【沖刺985、211之2023屆新高考題型模擬訓(xùn)練】34 雙空題綜合問題（新高考）解析版-高考數(shù)學(xué)備考復(fù)習(xí)重點(diǎn)資料歸納

【沖刺985、211名校之2023屆新高考題型模擬訓(xùn)練】

專題34雙空題綜合問題(新高考通用)

1.(2023?湖南邵陽?統(tǒng)考二模)已知數(shù)列仇｝滿足勾=2,〃*=2(〃+2”“(〃GN*),設(shè)數(shù)

列｛%｝的前〃項(xiàng)和為S”，則數(shù)列｛為｝的通項(xiàng)公式為為=,5“+2=.

【答案]W+”).2"T(/_〃+2卜2"

【分析】由題得%1~=2(〃+2),利用累乘法得a“=qx&x四X」￡=(〃2+〃).2"T,通

過錯(cuò)位相減法求得S“，進(jìn)而得出答案.

【詳解】因?yàn)橛挠?2(〃+2”“，且4=2=0,所以%L=2(〃+2),

ann

則當(dāng)〃N2時(shí)，

%a,a八2x32x42x(n+l)/八(\d

a=a,x—x」xx—fl=2x-----x------x---x—~-2=n(7i+l)-2=(〃2+〃)?2.

n442a,I12(?-l)''I'

又當(dāng)”=1時(shí)，4=2符合上式，

故”“=(〃2+").2"1.

,1

由5?=at+a2+■?■+0“=(1X2)X2°+(2X3)X2'■+----Fn(M+l)-2'"①

2S?=lx2x2l+---+(n-l)/i-2n-'+/?(/?+l)-2,,(2)

①-②得

-5?=2-n(/?+l)-2"+4-2l+6-22+---+2M-2,,-|=-/i(n+l)-2,,+(l-2'+2-22+3-23+---+n-2,').

4-7；,=1-2'+2-22+3-23+---+M-2",③

27；=b22+2-234--+(n-l)-2n+n-2B+l,④

③一④得-7；=21+(22+23+-+2")-小2向，一小2"”=(一"+1>2'm-2

+

；.Tn=(n-]y2"'+2.

故—S〃=—〃(〃+1)?2"+(〃—1)?2"+,+2,

則S“=(〃2一”+2>2”—2,即5,+2=(”2-"+2>2”.

故答案為：(”2+〃>2"T,(n2-n+2)-2n.

2.(2023?湖南?模擬預(yù)測(cè))已知箱中裝有10個(gè)不同的小球，其中2個(gè)紅球、3個(gè)黑球和5個(gè)

白球，從該箱中有放回地依次取出3個(gè)小球，設(shè)變量4為取出3個(gè)球中紅球的個(gè)數(shù)，則J的

方差。(4)=;3個(gè)小球顏色互不相同的概率是.

【答案】25卷

【分析】由題意分析4的所有可能取值，分別求出對(duì)應(yīng)的概率，根據(jù)公式求數(shù)學(xué)期望和方差

即可，再由獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率及排列求概率即可.

【詳解】由題可得，4的所有可能取值分別為0,1，2,3,

M“0)=小也:

1031000

2xGxC；384

。(€=1)=

-io5-1000

々c、22x8xd96

iooo

23_8

^fyE(^)=0x^-+lx-^+2x-^-+3x-^-3

',10001000100010005

所以。⑷=(o_|51238496812

x------x------x------

100010001000+卜-|)100025

一次抽取抽到紅球的概率為二2，抽到黑球的概率」為二3，抽到白球的概率為三5,

2359

所以3次抽取抽到3個(gè)小球顏色互不相同的概率是尸=A：x^x歷x記=立.

129

故答案為：石；

3.(2023?湖南邵陽?統(tǒng)考一模)已知圓/+/+2%-4丫-5=0與圓*2+丁+21=。相交于

A,3兩點(diǎn)，則公共弦A3所在的直線方程為,|AB|=.

【答案】y=-i；2

【分析】先求出公共弦方程，再利用幾何法求弦長(zhǎng).

【詳解】由圓/+/+2x-4y-5=0與圓/+9+2x-l=0,可得公共弦A5所在的直線方

程為：(X2+/+2%-4J--5)-(X24-/+2X-1)=0,即y=T.

因?yàn)閳A/+/+2；(：-1=0的圓心。(—1,0),半徑為

所以圓心0(—1,0)到直線y=—l的距離為1,所以1A網(wǎng)=2萬1=2.

故答案為：＞=-1；2.

4.(2023?湖南?模擬預(yù)測(cè))已知數(shù)列｛q｝的各項(xiàng)都是正數(shù)，=4,(〃€N)若數(shù)列｛q｝

2(一1產(chǎn)

各項(xiàng)單調(diào)遞增，則首項(xiàng)6的取值范圍是__________；當(dāng)4=：時(shí)，記勿=匚—，若

341T

k<b,+b2++b2l<k+^,則整數(shù)z=.

【答案】（0,2）-4

【分析】根據(jù)正項(xiàng)數(shù)列｛4｝各項(xiàng)單調(diào)遞增，可得出。“-。.=。3-24”<0,化簡(jiǎn)求出

a,用e（l,2）,由此可得首項(xiàng)外的取值范圍：再由裂項(xiàng)相消法求出偽+4++與的表達(dá)式，然

后求其范圍，即可得出答案.

【詳解】由題意，正數(shù)數(shù)列｛%｝是單調(diào)遞增數(shù)列，且<i-4用=4,2a?+l<0

且<i-%=4,>°，解得4+1e（1，2），

€（1,2）,/.^-氏G（0*2）,

又由晨「a“+i=可，

9

q=（,且數(shù)列｛為｝是遞增數(shù)歹IJ,.,.%￡（1,2）,

,917

..._4<_彳+——<-3".整數(shù)左二汽.

2沏2

故答案為：（0,2）；-4.

5.（2023?吉林?統(tǒng)考二模）意大利數(shù)學(xué)家傲波那契在研究兔子繁殖問題時(shí)發(fā)現(xiàn)了數(shù)列1,1,

2,3,5,8,13,…，數(shù)列中的每一項(xiàng)被稱為斐波那契數(shù)，記作F".己知耳=1,用=1,

F"="+F吁2（weN>）且n>2）.

（1）若斐波那契數(shù)尸"除以4所得的余數(shù)按原順序構(gòu)成數(shù)列｛%｝,則6+生+4+%必=

（2）若^2024=a>則￡+8+居+工022=.

【答案】2697a-1##-]+a

【分析】（1）根據(jù)帶余除法的性質(zhì)，總結(jié)數(shù)列規(guī)律，可得答案;

（2）利用遞推公式，結(jié)合裂項(xiàng)相消，可得答案.

【詳解】(1)由題意，耳+4=1+4=01,貝IJq=l,瑪+4=1+4=01,則4=1,

由工=4+馬，則心除以4的余數(shù)為（1+1）+4=02,即4=2,

由6=鳥+月，則入除以4的余數(shù)為（1+2）+4=03,即4=3,

由片=心+吊，則心除以4的余數(shù)為（3+2）+4=11,即6=1，

由外=吊+月，則”除以4的余數(shù)為（3+1）+4=10,即4=0,

由巴=片+打，則用除以4的余數(shù)為（0+1）+4=01,即%=1,

由&=入+鳥，則外除以4的余數(shù)為（0+1）+4=01,即％f

故由斐波那契數(shù)尸,除以4的余數(shù)按原順序構(gòu)成的數(shù)列{%},是以6為最小正周期的數(shù)列,

因?yàn)?023+6=3371,所以4+出+%+…+出023=8x337+1=2697；

（2）由斐波那契數(shù)%的遞推關(guān)系可知：〃>2時(shí)￡-2="-耳7,且耳=8=1,弱。24=〃，

所以6+鳥++鳥022=（4—8）+（工一居）++（4024一鳥023）=8024-瑪L

故答案為：2697,a-\

6.（2023?福建漳州?統(tǒng)考三模汨知橢圓cj+g=l（空8>0）的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4,離心率為半，

P,Q為C上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且直線OP與3斜率之積為（。為坐標(biāo)原點(diǎn)），則橢圓C的短

4

軸長(zhǎng)為，|。尸「+|。02=.

【答案】25

【分析】根據(jù)橢圓長(zhǎng)軸長(zhǎng)、離心率可求得b，由此可得短軸長(zhǎng)及橢圓方程;設(shè)P（2cosa,sine）,

Q（2cos￡,sin⑶，根據(jù)斜率關(guān)系，結(jié)合兩角和差公式可整理得到a-6=]+E（AeZ）,利

用兩點(diǎn)間距離公式，結(jié)合誘導(dǎo)公式和同角三角函數(shù)關(guān)系可求得結(jié)果.

【詳解】?.橢圓C的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為2a=4,二。=2,又離心率6=￡=3，.“=6

a2

:,b=y/a2-c2=1-，橢圓C的短軸長(zhǎng)為給=2，.,?橢圓。:?+丁=1；

設(shè)尸(2cosa,sina),(2(2cos/?,sin/7),

,7sinasin[3sinasinB1八..八/八

k-K=------------------=---------------=---,/.cosacosp+sinasin/>=cos(cr-/7)=0,

OPOO2cosa2cos夕4cosacos/?4''

a-4=5+航(keZ)

+|OQ『=4cos?a+sin?a+4cos2尸+sin?0

=4cos21]+E+/?J+sin[5+E+/?J+4cos2>5+sin2/?

=4sin??+cos'￡+4cos2/7+sin?4=5.

故答案為：2；5.

【點(diǎn)睛】關(guān)健點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查橢圓的幾何性質(zhì)，求解距離平方和的關(guān)鍵是能夠通過三角換

元的方式，結(jié)合斜率關(guān)系得到M力所滿足的關(guān)系式，進(jìn)而結(jié)合誘導(dǎo)公式來進(jìn)行求解.

7.(2023?湖南永州?統(tǒng)考二模)對(duì)平面上兩點(diǎn)A,8,滿足鬻=必幾*1)的點(diǎn)P的軌跡是一個(gè)

\PB\

圓，這個(gè)圓最先由古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn)，命名為阿波羅尼斯圓，稱點(diǎn)AB是此圓的

一對(duì)阿波羅點(diǎn).不在圓上的任意一點(diǎn)都可以與關(guān)于此圓的另一個(gè)點(diǎn)組成一對(duì)阿波羅點(diǎn)，且這

一對(duì)阿波羅點(diǎn)與圓心在同一直線上，其中一點(diǎn)在圓內(nèi)，另一點(diǎn)在圓外，系數(shù)2只與阿波羅點(diǎn)

相對(duì)于圓的位置有關(guān).已知A(l,0),5(4,0),0(0,3),與A8兩點(diǎn)距離比是3的點(diǎn)戶的軌跡

方程是C:x?+y2=4,則2|PZ)|+|PB|的最小值是:最大值是3|叫-2|「。的最大

值是.

【答案】2布5

【分析】根據(jù)阿波羅尼斯圓定義可確定|PB|=2|R4|,利用三角形三邊關(guān)系可知當(dāng)AP,。三

點(diǎn)共線時(shí).，2\PD\+2\PA\^2\AD\,即為所求最小值；根據(jù)阿波羅點(diǎn)的定義，可設(shè)點(diǎn)。關(guān)于

圓C對(duì)應(yīng)的阿波羅尼斯點(diǎn)為E(0,〃?)，由阿波羅尼斯圓定義可構(gòu)造方程求得加點(diǎn)坐標(biāo)和對(duì)應(yīng)

的矛的值，得到引明=2|叫，利用三角形三邊關(guān)系可知當(dāng)A,E,P三點(diǎn)共線時(shí)，

3|E4|-3|PE|=3|A￡|,即為所求最大值.

\PA\1....

由題意知：扁=/，即|尸叫=2|網(wǎng)，

:.2\PC\+\PB\=2\PD\+2\PA\>2\AD\(當(dāng)且僅當(dāng)A,P,D二點(diǎn)按順序共線時(shí)取等號(hào)),

X|AD|-5/l2+32=V10,mlPq+lPBl的最小值為2后;

設(shè)點(diǎn)。關(guān)于圓C對(duì)應(yīng)的阿波羅尼斯點(diǎn)為磯0,㈤,

則點(diǎn)（0,2）,（0,-2）到點(diǎn)RE的距離之比為:￡=d=霜，

解得：矛=|,則E（0,g）,

:.\PE\=^\PD\,即3歸4=2|即，

:.3\PA\-2\PD\=3|啊-3|「耳43|AE|（當(dāng)且僅當(dāng)AE,尸三點(diǎn)按順序共線時(shí)取等號(hào)）,

又|AE|=J12+（gj=g,,3|PA|—21Pq的最大值是5.

故答案為：2加；5.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查利用圓的幾何性質(zhì)，求解距離之和與距離之差最值的問題：

解題關(guān)鍵是充分理解阿波羅尼斯圓的定義，將所求距離進(jìn)行等距離的轉(zhuǎn)化，從而將問題轉(zhuǎn)化

為三角形三邊關(guān)系問題，從而確定當(dāng)無法構(gòu)成三角形時(shí)取得對(duì)應(yīng)的最值.

8.（2023?重慶?統(tǒng)考一模）已知橢圓C：m+*_=1（。＞人＞0）的左、右焦點(diǎn)分別為與心，O

a2h-

為坐標(biāo)原點(diǎn)，A為橢圓C上頂點(diǎn)，過"平行于A5的直線/與橢圓交于以。兩點(diǎn)，M為弦

34-

3c的中點(diǎn)且直線/的斜率與OM的斜率乘積為-：，則橢圓C的離心率為；若

IOM|=3J歷，則直線/的方程為.

【答案】1##0.5Gx+y+156=0

【分析】應(yīng)用點(diǎn)差法轉(zhuǎn)化斜率積可求離心率，設(shè)直線與橢圓聯(lián)立，應(yīng)用已知距離可求直線方程.

【詳解】設(shè)點(diǎn)C（5,為），B（x2y2）,C,B在橢圓上

、3

因?yàn)槠呶葑?=一］

.y2fx+%=3

X2-X1玉+%24.............

由①-②得￥-4+*-*=0,即立在+正子=0,所以=—與

61abbab一玉+x2a

由③得-*■=-?,

4=r則常，

過K平行于AE的直線,與橢圓交于8,C兩點(diǎn),

=

??^BC^AF2M(0,Z?),/s(C,0),

**-kBC=--=-A/3,

設(shè)宜線BC為y=-百工+加

y=-\/3x+m

聯(lián)立3//,可得15/_8百陽+4m2_4/=0

晨十萬

??.一常則俘3,

QOM上j+0=3M,警^=9x19.由題意加<0

.,.m=-15百

:.丫=-瓜+\5瓜即直線/的方程為后x+y+156=0

故答案為：g；J3x+y+156=()

22

9.(2023?遼寧?遼寧實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè))已知橢圓C：］r+春v?=l(a>b>0)的右焦點(diǎn)為尸,

上頂點(diǎn)為8,線段叱的垂直平分線交C于M,N兩點(diǎn)，交》軸于點(diǎn)P,0為坐標(biāo)原點(diǎn)，

8P=2PO，則C的離心率為；若,8WN的周長(zhǎng)為8,則。=.

【答案】y##0.5&

【分析】由條件確定"c關(guān)系，結(jié)合a,b,c關(guān)系，根據(jù)離心率的定義求離心率，

71

【詳解】由8P=2PO，忸。=6,可得忸H=F，|04=?，

連接PF,因?yàn)辄c(diǎn)P在線段B尸的垂直平分線上，所以仍尸|=怛"=與，

在RtZ\PO尸中，由勾股定理得葉+|0尸「=|PF「，所以+'2=(|“

整理得從=3c?,所以C2=3C?,即/=公2,所以C的離心率e=￡=L

a2

OF\CI

在RtZXBOF中，cosZBFO=-^j=-=-,所以NB尸0=60。.

設(shè)直線MN交x軸于點(diǎn)F，，交BF于點(diǎn)、H,

在RtAHFF中，NHFF'=NBFO=60.HF=-BF=-a,

22

由忻州=—l^^=a=2c,所以尸為C的左焦點(diǎn)，

11cosNHFF'

又|八固=|昕|,所以113MN的周長(zhǎng)等于"MN的周長(zhǎng)，

又&FMN的周長(zhǎng)為+|N曰+四廣|+|7VF[=船，_BMN的周長(zhǎng)為8,

所以4a=8?

解得a=2,所以c=l,

故b=\la2—c2=^3-

10.（2023?浙江?校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）在三棱錐ABCD中，對(duì)棱A5=8=2&，A。=8C=石，

AC=BD=#,則該三棱錐的外接球體積為，內(nèi)切球表面積為.

【答案】聲9聲9##今2,71

【分析】將三棱錐A-58補(bǔ)成長(zhǎng)方體，計(jì)算出長(zhǎng)方體長(zhǎng)、寬、高的值，可計(jì)算出該三棱錐

A-BCD的外接球半徑，計(jì)算出A-88的表面積與體積，利用等體積法可求得該三棱錐內(nèi)

切球的半徑，利用球體的體積和表面積公式可求得結(jié)果.

【詳解】因?yàn)槿忮FA-BCD每組時(shí)棱棱長(zhǎng)相等，所以可以把三棱錐ABCZ）放入長(zhǎng)方體中，

設(shè)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別為x、卜、z,如下圖所示：

則+y?=2V2?\]x24-z2=5/5?y1+=后,解得x=y=2,z=l，

_________a

外接球直徑2H=Jf+y2+z2=3,其半徑為R=；,

114

三棱錐A—38的體積V=xyz--xyzx4=-xyz=-,

633

在..ABC中，AC=BC=y/5,AB=2E，取48的中點(diǎn)E,連接CE,如下圖所示:

則CEJ.A8,且CE=,3-力爐=5所以，S&ABC=；AB.CE=-J^,

因?yàn)槿忮FA-BCD的每個(gè)面的三邊分別為石、石、2立，

所以，三棱錐A-3CD的表面積為5=4530=4",

設(shè)三棱錐4-8c。的內(nèi)切球半徑為，，則V=gSr,可得r=義=二=】員，

354766

所以該三棱錐的外接球體積為:不廬=2環(huán)內(nèi)切球表面積為4萬產(chǎn)=日".

9?

故答案為：5兀；-JT.

H.（2023?遼寧沈陽?統(tǒng)考一模）三棱錐4一58中，ZABC=ZCBD=ZDBA=60,BC=BD=2,

點(diǎn)E為CD中點(diǎn)，ABE的面積為20，則AB與平面BC￡＞所成角的正弦值為,此三

棱錐外接球的體積為.

_.j...-J61/T32兀32

【答案】'—##—yj6Jt

3333

【分析】設(shè)AOJ■平面BCD,垂足為O,可證得。在NC即的平分線BE上，易知48與平

面BCZ）所成角即為NA6E,cosZABC=cosNAB￡cos/EBC,從而可求得sin/ABE,利用

三角形面積公式可求得A8=4,結(jié)合已知條件與余弦定理，勾股定理可證得

ZACB=ZADB=90,從而A3為外接球直徑，利用球的體積計(jì)算即可.

【詳解】設(shè)AOL平面88,垂足為0,如圖，

過。作OFJ.8C于點(diǎn)尸，過。作OG_L3O于G,連接A￡AG.

由A。J■平面BCD,3Cu平面BCD,得AO1BC,

又OFcAO=O,OF,AO<^^-^AFO,8C/平面AFO,

ARu平面AFO,得AFqBC,同理AGLBD,

從而—ABF.ABG,_8FO均為直角?:角形，

ZABC=ZCBD=ZDBA=60,BC=BD=2,

：.OF=OG,則。在/C8O的平分線8E上，易知A8與平面BCD所成角即為/ABE.

../AUC_BF,?_BF

.cosNA3C=,cos/ABE=,cos/zEcBoC-,

ABABBO

cosZABC=cosZABEcosZ.EBC,

又NABC=6G/EBC=30°,

cosZABE=^-,即sinNABE=巫，則AB與平面88所成角的正弦值為逅，

333

又BE=6,SABE=；AB.BEsinZABE=2應(yīng),解得A8=4,

乂ZABC=NABD=60\BC=BD=2,

AC2=AB2+BC2-2A8-3c.eosZABC=12,

AC2+BC2=AB2.同理AD2+BD2=AB2，

二.NACB=/A￡)B=90°，.:AB為外接球直徑，

二三棱錐外接球的體積為

故答案為：乎，苧.

12.（2023?云南昆明?昆明一中校考模擬預(yù)測(cè)）已知菱形ABC。中，ZA=60。，AB=a,現(xiàn)將

此菱形沿對(duì)角線8。對(duì)折，在折的過程中，當(dāng)三棱錐C-ABD體積最大時(shí)，AC=；

當(dāng)三棱錐C-AB。表面積最大時(shí)，AC=.

【答案】^a##典42a.

22

【分析】當(dāng)三棱錐C-ABO的體積最大時(shí)，平面皿?_1平面。8,進(jìn)而求得AC的長(zhǎng)度:

先求得三棱錐C-ABD的表面積的表達(dá)式，進(jìn)而求得表面積最大時(shí)AC的長(zhǎng)度.

【詳解】當(dāng)平面4531.平面C￡>B時(shí)，三棱錐C-A5O體積最大，

此時(shí)AC=J（冬卜惇j=爭(zhēng):

三棱錐C-43。的表面枳S=S/UD/?+SMDB+SAADC+S/MBC，

=2xL"sin6()o=正

SADB+SCDB

~2sADB

22

S/\ADC+=2S/SK=2x-ABBCsinZABC=a2sinZABC

2

所以三棱錐C-ABD的表面積S=3/+/sin^BC,

2

故當(dāng)NA8C=90。，即ABJBC時(shí)，表面積最大，此時(shí)4C=&”.

故答案為：；42a-

2

13.（2023?江蘇泰州?統(tǒng)考一模）已知正四棱錐S-4J8的所有棱長(zhǎng)都為1,點(diǎn)E在側(cè)棱SC上,

過點(diǎn)E且垂直于SC的平面截該棱錐，得到截面多邊形「，則「的邊數(shù)至多為,r

的面積的最大值為.

【分析】空1,數(shù)形結(jié)合，作平面與平面比產(chǎn)平行，即可解決；空2,令三=力，得

SF

EP=—A.,SP=A,PB=}-A.,BQ=]-A,PQ=}-A,,NQ=MP=ABD=,得

2'

cos/DFB=-；,sin/DFB=也,^S=SEMP+SPMNQ=~+>/22,即可解決.

【詳解】取SC中點(diǎn)EB/LSCORLSC

「.SC_L平面或火，

作平面與平面平行，如圖至多為五邊形.

/3

EP=2BF=*^,SP=ASB=2,

:.PB=l-A,BQ=l-A,PQ=l-A,NQ=MP=ABD=-j2A,

33

1

所以cos/DFB=44

2x可自3

22

所以sin/OFB=逑.

3

斫以SEM-X叵&?巫=占、

CMP22234

因?yàn)镸V與NQ的夾角為以與BD夾角，而SA與83垂直,

SpMNQ=>/5彳（1-，），

所以5=&2（1-；1）+422=-：夜儲(chǔ)+及；1,

當(dāng)4T時(shí)，S取最大值變.

33

故答案為：5：YZ

3

14.（2023?黑龍江哈爾濱?哈爾濱三中?？家荒＃┤鐖D，橢圓*■+崇■=1（。>匕>0）與雙曲線

22

工-與=1（〃?>0,〃>0）有公共焦點(diǎn)K（-c，0）,居（c,0）（c>0）,橢圓的離心率為4,雙曲線

nrnr

的離心率為S,點(diǎn)P為兩曲線的一個(gè)公共點(diǎn),且4P鳥=60。，則4+2=；/為△KP行

e\e2

的內(nèi)心，耳,/,G三點(diǎn)共線，且GP/P=0，x軸上點(diǎn)人呂滿足人//加，BG=/JGP,則

22+4的最小值為.

【答案】41+正

2

【分析】第一空：利用橢圓與雙曲線的定義及性質(zhì)，結(jié)合圖形建立方程，求出|P耳|,|尸瑪|,

在利用余弦定理建立關(guān)于離心率的齊次方程解出即可：

第二空：由/為△耳尸鳥的內(nèi)心，得出角平分線，利用角平分線的性質(zhì)結(jié)合平面向量得出

風(fēng)=6及|〃|=02,代入矛+〃2中利用基本不等式求最值即可.

【詳解】①由題意得橢圓與雙曲線的焦距為|4凰=2c,

橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為為，雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)為2%，

不妨設(shè)點(diǎn)P在雙曲線的右支上，

由雙曲線的定義：\PF^-\PF^=2m,

由橢圓的定義：\PF]+\PF2\=2a,

可得:\PFt\=m+a,\PF2\=a-m,

又4"=60。，由余弦定理得:

附『+|陽2-閥卜閘|=|陰「=4,

即+(々一機(jī)-(m+6r)(?-n?)=4c2,

整理得：a2+3/n2=4c2,

b-a23m2.13.

所以：——=4^>—+—=4；

cce：e2

②/為6的內(nèi)心，

PF.\IP\|PR|

所以名為NP4鳥的角平分線，則有局=浦，同理：渦=端，

~\AF2\-\AI\'

I/Pl\PF}\+PF22a1||..

所以阿=|A娟+A瑪

因?yàn)?=幾/尸，

所以加卜可用，故網(wǎng)=q,

/為△耳尸鳥的內(nèi)心，耳,/,G三點(diǎn)共線，

GB\由凡|BF.

即-G為NP耳B的角平分線，則有蝙=舄=景,又忸用工忸片,

PG||PF2|PF、

忸G|[明卜*=2c

1丁=6，即忸G=.GP,

'|PG|\PFt\-PF22m

因?yàn)锽G=〃GP,

所以|叫=|〃||GP|,故1"=.，

所以無+/?=e：+e；=；(/+4)4+4

4ye]e2.

當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)=g=02=辰|時(shí)，等號(hào)成立，

e2e\

所以筋+的最小值為］+乎，

故答案為：4,1+^^.

2

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：離心率的求解方法，

（1）直接法：由題意知道兄。利用公式求解即可；

（2）一般間接法：由題意知道。力或瓦c利用4c的關(guān)系式求出c,在利用公式計(jì)算即可；

（3）齊次式方程法：建立關(guān)于離心率e的方程求解.

15.（2022?廣東汕頭?統(tǒng)考三模）如圖，DE是邊長(zhǎng)為2g的正三角形4BC的一條中位線，將

△AQE沿DE翻折至△AOE,當(dāng)三棱錐C-ABE的體積最大時(shí)，四棱錐4-BCOE外接球

。的表面積為;過EC的中點(diǎn)M作球。的截面，則所得截面圓面積的最小值是

【分析】第一空：先判斷出平面AOE,平面BCDE時(shí)，三棱錐C-ABE的體積最大，求出

AG,找出四棱錐A-BCDE外接球的球心O,由勾股定理求出半徑，即可求得表面積；第

二空：先判斷出當(dāng)垂直于截面圓時(shí)，截面圓面積最小，即EC為截面圓的直徑，再求面

積即可.

第一空：設(shè)A到平面BCDE的距離為力，易得匕-4跖=匕一8￡=:八5詡，SC"E=；S.C為

定值，

要使三棱錐C-ABE的體積最大，即6最大，顯然當(dāng)平面AOEJ.平面BCDE時(shí)，/?最大，

取8c中點(diǎn)?，連接AP交OE于G,

則G為。E中點(diǎn)，連接AG,易得AGJ_OE,又平面ADE。平面BCDE=OE,則AG，平

面BCDE,

即〃最大為AG=；AP=；x陋可彳可=|,易得PE=PD=PB=PC=6,則尸為四

邊形3CDE的外心，

設(shè)△4QE的外心為N,過P作直線/L平面BC0E,易得〃⑶G,則共面，過N作直

線垂直于平面AQE交直線/于。，

易得。即為外接球球心，連接。4，。4即為外接球半徑，易得四邊形MNOP為矩形，則

4N=：AG=I,

ON=GP=AG=^,則。4=JM+OM=半，故外接球o的表面積為4萬x（率）=13萬;

第二空：要使截面圓面積最小，顯然當(dāng)加垂宜于截面圓時(shí)、截面圓半徑最小，面積最小，

又E,C都在球面上，M為EC中點(diǎn)，

顯然EC為截面圓的直徑，又EC=AP=3,則截面圓的面積最小為"1寫j=^.

故答案為：13%；

4

16.（2023?廣東廣州?統(tǒng)考一模）在棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD-AgCQi中，點(diǎn)EE分別是棱

BCCG的中點(diǎn)，P是側(cè)面AORA上的動(dòng)點(diǎn).且PG〃平面則點(diǎn)戶的軌跡長(zhǎng)為

.點(diǎn)尸到直線AF的距離的最小值為.

【答案】顯立

23

【分析】根據(jù)給定條件，作出平面AEF截正方體所得截面，再確定點(diǎn)P的軌跡，計(jì)算長(zhǎng)度

即可；再建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量求出點(diǎn)到直線的距離作答.

【詳解】在正方體"。-AAGA中，連接BG/n.AA，如圖，對(duì)角面ABCQ為矩形,

因?yàn)辄c(diǎn)E、尸分別是棱BCCG的中點(diǎn)，則所〃BCJ/A。，而

即平面AEF截正方體所得截面為梯形AEFR,顯然過點(diǎn)G與平面AEFR平行的平面交平面

8CC￡、平面AORA

分別于因此MN//8CJ/A2,連Mg,平面8MNG、平面4EF。與平面ACgA

分別交于MJ,AF,

因此MCJ/AF,而AM//尸G，即四邊形AMC尸為平行四邊形，于是AM=FG=g，

即點(diǎn)”為⑨的中點(diǎn),，同理N為AD中點(diǎn)'蛆=孝’因?yàn)閯?dòng)點(diǎn)尸始終滿足可〃平面A。'

于是—平面瀏吟，又「在側(cè)面板必上'所以點(diǎn)P的軌跡是線段MN'軌跡長(zhǎng)為爭(zhēng)

以點(diǎn)。為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，則MQ*）,嗎,。,1）,小。,。）,尸（。心）,

則MN=(-L0-),AM=(0,0-),AF=(-1,1」)，令MP=tMN=(--f,0,-r),

222222

l+3r

則有匕1+3/APAF11

AP=4W+MP=(_L,0,3,APAF=4=-/+-

224\AF\326

2

于是點(diǎn)P到直線新的距離

7；也

4393

當(dāng)且僅當(dāng)/=0時(shí)取等號(hào)，所以點(diǎn)P到直線AF的距離的最小值為也

3

故答案為：正；立

23

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：作截面的常用三種方法：直接法，截面的定點(diǎn)在幾何體的棱上；平行線

法，截面與幾何體的兩個(gè)平行平面相交，或者截面上有一條直線與幾何體的某個(gè)面平行；延

長(zhǎng)交線得交點(diǎn)，截面上的點(diǎn)中至少有兩個(gè)點(diǎn)在幾何體的同一平面上.

17.（2022?江蘇徐州?統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知A,B,C,。是半徑為4的球面上四點(diǎn)，E,F

分別為AB,8的中點(diǎn)，A8=4G，CD=2幣,則以￡尸為直徑的球的最小表面積為

；若A,B,C,。不共面,則四面體A3CD的體積的最大值為

【答案】乃里叵

3

【分析】①利用圓的垂徑定理，可求得OE,OF,再利用三角形三邊關(guān)系定理可求得EF的

取值范圍，即可求得以Er為直徑的球的最小表面積②過C作CM4AB,CM=4內(nèi),連接

AM,DM,四邊形為平行四邊形，WOVABCI）=VD_AK=VI,_ACM=VA_I）CM=1,求

得S0cM和〃的最大值即可求解

【詳解】設(shè)球心為O，，（M=O8=OC=QD=4,

分別取AB,CD中點(diǎn)E,/知OE="一（2扃=2,OF=/42-（可=3

OF-OE<EF<OE+OF=>l<EF<5,

以￡尸為直徑的球的最小表面積為4萬二="

4

過C作C”&A&CM=4百，連接四邊形為平行四邊形，

設(shè)ZDCM=〃,設(shè)A到平面0cM距離為〃

VABCD=VD-ABC=VD-ACM=VA-DCM=?5DCA//z=?X?XX2>/7Sm6?-//

Vsin6><l,%也為E到平面CDM的距離，h<EF<OE+OF=5

（%a，）max=；X3x4也x2不X5="產(chǎn)

故答案為：小型包.

3

18.（2022?湖北武漢?模擬預(yù)測(cè)）函數(shù)f（x）=-—（4＞0，人＞。）的圖象類似于漢字“冏”字，

被稱為“冏函數(shù)”，并把其與y軸的交點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)稱為“冏點(diǎn)”，以“冏點(diǎn)”為圓心，凡

是與“冏函數(shù)”有公共點(diǎn)的圓，皆稱之為“冏圓”，則當(dāng)〃=1力=1時(shí)，函數(shù)的“冏點(diǎn)”坐標(biāo)為

；此時(shí)函數(shù)f（x）的所有“冏圓”中，面積的最小值為.

【答案】（0,1）3萬

【分析】第一空：直接求出與y軸的交點(diǎn)即可求解；第二空：畫出函數(shù)圖象，考慮y軸及y

軸右側(cè)的圖象，》軸卜方的函數(shù)圖象顯然過點(diǎn)RO,-D時(shí)面積最小，x軸上方的圖象，設(shè)出

公共點(diǎn)，表示出半徑的平方，借助二次函數(shù)求出最小值，再比較得出半徑最小值即可求解.

【詳解】第一空：由題意知：，。）=亦「xx±l,/（0）=-1,故與y軸的交點(diǎn)為（0,—1）,

貝廣冏點(diǎn)”坐標(biāo)為（0,1）；

第二空：畫出函數(shù)圖象如圖所示：

設(shè)僅0,-1）,c（o,D,圓心為c（o,i）,要使“冏圓”面積最小，只需要考慮y軸及y軸右側(cè)的圖

象，

當(dāng)圓C過點(diǎn)8（0,T）時(shí)，其半徑為2,是和X軸下方的函數(shù)圖象有公共點(diǎn)的所有“冏圓”中半徑

的最小值；

當(dāng)圓C和X軸上方且y軸右側(cè)的函數(shù)圖象有公共點(diǎn)A時(shí)，設(shè)4九一二），相＞1,則點(diǎn)A到圓

m-Y

心C的距離的平方為/=加+(—二-1)2,

令f=-^—J>0,則相=(1+32+什_])2=r+4+2_2,+2=,_1]-2(?--)+4

m-\tttIt)t

當(dāng)f-1=l即切=匕好時(shí)，建最小為3,2>G，顯然在所有“冏圓”中，該圓半徑最小，故

t2

面積的最小值為3萬.

故答案為：(0,1)：3n.

19.(2022?江蘇蘇州?校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè))任何一個(gè)復(fù)數(shù)z=a+萬(其中a、bwR,i為虛數(shù)單

位)都可以表示成：z=r(cos，+isin。)的形式，通常稱之為復(fù)數(shù)z的三角形式.法國(guó)數(shù)學(xué)家

棣莫弗發(fā)現(xiàn)：z"=[r(cos，+isin。)]"=r"(cos〃6+isin,吩(“eN"),我們稱這個(gè)結(jié)論為棣莫

-JT

弗定理.根據(jù)以上信息，若r=l,￡時(shí)，則22儂=________;對(duì)于V〃wN*/N2,

4

<(Ji—1)7T.(&-1)乃

>[cos------+sm------]=.

k=2nn

.7t

sin—

【答案】-i———

1-cos—

n

2022

[分析]利用給定定理直接計(jì)算即得Z；令卬=cos'+isin工，求出等比數(shù)列｛w'-')(n>2)

nn

前n-1項(xiàng)的和，再利用復(fù)數(shù)相等求解作答.

TTTTTT

【詳解】當(dāng)/?=1,￡時(shí)，z=cos￡+isinf,所以

444

z2022=(cos-+isin-)2022=cos(504i+—)+isin(5044+—)=-i；

4422

N*,令w=cos—+isin—,則vv"=(cos—+isin—)n=cos^+isin.7r=-l,

nnnn

w(l-wn~l)_w-wli

\fnGN，〃22,w++w*++wn

1-kV1-W

(1+cos+isin)(1-cos-+isin-)2isinsin—

n

____________-〃孔〃____________H_-

(1-cos"-isin^)(1-cos"+isin")2-2cos冗1-cos冗

nnnnnn

.23,j-iS(k-1)7T.{k—1)7TiS(攵-1)乃?

ffijvv+w~+w++w=/.cos----------4-iXsm----------,則n^cos-----------=0,

人=2幾h幾k=2n

.7C

sin—

sin(k-l)7T

En<冗

k=1-cos

n

.￡

所以￡[cos3+sin—='

nn「71

1i-cos—

n

故答案為：-i;"

1-cos—

n

【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛:涉及復(fù)數(shù)z的n(neN*)次累z"的求和問題，可把z"視為等比數(shù)列｛z"｝的

第〃項(xiàng)，再借助數(shù)列問題求解.

20.(2022?湖南長(zhǎng)沙?雅禮中學(xué)校考二模)已知菱形A8C￡＞的各邊長(zhǎng)為2,NO=60.如圖所示，

將AACB沿AC折起,使得點(diǎn)D到達(dá)點(diǎn)S的位置,連接SB,得到三棱錐S-ABC,此時(shí)SB=3.

則三棱錐S-MC的體積為E是線段SA的中點(diǎn)，點(diǎn)尸在三棱錐S-ABC的外

接球上運(yùn)動(dòng)，且始終保持EF1AC,則點(diǎn)尸的軌跡的周長(zhǎng)為.

【答案】B巫兀

23

【分析】取AC中點(diǎn)”，由題可得ACL平面SMB,進(jìn)而可得三棱錐S-A8C的高

3

h=sinZSBMSB=-,利用錐體體積公式可得三棱錐的體積，設(shè)點(diǎn)F軌跡所在平面為a,

2

則F軌跡為平面a截三棱錐的外接球的截面圓，利用球的截面性質(zhì)求截面圓半徑即得.

【詳解】取AC中點(diǎn)用，則47，助乩47_15加,8河SM=M,

，AC_L平面SM3,SM=MB=E,又S3=3,

/SBM=NMSB=30，