第十一章　微點(diǎn)突破6　磁聚焦　磁發(fā)散-2025物理大一輪復(fù)習(xí)講義人教版

微點(diǎn)突破6磁聚焦磁發(fā)散目標(biāo)要求1.理解“磁聚焦”和“磁發(fā)散”模型。2.學(xué)會(huì)分析磁聚焦和磁發(fā)散問(wèn)題。1．帶電粒子的會(huì)聚如圖甲所示，大量的同種帶正電的粒子，速度大小相同，平行入射到圓形磁場(chǎng)區(qū)域，如果軌跡圓半徑與磁場(chǎng)圓半徑相等(R＝r)，則所有的帶電粒子將從磁場(chǎng)圓的最低點(diǎn)B點(diǎn)射出。(會(huì)聚)證明：四邊形OAO′B為菱形，必是平行四邊形，對(duì)邊平行，OB必平行于AO′(即豎直方向)，可知從A點(diǎn)入射的帶電粒子必然經(jīng)過(guò)B點(diǎn)。2．帶電粒子的發(fā)散如圖乙所示，圓形磁場(chǎng)圓心為O，從P點(diǎn)有大量質(zhì)量為m、電荷量為q的正粒子，以大小相等的速度v沿不同方向射入有界磁場(chǎng)，不計(jì)粒子的重力，如果正粒子軌跡圓半徑與有界圓形磁場(chǎng)半徑相等，則所有粒子射出磁場(chǎng)的方向平行。(發(fā)散)例1(2023·廣東清遠(yuǎn)市期末)如圖所示，xOy坐標(biāo)系中，第三象限存在沿x軸正方向的勻強(qiáng)電場(chǎng)，第四象限與x軸和y軸相切的半徑為R的圓形區(qū)域內(nèi)存在磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B、方向垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)Ⅰ，其邊界與x軸的切點(diǎn)為P點(diǎn)。x軸上方存在垂直紙面向外、磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為eq\f(1,2)B的勻強(qiáng)磁場(chǎng)Ⅱ。在第三象限(－2R，－R)處存在粒子源，帶正電粒子由粒子源無(wú)初速度釋放后進(jìn)入電場(chǎng)，在電場(chǎng)中加速后進(jìn)入圓形磁場(chǎng)Ⅰ，又恰好以垂直于x軸的方向經(jīng)P點(diǎn)進(jìn)入磁場(chǎng)Ⅱ，最后帶電粒子都打到放置在x軸上的收集板上。帶電粒子的比荷均為eq\f(q,m)，不計(jì)粒子間的相互作用和粒子受到的重力。若粒子源在第三象限(－2R，－eq\f(R,2))處，帶電粒子仍能打到放置在x軸上的收集板上，求收集板的最小長(zhǎng)度L。答案(4－2eq\r(3))R解析設(shè)粒子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)Ⅰ中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的半徑為r1，根據(jù)幾何關(guān)系有r1＝R，粒子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)Ⅰ中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，根據(jù)洛倫茲力提供向心力有Bqv＝meq\f(v2,r1)根據(jù)題中條件可知，粒子源改變位置后帶電粒子仍從P點(diǎn)進(jìn)入勻強(qiáng)磁場(chǎng)Ⅱ，設(shè)粒子進(jìn)入勻強(qiáng)磁場(chǎng)Ⅱ時(shí)與x軸正方向的夾角為θ，根據(jù)幾何關(guān)系有r1cosθ＋eq\f(R,2)＝r1根據(jù)幾何關(guān)系可知，此時(shí)帶電粒子打在收集板上的落點(diǎn)到P點(diǎn)的距離d＝2r2sinθ，且r2＝eq\f(mv,q·\f(1,2)B)，收集板的最小長(zhǎng)度L＝2r2－d，解得L＝(4－2eq\r(3))R。例2(2023·江蘇常州市期中)如圖所示，O′PQ是關(guān)于y軸對(duì)稱的四分之一圓，在PQNM區(qū)域有均勻輻向電場(chǎng)，PQ與MN間的電壓為U。一初速度為零的帶正電的粒子從PQ上的任一位置經(jīng)電場(chǎng)加速后都會(huì)從O′進(jìn)入半徑為R、中心位于坐標(biāo)原點(diǎn)O的圓形勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)域，磁場(chǎng)方向垂直xOy平面向外，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B，粒子經(jīng)磁場(chǎng)偏轉(zhuǎn)后都能平行于x軸射出。(1)求帶電粒子的比荷eq\f(q,m)；(2)求沿y軸正方向加速的帶電粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間；(3)求帶電粒子離開(kāi)磁場(chǎng)時(shí)的縱坐標(biāo)范圍。答案(1)eq\f(2U,B2R2)(2)eq\f(BπR2,4U)(3)－eq\f(\r(2),2)R～eq\f(\r(2),2)R解析(1)由動(dòng)能定理可知qU＝eq\f(1,2)mv2由已知條件結(jié)合幾何關(guān)系可知，帶電粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的半徑R0＝R洛倫茲力提供向心力qvB＝meq\f(v2,R0)，得eq\f(q,m)＝eq\f(2U,B2R2)(2)沿y軸正方向入射的帶電粒子，設(shè)其在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)的圓心角為θ，由幾何關(guān)系θ＝90°，所以t＝eq\f(θ,2π)T＝eq\f(1,4)T，且T＝eq\f(2πR,v)，解得t＝eq\f(BπR2,4U)(3)如圖，沿QN方向入射的帶電粒子，離開(kāi)磁場(chǎng)的出射點(diǎn)a在y軸上的投影與O′的距離為Δy＝R＋eq\f(\r(2),2)R，故a點(diǎn)的縱坐標(biāo)ya＝eq\f(\r(2),2)R同理可得，沿PM方向入射的帶電粒子離開(kāi)磁場(chǎng)的出射點(diǎn)b的縱坐標(biāo)yb＝－eq\f(\r(2),2)R帶電粒子離開(kāi)磁場(chǎng)時(shí)的縱坐標(biāo)范圍－eq\f(\r(2),2)R～eq\f(\r(2),2)R1.(多選)(2023·四川成都市一模)如圖，坐標(biāo)原點(diǎn)O有一粒子源，能向坐標(biāo)平面一、二象限內(nèi)發(fā)射大量質(zhì)量為m、電荷量為q的正粒子(不計(jì)重力)，所有粒子速度大小相等，不計(jì)粒子間的相互作用。圓心在(0，R)、半徑為R的圓形區(qū)域內(nèi)，有垂直于坐標(biāo)平面向外的勻強(qiáng)磁場(chǎng)(未畫(huà)出)，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B。磁場(chǎng)右側(cè)有一長(zhǎng)度為R、平行于y軸的光屏，其中心位于(2R，R)。已知初速度沿y軸正方向的粒子經(jīng)過(guò)磁場(chǎng)后，恰能垂直射在光屏上，則()A．粒子速度大小為eq\f(qBR,m)B．所有粒子均能垂直射在光屏上C．能射在光屏上的粒子中，在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)間最長(zhǎng)為eq\f(2πm,3qB)D．能射在光屏上的粒子初速度方向與x軸夾角滿足45°≤θ≤135°答案AC解析由題意，初速度沿y軸正方向的粒子經(jīng)過(guò)磁場(chǎng)后，恰能垂直射在光屏上，有qBv＝meq\f(v2,r)，r＝R，解得v＝eq\f(BqR,m)，A正確；由于所有粒子的速度大小相等，但方向不同，且離開(kāi)磁場(chǎng)區(qū)域的出射點(diǎn)距離O點(diǎn)的豎直高度最大值為2R，并不會(huì)全部垂直打在光屛上，B錯(cuò)誤；如圖甲，由幾何關(guān)系可得，能射在光屏上的粒子中，運(yùn)動(dòng)時(shí)間最長(zhǎng)的對(duì)應(yīng)軌跡的圓心角為eq\f(2,3)π，根據(jù)周期公式T＝eq\f(2πr,v)，可得t＝eq\f(1,3)T＝eq\f(2πm,3Bq)，C正確；若能打在光屛下端，如圖乙，由幾何關(guān)系可得θ1＝60°，即初速度與x軸夾角為θ1＝60°，同理，粒子打在光屛上端時(shí)，初速度與x軸夾角為θ2＝120°，則60°≤θ≤120°，D錯(cuò)誤。2.(2023·山東淄博市一模)為了探測(cè)帶電粒子，研究人員設(shè)計(jì)了如圖所示的裝置。紙面內(nèi)存在一個(gè)半徑為R、圓心為O′的圓形勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)域，磁場(chǎng)方向垂直紙面向外，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B，該磁場(chǎng)區(qū)域在垂直紙面的方向上足夠長(zhǎng)。以O(shè)′右邊的O點(diǎn)為中心放置一個(gè)足夠大的探測(cè)屏，探測(cè)屏與OO′連線垂直。紙面內(nèi)圓形磁場(chǎng)區(qū)域正下方存在一個(gè)長(zhǎng)度為R且沿水平方向的線狀粒子源MN，O′在MN的中垂線上，O′到MN的垂直距離為1.5R。該粒子源各處均能持續(xù)不斷地發(fā)射質(zhì)量為m、電荷量為＋q的粒子，粒子發(fā)射時(shí)的速度大小均相同，方向均豎直向上，從粒子源MN中點(diǎn)發(fā)射的粒子離開(kāi)磁場(chǎng)時(shí)速度恰好沿O′O方向，不計(jì)粒子重力和粒子間相互作用力。(1)求粒子發(fā)射時(shí)的速度大小v0；(2)求粒子源左端點(diǎn)M與右端點(diǎn)N發(fā)射的粒子從發(fā)射到打到屏上所經(jīng)歷的時(shí)間之差Δt。答案(1)eq\f(qBR,m)(2)eq\f(πm,3qB)解析(1)分析可知粒子做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑為R，由qv0B＝meq\f(v02,R)，得v0＝eq\f(qBR,m)(2)分析可知粒子源左端點(diǎn)M與右端點(diǎn)N發(fā)射的粒子均從磁場(chǎng)邊界與OO′交點(diǎn)射出，且轉(zhuǎn)過(guò)的圓心角分別為：θM＝eq\f(2π,3)，θN＝eq\f(π,3)兩粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的周期為T(mén)＝eq\f(2πR,v0)＝eq\f(2πm,qB)兩粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間分別為tM＝eq\f(θM,2π)T，tN＝eq\f(θN,2π)T，由于兩個(gè)粒子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)域外部運(yùn)動(dòng)的時(shí)間相等，所以Δt即為在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間差，即Δt＝tM－tN，得Δt＝eq\f(πm,3qB)。3.(2023·湖南常德市模擬)如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy平面內(nèi)存在兩處勻強(qiáng)磁場(chǎng)，第一象限內(nèi)的勻強(qiáng)磁場(chǎng)分布在三角形OAC之外的區(qū)域，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為2B，方向垂直紙面向里，A、C兩點(diǎn)分別位于x軸和y軸上，∠OAC＝30°，OC的長(zhǎng)度為2R，第二象限內(nèi)的勻強(qiáng)磁場(chǎng)分布在半徑為R的圓形區(qū)域內(nèi)，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B，圓形區(qū)域的圓心坐標(biāo)為(－R，R)，圓形區(qū)域與x、y軸的切點(diǎn)分別為P、Q，第三、四象限內(nèi)均無(wú)磁場(chǎng)。置于P點(diǎn)的離子發(fā)射器，能持續(xù)地從P點(diǎn)在xOy平面內(nèi)向x軸上方180°范圍內(nèi)以恒定速率發(fā)射同種正離子，離子質(zhì)量均為m，電荷量均為q；在y軸上的CG之間放置一個(gè)長(zhǎng)CG＝2R的探測(cè)板，所有打到探測(cè)板上的離子都被板吸收。已知從P點(diǎn)垂直于x軸發(fā)射的離子恰好經(jīng)過(guò)Q點(diǎn)進(jìn)入第一象限，不計(jì)離子的重力及離子間的相互作用，求：(1)圓形區(qū)域內(nèi)磁場(chǎng)的方向及離子的發(fā)射速率v0；(2)從P點(diǎn)垂直于x軸發(fā)射的離子，從發(fā)射到第二次經(jīng)過(guò)邊界AC所用的時(shí)間t；(3)探測(cè)板CG上有離子打到的區(qū)域長(zhǎng)度。答案(1)垂直于紙面向外eq\f(qBR,m)(2)(eq\f(4π,3)＋eq\r(3))eq\f(m,qB)(3)(eq\f(1,2)＋eq\f(\r(3),6))R解析(1)從P點(diǎn)垂直于x軸發(fā)射的正離子恰好經(jīng)過(guò)Q點(diǎn)進(jìn)入第一象限，說(shuō)明正離子在P點(diǎn)受到向右的洛倫茲力，由左手定則知磁場(chǎng)方向垂直于紙面向外。如圖所示，設(shè)離子在圓形區(qū)域內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)的軌跡半徑為r，則r＝R由洛倫茲力提供向心力有qv0B＝meq\f(v02,r)解得v0＝eq\f(qBR,m)(2)設(shè)離子在第二象限磁場(chǎng)中圓周運(yùn)動(dòng)的周期為T(mén)，則T＝eq\f(2πR,v0)＝eq\f(2πm,qB)，則在第一象限磁場(chǎng)中圓周運(yùn)動(dòng)的周期為T(mén)′＝eq\f(2πm,q·2B)＝eq\f(πm,qB)離子在圓形區(qū)域磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)圓心角為90°，則運(yùn)動(dòng)時(shí)間t1＝eq\f(90°,360°)T＝eq\f(πm,2qB)離子在兩磁場(chǎng)之間勻速直線運(yùn)動(dòng)時(shí)間t2＝eq\f(\r(3)R,v0)＝eq\f(\r(3)m,qB)離子在AC右側(cè)區(qū)域磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)軌跡對(duì)應(yīng)的圓心角為300°，運(yùn)動(dòng)時(shí)間t3＝eq\f(300°,360°)T′＝eq\f(5πm,6qB)則離子從發(fā)射到第二次經(jīng)過(guò)邊界AC所用的時(shí)間t＝t1＋t2＋t3，得t＝(eq\f(4π,3)＋eq\r(3))eq\f(m,qB)(3)如圖所示，因所有離子均以恒定速率發(fā)射，故離子在圓形磁場(chǎng)中的軌跡半徑均為r，又已知r＝R，易得所有離子經(jīng)過(guò)圓形磁場(chǎng)后均水平向右飛出圓形磁場(chǎng)，然后穿過(guò)AC進(jìn)入右側(cè)磁場(chǎng)，離子在第一象限運(yùn)動(dòng)有