《礦物加工數(shù)學模型》擬合模型課件

第3章擬合模型第3章

擬合模型3.1原始數(shù)據(jù)準備 3.2模型形式的確定 3.3用回歸分析作模型參數(shù)估計3.4用迭代法作模型參數(shù)估計3.5正交回歸建模 3.1原始數(shù)據(jù)準備原始數(shù)據(jù)在建立經(jīng)驗模型中的作用建模初期：為模型形式提示參數(shù)估計：計算模型參數(shù)的已知數(shù)據(jù)。模型建立后檢驗模型效果時：比照和篩選模型的依據(jù)3.1原始數(shù)據(jù)準備原始數(shù)據(jù)的兩種來源生產(chǎn)實際觀測或測量數(shù)據(jù)：數(shù)據(jù)真實但不一定完全滿足建模需要。通過主動實驗得到的數(shù)據(jù)：數(shù)據(jù)可用性強，其特點是能夠通過設計以少量實驗獲取足夠數(shù)據(jù)，并能簡化建模過程，但所建模型不一定能完全適應實際生產(chǎn)的需要。模型建立后檢驗模型效果時：比照和篩選模型的依據(jù)3.1原始數(shù)據(jù)準備原始數(shù)據(jù)整理：對收集來的數(shù)據(jù)進行檢查和判別，或舍棄、或修正補償、或保留，最大限度保證數(shù)據(jù)的真實性和精密度、正確度、準確度。數(shù)據(jù)集：原始數(shù)據(jù)的全體。

一般按自變量的升序進行羅列。3.2模型形式的確定3.2.1確定模型形式的方法 3.2.2常用的一元初等函數(shù)模型 3.2.3一元多項式模型次數(shù)的確定 3.2.4多元模型的確定3.2模型形式的確定3.2.1確定模型形式的方法 大原則：由簡到繁。一元線性

可轉化為線性關系的一元非線性函數(shù)

一元多項式函數(shù)

多元線性函數(shù)

多元非線性函數(shù)（二次或三次）兩變量間的函數(shù)關系，可以：1)描散點圖。據(jù)變化趨勢，選擇一定形式的擬合模型。2)如非線性明顯，則對比常用的一元初等函數(shù)，選用某種“可轉化為線性關系”的一元非線性函數(shù)作為擬合模型。3)如找不到合適的一元初等函數(shù)，可以選用一元多項式函數(shù)形式的模型。4)對于一組數(shù)據(jù)集，可分別建立多種模型，再比較篩選。3.2模型形式的確定3.2.2常用的一元初等函數(shù)模型列舉幾種常用的一元初等函數(shù)，給出其圖形及線性化轉換公式。這些非線性初等函數(shù)經(jīng)過簡單坐標變換后，能轉換為線性函數(shù)。之后就能借助線性形式間接計算模型參數(shù)，簡化建模過程。1)指數(shù)函數(shù)；

2)冪函數(shù)；

3)半對數(shù)函數(shù)；

4)S型函數(shù)；3.2模型形式的確定3.2.3一元多項式模型次數(shù)的確定

判別原則：當n階差分為常數(shù)、n+1階差分為零時，可以確定多項式的次數(shù)為n。3.2模型形式的確定3.2.4多元模型的確定優(yōu)先選擇多元線性模型形式。多元非線性模型形式：轉化為多元線性模型（逐項變量代換）形式3.2.5礦物加工中常用曲線的擬合模型1)粒度特性曲線和可選性曲線冪函數(shù)或指數(shù)函數(shù)等形式；2)分配曲線選用S型函數(shù)；3)速率方程指數(shù)函數(shù)或對數(shù)函數(shù)；4)效率曲線選配二次拋物線函數(shù)。3.3用回歸分析作模型參數(shù)估計3.3.1一元線性回歸模型1）回歸系數(shù)的確定直接按（最小二乘法推導出的）公式計算。2）線性假設的顯著性檢驗由相關系數(shù)（或F檢驗）判定自變量x對因變量y是否有影響、并且呈線性。3）回歸模型的精度由剩余標準差估計回歸方程的預測精度。3.3用回歸分析作模型參數(shù)估計3.3.2可線性化的一元非線性模型的參數(shù)估計1)根據(jù)所選模型函數(shù)，進行變量的坐標變換，將非線性方程轉換成線性方程；2)用線性回歸分析方法計算轉換后的線性回歸方程的回歸系數(shù)；3)進行反變換，將線性回歸方程的回歸系數(shù)轉換成非線性方程的回歸系數(shù)；4)計算相關系數(shù)（或F）、剩余平方和及剩余標準差，評價相關程度和預報精度。注意計算相關系數(shù)（或F值）時，要用變換后的實驗數(shù)據(jù)。而計算剩余標準差時，應該用原非線性模型的實驗數(shù)據(jù)得到的回歸方程，對原始數(shù)據(jù)集，不能稱為“最優(yōu)擬合”。最好選配多個類型的模型并確定參數(shù)，然后從中選優(yōu)。3.3用回歸分析作模型參數(shù)估計3.3.3一元多項式回歸模型注：可采用計算機搜索法確定多項式回歸模型的。判斷多項式階的次數(shù)按最小二乘法構造關于模型參數(shù)的方程組用求解線性方程組的數(shù)值方法(如,直接法或迭代法)求出模型參數(shù)3.3用回歸分析作模型參數(shù)估計3.3.4多元回歸模型3.3.4.1二元線性回歸模型

容易推得參數(shù)的計算公式。3.3.4.2多元線性回歸模型

隨模型自變量增多，模型參數(shù)的求解方程組變得負責，不妨直接用數(shù)值方法求解。

還介紹了：復相關系數(shù)法、偏回歸平方和、多元模型的回歸系數(shù)顯著性檢驗。

3.3用回歸分析作模型參數(shù)估計3.3.4.3逐步回歸分析逐步回歸分析：據(jù)原始數(shù)據(jù)建立多元“最優(yōu)”回歸方程的一種方法，即經(jīng)過多次回歸計算，最終選定只包含那些“一定顯著性水平下影響顯著的”重要因素的自變量的回歸方程。其主要計算包括求解方程組、對每個過渡回歸方程用偏回歸平方和進行方差分析和顯著性檢驗。逐步降元回歸分析的基本思想：首先建立一個包含全部影響因素的回歸方程，對其中每個自變量進行顯著性檢驗，剔除其中最不顯著的自變量。然后重新建立余下因素的回歸方程，對其中的各個自變量進行顯著性檢驗，直到所有自變量都顯著為止。礦物加工過程中，所研究模型的自變量數(shù)目一般不會太多，適宜采用逐步降元回歸分析。3.3用回歸分析作模型參數(shù)估計3.3.4.4多元非線性回歸分析建模思路：

將多元的非線性多項式回歸問題轉化為多元線性回歸問題，用多元線性回歸模型的建模方法計算代換后方程的回歸系數(shù)，然后再反代換回去，即得原始非線性回歸方程的回歸系數(shù)。3.4用迭代法作模型參數(shù)估計引入1：當?shù)V物加工數(shù)學模型的形式確定后，將原始模型按最小二乘法轉化為“實驗值與模型計算值之間的偏差的平方和最小”的問題，也就是一個極小值問題。這時，自然可以采用運籌學和/或數(shù)值計算中的最優(yōu)化技術進行處理。引入2：礦物加工擬合模型中，將建模問題轉化為最小值問題后，對非線性單參數(shù)模型，可選用一維搜索方法（如，黃金分割法，牛頓法，等）；對非線性多參數(shù)模型，可選用無約束多變量尋優(yōu)方法（如牛頓法等）。3.4用迭代法作模型參數(shù)估計3.4.1黃金分割法用于模型參數(shù)估計黃金分割法：又稱0.618法，是運籌學‘單變量函數(shù)尋優(yōu)’問題的一種迭代解法。即，對于一定范圍內(nèi)只有一個極值的單變量函數(shù)，通過迭代尋找極值點。舉例：分批浮選速率公式（模型）參數(shù)的求取。模型：

轉化為以下函數(shù)的極小值問題：

再編程求解。3.4用迭代法作模型參數(shù)估計3.4.2阻尼最小二乘法1）高斯-牛頓法把非線性模型函數(shù)在某初始猜測解內(nèi)進行泰勒級數(shù)展開，作為原函數(shù)的線性近似，然后將這個線性近似式代入總偏差平方和函數(shù)的表達式中，將對模型參數(shù)的非線性最小二乘轉換為對模型參數(shù)的線性最小二乘，求解后得到猜測值與真實解的差距△，△與初始猜測解相加作為下一次線性近似的出發(fā)點（即新的猜測解），繼續(xù)迭代（逐次逼近）直到△足夠小為止。2）阻尼最小二乘法在上述“△與猜測解相加作為下一次線性近似的新的猜測解”中，為△乘以一個阻尼因子（一維搜索得到的最優(yōu)步長）。從而使在“不好”的初值下也能收斂。是一種改進的高斯-牛頓法。3.5正交回歸建模引入：借由“正交”的數(shù)據(jù)集或“正交多項式替代”

，使的求解模型參數(shù)的正規(guī)方程組的系數(shù)矩陣變?yōu)閷蔷仃?，從而，很大程度上簡化計算并消去回歸系數(shù)的相關性。3.5正交回歸建模3.5.1一次正交實驗回歸建模一次正交實驗回歸建模的計算過程：(1)確定因子的變化范圍(2)對各因子的水平進行編碼(3)選擇適當?shù)恼槐?，安排實驗并獲取實驗數(shù)據(jù)(4)回歸系數(shù)的計算與