人教A版(新教材)高中數學選擇性必修第二冊學案：4 2 1 第2課時 等差數列的判定與實際應用

人教A版(新教材)高中數學選擇性必修第二冊PAGEPAGE1第2課時等差數列的判定與實際應用學習目標1.體會等差數列與一元一次函數的關系.2.掌握等差數列的判斷與證明方法.3.能根據實例抽象出等差數列進行簡單的應用．導語當數列是等差數列時，可以根據公式進行一些計算，但對數列來說，如何判斷是否為等差數列呢？一、等差數列的通項公式與函數的關系問題1觀察等差數列的通項公式，你認為它與我們熟悉的哪一類函數有關？〖提示〗由于an＝a1＋(n－1)d＝dn＋(a1－d)，故an是函數f(x)＝dx＋(a1－d)當x＝n時的函數值，即an＝f(n)，點(n，an)則是函數f(x)＝dx＋(a1－d)圖象上的均勻分布的孤立的點，而d是直線f(x)＝dx＋(a1－d)的斜率，記為d＝eq\f(an－a1,n－1)(n≥2)，實際上，如果已知直線上任意兩點(n，an)，(m，am)，由斜率的公式可知d＝eq\f(an－am,n－m)，公差d的符號決定了數列的單調性，d>0時，數列{an}為遞增數列，d＝0時，數列{an}為常數列，d<0時，數列{an}為遞減數列．知識梳理若數列{an}是等差數列，首項為a1，公差為d，則an＝f(n)＝a1＋(n－1)d＝nd＋(a1－d)．(1)點(n，an)落在直線y＝dx＋(a1－d)上，這條直線的斜率為d，在y軸上的截距為a1－d_；(2)這些點的橫坐標每增加1，函數值增加d.例1已知數列{an}是等差數列，且an＝an2＋n(n∈N*)，則實數a＝________.〖答案〗0〖解析〗∵{an}是等差數列，且an＝an2＋n，∴an是關于n的一次函數，∴a＝0.反思感悟熟練掌握等差數列是關于n的一次函數這一結構特征，并且公差d是一次項系數，它的符號決定了數列的單調性，d>0時，數列{an}為遞增數列，d＝0時，數列{an}為常數列，d<0時，數列{an}為遞減數列．跟蹤訓練1等差數列20,17,14,11，…中第一個負數項是()A．第7項 B．第8項C．第9項 D．第10項〖答案〗B〖解析〗∵a1＝20，d＝－3，∴an＝20＋(n－1)×(－3)＝23－3n，∴a7＝2>0，a8＝－1<0.∴數列中第一個負數項是第8項．二、等差數列的判定與證明問題2如果一個數列的前有限項是等差數列，那么這個數列是等差數列嗎？〖提示〗不一定，證明一個數列是等差數列，一定要體現出任意性．知識梳理證明等差數列的方法(1)定義法：an－an－1＝d(n≥2)．(2)等差中項法：2an＝an－1＋an＋1(n≥2)．(3)通項公式法：an＝a1＋(n－1)d.例2已知數列{an}滿足a1＝2，an＋1＝eq\f(2an,an＋2).(1)數列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)))是否為等差數列？說明理由；(2)求an.解(1)數列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)))是等差數列，理由如下：∵a1＝2，an＋1＝eq\f(2an,an＋2)，∴eq\f(1,an＋1)＝eq\f(an＋2,2an)＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,an)，∴eq\f(1,an＋1)－eq\f(1,an)＝eq\f(1,2)，即eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)))是首項為eq\f(1,a1)＝eq\f(1,2)，公差為d＝eq\f(1,2)的等差數列．(2)由(1)可知eq\f(1,an)＝eq\f(1,a1)＋(n－1)d＝eq\f(n,2)，∴an＝eq\f(2,n)，n∈N*.延伸探究將本例中的條件“a1＝2，an＋1＝eq\f(2an,an＋2)”換為“a1＝4，an＝4－eq\f(4,an－1)(n>1)，記bn＝eq\f(1,an－2)”．(1)試證明數列{bn}為等差數列；(2)求數列{an}的通項公式．(1)證明bn＋1－bn＝eq\f(1,an＋1－2)－eq\f(1,an－2)＝eq\f(1,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4－\f(4,an)))－2)－eq\f(1,an－2)＝eq\f(an,2an－2)－eq\f(1,an－2)＝eq\f(an－2,2an－2)＝eq\f(1,2).又b1＝eq\f(1,a1－2)＝eq\f(1,2)，∴數列{bn}是首項為eq\f(1,2)，公差為eq\f(1,2)的等差數列．(2)解由(1)知bn＝eq\f(1,2)＋(n－1)×eq\f(1,2)＝eq\f(1,2)n.∵bn＝eq\f(1,an－2)，∴an＝eq\f(1,bn)＋2＝eq\f(2,n)＋2.∴數列{an}的通項公式為an＝eq\f(2,n)＋2，n∈N*.反思感悟判斷等差數列的方法(1)定義法an＋1－an＝d(n∈N*)或an－an－1＝d(n≥2，n∈N*)?數列{an}是等差數列.(2)等差中項法2an＋1＝an＋an＋2(n∈N*)?數列{an}為等差數列．(3)通項公式法數列{an}的通項公式形如an＝pn＋q(p，q為常數)?數列{an}為等差數列．跟蹤訓練2已知數列{an}滿足(an＋1－1)(an－1)＝3(an－an＋1)，a1＝2，令bn＝eq\f(1,an－1).(1)證明：數列{bn}是等差數列；(2)求數列{an}的通項公式．(1)證明∵eq\f(1,an＋1－1)－eq\f(1,an－1)＝eq\f(an－an＋1,an＋1－1an－1)＝eq\f(1,3)，∴bn＋1－bn＝eq\f(1,3)，又b1＝eq\f(1,a1－1)＝1，∴{bn}是首項為1，公差為eq\f(1,3)的等差數列．(2)解由(1)知bn＝eq\f(1,3)n＋eq\f(2,3)，∴an－1＝eq\f(3,n＋2)，∴an＝eq\f(n＋5,n＋2).三、等差數列的實際應用例3某公司經銷一種數碼產品，第一年可獲利200萬元，從第二年起由于市場競爭方面的原因，其利潤每年比上一年減少20萬元，按照這一規(guī)律，如果公司不開發(fā)新產品，也不調整經營策略，從哪一年起，該公司經銷這一產品將虧損？解設從第一年起，第n年的利潤為an萬元，則a1＝200，an＋1－an＝－20(n∈N*)，∴每年的利潤構成一個等差數列{an}，從而an＝a1＋(n－1)d＝200＋(n－1)×(－20)＝220－20n.若an<0，則該公司經銷這一產品將虧損．∴由an＝220－20n<0，得n>11，即從第12年起，該公司經銷此產品將虧損．反思感悟解決實際應用問題，首先要認真領會題意，根據題目條件，尋找有用的信息．若一組數按次序“定量”增加或減少時，則這組數成等差數列．合理地構建等差數列模型是解決這類問題的關鍵，在解題過程中，一定要分清首項、項數等關鍵的問題．跟蹤訓練3《九章算術》是我國古代數學名著，其中有道“竹九問題”：“今有竹九節(jié)，下三節(jié)容量四升，上四節(jié)容量三升．問中間二節(jié)欲均容各多少？”意思為：今有竹九節(jié)，下三節(jié)容量之和為4升，上四節(jié)容量之和為3升，且每一節(jié)容量變化均勻(即每節(jié)容量成等差數列)，則中間兩節(jié)各多少容量？在這個問題中，中間一節(jié)的容量為______升．〖答案〗eq\f(67,66)〖解析〗設從最上至最下每節(jié)的容量構成等差數列{an}，公差為d，由題意知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＋a2＋a3＋a4＝3，,a7＋a8＋a9＝4，))則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4a1＋6d＝3，,3a1＋21d＝4，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝\f(13,22)，,d＝\f(7,66)，))故a5＝a1＋4d＝eq\f(67,66).1．知識清單：(1)等差數列的通項公式與一次函數的關系．(2)證明等差數列的方法．(3)等差數列的簡單應用．2．方法歸納：定義法、公式法．3．常見誤區(qū)：實際問題中項數的確定．1．(多選)下列命題中，正確的是()A．數列6,4,2,0是公差為2的等差數列B．數列a，a－1，a－2，a－3是公差為－1的等差數列C．等差數列的通項公式一定能寫成an＝kn＋b的形式(k，b為常數)D．數列{2n＋1}(n∈N*)是等差數列〖答案〗BCD〖解析〗對于A，數列6,4,2,0的公差為－2，A錯誤；對于B，數列a，a－1，a－2，a－3是公差為－1的等差數列，所以B正確；對于CD，由于等差數列的通項公式是關于n的一次函數，即an＝kn＋b，所以CD正確．2．下列各數列中首項為零的等差數列是()A．an＝2n B．an＝2(n－1)C．an＝2n D．an＝2n－1〖答案〗B〖解析〗A項，首項為2；B項，該數列首項為2(1－1)＝0，符合題意；C項，首項為2；D項，首項為1.3．下列命題中，與命題“{an}為等差數列”不等價的是()A．an＋1＝an＋d(d為常數)B．數列{－an}是等差數列C．數列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)))是等差數列D．an＋1是an與an＋2的等差中項〖答案〗C〖解析〗對于A，即an＋1－an＝d，故A正確．對于B，數列{－an}是等差數列，則－an＋1＝－an＋d，d為常數．故an＋1－an＝－d，－d為常數．故B正確．對于C，數列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)))是等差數列，則eq\f(1,an＋1)－eq\f(1,an)＝d，d為常數．不能推導出{an}為等差數列．故C錯誤．D正確．4．某市出租車的計價標準為1.2元/km，起步價為10元，即最初的4km(不含4km)計費10元．如果某