)列以首項(xiàng)為14,公差為15的等差數(shù)列，即4=14+15（n-1）=15”—1

丁cn=3（5”）一1=%,，J=5（3”）一1=%,

；.%=15〃-1滿足題意，則15”—142022

2023

即“4第，則〃=134

故答案為：134.

17.144

【解析】

【分析】

設(shè)為第"行中黑色圓圈的個(gè)數(shù)，2為第〃行中白色圓圈的個(gè)數(shù)，則。,出=2q+2，

bn+l=a?+hn,即可推出結(jié)果.

【詳解】

設(shè)為第n行中黑色圓圈的個(gè)數(shù)，2為第”行中白色圓圈的個(gè)數(shù)，因?yàn)槊總€(gè)白色圓圈對(duì)應(yīng)

下一行的一白一黑兩個(gè)圓圈，一個(gè)黑色圓圈對(duì)應(yīng)下一行的1個(gè)白色圓圈和2個(gè)黑色圓圈，

所以4川=24+b?,bll+l=a?+bn,

又q=0,々=1,則的=1,方2=1;%=2x1+1=3,

4=1+1=2；q=2x3+2=8,“=3+2=5；a5=2x8+5=21,b5=8+5=13；

a6=2x21+13=55,h6=21+13=34；%=2x55+34=144.

故答案為：144.

18.??=6n-5

【解析】

【分析】

判斷出數(shù)列｛q｝為4=1,公差為6的等差數(shù)列，直接寫出通項(xiàng)公式.

【詳解】

因?yàn)槊?3〃+5,所以也用-2=3(〃+1)+5-(3“+5)=3,

所以4+1-%=6,

所以數(shù)列｛《,｝為4=1,公差為6的等差數(shù)列，

所以q=q+(n-l)6=6/i-5.

故答案為：??=6/1-5.

19.15

【解析】

【分析】

根據(jù)題意，求出等差數(shù)列的基本量，然后，利用等差數(shù)列的求和公式直接求解.

【詳解】

設(shè)等差數(shù)列｛q｝的公差為d,所以，d=a2-a,=\,所以，可得見=4+(〃-l)d=〃，進(jìn)而

有原=5(4；%)=56=]5.

故答案為：15

20.8

【解析】

【分析】

由題，,,用-4,|=2去絕對(duì)值得a“+|=勺±2,又4=a5=0,故4,%間需要兩個(gè)+2和兩個(gè)

-2,要使｛4/前5項(xiàng)和最大，只需使生、%、%盡可能大即可.

【詳解】

由|。向一4,|=2得4+1=4,±2,又q==0，

即％=%±2±2±2±2=±2±2±2±2=0,所以需要兩個(gè)+2和兩個(gè)-2,

｛%｝前5項(xiàng)和$5=4+%+毋+4+%=。2+%+%，要得到最大值，%、%、肉需要盡可能

大，故的=2,4=2,從而出=4,則另有最大值，為8,

故答案為：8

三、解答題

21.(1)4=1；生=2；%=3

(2)??=?

【解析】

【分析】

(1)直接將“=1,2,3代入即可得結(jié)果；

(2)通過卬，%的值即可得結(jié)果.

⑴

因?yàn)閷?duì)任意"GN,an>0,

當(dāng)n=l時(shí)，解得％=1；

2

當(dāng)"=2時(shí)，(2+1)%=7^77,解得“2=2；

2

當(dāng)”3時(shí)，任旭=17777,解得％=3.

2

(2)

根據(jù)(1)所計(jì)算出6,02,S的值，

利用合情推理可歸納出｛an｝的通項(xiàng)公式為q=〃.

”一1

2~,〃為奇數(shù)

22.⑴2=2,??="

2乙〃為偶數(shù)

2"-1(〃+2)2,〃為偶數(shù)

3+-r-

⑵s“=

2"+l-ln2-l

------1-----，〃為奇數(shù)

38

【解析】

【分析】

(1)由的+生，4+4，4+生成等差數(shù)列，可求得。2=。3=2,即可求出A值和通項(xiàng)公

式.

(2)由(1)可求出也｝的通項(xiàng)公式，分類討論即可求出數(shù)列色｝的前。項(xiàng)和S,.

⑴

解：a2+a3,a,+aA,%+%成等差數(shù)列，

所以2(03+4)=02+6+4+6，

得%-%=%-七，得仕-1)%=(左一1)里，

因?yàn)樯瞎?,所以〃2=%=2,

2個(gè),〃為奇數(shù)

所以k=&=2,得

q2之〃為偶數(shù)

(2)

2"1〃為奇數(shù)

由⑴知’或=3〃為偶數(shù)

2

當(dāng)。為偶數(shù)時(shí)，設(shè)"=2k,

可得S"=S2k=b[+,+…+〃2+4+,?，+%

=20+22+---+22A-2+^(2+4+---+2A:)

1-4*1(2+2fc)fc4*-1(^+1)*

=-------H-X-------------=---------1------------，

1-42232

2"1+(〃+2)”

即

38

當(dāng)“為奇數(shù)時(shí)，設(shè)〃=2k—1,

可得s“=%-i=〃+4+…+%-i+以+%+…+%.2

=20+22+---+2M-2+|(2+4+---+2JI-2)

1-4*1(2+2Z-2)(k-l)4*-1上仕一1)

=--------1---X------------------------=---------1------------,

1-42232

2n+'-ln2-\

即S〃=----------1--------.

38

2”一1n+2)/?

-------+/為偶數(shù)

38

綜上所述，S?=<

2旬7n2-

4----，-〃-為奇數(shù)

38

23.⑴分布列見解析，E(X)=4.8

⑵3，"弓93「V

【解析】

【分析】

(1)X的取值為3,456,討論每個(gè)取值的具體情況即可求出分布列和數(shù)學(xué)期望；

⑵當(dāng)?shù)梅譃閚-1時(shí)，下一個(gè)得分為2則與得分為n構(gòu)成對(duì)立事件，利用對(duì)立事件的性質(zhì),

可以求得與與之間的關(guān)系.

⑴

X=3,則三人首次都是使用共享單車，P(X

則有一人使用電動(dòng)車，另外兩人使用共享單車，P(X=4)=C；|x2丫—36

X=4,