江蘇省揚(yáng)州江都中學(xué)2023年1月高二數(shù)學(xué)期末試卷

江蘇省揚(yáng)州江都中學(xué)2022-2023學(xué)年度高二數(shù)學(xué)期末試卷

注意事項(xiàng)：本試卷共150分，考試時(shí)間120分鐘

一、單選題

1.在等差數(shù)列｛初｝中，。/+。33=34,則〃8=(????)

A.5B.6C.8D.9

2.函數(shù)/(x)=d-3x+l的單調(diào)遞減區(qū)間是()

A.(1,2)B.(-1J)C.1)D.(一8,-1)D(1,+OO)

3.已知x=l是函數(shù)/(幻=加-3丁的極小值點(diǎn)，則f(x)的極小值為(？??？)

A.-1B.0C.1D.2

4.定義”等方差數(shù)列”：如果一個(gè)數(shù)列從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)的平方與它的前一項(xiàng)的平方的差都等于同一個(gè)常

數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列就叫作等方差數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫作該數(shù)列的方公差.設(shè)｛%｝是由正數(shù)組成的等方差數(shù)列，

且方公差為4,@=3夜，則數(shù)列,一--1的前24項(xiàng)和為(????)

A.—B.3C.3亞D.6

2

5.試在拋物線丁=-4x上求一點(diǎn)P,使其到焦點(diǎn)廠的距離與到4(-2,1)的距離之和最小，則最小值為(？??？)

A.3B.4C.1D.2夜

22

6.己知產(chǎn)是橢圓二+馬=1(。＞人＞0)的一個(gè)焦點(diǎn)，若直線丫=質(zhì)與橢圓相交于A,8兩點(diǎn)，且NAF3=60。，

a-b-

則橢圓離心率的取值范圍是(????)

7.函數(shù)/(x)=d—cosx-xsinx+l的圖象大致為(????)

y

y

A.

8.已知f(x)是函數(shù)”x)的導(dǎo)函數(shù)，且對(duì)于任意實(shí)數(shù)%都有八x)=e*(2x-l)+/(x),/(0)=-1,則不等式

〃x)>5e,的解集為(????)

A.(—3,2)B.(—2,3)C.(—x,-3)d(2,+8)D.(~°°?—2)(3,+oo)

二、多選題

9.下列是遞增數(shù)列的是(????)

A.{1+3〃}B.[3"-2n+2]C.{2"-九}D.{(-3f)

已知集合A=(無(wú)刈言

10.=2,集合3={(x,y)|or—y—2=0},且AcB=0,則〃=(????)

A.2B.-2c-4D-1

H.(多選)給出定義：若函數(shù)〃力在。上可導(dǎo)，即1(“)存在，且導(dǎo)函數(shù)r(“在。上也可導(dǎo)，則稱“同

在。上存在二階導(dǎo)函數(shù)，記/"(x)=(r(x)j,若/"(x)<o在。上恒成立，則稱/(X)在。上為凸函數(shù).以下

四個(gè)函數(shù)在(o，M上不是凸函數(shù)的是(????)

A./(x)=sinx-cosxB./(x)=lnx-2x

C./(x)=-父+2x—1D.f{x}=xex

02/18

12.已知尸為橢圓C：：+5=1的左焦點(diǎn)，直線/：丁=履住工0)與橢圓C交于A,B兩點(diǎn),A￡_Lx軸，

垂足為E,8E與橢圓C的另一個(gè)交點(diǎn)為P,則(????)

14「

A.所|+畫的最小值為3B.面積的最大值為加

C.直線8E的斜率為D.2爾為銳角

三、填空題

13.在數(shù)列｛《＞｝中，4=-2,a?+,=1--,則1018的值為.

14.雙曲線3/-丁=3的頂點(diǎn)為.

15.設(shè)數(shù)列｛%｝的前"項(xiàng)和為S,,(〃eN*),則下列能判斷數(shù)列｛《,｝是等差數(shù)列的是.①S,=〃；②

S?=n2+n；(3)S?=2"；④S“=*+”+1.

224/,2

16.已知橢圓Crjv3=與圓C?：/+丫2=5_,若在橢圓G上存在4個(gè)點(diǎn)P,使得由點(diǎn)P

所作的圓G的兩條切線互相垂直，則橢圓Q的離心率的取值范圍是.

四、解答題

*2丫2

17.已知匚［悶_3=一L當(dāng)左為何值時(shí)：

(1)方程表示雙曲線；(2)表示焦點(diǎn)在x軸上的橢圓；(3)表示等軸雙曲線.

18.設(shè)函數(shù)小)=叱+*2-卜-2.

⑴求/(x)在x=-2處的切線方程；(2)求/(x)-8x3的極值點(diǎn)和極值.

19.若數(shù)列｛4｝滿足anall+2=a,",q=3,a2a3=243.

⑴求｛叫的通項(xiàng)公式；(2)若%=噬也，求數(shù)列｛4/“｝的前〃項(xiàng)和S“.

20.已知圓C經(jīng)過(guò)A(2,5),3(5,11)兩點(diǎn)，且圓心G在直線4：丫=-2》上.

⑴求圓G的方程；

(2)已知過(guò)點(diǎn)P(0,2)的直線4與圓G相交，被圓C截得的弦長(zhǎng)為2,求直線4的方程.

21.已知耳(右,0),瑞卜G,0),P(0,l),動(dòng)點(diǎn)M滿足I"制+附閭=閥|+|尸段.

(1)求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程；

(2)設(shè)直線/不經(jīng)過(guò)點(diǎn)P且與動(dòng)點(diǎn)M的軌跡相交于A,8兩點(diǎn).若直線與直線總的斜率和為T.證明:

直線/過(guò)定點(diǎn).

22?已知函數(shù)/(x)=asin￡+/+3，其中。

⑴當(dāng)a=2時(shí)，討論“X)在(0,2")上的單調(diào)性；

(2)若對(duì)任意xe(0,1)都有=e*,求實(shí)數(shù)〃的取值范圍.

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參考答案:

1.A

【分析】直接利用等差數(shù)列的性質(zhì)求解即可

【詳解】因?yàn)椤?是和〃9的等差中項(xiàng)，所以2〃5=〃/+〃9，即2a5=10，〃5=5.

故選：A

2.B

【分析】由導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性的關(guān)系求解，

【詳解】/(x)=x3-3x+l,則1(x)=3f_3,

由3f-3<0得-Ivxvl,

故八X)的單調(diào)遞減區(qū)間是

故選：B

3.A

【分析】對(duì)求導(dǎo)，根據(jù)x=l是f(x)的極小值點(diǎn)，得到廣。)=0,求出。的值，進(jìn)一步得到/*)的極小

值.

【詳解】解：由/(幻=江-3%2,得=

x=l是/&)的極小值點(diǎn)，，/'⑴二。，

」.3〃-6=0,「.。=2,經(jīng)檢驗(yàn)4=2時(shí)，符合題意，

a=2,Af(x)=2x^-3x2,所以，(x)=6f-6x=6x(x-l),則當(dāng)％<0或x>l時(shí)f\x)>0,當(dāng)0vxvl時(shí)

Ax)<0,即〃力在(f,0)和(I,”)上單調(diào)遞增，在(0,1)上單調(diào)遞減，

所以當(dāng)x=0時(shí)函數(shù)取得極大值，x=l時(shí)函數(shù)取得極小值，

??/(1)極小值=

05/18

故選：A.

4.C

【分析】根據(jù)等方差數(shù)列的定義，結(jié)合等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，運(yùn)用裂項(xiàng)相消法進(jìn)行求解即可.

【詳解】因?yàn)椋?｝是方公差為4的等方差數(shù)列，所以匕「。；=4,a；=18,

=%2+（〃-5）?4=18+4〃-20=4〃-2,:.an=y/4n—2,

/-2_=2嚴(yán):二2_

4+4+1-4/-2+J4.+2（4M+2）-（4/2-2）2、'

524=；（回⑹+；（師-悶+…+g（顧-南）

=；（麻-&）=；（7血-&）=3&,

故選：C.

5.A

【分析1求出拋物線焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程，將IPFI轉(zhuǎn)為點(diǎn)P到拋物線準(zhǔn)線的距離1PM由拋物線的定義,

可得|PF|=|尸M|,轉(zhuǎn)化為求|AP|十|PM|的最小值，結(jié)合圖形，即可求解.

【詳解】解：由題意得拋物線的焦點(diǎn)為尸（-1,0），準(zhǔn)線方程為/:x=L

過(guò)點(diǎn)尸作PM_U于點(diǎn)M,由拋物線的定義可得I尸尸1=1PM],所以|尸川+1?尸|=|PA|+1PM|,由圖形可得,

當(dāng)P,A,M三點(diǎn)共線時(shí)，IPAI+IPMI最小，最小值為點(diǎn)4到準(zhǔn)線/:x=l的距離k2-1|=3.

故選：A.

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6.A

【分析】將A,B與橢圓的左、右焦點(diǎn)連接起來(lái)，由橢圓的對(duì)稱性得到一個(gè)平行四邊形，利用橢圓的定義和

余弦定理，結(jié)合重要不等式可得離心率的范圍.

【詳解】如圖設(shè)耳，F(xiàn)分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，設(shè)直線y=丘與橢圓相交于4B,連接

根據(jù)橢圓的對(duì)稱性可得：四邊形廠為平行四邊形.

由橢圓的定義有:|明|+|AF|=2a,\FFt\=2c,ZFtAF=120°

由余弦定理有：歸周2=|A周2+|A尸「_2|A6HAF|cosl20。

即4c2=(|四|+|4尸

所以4cf(|A用+1［同+網(wǎng)］=4/一m=3/

當(dāng)且僅當(dāng)|A用=|4尸|時(shí)取等號(hào)，又了二履的斜率存在，故4,8不可能在》軸上.

所以等號(hào)不能成立，即即《>3,所以l>e>@

a242

故選：A

7.A

【分析】結(jié)合導(dǎo)函數(shù)研究函數(shù)/*)的單調(diào)性，通過(guò)單調(diào)性排除不滿足的圖像，選出答案.

【詳解】因?yàn)?(X)=f—COSX—%sinx+1,所以f(x)=x(2-cosx),因?yàn)橐籭WcosxWl,所以2—cosxX),

07/18

當(dāng)x>0時(shí)，/(x)>0,在(0,+8)上單調(diào)遞增；當(dāng)x<0時(shí)，f\x)<0,在(-8,0)上單調(diào)遞減，由

此可排除選項(xiàng)B,C,D,

故選:A.

8.A

【分析】本題解題關(guān)鍵在于根據(jù)已知構(gòu)造出合適的函數(shù)，(駕)=2x-l，再通過(guò)逆用求導(dǎo)公式得到

冬=f-x+,“，根據(jù)已知條件求得，"的值，從而將抽象不等式轉(zhuǎn)化為一元二次不等式，進(jìn)而得解.

e

【詳解】因?yàn)?'(x)=e'(2x-l)+/(x),所以(工區(qū)］=2萬(wàn)一1，即亦即

I/Je”

/(x)=e*(2-x+w),又〃0)=-1,所以機(jī)=-1,即有f(x)=e*(x2-x-l).

原不等式/(x)>5e■'可等價(jià)于X2-X-1>5,

即￡_x_6>0,解得x的取值范圍是(f，-2)53,+8).

故選：A.

9.AC

【分析】根據(jù)遞增數(shù)列的定義判斷.

【詳解】A.令%=1+3〃，則4用一為=1+3(〃+1)-(1+3〃)=3>0,是遞增數(shù)列，正確；

B.令%=3"-2"2,則q=-5,生=-7,不合題意，錯(cuò)；

C.令4=2"-〃，則％-a"=2""-2"-1=2"-1>0,符合題意.正確;

D.令％=(-3)",則卬=-3,a?=一27,不合題意.錯(cuò).

故選：AC.

10.AD

08/18

【分析】根據(jù)直線平行和兩線交于點(diǎn)（2,3）時(shí)，交集為空集，可得結(jié)果.

【詳解】解：因?yàn)榧?=｛（匕刃|三|=2卜集合3=｛（x,y）|or-y-2=0｝,且AcB=0,

所以直線丫—3=2（了-2）。*2）與直線?7-2=0平行或交于點(diǎn)（2,3）,

當(dāng)兩線平行時(shí)，”=2；

當(dāng)兩線交于點(diǎn)（2,3）時(shí)，2。一3-2=0,解得〃=|.

綜上得。等于|■或2.

故選：AD.

11.AD

【解析】求出每個(gè)選項(xiàng)中函數(shù)的二階導(dǎo)函數(shù)/（X）,并驗(yàn)證.尸（司＜0是否對(duì)任意的恒成立,

由此可得出合適的選項(xiàng).

【詳角隼】對(duì)于A,/r(x)=cosx+sinx=-sinx+cosx=

當(dāng)時(shí)，一（＜］一（＜0,尸⑺＞0,故/（x）=sinx—cosx不是凸函數(shù);

/"(X)=—《<0,故f(x)=lnx-2x是凸函數(shù);

對(duì)于B,/（力=卜,

對(duì)于C,r(x)=—3f+2,對(duì)任意的.f"(x)=Yx<0,故〃6=-丁+2*—1是凸函數(shù);

對(duì)于D,f（x）=（x+l）/,對(duì)任意的xw［（），U，〃（x）=（x+2）/＞0,故/（司=必'不是凸函數(shù).

故選：AD.

12.BC

【分析】A項(xiàng)，先由橢圓與過(guò)原點(diǎn)直線的對(duì)稱性知，|AF|+忸月=4,再利用1的代換利用基本不等式可得

9

最小值了，A項(xiàng)錯(cuò)誤；B項(xiàng)，由直線與橢圓方程聯(lián)立，解得交點(diǎn)坐標(biāo)，得出面積關(guān)于k的函數(shù)關(guān)系式，再

4

09/18

求函數(shù)最值；c項(xiàng)，由對(duì)稱性，可設(shè)則8（-%,-%）,E（$,0）,則可得直線BE的斜率與％的關(guān)

系；D項(xiàng)，先由A、3對(duì)稱且與點(diǎn)P均在橢圓上，可得又由C項(xiàng)可知即B=^￡=43

a~22

得即"48=90。,排除D項(xiàng).

【詳解】對(duì)于A,設(shè)橢圓C的右焦點(diǎn)為尸，，連接AF',BF',

則四邊形AF'BF為平行四邊形，

.?.|AF|+|BF|^\AF\+\AF'\=2a=4,

俞卡向4（明+陽(yáng)）（向+向卜1(町4|町

4(|AF|\BF\)>2

4

當(dāng)且僅當(dāng)忸f|=2|AF|時(shí)等號(hào)成立，A錯(cuò)誤;

x2V2.

-----1-----=1±2

對(duì)于B,由，42得x=

+2k2

y=kx

_1,4kl4

c<72

；._ABE的面積§=萬(wàn)同”.匕一％尸772F百+2網(wǎng)

當(dāng)且僅當(dāng)k=±立時(shí)等號(hào)成立，B正確;

2

對(duì)于C,設(shè)A5,%）,則8（一小一%）,E（%,0）,

故直線8E的斜率須￡=肯言=；?旦=；4，C正確;

玉）十七）N工0Z

對(duì)于D,設(shè)P（m,"）,直線期的斜率額為即八，直線戶B的斜率為%,

?,,.n—y〃十%

則kpA，kpB=:—a

m—xQtn+x0

10/18

2222

又點(diǎn)尸和點(diǎn)A在橢圓C上，.?.‘-+二=1①，至+為=1②,

4242

①一②得二^二一］易知kpB=kBE=gk,

"一/22

則%尊=T，得％=-；，

乙乙K

???原晨陽(yáng)2=（-：）%=-1，,/的=90°，D錯(cuò)誤.

故選：BC.

【分析】判斷出數(shù)列｛《,｝的周期性，由此求得。238.

【詳解】依題意，囚=-2,。1=1-，，

13

所以生=1-5=于

3

所以數(shù)列｛?！ǎ侵芷跒?的數(shù)列,

3

所以“2018="2016+2=出=5?

11/18

故答案為：j3

14.(±1,0)

【分析】根據(jù)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，直接計(jì)算得到該雙曲線的定點(diǎn).

【詳解】由3/_丁=3得，x2-^=\,所以，該雙曲線的頂點(diǎn)為(±1,0).

3

故答案為：(±1,0)

15.①②

【分析】根據(jù)1-，_1=4("22)可以求出4“，再結(jié)合可以判斷是否是等差數(shù)列.

【詳解】①當(dāng)〃*2時(shí)，/=S「S,i=〃-(“—l)=l；當(dāng)”=1也符合?！?1,所以《,=1,數(shù)列｛4｝為等差數(shù)

列；

②當(dāng)“22時(shí)，an=S?-S?_(=/+〃一(〃一I?一(〃-1)=2〃；當(dāng)〃=1時(shí)，q=S1=2,符合=2〃，所以勺=2”，

數(shù)列｛《,｝為等差數(shù)列；

_...[2,M=1

③當(dāng)〃22時(shí)，4,=S“-S,T=2"-2"T=2"T；當(dāng)”=1時(shí)，勾=岳=2,不符合4=2"T,所以見=

12,n>Z

數(shù)列｛〃〃｝不是等差數(shù)列；

2

④當(dāng)“22時(shí)，an=Sn-Sn_｝=/?-(n-l)-l=2n；當(dāng)〃=]時(shí)，4=5[=3,不符合%=2〃，

[3,n=1/.

所以""=2〃〃>2'數(shù)列｛4｝不是等差數(shù)列.

故答案為：①②,

16.(°,用

【分析】設(shè)過(guò)點(diǎn)P的兩條直線與圓G分別切于點(diǎn)/，N,由兩條切線相互垂直，可知|OP卜馬普/?,由題

12/18

^\OP\＞a,解得”叵，又

即可得出結(jié)果.

a4

【詳解】

設(shè)過(guò)P的兩條直線與圓G分別切于點(diǎn)M，N，

知：|08=&乂乎）=^^6,

由兩條切線相互垂直,

又在橢圓G上不存在點(diǎn)P,使得由P所作的圓C2的兩條切線互相垂直,

所以|沖＞°,即得亞/；＞“，所以2＞巫,

5a4

所以橢圓。的離心率e=￡=<逅,又e>0,

4

所以…邛

故答案為:

17.(1火＜一3或1V&V3；

⑵K3；

(3)%〈—3.

【分析】利用雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程中的分母的正負(fù)，即可得出結(jié)論.

x~v-x~v~

【詳解】(1)V—=-1,即廠7+需二=1，方程表示雙曲線,

\-k因一3K-l|K|-3

13/18

???(2_])(因一3)V0,

可得左〈一3或1VZ3；

2222

⑵；匕一年rf即匕+"r】,焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線，

[k-\>0

叫3THxr

：A<k<3；

2222

(3)：&-僅占=-1,即￡+松5=1，焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線，

則歸江.

：.k<~3.

18.(l)7x-y+10=0

159

⑵極大值點(diǎn)戶-1,極小值點(diǎn)x=：,極大值是-1,極小值是-君

【分析】(1)利用導(dǎo)數(shù)的兒何意義求解即可，

(2)令/'(x)=0,求得玉=g,x2=~],然后通過(guò)判斷函數(shù)的單調(diào)性可求出/(x)的極值點(diǎn)和極值

(1)

函數(shù)/。)=/+%2—/一2,函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為/'(%)=3/+2]—1.

/(-2)=12-4-1=7,/(-2)=-8+4+2-2=-4,

/(x)在x=-2處的切線方程：j+4=7(x+2),即7x-y+10=0.

(2)

14/18

令/'(x)=0,3d+2x-l=0,解得玉=；,x2=-\.

當(dāng)時(shí)，可得r(x)<0,即f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間[-11),

x<-l或x>；,可得八x)>0,.,?函數(shù)單調(diào)遞增區(qū)間(—I),(指+8；

.f(x)的極大值點(diǎn)尸-1,極小值點(diǎn)x=1,

：/(-I)=(-1)3+(-1)2-(-1)-2=-1,尺)=(夕+(1)2=

,極大值是-1,極小值是一看59.

19.(1)??=3"

(2電/+(2〃；)3向

【分析】(1)利用等比中項(xiàng)法判斷出｛可｝為等比數(shù)列，設(shè)其公比為q(q*O),由4%=243,求出口=3,

得到包｝的通項(xiàng)公式；

(2)先得到anb?=〃?3",利用錯(cuò)位相減法求和.

(1)因?yàn)閿?shù)列｛%｝滿足。/"+2=4"，6=3，%/=243,所以尸0.所以數(shù)列｛%｝為等比數(shù)列，設(shè)其公

比為q(#0).所以%為=4"〃4=32x/=243,解得：g=3.所以q="?一=3".即｛叫的通項(xiàng)公式為

4,=3、

(2)由(1)可知:bn=log3a?=log,3"=n,所以〃也=63",所以S.=q4+/知++。也

=].3'+2-32++〃?3"??????①①x3得：3S?=l-32+2-33++〃-3"“？??？？？？?②①-②得：

(1—3)S,,=l-3i+l-32+1.33++卜3"_〃3"|(J3)S“二、一3-3"4用所以上=3+(2〃-1)3””

1—34

20.(1)(X-1)2+(^+2)2=2

⑵x=0或15x+8y—16=。

15/18

【分析】3)求得線段A8的中點(diǎn)坐標(biāo)和斜率，可得AB的垂直平分線的方程，與直線y=2x聯(lián)立，可得圓

C的圓心，求得|AC|,可得圓的半徑，進(jìn)而得到圓的方程；

(2)討論直線4的斜率不存在和存在，結(jié)合弦長(zhǎng)公式和點(diǎn)到直線的距離公式，可得所求直線方程.

【詳解】(1)線段的中點(diǎn)為(12),直線A3的斜率為=±=1,

所以線段AB的垂直平分線為y+2=—(x-l),BPy=-x-\,

,fv=-2x4,[x=l

由.?解得0,

U=-x-l[y=_2

所以圓心為C(l,-2),半徑為|47|=。+(-2+3)2=小,

所以圓C的方程為(x-if+(尹2)2=2；

x=0

(2)當(dāng)直線〃的斜率不存在時(shí)，由/.2..2,得y=-l,或y=-3,

〔(1)+(y+2)=2

即直線x=0與圓C相交所得弦長(zhǎng)為-1-(-3)=2,符合題意；

當(dāng)直線4的斜率存在時(shí)，設(shè)直線4的方程為丫="+2,即丘-y+2=0,

由于圓C到4的距離所以丁=1,解得上=-1,

所以y=-"x+2.即15x+8y-16=0,

8

綜上所述，直線%的方程為x=0或15x+8y-16=0.

21.(1)—+/=1；(2)證明見解析.

4

【分析】(1)由題意可得動(dòng)點(diǎn)M的軌跡為橢圓，焦點(diǎn)在X軸上，可得2a=4,2c=2行，從而可求出進(jìn)

而可得動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程；

(2)設(shè)直線P4與直線PB的斜率為勺，&,經(jīng)分析直線/的斜率存在，設(shè)直線/：y="+m(〃?xl),設(shè)

16/18

A(xl,yl),B(x2,y2),將直線方程與橢圓方程聯(lián)立方程組，消去V,利用根與系數(shù)的關(guān)系，再結(jié)合勺+&=-1

可得(2Z+1)粵二+(m-1)番：=(),從而可求得人與〃?的關(guān)系，進(jìn)而可證得結(jié)論

4k+14^+1

【詳解】(1)解：由題意得|M"|+|MKI=|P用+|尸甲=4,則動(dòng)點(diǎn)M的軌跡為橢圓，焦點(diǎn)在X軸上，

fv2

可設(shè)為\+萬(wàn)=1.a=2,c=G,b=lf

故動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程為上+V=1.

4

(2)證明：