天津市和平區(qū)2025屆高三數(shù)學下學期線上學習階段性評估檢測試題含解析

PAGE20-天津市和平區(qū)2025屆高三數(shù)學下學期線上學習階段性評估檢測試題（含解析）一、選擇題：在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.設集合A＝{1，2，6}，B＝{2，4}，C＝{x∈R|﹣1≤x≤5}，則（A∪B）∩C＝（）A.{2} B.{1，2，4} C.{1，2，4，5} D.{x∈R|﹣1≤x≤5}【答案】B【解析】【分析】先求出A∪B＝{1，2，4，6}，再與集合C求交集即可.【詳解】∵A＝{1，2，6}，B＝{2，4}，∴A∪B＝{1，2，4，6}，又C＝，∴（A∪B）∩C＝{1，2，4}．故選：B．【點睛】本題考查集合的交、并運算，考查學生的運算實力，是一道基礎題.2.設a∈R，則“|a﹣1|≤1”是“﹣a2+3a≥0”（）A.充分非必要條件 B.必要非充分條件C.充要條件 D.既非充分也非必要條件【答案】A【解析】【分析】分別解不等式，利用集合間的包含關系來推斷.【詳解】|a﹣1|≤1，解得：0≤a≤2，﹣a2+3a≥0，解得：0≤a≤3∴“|a﹣1|≤1”是“﹣a2+3a≥0”故選：A．【點睛】本題考查充分條件、必要條件，通常在推斷充分條件、必要條件有如下三種方法：1.定義法，2.等價法，3.利用集合間的包含關系推斷.3.已知過點P(2,2)的直線與圓相切,且與直線垂直,則（）A. B.1 C.2 D.【答案】C【解析】【詳解】試題分析：設過點的直線的斜率為，則直線方程，即，由于和圓相切，故，得，由于直線與直線，因此，解得，故答案為C.考點：1、直線與圓的位置關系；2、兩條直線垂直的應用.4.某產(chǎn)品的廣告費用x與銷售額y的統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下表：廣告費用x(萬元)

1

2

4

5

銷售額y(萬元)

10

26

35

49

依據(jù)上表可得回來方程中的約等于9，據(jù)此模型預報廣告費用為6萬元時，銷售額為（）A.54萬元 B.55萬元 C.56萬元 D.57萬元【答案】D【解析】試題分析：由表格可算出,,依據(jù)點在回來直線上,,代入算出,所以,當時,,故選D.考點：回來直線恒過樣本點的中心.5.設，，，則()A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用相關學問分析各值的范圍，即可比較大小.【詳解】,,,,故選：B【點睛】本題主要考查了指數(shù)函數(shù)的單調性，對數(shù)函數(shù)的單調性，屬于中檔題.6.聞名數(shù)學家華羅庚先生曾說：“數(shù)缺形時少直觀，形缺數(shù)時難入微，數(shù)形結合百般好，隔裂分家萬事休”如函數(shù)f（x）的圖象大致是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】利用的奇偶性可解除A，由x＞0時，f（x）函數(shù)值的正負可解除D，當x→+∞時，f（x）函數(shù)值改變趨勢可解除C.【詳解】依據(jù)題意，函數(shù)f（x），其定義域為{x|x≠0}，有f（﹣x）（）＝﹣f（x），即函數(shù)f（x）為奇函數(shù)，解除A，又由x＞0時，有ex＞e﹣x，即有ex﹣e﹣x＞0，則有f（x）＞0，解除D，當x→+∞時，f（x）→+∞，解除C；故選：B．【點睛】本題考查由解析式確定函數(shù)圖象的問題，一般做這類題，要牢牢抓住函數(shù)的性質，如奇偶性，單調性以及特別點的函數(shù)值等，本題是一道基礎題.7.已知雙曲線－＝1(a>0，b>0)的左頂點與拋物線y2＝2px(p>0)的焦點的距離為4，且雙曲線的一條漸近線與拋物線的準線的交點坐標為(－2，－1)，則雙曲線的焦距為()A.2 B.2 C.4 D.4【答案】A【解析】【詳解】解：依據(jù)題意，雙曲線的一條漸近線與拋物線的準線的交點坐標為（-2，-1），即點（-2，-1）在拋物線的準線上，又由拋物線y2＝2px的準線方程為，則p=4，則拋物線的焦點為（2，0）；則雙曲線的左頂點為（-2，0），即a=2；點（-2，-1）在雙曲線的漸近線上，則其漸近線方程為，由雙曲線的性質，可得b=1；則，則焦距為2c=2；故選A．8.已知函數(shù)，那么下列命題中假命題是（）A.是偶函數(shù) B.在上恰有一個零點C.是周期函數(shù) D.在上是增函數(shù)【答案】D【解析】【分析】依據(jù)函數(shù)的性質,逐個推斷各選項的真假．【詳解】對于，函數(shù)，定義域為，且滿意，所以為定義域上的偶函數(shù)，正確；對于，時，，，且，在上恰有一個零點是，正確；對于C，依據(jù)正弦、余弦函數(shù)的周期性知，函數(shù)是最小正周期為的周期函數(shù)，正確；對于D，時，，且，在上先減后增，D錯誤．故選D．點睛】本題主要考查了正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的單調性、奇偶性、周期性的應用以及零點的求法．9.已知函數(shù)，，設為實數(shù)，若存在實數(shù)，使，則實數(shù)的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】，設為實數(shù)，，由函數(shù)，可得畫出函數(shù)的圖象，由函數(shù)的圖象可知，值域為存在實數(shù)，使，，即，實數(shù)的取值范圍為，故選C.【方法點睛】本題主要考查函數(shù)的圖象與性質以及數(shù)形結合思想的應用，屬于難題.數(shù)形結合是依據(jù)數(shù)量與圖形之間的對應關系，通過數(shù)與形的相互轉化來解決數(shù)學問題的一種重要思想方法，.函數(shù)圖象是函數(shù)的一種表達形式，它形象地揭示了函數(shù)的性質，為探討函數(shù)的數(shù)量關系供應了“形”的直觀性．歸納起來，圖象的應用常見的命題探究角度有：1、確定方程根的個數(shù)；2、求參數(shù)的取值范圍；3、求不等式的解集；4、探討函數(shù)性質．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分．把答案填在答題卷上．10.設復數(shù)滿意，則______．【答案】.【解析】【分析】求解出復數(shù)，依據(jù)模長的定義可求得結果.【詳解】由題意得：本題正確結果：【點睛】本題考查復數(shù)的模長的求解問題，屬于基礎題.11.二項式的綻開式中，常數(shù)項為_____________.（用數(shù)字作答）【答案】112【解析】【分析】利用二項式定理的通項公式即可求解．【詳解】通項公式Tr+1,令80，解得r＝6∴常數(shù)項112．故答案為112【點睛】本題考查了二項式定理的應用，考查了推理實力與計算實力，熟記通項公式，精確計算是關鍵，屬于基礎題．12.如圖，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，若四邊形AA1C1C是邊長為4的正方形，且AB＝3，BC＝5，M是AA1的中點，則三棱錐A1﹣MBC【答案】4【解析】【分析】用等體積法將三棱錐A1﹣MBC1的體積轉化為三棱錐的體積即可.【詳解】∵在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，若四邊形AA1C1C是邊長為4的正方形，且AB＝3，∴A1C1⊥AA1，AC2+AB2＝BC2，∴A1C1⊥A1B∵AA1∩A1B1＝A1，∴A1C1⊥平面A1MB∵M是AA1的中點，∴3，∴三棱錐A1﹣MBC1的體積：4．故答案為：4．【點睛】本題考查等體積法求三棱錐的體積，考查學生轉化與化歸的思想，考查學生基本計算實力，是一個?？键c.13.一個口袋中裝有大小相同的2個黑球和3個紅球，從中摸出兩個球，則恰有一個黑球的概率是________；若表示摸出黑球的個數(shù)，則________．【答案】(1).(2).【解析】從中摸出兩個球，則恰有一個黑球的概率是；可取：0,1,2,.,,,14.已知a＞0，b＞0，當（a+4b）2取得最小值為_____時，a+b＝_____．【答案】(1).8(2).【解析】【分析】由a+4b可得（a+4b）2，再利用一次基本不等式即可，要留意驗證等號成立的條件.【詳解】因為a＞0，b＞0，所以a+4b，當且僅當a＝4b時取等號，所以（a+4b）2≥16ab，則（a+4b）28，當且僅當即a＝1，b時取等號，此時取得最小值8，a+b．故答案為：（1）8；（2）【點睛】本題考查利用基本不等式求最小值的問題，一般在利用基本不等式求最值時，應盡量避開多次運用，以免等號不能同時成立，本題是一道中檔題.15.如圖，在等腰△ABC中，AB＝AC＝3，D，E與M，N分別是AB，AC的三等分點，且?1，則tanA＝_____，?_____．【答案】(1).(2).．【解析】【分析】設A（0，b），B（﹣a，0），C（a，0），利用?1以及可求得a，b，在△ABC中利用余弦定理求得，從而可得；?利用數(shù)量積的定義計算.【詳解】以邊BC所在直線為x軸，以邊BC的中垂線為y軸，建立如圖所示平面直角坐標系，設A（0，b），B（﹣a，0），C（a，0），且D，E與M，N分別是AB，AC的三等分點，∴D（，），E（，），M（，），N（，），∴（a，），（﹣a，），且?1，∴﹣a21①，又AC＝3，∴a2+b2＝9②，聯(lián)立①②得，a2，在△ABC中，由余弦定理得，cosA．因為A為等腰三角形的頂角；且cosA，∴sinA；∴tanA；sin；∴cosB＝cos（）＝sin；∴??3×2a×cosB＝﹣3．故答案為：（1）；（2）．【點睛】本題考查向量的坐標運算以及定義法求向量的數(shù)量積，做此類題關鍵是建好系，精確寫出點的坐標，是一道中檔題.三、解答題：本大題共5小題，共75分．解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟．16.已知函數(shù)．（1）求的最小值，并寫出取得最小值時的自變量的集合．（2）設的內角，，所對的邊分別為，，，且，，若，求，的值．【答案】（1）最小值為；，；（2），【解析】【分析】（1）利用三角函數(shù)恒等變換的應用化簡函數(shù)解析式可得，利用正弦函數(shù)的圖象和性質即可求解．（2）由已知可求，結合范圍，可求，由已知及正弦定理可得，進而由余弦定理可得，聯(lián)馬上可解得，的值．【詳解】解：（1），當，即時，的最小值為，此時自變量的集合為：，（2）（C），，又，，，可得：，，由正弦定理可得：①，又，由余弦定理可得：，可得：②，聯(lián)立①②解得：，.【點睛】本題主要考查了三角函數(shù)恒等變換的應用，正弦函數(shù)的圖象和性質，正弦定理，余弦定理在解三角形中的應用，考查了數(shù)形結合思想及轉化思想的應用，屬于中等題．17.如圖，在三棱柱中，已知，，側面.（Ⅰ）求直線與底面所成角正切值；（Ⅱ）在棱（不包含端點）上確定一點E的位置，使得（要求說明理由）；（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，若，求二面角的大小.【答案】（Ⅰ）2；（Ⅱ）當E為中點時，，理由見詳解；（Ⅲ）二面角的大小為45°.【解析】【分析】方法一：(Ⅰ)可得為直線與底面ABC所成角，由已知可得的值；（Ⅱ）當E為中點時，，可得，即.可得，平面ABE，；（Ⅲ）取的中點G，的中點F，則，且，連結，設，連結，可得為二面角的平面角，可得二面角的大小.方法二：(Ⅰ)以B為原點，所在直線為軸建立空間直角坐標系.則，可得，面ABC的一個法向量，可得的值，可得的值；（Ⅱ）設，則，,由，可得y的值，可得E的位置；（Ⅲ）可求得面的一個法向量，平面的一個法向量,可得二面角的大小.【詳解】解：（Ⅰ）在直三棱柱，平面ABC,在平面ABC上的射影為CB.為直線與底面ABC所成角，，即直線與底面ABC所成角的正切值為2.（Ⅱ）當E中點時，.,，，即.又平面，平面.，平面ABE,平面ABE，.（Ⅲ）取中點G，的中點F，則，且，,連結，設，連結，則，且，為二面角的平面角.，，∴二面角的大小為45°.另解：以B為原點，所在直線為軸建立空間直角坐標系.則.（Ⅰ），面ABC的一個法向量.設與面ABC所成角為，則，.（Ⅱ）設，則，,由，得，所以E為的中點.（Ⅲ）由，得，又,可求得面的一個法向量，平面的一個法向量,設二面角的大小為，則.∴二面角的大小為45°.【點睛】本題主要考察線面角的求法，線線垂直的證明及二面角的求法，難度中等，方法二用空間向量求線面角，證線線垂直，求二面角，方法新奇.18.已知點A（1，）是離心率為的橢圓C：（a＞b＞0）上的一點，斜率為的直線BD交橢圓C于B、D兩點，且A、B、D三點不重合（1）求橢圓C的方程；（2）求證：直線AB，AD的斜率之和為定值（3）△ABD面積是否存在最大值？若存在，求出這個最大值；若不存在，請說明理由？【答案】（1）．（2）見解析（3）存在，最大值為．【解析】【分析】（1）由已知解方程組即可；（2）設出直線BD的方程，聯(lián)立橢圓方程，利用韋達定理解決；（3）將△ABD面積表示成，再利用基本不等式求得最值.【詳解】（1）∵點A（1，）是離心率為的橢圓C：（a＞b＞0）上的一點，∴，解得a＝2，，，∴橢圓C的方程為．（2）證明：設D（x1，y1），B（x2，y2），設直線BD的方程為，直線AB、AD的斜率分別為：kAB、kAD，則kAD+kAB，（*）聯(lián)立，∴△＝﹣8t2+64＞0，解得﹣2t＜2，，﹣﹣﹣﹣①，②，將①、②式代入*式整理得0，∴kAD+kAB＝0，∴直線AB，AD的斜率之和為定值．（3）|BD||x1﹣x2|，設d為點A到直線BD：的距離，∴，∴，當且僅當t＝±2時取等號，∵±2，∴當t＝±2時，△ABD的面積最大，最大值為．【點睛】本題考查直線與橢圓位置關系的應用，涉及到橢圓中的定值問題、存在性問題，考查學生的計算實力，是一道有難度的題.19.已知正項等比數(shù)列{an}滿意a1＝2，2a2＝a4﹣a3，數(shù)列{bn}滿意bn＝1+2log2an（1）求數(shù)列{an}，{bn}的通項公式；（2）令cn＝an?bn，求數(shù)列{cn}的前n項和Sn；（3）若λ＞0，且對全部的正整數(shù)n都有2λ2﹣kλ+2成立，求k的取值范圍．【答案】（1）an＝2n；bn＝1+2n；（2）Sn＝2+（2n﹣1）?2n+1；（3）k＜2【解析】【分析】（1）利用等比數(shù)列通項計算；（2）cn＝（2n+1）?2n，利用錯位相減法計算；（3）先求出的最大值，2λ2﹣kλ+2轉化為2λ2﹣kλ+2對λ＞0恒成立，即k＜2λ對λ＞0恒成立.【詳解】（1）正項等比數(shù)列{an}公比設為q，q＞0，a1＝2，2a2＝a4﹣a3，可得4q＝2q3﹣2q2，解得q＝2（﹣1可得an＝2n；bn＝1+2log2an＝1+2log22n＝1+2n；（2）cn＝an?bn＝（2n+1）?2n，前n項和Sn＝3?2+5?4+7?8+…+（2n+1）?2n，2Sn＝3?4+5?8+7?16+…+（2n+1）?2n+1，兩式相減可得﹣Sn＝6+2（4+8+…+2n）﹣（2n+1）?2n+1＝6+2?（2n+1）?2n+1，化簡可得Sn＝2+（2n﹣1）?2n+1；（3）若λ＞0，且對全部的正整數(shù)n都有2λ2﹣kλ+2成立，即為2λ2﹣kλ+2的最大值，由0，可得{}遞減，可得n＝1時，取得最大值，可得2λ2﹣kλ+2，即為k＜2λ的最小值，可得2λ22，當且僅當λ時取得