2017屆高考理科數(shù)學(xué)知識點題組訓(xùn)練題33

題組層級快練(七十四)1.(2016·天津和平區(qū)模擬)如圖，AB是半圓的直徑，點D是弧AC的中點，∠ABC＝50°，則∠DAB等于()A．55° B．60°C．65° D．70°答案C解析如圖，連接BD，∵AB是半圓的直徑，∴∠ADB＝90°，∵點D是eq\o(AC,\s\up8(︵))的中點，∴∠ABD＝∠CBD.∵∠ABC＝50°，∴∠ABD＝25°.∴∠DAB＝90°－25°＝65°.故選C.2.如圖所示，在半徑為2的⊙O中，∠AOB＝90°，D為OB的中點，AD的延長線交⊙O于點E，則線段DE的長為()A.eq\f(\r(5),5) B.eq\f(2\r(5),5)C.eq\f(3\r(5),5) D.eq\f(\r(3),2)答案C解析延長BO交圓O于點F，由D為OB的中點，知DF＝3，DB＝1.又∠AOB＝90°，所以AD＝eq\r(5).由相交弦定理知AD·DE＝DF·DB，即eq\r(5)DE＝3×1，解得DE＝eq\f(3\r(5),5).3.如圖所示，E，C分別是∠A兩邊上的點，以CE為直徑的⊙O交∠A的兩邊于D，B，若∠A＝45°，則△AEC與△ABD的面積比為()A．2∶1 B．1∶2C.eq\r(2)∶1 D.eq\r(3)∶1答案A解析連接BE，易知△ABD∽△AEC，求△AEC與△ABD的面積比即求AE2∶AB2的值，設(shè)AB＝a，∵∠A＝45°，CE為⊙O的直徑，∴∠CBE＝∠ABE＝90°.∴BE＝AB＝a，∴AE＝eq\r(2)a.∴AE2∶AB2＝2a2∶a2.∴AE2∶AB2＝2∶1，∴S△AEC∶S△ABD＝2∶1.4．(2014·天津)如圖，△ABC是圓的內(nèi)接三角形，∠BAC的平分線交圓于點D，交BC于點E，過點B的圓的切線與AD的延長線交于點F.在上述條件下，給出下列四個結(jié)論：①BD平分∠CBF；②FB2＝FD·FA；③AE·CE＝BE·DE；④AF·BD＝AB·BF.則所有正確結(jié)論的序號是()A．①② B．③④C．①②③ D．①②④答案D解析因為∠BAD＝∠FBD，∠DBC＝∠DAC，又AE平分∠BAC，所以∠BAD＝∠DAC，所以∠FBD＝∠DBC，所以BD平分∠CBF，結(jié)論①正確；易證△ABF∽△BDF，所以eq\f(AB,AF)＝eq\f(BD,BF)，所以AB·BF＝AF·BD，結(jié)論④正確；由eq\f(AF,BF)＝eq\f(BF,DF)，得BF2＝AF·DF，結(jié)論②正確，選D.5．(2015·重慶)如圖，圓O的弦AB，CD相交于點E，過點A作圓O的切線與DC的延長線交于點P，若PA＝6，AE＝9，PC＝3，CE∶ED＝2∶1，則BE＝________．答案2解析由切割線定理，知PA2＝PC·PD，即62＝3PD，解得PD＝12，所以CD＝PD－PC＝9，所以CE＝6，ED＝3.由相交弦定理，知AE·BE＝CE·ED，即9BE＝6×3，解得BE＝2.6．(2015·湖北)如圖，PA是圓的切線，A為切點，PBC是圓的割線，且BC＝3PB，則eq\f(AB,AC)＝________．答案eq\f(1,2)解析因為PA是圓的切線，A為切點，PBC是圓的割線，由切割線定理，知PA2＝PB·PC＝PB(PB＋BC)．因為BC＝3PB，所以PA2＝4PB2，即PA＝2PB.由△PAB∽△PCA，所以eq\f(AB,AC)＝eq\f(PB,PA)＝eq\f(1,2).7．(2015·廣東)如圖，已知AB是圓O的直徑，AB＝4，EC是圓O的切線，切點為C，BC＝1.過圓心O作BC的平行線，分別交EC和AC于點D和點P，則OD＝________．答案8解析由題意得OP＝eq\f(1,2)BC＝eq\f(1,2)，OA＝2，于是PA＝CP＝eq\r(22－（\f(1,2)）2)＝eq\f(\r(15),2).因為∠DCP＝∠B＝∠POA，又∠DPC＝∠APO，所以△DCP∽△AOP，故eq\f(PD,PA)＝eq\f(PC,PO)，即PD＝eq\f(\f(\r(15),2),\f(1,2))×eq\f(\r(15),2)＝eq\f(15,2)，所以O(shè)D＝eq\f(15,2)＋eq\f(1,2)＝8.8.如圖，PT是圓O的切線，PAB是圓O的割線，若PT＝2，PA＝1，∠P＝60°，則圓O的半徑為________．答案eq\r(3)解析連接AT，BT.在△APT中，∠P＝60°，PT＝2，PA＝1，則由余弦定理得AT＝eq\r(3)，∴∠TAP＝90°，∴∠BAT＝90°，∴BT是圓O的直徑，∵PT是圓O的切線，PAB是圓O的割線，∴PT2＝PA·PB，∴eq\f(PT,PB)＝eq\f(PA,PT).又∠P為公共角，∴△PAT∽△PTB，∴eq\f(PT,PA)＝eq\f(BT,AT)，得BT＝2eq\r(3)，因此圓的半徑為eq\r(3).9．如圖，PAB，PCD為圓O的兩條割線，若PA＝5，AB＝7，CD＝11，AC＝2，則BD＝________．答案6解析因為PAB，PCD為圓O的兩條割線，所以PA·PB＝PC·PD.因為PA＝5，AB＝7，CD＝11，所以PB＝5＋7＝12，PD＝PC＋CD＝PC＋11，所以5×12＝PC(PC＋11)，PC2＋11PC－60＝0，(PC＋15)(PC－4)＝0.因為PC大于0，所以PC＋15≠0，所以PC－4＝0，PC＝4.因為∠PAC＝∠D(圓內(nèi)接四邊形的任一外角等于它的內(nèi)對角)，又∠P＝∠P，所以△PAC∽△PDB，所以eq\f(BD,AC)＝eq\f(PB,PC).因為AC＝2，PB＝12，PC＝4，所以eq\f(BD,2)＝eq\f(12,4)，所以BD＝6.10.如圖，圓O的直徑AB與弦CD交于點P，CP＝eq\f(7,5)，PD＝5，AP＝1，則∠DCB＝________．答案45°解析由相交弦定理可得CP·PD＝AP·PB，∴PB＝eq\f(CP·PD,AP)＝eq\f(\f(7,5)×5,1)＝7.∴直徑2R＝AP＋PB＝1＋7＝8，∴半徑R＝4.∴OP＝OA－AP＝4－1＝3.連接DO，在△ODP中，OP2＋OD2＝32＋42＝52＝PD2，∴∠POD＝90°.連接BD，由△DOB為等腰直角三角形可得DB＝eq\r(2)R.由正弦定理可得eq\f(DB,sin∠DCB)＝eq\f(DB,sin∠A)＝2R，∴sin∠DCB＝eq\f(DB,2R)＝eq\f(\r(2),2)，由圖可知，∠DCB為銳角，∴∠DCB＝45°.11.如圖，BD是半圓O的直徑，A在BD的延長線上，AC與半圓相切于點E，AC⊥BC，若AD＝2eq\r(3)，AE＝6，則EC＝________．答案3解析如圖，連接OE.由切割線定理得AE2＝AD·AB，∴AB＝eq\f(62,2\r(3))＝6eq\r(3)，∴OE＝OD＝OB＝eq\f(1,2)(AB－AD)＝2eq\r(3)，由于E是切點，∴OE⊥AC，又AC⊥BC，∴OE∥BC，∴eq\f(AE,EC)＝eq\f(AO,OB)，即eq\f(6,EC)＝eq\f(2\r(3)＋2\r(3),2\r(3))，EC＝3.12.如圖，BD是⊙O的直徑，E是⊙O上的一點，直線CE交BD的延長線于A點，BC⊥AE于C點，且∠CBE＝∠DBE.求證：AC是⊙O的切線．答案略證明連接OE，由OE＝OB，得∠OEB＝∠OBE.∵∠CBE＝∠DBE，∴∠CBE＝∠OEB.∴OE∥BC.又BC⊥AE，∴OE⊥AC.∴AC是⊙O的切線．13．(2016·內(nèi)蒙古赤峰寧城月考)如圖，已知AB是⊙O的直徑，AC是⊙O的弦，∠BAC的平分線AD交⊙O于D，過點D作DE⊥AC交AC的延長線于點E，OE交AD于點F.若eq\f(AC,AB)＝eq\f(3,5).(1)求證：OD∥AE；(2)求eq\f(AF,FD)的值．答案(1)略(2)eq\f(8,5)解析(1)證明：連接BC，設(shè)BC交OD于點M.因為OA＝OD，所以∠OAD＝∠ODA.又因為∠OAD＝∠DAE，所以∠ODA＝∠DAE，所以O(shè)D∥AE.(2)因為AC⊥BC，且AC⊥DE，所以BC∥DE.所以四邊形CMDE為平行四邊形，所以CE＝MD.由eq\f(AC,AB)＝eq\f(3,5)，設(shè)AC＝3x，AB＝5x，則OM＝eq\f(3,2)x.又OD＝eq\f(5,2)x，所以MD＝eq\f(5,2)x－eq\f(3,2)x＝x，所以AE＝AC＋CE＝4x.因為OD∥AE，所以eq\f(AF,FD)＝eq\f(AE,OD)＝eq\f(4x,\f(5,2)x)＝eq\f(8,5).14．(2016·江西六校第二次聯(lián)考)如圖，AB是圓O的直徑，C，D是圓O上兩點，AC與BD相交于點E，GC，GD是圓O的切線，點F在DG的延長線上，且DG＝GF.求證：(1)D，E，C，F(xiàn)四點共圓；(2)GE⊥AB.答案略證明(1)如圖，連接OC，OD，則OC⊥CG，OD⊥DG，設(shè)∠CAB＝∠1，∠DBA＝∠2，∠ACO＝∠3，∠COB＝2∠1，∠DOA＝2∠2.所以∠DGC＝180°－∠DOC＝2(∠1＋∠2)．因為∠DGC＝2∠F，所以∠F＝∠1＋∠2.又因為∠DEC＝∠AEB＝180°－(∠1＋∠2)，所以∠DEC＋∠F＝180°，所以D，E，C，F(xiàn)四點共圓．(2)延長GE交AB于H.因為GD＝GC＝GF，所以點G是經(jīng)過D，E，C，F(xiàn)四點的圓的圓心．所以GE＝GC，所以∠GCE＝∠GEC.又因為∠GCE＋∠3＝90°，∠1＝∠3，所以∠GEC＋∠1＝90°，所以∠AEH＋∠1＝90°，所以∠EHA＝90°，即GE⊥AB.15．如圖，四邊形ABDC內(nèi)接于圓，BD＝CD，過C點的圓的切線與AB的延長線交于E點．(1)求證：∠EAC＝2∠DCE；(2)若BD⊥AB，BC＝BE，AE＝2，求AB的長．答案(1)略(2)AB＝eq\r(5)－1解析(1)證明：因為BD＝CD，所以∠BCD＝∠CBD.因為CE是圓的切線所以∠ECD＝∠CBD.所以∠ECD＝∠BCD，所以∠BCE＝2∠ECD.因為∠EAC＝∠BCE，所以∠EAC＝2∠ECD.(2)因為BD⊥AB，所以AC⊥CD，AC＝AB.因為BC＝BE，所以∠BEC＝∠BCE＝∠EAC，所以AC＝EC.由切割線定理得EC2＝AE·BE，即AB2＝AE·(AE－AB)，即AB2＋2AB－4＝0，解得AB＝eq\r(5)－1.16.(2015·陜西)如圖，AB切⊙O于點B，直線AO交⊙O于D，E兩點，BC⊥DE，垂足為C.(1)證明：∠CBD＝∠DBA；(2)若AD＝3DC，BC＝eq\r(2)，求⊙O的直徑．答案(1)略(2)3解析(1)證明：因為DE為⊙O的直徑，則∠BED＋∠EDB＝90°，又BC⊥DE，所以∠CBD＋∠EDB＝90°，從而∠CBD＝∠BED.又AB切⊙O于點B，得∠DBA＝∠BED，所以∠CBD＝∠DBA.(2)由(1)知BD平分∠CBA，則eq\f(BA,BC)＝eq\f(AD,CD)＝3，又BC＝eq\r(2)，從而AB＝3eq\r(2).所以AC＝eq\r(AB2－BC2)＝4，所以AD＝3.由切割線定理得AB2＝AD·AE，即AE＝eq\f(AB2,AD)＝6，故DE＝AE－AD＝3，即⊙O的直徑為3.如圖，若AB是⊙O的直徑，CD是⊙O的弦，∠ABD＝58°，則∠BCD＝________．答案32°解析根據(jù)直徑所對的圓周角為直角可得∠ADB＝90°，根據(jù)∠ABD＝58°可得∠A＝32°，根據(jù)同弧所對的圓周角相等可得∠BCD＝∠A＝32°.2．如圖，BC是圓O的一條弦，延長BC至點E，使得BC＝2CE＝2，過E作圓O的切線，A為切點，∠BAC的平分線AD交BC于點D，則DE的長為________．答案eq\r(3)解析由切割線定理得AE2＝EC·EB＝1×3＝3，所以AE＝eq\r(3).因為AD是∠BAC的平分線，所以∠BAD＝∠CAD.因為AE是圓O的切線，所以∠EAC＝∠ABC.因為∠ADC＝∠BAD＋∠ABC，所以∠ADC＝∠BAD＋∠EAC＝∠EAD，所以DE＝AE＝eq\r(3).3.如圖所示，已知AB，BC是⊙O的兩條弦，AO⊥BC，AB＝eq\r(3)，BC＝2eq\r(2)，則⊙O的半徑等于________．答案1.5解析設(shè)⊙O的半徑為r，BC與AO交于點D，因為AB，BC是⊙O的兩條弦，AO⊥BC，AB＝eq\r(3)，BC＝2eq\r(2)，所以AD＝1，所以r2＝2＋(r－1)2，解得r＝1.5.4.如圖，PA是圓的切線，A為切點，PBC是圓的割線，且eq\f(PB,BC)＝eq\f(1,2)，則eq\f(PA,BC)＝________．答案eq\f(\r(3),2)解析由題意，可設(shè)PB＝x，則BC＝2x，根據(jù)切割線定理，可得PA2＝PB·PC＝3x2，PA＝eq\r(3)x，所以eq\f(PA,BC)＝eq\f(\r(3),2).5.如圖，過點P作圓O的割線PAB與切線PE，E為切點，連接AE，BE，∠APE的平分線與AE，BE分別交于點C，D，若∠AEB＝30°，則∠PCE＝________．答案75°解析∵PE是圓的切線，∴∠PEB＝∠PAC.∵PC是∠APE是平分線，∴∠EPC＝∠APC，根據(jù)三角形的外角與內(nèi)角關(guān)系有∠EDC＝∠PEB＋∠EPC，∠ECD＝∠PAC＋∠APC，∴∠EDC＝∠ECD，∴△EDC為等腰三角形．又∠AEB＝30°，∴∠EDC＝∠ECD＝75°，即∠PCE＝75°.6.如圖，PB為△ABC外接圓O的切線，BD平分∠PBC，交圓O于D，點C，D，P共線．若AB⊥BD，PC⊥PB，PD＝1，則圓O的半徑是________．答案2解析如圖所示，連接AD，∵PB為圓O的切線，∴∠PBD＝∠BCD＝∠BAD.∵BD為∠PBC的平分線，∴∠PBD＝∠CBD，∴∠PDB＝∠CBD＋∠BCD＝∠PBD＋∠PBD＝2∠PBD.又∵PC⊥PB，∴∠PBD＝∠BCD＝∠CBD＝∠BAD＝30°，∠PDB＝60°.由PD＝1，得BD＝2PD＝2.在△ABD中，∵AB⊥BD，∴AD是圓O的直徑，且直徑AD＝2BD＝4，∴圓O的半徑為2.7.如圖，已知⊙O的割線PAB交⊙O于A，B兩點，割線PCD經(jīng)過圓心，若PA＝3，AB＝4，PO＝5，則⊙O的半徑為________．答案2解析設(shè)圓的半徑為r，PA＝3，PB＝7，PC＝5－r，PD＝5＋r，由割線定理PA·PB＝PC·PD，得3×7＝(5＋r)(5－r)，解得r＝2.8.已知⊙O1和⊙O2交于點C和點D，⊙O1上的點P處的切線交⊙O2于A，B兩點，交直線CD于點E，M是⊙O2上的一點，若PE＝2，EA＝1，∠AMB＝45°，那么⊙O2的半徑為________．答案eq\f(3\r(2),2)解析由切線定理和割線定理可知，PE2＝EC·ED＝EA·(EA＋AB)，將PE＝2，EA＝1代入，得AB＝3.連接AO2，BO2，由∠AMB＝45°可得△ABO2為等腰直角三角形，所以⊙O2的半徑r＝eq\f(\r(2),2)AB＝eq\f(3\r(2),2).9.如圖所示，圓O的兩條弦AB和CD交于點E，EF∥CB，EF交AD的延長線于點F，F(xiàn)G切圓O于點G.(1)求證：△DEF∽△EAF；(2)如果FG＝1，求EF的長．答案(1)略(2)1解析(1)證明：因為EF∥BC，所以∠