2025高考數(shù)學一輪復習-第5講-一元二次不等式【課件】

第5講

一元二次不等式第一章

集合與常用邏輯用語、不等式1．不等式3x2－7x≤10的解集為__________．激活思維2．不等式－3x2＋5x－4＞0的解集為______．?3．已知不等式ax2＋bx－1＞0的解集是{x|3＜x＜4}，則a＝________，b＝______．4．若不等式x2－2x＋k2－2＞0對于任意的x∈[2，＋∞)恒成立，則k的取值范圍是__________________________.【解析】5．如圖，在長為8m，寬為6m的矩形地面的四周種植花卉，中間種植草坪．如果要求花卉的寬度相同，且草坪的面積不超過總面積的一半，那么花卉帶的寬度的取值范圍是___________(單位：m).[1，3)【解析】1．一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0或ax2＋bx＋c＜0(a≠0)的解集設相應的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的兩個實數(shù)根為x1，x2且x1≤x2，Δ＝b2－4ac，則不等式的解集的各種情況如下表：聚焦知識

Δ＞0Δ＝0Δ＜0二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的圖象{x|x＜x1或x＞x2}R{x|x1＜x＜x2}??2．與一元二次不等式有關的恒成立問題解下列關于x的不等式．(1)－6x2－5x＋1＜0；解不等式舉題說法1【解答】解下列關于x的不等式．(2)ax2－(a＋1)x＋1＜0(a∈R)；【解答】1若a＝0，原不等式轉化為－x＋1＜0，即x＞1.【解答】1解下列關于x的不等式．【解析】1解下列關于x的不等式．三個二次之間的關系2【解析】【答案】D【解析】D2．若不等式ax2－bx＋c＞0的解集為(－2，1)，則函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的圖象大致為

(

)ABCD【解析】【答案】C3．若關于實數(shù)x的一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0的解集為(－2，1)，則不等式a(x2＋1)＋b(x＋1)＋c＜3ax的解集為 (

)A．(0，2) B．(－∞，0)C．(2，＋∞) D．(－∞，0)∪(2，＋∞)【解析】D4．已知二次函數(shù)y＝x2－2ax＋b2的最小值為0，若關于x的不等式x2－2ax＋b2＜c的解集為(t，t＋4)，則實數(shù)c的值為_____．【解析】4(1)如果關于x的不等式ax2－ax＋1≥0恒成立，那么實數(shù)a的取值范圍為____________．一元二次不等式恒成立問題3【解析】[0，4](2)若不等式x2＋ax＋4≥0對一切x∈[1，3]恒成立，則a的最小值為_______．【解析】－43(3)若命題“?a∈[－1，3]，ax2－(2a－1)x＋3－a＜0”為假命題則實數(shù)x的取值范圍為__________________．【解析】3命題“?a∈[－1，3]，ax2－(2a－1)x＋3－a＜0”為假命題，則其否定為真命題，即“?a∈[－1，3]，ax2－(2a－1)x＋3－a≥0”為真命題．變式已知函數(shù)f(x)＝x2＋ax＋3.(1)當x∈R時，f(x)≥a恒成立，求實數(shù)a的取值范圍；【解答】(1)因為當x∈R時，x2＋ax＋3－a≥0恒成立，所以Δ＝a2－4(3－a)≤0，即a2＋4a－12≤0，解得－6≤a≤2，所以實數(shù)a的取值范圍是[－6，2].變式已知函數(shù)f(x)＝x2＋ax＋3.(2)當x∈[－2，2]時，f(x)≥a恒成立，求實數(shù)a的取值范圍；【解答】由題意原不等式可轉化為x2＋ax＋3－a≥0在x∈[－2，2]上恒成立，則(x2＋ax＋3－a)min≥0(x∈[－2，2]).綜上可得，滿足條件的實數(shù)a的取值范圍是[－7，2].變式已知函數(shù)f(x)＝x2＋ax＋3.(3)當a∈[4，6]時，f(x)≥0恒成立，求實數(shù)x的取值范圍．【解答】隨堂練習【解析】A【解析】D【解析】【答案】C【解析】A【解析】[3，5]配套精練一、

單項選擇題1．已知二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的圖象如圖所示，則不等式ax2＋bx＋c＞0的解集是

(

)A．(－2，1)B．(－∞，－2)∪(1，＋∞)C．[－2，1]D．(－∞，－2]∪[1，＋∞)A【解析】結合圖象易知不等式ax2＋bx＋c＞0的解集是(－2，1).2．若不等式x2＋kx＋1＜0的解集為空集，則k的取值范圍是 (

)A．[－2，2] B．(－∞，－2]∪[2，＋∞)C．(－2，2) D．(－∞，－2)∪(2，＋∞)A【解析】因為不等式x2＋kx＋1＜0的解集為空集，所以Δ＝k2－4≤0，解得－2≤k≤2.3．不等式ax2－(a＋2)x＋2≥0(a＜0)的解集為 (

)A【解析】4．當－2≤x≤2時，不等式x2－mx＋1＞0恒成立，則實數(shù)m的取值范圍為(

)A．(－2，2) B．(－∞，－2)C．[－2，2] D．(2，＋∞)【解析】設f(x)＝x2－mx＋1，其中－2≤x≤2.【答案】A綜上所述，實數(shù)m的取值范圍是(－2，2).【解析】【答案】C【解析】【答案】BC不等式cx2＋bx＋a＞0即為cx2－4cx＋3c＞0?x2－4x＋3＜0，解得1＜x＜3，故D錯誤．【解析】【答案】AC對于A，因為x2－3x＋2＜0?(x－2)(x－1)＜0?1＜x＜2，故A正確；對于C，因為(x＋a)(x－1)＜0的解集為(1，3)，所以a＝－3，故C正確；對于D，因為x2－(a＋1)x＋a＝(x－a)(x－1)＜0，所以當a＝1時，不等式的解集為?，當a＜1時，不等式的解集為(a，1)，當a＞1時，不等式的解集為(1，a)，故D錯誤．【解析】x2－4ax＋3a2＝(x－a)(x－3a)＜0，由于a＜0，所以不等式的解集為(3a，a)，所以x1＝3a，x2＝a，故C錯誤；【答案】AB【解析】(－∞，－1)∪(1，5)10．已知f(x)＝x2－x＋1，當x∈[－1，2]時，不等式f(x)＞2x＋m恒成立，則實數(shù)m的取值范圍為____________．【解析】由題意可得x2－x＋1＞2x＋m對任意的x∈[－1，2]恒成立，即m＜x2－3x＋1對任意的x∈[－1，2]恒成立．11．已知任意a∈[－1，1]，不等式x2＋(a－4)x＋4－2a＞0恒成立，則x的取值范圍為________________________．(－∞，1)∪(3，＋∞)【解析】四、

解答題12．已知關于x的不等式ax2－3x＋2＞0的解集為(－∞，1)∪(b，＋∞)(b＞1).(1)求a，b的值；【解答】四、

解答題12．已知關于x的不等式ax2－3x＋2＞0的解集為(－∞，1)∪(b，＋∞)(b＞1).【解答】依題意有(2x＋y)min≥k2＋k＋2，即8≥k2＋k＋2，即k2＋k－6≤0，所以－3≤k≤2，所以k的取值范圍為[－3，2].13．已知函數(shù)f(x)＝x2－(a－2)x＋4.(1)求關于x的不等式f(x)≥4＋2a的解集；【解答】由已知易得f(x)≥4＋2a即為x2－(a－2)x－2a≥0.令x2－(a－2)x－2a＝0，可得x＝－2或x＝a，所以當a＜－2時，原不等式的解集為(－∞，a]∪[－2，＋∞)；當a＝－2時，原不等式的解集為R；當a＞－2時，原不等式的解集為(－∞，－2]∪[a，＋∞).13．已知函數(shù)f(x)＝x2－(a－2)x＋4.(2)若對任意的x∈[1，6]，f(x)－2a＋14≥0恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．【解答】14．設f(x)＝ax2＋(1－a)x＋a－2.(1)若不等式f(x)≥－2對一切實數(shù)x恒成立，求