2019-2020學年新教材高中數(shù)學第五章弧度制學案新人教A版必修第一冊

5.1.2弧度制

L課前自主預習

學習目標

1.了解弧度制.

2.能進行角度與弧度的互化.

3.能利用弧度制下的弧長公式和扇形面積公式進行求解.

要點梳理

1.角的單位制

(1)角度制

規(guī)定1度的角等于周角的焉，這種用度作為單位來度量角的單位制叫做角度制.

(2)弧度制

我們規(guī)定：長度等于半徑長的圓弧所對的圓心角叫做1弧度(radian)的角，弧度單位用

符號rad表示，讀作弧度.

在半徑為r的圓中，弧長為/的弧所對的圓心角為arad,那么|。1=(

一般地，正角的弧度數(shù)是一個正教，負角的弧度數(shù)是一個魚數(shù)，零角的弧度數(shù)是0.

2.角度與弧度的換算

角度化弧度弧度化角度

360°=27rrad27rrad=360°

180°=兀radTTrad=180°

7T

1°=&rad^O.01745rad1rad=（中57.30°

1oU

度數(shù)乂高=弧度數(shù)弧度數(shù)X(岑)°=度數(shù)

loU

3.扇形的弧長公式及面積公式

\公式

弧長公式面積公式

度量/\

,7?兀廠

角度制

1=180360

弧度制1=a*rS=:/廠=}|a|/

溫馨提示：(1)運用弧度制下的弧長公式及扇形的面積公式明顯比角度制下的公式簡單

得多，但要注意它的前提是a為弧度制.

(2)在運用公式時，還應熟練地掌握這兩個公式的變形運用：

1119C

①7=\a\?r,a=-,「=丁打；?S=~\a|/,a=—,

思考診斷

1.在大小不同的圓中，長為1的弧所對的圓心角相等嗎？

［答案］不相等.這是因為長為1的弧是指弧的長度為1,在大小不同的圓中，由于半

徑不同，所以圓心角也不同

2.扇形的面積公式與哪個平面圖形的面積公式類似？對應的圖形是否也類似？

［答案］扇形的面積公式與三角形的面積公式類似.實際上，扇形可看作是一個曲邊三

角形，弧是底，半徑是底上的高

3.判斷正誤(正確的打“，錯誤的打“X”)

(1)1弧度=1°.()

(2)不管是以弧度還是以度為單位的角的大小，都是一個與半徑的大小無關的定

值.()

(3)用弧度制度量角，與圓的半徑長短有關.()

(4)與45°終邊相同的角可以寫成a=2An+450,k-)

［答案］⑴X(2)J(3)X(4)X

課堂互動探究

題型一角度與弧度的互化

【典例1】將下列角度與弧度進行互化.

7TI11JI

(1)20°；(2)-15°；(3)—；(4)一--.

一JI180、

［思路導引］角度與弧度的互化關鍵抓住1°=訴rad和1rad=

loUJI

20兀JI

［解］(1)20°=［QC=石?

iouy

15兀_兀

(2)-15°180=一T?

7兀7

(3)—=—X180°=105°.

,、11"11

(4)--=-Tx180=-396-

角度制與弧度制互化的原則

Ji

牢記180°=兀rad,充分利用1°=痂rad和1rad=—0進行換算.

loU\JL7

［針對訓練］

1.—630°化為弧度為.

JI7

［解析］—630°=-630X—=--n.

loUZ

7

［答案］-

2.。=-3rad,它是第象限角.

［解析］根據(jù)角度制與弧度制的換算，1rad=fgQ［°,貝!］a=-3rad=一(亨

—171.9。.分析可得，a是第三象限角.

［答案］三

題型二用弧度制表示終邊相同的角

【典例2】已知角a=2010°.

(1)將a改寫成￡+24五(4GZ,0W￡〈2n)的形式，并指出a是第幾象限的角;

(2)在區(qū)間［—5加，0)上找出與。終邊相同的角.

［思路導引］利用終邊相同的角的集合表示.

JI67兀7兀

［解］(1)2010°=2010X—=5X2Ji+—

lot)oo

▼7兀3兀

又?！炊弧炊?，

62

7Ji

:?a與*終邊相同，是第三象限的角.

⑵與。終邊相同的角可以寫成

7JI

y=-^-+24r(A￡Z),又一5兀W/<0,

29

???當k=~3時，7=一石"兀；

17

當A=-2時，y=---n；

0

5

當《=-1時，r=-.

|名師提醒A

用弧度制表示終邊相同的角

所有與角a終邊相同的角，連同角a在內(nèi)，構(gòu)成的集合用弧度可表示為{￡|￡=2Am

+。，kGZ},這里a應為弧度數(shù).

［針對訓練］

3.已知。=一800°.

(1)把a改寫成(AdZ,0W￡〈2m)的形式，并指出a是第幾象限角；

⑵求Y，使尸與a的終邊相同，且2，vj-

14

［解］(1)V-8OO0=-3X360°+280°,280°=—n,

14Ji

???a=—800°+(-3)X2JI.

14JI

與角丁終邊相同，。是第四象限角.

14JI

⑵：與a終邊相同的角可寫為2"m+k，AGZ的形式，而尸與。的終邊相同,

y

,14兀

y

兀14兀兀

―—<2A兀+§keZ,

14JI4兀

解得“=-1,/.r=—2it+——=——.

yy

題型三扇形的弧長公式及面積公式的應用

【典例3】已知扇形的周長為10,面積為4,求扇形的圓心角的弧度數(shù).

［思路導引］利用扇形的弧長公式2=a|?r及面積公式S=j；r=||a/求解.

［解］設扇形的圓心角的弧度數(shù)為^(0<0<2n),弧長為1,所在圓的半徑為工依題

7+2r=10,

意得<1消去/,得合一5r+4=0,

-7r=4,

解得r=l或r=4.

當r=l時，1=8,止匕時。=8rad>2兀rad,故舍去；

21

當r=4時，1=2,此時6>=-=-rad,滿足題意.

故夕=*|rad.

［變式］若本例條件改為：“已知扇形2利的周長為10cm”，求該扇形的面積的最大

值及取得最大值時圓心角的大小及弧長.

［解］設扇形圓心角的弧度數(shù)為夕(0<夕<2兀)，弧長為/,半徑為八面積為S,

由J+2r=10得7=10—2r,

1l、<5\,25

S—-lr=-(z10—2^,r=5r—r2=—\r--r+—,

0X5.

當下=抑，S取得最大值不

515

這時/=10—2XA=5,J。=一=1=2.

2r5

2

95

故該扇形的面積的最大值為7cHi1取得最大值時圓心角為2rad,弧長為5cm.

|名師提醒A

弧度制下涉及扇形問題的攻略

（1）明確弧度制下扇形的面積公式是行（其中/是扇形的弧長，r是扇形

的半徑，。是扇形的圓心角）.

（2）涉及扇形的周長、弧長、圓心角、面積等的計算，關鍵是先分析題目已知哪些量求

哪些量，然后靈活運用扇形的弧長公式、面積公式直接求解或列方程（組）求解.

［針對訓練］

4.已知扇形的圓心角為108°,半徑等于30cm,求扇形的弧長和面積.

JI3兀

［解］V108°=108X—,

1805

3JI

所以扇形的弧長為可Xl°=6"（cm）,

13兀

扇形的面積為3（）2=270兀（cm2）.

課堂歸納小結(jié)

1.角的概念推廣后，在弧度制下，角的集合與實數(shù)集R之間建立起一一對應的關系：

每一個角都有唯一的一個實數(shù)（即這個角的弧度數(shù)）與它對應；反過來，每一個實數(shù)也都有唯

一的一個角（即弧度數(shù)等于這個實數(shù)的角）與它對應.

2.解答角度與弧度的互化問題的關鍵在于充分利用“180°

=Jtrad”這一關系式.

易知：度數(shù)X擊a€1=弧度數(shù)，弧度數(shù)X管）=度數(shù).

3.在弧度制下，扇形的弧長公式及面積公式都得到了簡化，在具體應用時，要注意角

的單位取弧度.

區(qū)隨堂鞏固驗收

1.下列說法中，錯誤的是（）

A.“度”與“弧度”是度量角的兩種不同的度量單位

B.1°的角是周角的白，1rad的角是周角的白~

00v乙JI

C.1rad的角比1°的角要大

D.用角度制和弧度制度量角，都與圓的半徑有關

［解析］“度”與“弧度”是度量角的兩種不同的度量單位，所以A正確.1°的角是周

角的《5，1rad的角是周角的所以B正確.因為1rad=，?1°〉1°,所以C正確.用

角度制和弧度制度量角，都與圓的半徑無關，所以D錯誤.

［答案］D

2.2100?；苫《仁牵ǎ?/p>

35Ji

A.—^―B.10n

28ii25JI

D.-F

JI35兀

［解析］2100°=2100X—=——.

loUo

［答案］A

9Q

3.角一的終邊所在的象限是（）

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

9QIq1Q

［解析］一逐口=—4口+逐n,正it的，故選D.

［答案］D

4.在半徑為2的圓中，弧長為4的弧所對的圓心角的大小是rad.

-4

［解析］根據(jù)弧度制的定義，知所求圓心角的大小為5=2rad.

［答案］2

5.已知扇形的周長為8cm,圓心角為2,則扇形的面積為cm2.

［解析］設扇形的半徑為rem,弧長為7cm,由圓心角為2rad,依據(jù)弧長公式可得/

—2r,從而扇形的周長為J+2r=4r=8,解得r=2,則7=4.

故扇形的面積S=5"=5X4X2=4cm~.

［答案］4

課后作業(yè)（三十八）

復習鞏固

、選擇題

1.—10乎n轉(zhuǎn)化為角度是（）

U

A.-300°B.-600°

C.-900°D.-1200°

［解析］由于一手=1一號乂當。=-600°,所以選B.

OyOJI/

［答案］B

2.與30°角終邊相同的角的集合是（）

［JI

A.1aa—k,360°+—,?

B.{aIa—2kJi+30°,"ez}

C.{。|。=2人360°+30°，kG*

D.（aa=24n+豆，kGZ?

［解析］:與30°角終邊相同的角表示為。=公360°+30°,"GZ,化為弧度為a

n

=2"AeZ,...選D.

o

［答案］D

3.下列說法正確的是（）

A.在弧度制下，角的集合與正實數(shù)集之間建立了一一對應關系

B.每個弧度制的角，都有唯一的角度制的角與之對應

C.用角度制和弧度制度量任一角，單位不同，數(shù)量也不同

、,2JI

D.-120°的弧度數(shù)是丁

［解析］A項中，零角的弧度數(shù)為0,故A項錯誤；B項是正確的；C項中，用角度制和

弧度制度量零角時，單位不同，但數(shù)量相同（都是0）,故C項錯誤；一120。對應的弧度數(shù)

2JI

是一亍，故D項錯誤.故選B.

［答案］B

4.已知扇形的面積為2,扇形圓心角的弧度數(shù)是4,則扇形的周長為（）

A.2B.4

C.6D.8

［解析］設扇形所在圓的半徑為尼則2=^X4X#,.?.發(fā)=1,；.斤=1..?.扇形的弧長為

4X1=4,扇形的周長為2+4=6.故選C.

［答案］C

5.集合《。4兀+了兀?。<4兀+丁兀，kRZ）中的角所表示的范一圍，（陰影部分、、）是，

7T乙

,JIJI,

［解析］當k=2m,時，2mx+—^aW2mx+—,〃￡Z；當k=2m~\~l,廬Z時,

4ZJ

5JI3n.,,

2卬口+^-W。+-^~,0dz.故選C.

［答案］C

二、填空題

6.將一1485°表示成20+a（OWa<2n,AGZ）的形式是

7

［解析］V-14850=-5X360°+315°,而315°=彳"，

7

應填一10n+］ji.

7

［答案］-Wit+-H

7.若扇形的半徑為1,圓心角為3弧度，則扇形的面積為.

1133

［解析］由于扇形面積3x12=5,故扇形的面積為萬.

［答案］2

8.已知兩角和為1弧度，且兩角差為1°,則這兩個角的弧度數(shù)分別是

"x+y=l

［解析］設兩個角的弧度數(shù)分別為X,y.因為1°=而JIrad,所以1n解,

ioUY—v=

yiso,

’1JI

y=---

23601JI1JI

得〈所以所求兩角的弧度數(shù)分別為5+標,］一通.

_1兀

.尸5―麗'

1

墓1兀

-

-

23

23

60

解答題

三、

°.

=1690

知a

9.已

形式；

))的

［0,2m

￡e

AGZ,

+￡(

成

a寫

⑴把

).

,4m

4Ji

E(-

且0

同，

邊相

a終

。與

9,使

⑵求

+250°

0°

=144

690°

(1)1

［解］

25

JI.

I+—

X2J

=4

+250°

60°

=4X3

Io

25

).

(AeZ

二五

"m+

d=2

，；.

相同

a終邊

9與

(2),/

Io

25

〈4兀,

一兀

A兀+

4兀<2

),—

,4兀

—4

e(

又0

lo

47

97

1.

1,0,

2—

k=—

9

61

25

11

，

一二兀

值是

e的

-H

Ti’

Ti"'

18'

lo

2JI

、.

.求：

為亍

心角

2,圓

長為

的弦

所對

心角

的圓

扇形

已知

10.

長；

的弧

所對

心角

個圓

(1)這

積.

形的面

個扇

(2)這

」^

徑7=

以半

卓,所

角為

圓心

為2,

弦長

對的

角所

圓心

形的

為扇

(1)因

［解］

兀

3

sin-

、歷兀

4

2兀

2\l3

A