數(shù)學(xué)中考考點(diǎn)和例題

學(xué)習(xí)必備歡迎下載學(xué)習(xí)必備歡迎下載學(xué)習(xí)必備歡迎下載初中中考數(shù)學(xué)考點(diǎn)與例題匯編第一章數(shù)與式一、考點(diǎn)1.實(shí)數(shù)（1）實(shí)數(shù)的意義（2）實(shí)數(shù)的分類（3）數(shù)軸（4）相反數(shù)（5）絕對(duì)值(6)倒數(shù)（7）冪（8）平方根與立方根（9）實(shí)數(shù)的大小比較2.實(shí)數(shù)的運(yùn)算（1）六種運(yùn)算的關(guān)系（2運(yùn)算順序（3）運(yùn)算律①加法交換律a+b=b+a;②加法結(jié)合律(a+b)+c=a+(b+c);③乘法交換律ab=ba;④乘法結(jié)合律(ab)c=a(bc);⑤分配律(a+b)。=ac+bc.3.整式4.乘法公式平方差公式:(a+b)(a-b)=a2-b2完全平方公式:(a±b)2=a2±2ab+b25.分式6.整數(shù)指數(shù)冪7.二次根式8.因式分解二.例題例1.（1）2的倒數(shù)是，的相反數(shù)是，-6的絕對(duì)值是；（2）實(shí)數(shù)9的算術(shù)平方根是，的立方根是（3）廣州亞運(yùn)城的建筑面積約358000平方米，將358000用科學(xué)記數(shù)法表示為解：（1）；（2）3，；（3）3.58x103例2.下列運(yùn)算中，正確的是（）（A）5m-2m=3（B）(m+n)2=m2+n2(C)(D)m2·n2=(mn)2解：（D）例3.（1）使有意義的X的取值范圍是（2）若分式有意義，則實(shí)數(shù)x的取值范圍是解：(1)由≥0，得x≥-.所以填x≥-（2）由x-5≠0,得x≠5.所以填x≠5例4.計(jì)算：（1）；（2）解：（1）原式=（2）原式=說明：在進(jìn)行實(shí)數(shù)運(yùn)算時(shí)，往往用運(yùn)算律先簡化計(jì)算。例5.觀察下面的變形規(guī)律：解答下面的問題：（1）若n為正整數(shù)，請(qǐng)你猜想=（2）證明你猜想的結(jié)論（3）求和：解：（1）（2）證明：=（3）原式=例6.實(shí)數(shù)a、b在數(shù)抽上的位置如圖所示：（1）在數(shù)抽上表示實(shí)數(shù)a+b與a-b；（2）把a(bǔ)、b、a+b、a-b按從小到大的順序用“<”連接起來。分析：由數(shù)軸上標(biāo)注的a、b的位置特征可知：a<0,b>0,且<b∴a+b=b-,a-b=-(+b)解：（1）a+b，a-b在數(shù)軸上表示如下：（2）a,b,a+b,a-b由小到大的順序是：a-b<a<a+b<b說明：數(shù)形結(jié)合是一種很重要的數(shù)學(xué)方法，解決問題時(shí)要多從數(shù)與形的角度思考。例7.計(jì)算：（1）（2a-b）(a-1)(2)(a-2b)2(2b+a)2(3)(-ab)24a3b(4)解：（1）原式=2a2-2a-ab+b(2)原式=[(a-2b)(a+2b)]2=(a2-4b2)2=a2-8a2b2+16b4說明本題是由右至左運(yùn)用公式（ab）2=a2b2簡化了運(yùn)算（3）原式=說明：在結(jié)果中習(xí)慣上將負(fù)指數(shù)冪寫成分式的形式（4）原式=例8.在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)分解因式：（1）-3xy2-6x2y(2)x(x-y)+y(x-y)(3)(x+y)2-4xy(4)a4-4a2b2+4b4(5)8(x2-2y2)-x(7x+y)+xy解：（1）原式=-3xy(y+2x)(2)原式=（x-y）(x+y)(3)原式=x2+2xy+y2-4xy=x2-2xy+y2=(x-y)2(4)原式=(a2-2b2)2=[(a+)(a-)]2=(a+)2(a-)2(5)原式=8x2-16y2-7x2-xy+xy=x2-16y2=(x-4y)(x+4y)第二章方程與不等式一.考點(diǎn)1.方程的基本知識(shí)2.方程的解法（1）一元一次方程(2)一元二次方程(3)分式方程3.二元一次方程組4.方程與方程組的應(yīng)用5.不等式的基本知識(shí)6.一元一次不等式7.一元一次不等式組8.一元一次不等式(組)的應(yīng)用二例題例1.已知x=-1是方程mx2-(3-4m)x+6=0的解，求實(shí)數(shù)m的值。解：∵x=-1是已知方程的解∴m·(-1)2-(3-4m)·(-1)+6=0.整理，得m+3-4m+6=0解這個(gè)方程，得m=3.∴實(shí)數(shù)m的值為3說明：本例是在已知方程的解的前提下，反求方程中特定字母的值，采用還原代入法，得到以待定字母為未知數(shù)的新方程，進(jìn)而求得待定字母m例2.截下列方程（組）(1)(2)(3)(1)解法1：移項(xiàng)，得合并同類項(xiàng)，得，系數(shù)化為1.得x=-42解法2：去分母，得3x-18=4x+24.移項(xiàng)，得3x-4x=24+18合并同類項(xiàng),得-x=42.系數(shù)化為1,得x=-42說明：解出來的值是否為方程的解，可以利用方程的解的定義來檢驗(yàn)，對(duì)于整式方程這個(gè)過程可以在草稿紙上完成，但必不可少（2）解：方程兩邊同乘以（1-x）(3+x),得：想x(3+x)-x(1-x)=-2(1-x)(3+x)去括號(hào)，得3x+x2-x+x2=-6+4x+2x2,解這個(gè)方程，得x=3檢驗(yàn)：當(dāng)x=3時(shí)，（1-x）(3+x)=-12≠0∴x=3是原方程的根注意：由于分式方程在求解過程中可能產(chǎn)生曾根，因此必須驗(yàn)根。驗(yàn)根的方法有兩種，一種是用方程的根的定義；另一種是代入最簡公分母（3）解法1：①×4+②×3，得-7y=-5,即y=①×3+②×4,得-7x=-2，即x=∴原方程組的解為解法2：①+②，得-（x+y）=-1，即x+y=1③③×4+①，得7x=2,即x=③×4+②.得7x=5,即y=∴原方程組的解為例3.已知代數(shù)式2x-5與代數(shù)式17-3（x-2）的值互為相反數(shù)，求代數(shù)式x2-x的值解：依題意，得（2x-5）+[17-3(x-2)]=0,解這個(gè)方程，得x=18當(dāng)x=18時(shí)，x2-x=182-18=306例4.解下列方程（1）4x2-2x-1=0(2)(x+4)2=2x(1)解（公式法）：這里a=4,b=-2,c=-1,并且b2-4ac=(-2)2-4×4×(-1)=20所以x=(2)解法1（因式分解法）：將原方程變形為（x+4）2-2(x+4)=0提取公因式，得（x+4）[(x+4)-2]=0,即（x+4）（x+2）=0所以x+4=0,或x+2=0.即x1=-4,x2=-2解法2（公式法）：將原方程變形為x2+6x+8=0這里a=1,b=6,c=8,并且b2-4ac=62-4x1x8=4所以==-3±1，即x1=-4,x2=-2解法3（配方法）:將原方程變形為x2+6x+8=0方程兩邊同時(shí)加上1，得x2+6x+9=0即（x+3）2=1，所以x-3=±1,即x1=-4,x2=-2例5.關(guān)于x的方程3x-4k=4-2x的解滿足大于-1且小于等于2，求整數(shù)k的值。解：由3x-4k=4-2x,得x=(k+1)∵-1<x≤2,∴由①，得k>-由②，得k≤∴<k≤∴整數(shù)k的值為-2、-1、0或1例6.已知關(guān)于x的一元二次方程x2+（k+1）x-k-3=0(1)求證：該方程一定有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根（2）若該方程的一根為2，求另一根的值。分析：一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的實(shí)數(shù)根的個(gè)數(shù)取決于代數(shù)b2-4ac值的正負(fù)。當(dāng)b2-4ac>0時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根解（1）這里a=1,b=k+1,c=-k-3并且b2-4ac=（k+1）2-4×1×(-k-3)=k2+6k+13=(k+3)2+4>0∴原方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根（2）解法1∵2是x2+(k+1)x-k-3=0的根，∴4+2（k+1）-k-3=0即k=-3當(dāng)k=-3時(shí)，方程整理為x2-2x=0∴方程的另一根為x=0解法2：設(shè)方程的另一根為x0,則②-①，得x0-2=-2，x0=0即方程的另一根為0例7.進(jìn)入防汛期后，某地對(duì)河堤進(jìn)行了加固。該地駐軍在河堤加固的工程中出色完成了任務(wù)。這是記者與駐軍工程指揮官的一段對(duì)話：通過這段對(duì)話，請(qǐng)你求出該地駐軍原來每天加固的米數(shù)。解：設(shè)原來每天加固x米，根據(jù)題意，得去分母，得1200+4200=18x(或18x=5400)解得x=300檢驗(yàn)：當(dāng)x=300時(shí)，2x≠0(或分母不等于0)∴x=300是原方程的解答：該地駐軍原來每天加固300米例8.為了拉動(dòng)內(nèi)需，廣東啟動(dòng)“家電下鄉(xiāng)”活動(dòng)。某家電公司銷售給農(nóng)戶的I型冰箱和II型冰箱在啟動(dòng)活動(dòng)前一個(gè)月共售出960臺(tái)。啟動(dòng)活動(dòng)后的第一個(gè)月銷售給農(nóng)戶的I型和II型冰箱的銷量分別比啟動(dòng)活動(dòng)前一個(gè)月增長30%和25%，這兩種型號(hào)的冰箱共售出1228臺(tái)。（1）在啟動(dòng)活動(dòng)前的一個(gè)月，銷售給農(nóng)戶的I型冰箱和II型冰箱分別為多少臺(tái)？(2)若I型冰箱每臺(tái)價(jià)格是2298臺(tái)，II型冰箱每臺(tái)價(jià)格是1999元。根據(jù)“家電下鄉(xiāng)”的有關(guān)政策，政府按每臺(tái)冰箱價(jià)格的13%給購買冰箱的農(nóng)戶補(bǔ)貼，問啟動(dòng)活動(dòng)后的第一個(gè)月銷售給農(nóng)戶的1228臺(tái)I型和II型冰箱，政府共補(bǔ)貼了多少元？（結(jié)果保留2個(gè)有效數(shù)字）解：（1）設(shè)啟動(dòng)活動(dòng)前的一個(gè)月銷售給農(nóng)戶的I型冰箱和II型冰箱分別為x臺(tái)根據(jù)題意得解得∴啟動(dòng)活動(dòng)前的一個(gè)月銷售給農(nóng)戶的I型冰箱和II型冰箱分別為x、y臺(tái)（2）I型冰箱政府補(bǔ)貼金額：2298×560×（1+30%）×13%=217482.72（元）II型冰箱政府補(bǔ)貼金額：1999×400×（1+25%）×13%=129935（元）∴啟動(dòng)活動(dòng)后第一個(gè)月兩種型號(hào)的冰箱政府一共補(bǔ)貼金額：217482.72+129935347417.72≈3.5x105(元)答：啟動(dòng)活動(dòng)后第一個(gè)月兩種型號(hào)的冰箱政府一共約補(bǔ)貼農(nóng)戶3.5x105元例9.2011年5月20日是第22個(gè)中國學(xué)生營養(yǎng)日，某校社會(huì)實(shí)踐小組在這天開展活動(dòng)，調(diào)查快餐營養(yǎng)情況。他們從食品安全監(jiān)督部門獲取了一份快餐的信息（如圖）。根據(jù)信息，解答下列問題。（1）求這份快餐中所含脂肪質(zhì)量（2）若碳水化合物占快餐總質(zhì)量的40%，求這份快餐所含蛋白質(zhì)的質(zhì)量（3）若這份快餐中蛋白質(zhì)和碳水化合物所占百分比的和不高于85%，求其中所含碳水化合物質(zhì)量的最大值解：（1）400×5%=20答：這份快餐中所含脂肪質(zhì)量為20克（2）設(shè)所含礦物質(zhì)的質(zhì)量為x克，由題意得X+4x+20+400×40%,∴x=44,∴4x=176答：所含蛋白質(zhì)的質(zhì)量為176克（3）解法1：設(shè)所含礦物質(zhì)的質(zhì)量為y克，則所含碳水化合物的質(zhì)量為（380-5y）克∴4y+(380-5y)≤400×85%,∴y≥40,∴380-5y≤180∴所含碳水化合物質(zhì)量的最大值為180克解法2：設(shè)所含碳水化合物質(zhì)量為y克，則y≥(1-85%-5%)×400∴y≥40∴4y≥40∴400×85%-4y≤180∴所含碳水化合物質(zhì)量的最大值為180克第三章函數(shù)一.考點(diǎn)1.變最與函數(shù)(1)變量與常量(2)函數(shù)2.一次函數(shù)3.反比例4.二次函數(shù)5.作函數(shù)圖象(1)作函數(shù)圖象的步驟:(2)了種函數(shù)作圖的基本要點(diǎn):6.函數(shù)的應(yīng)用二例題例1求下列函數(shù)中自變量x的取值范圍：（1）y=（2）y=x2-x-2（3）y=（4）y=解：（1）∵x2-1≠0,即x≠±1∴自變量x的取值范圍是x≠±1（2）∵x取任何實(shí)數(shù)時(shí)，函數(shù)都有意義，自變量x的取值范圍是全體實(shí)數(shù)（3）根據(jù)題意，得解之得∴自變量x的取值范圍是x≠0且（4）根據(jù)題意，得≠0，即≠0，由絕對(duì)值的定義知，x<0∴自變量x的取值范圍是x<0例2已知一次函數(shù)y=x+2（1）當(dāng)x取何值時(shí)，y的值在-2和1之間變化？（2）當(dāng)-3≤x≤2時(shí)，求y的最大值與最小值。解法1：由題意得-2<y<1,即-2<x+2<1解之得-4<x<-1當(dāng)-4<x<-1,y的值在-2和1之間變化解法2：當(dāng)x=0時(shí)，y=2，當(dāng)y=0時(shí)，x=-2過點(diǎn)（0.2）和（-2，0）畫直線y=x+2,如圖所示由圖形可知當(dāng)-4<x<-1,y的值在-2和1之間變化例3已知拋物線y=-x2+2x+2（1）該拋物線的對(duì)稱抽是，頂點(diǎn)坐標(biāo)是（2）選取適當(dāng)?shù)臄?shù)據(jù)填入下表，并在如圖的直角坐標(biāo)系內(nèi)描點(diǎn)畫出該拋物線的圖像；x……y……（3）若該拋物線上兩點(diǎn)A（x1,y1），B（x2,y2）的橫坐標(biāo)滿足x1>x2>1，試比較y1與y2的大小。分析：本題（2）在選點(diǎn)時(shí)要注意體現(xiàn)拋物線的幾何特征，當(dāng)畫出拋物線的圖像后利用數(shù)形結(jié)合的思想解決（3）解：（1）拋物線y=-x2+2x+2的對(duì)稱軸和頂點(diǎn)坐標(biāo)給出以下兩種解法解法1：，拋物線y=-x2+2x+2的對(duì)稱軸為x=1，頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1,3）解法2：y=-x2+2x+2=-（x-1）2+3拋物線y=-x2+2x+2的對(duì)稱軸為x=1，頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1,3）（2）列表如下：x…-10123…y…-10123…作圖如右圖：（3）∵解：拋物線y=-x2+2x+2的對(duì)稱軸為x=1圖像開口向下，∵當(dāng)x>1時(shí)，二次函數(shù)y=-x2+2x+2的y值隨著x的增大而減小例4如圖，函數(shù)y1=k1x+b的圖形與函數(shù)y2=（x>0）的圖像交與C點(diǎn)，已知A點(diǎn)坐標(biāo)為（2,1），C點(diǎn)坐標(biāo)為（0,3）(1)求函數(shù)y1的表達(dá)式和B點(diǎn)的坐標(biāo)（2）觀察圖像，比較當(dāng)x>0時(shí)，y1與y2的大小解：（1）由題意，得解得∴y1=-x3+3又A點(diǎn)在函數(shù)y2=上，所以1=解得k2=2，所以y2=解方程組得所以點(diǎn)B的坐標(biāo)為（1,2）（2）當(dāng)x=1或x=2時(shí)，y1=y2；當(dāng)1<x<2時(shí)；y1>y2;當(dāng)0<x<1或x>2時(shí)，y1<y2例5如圖,△ABC是邊長為4的等邊三角形，∠DAE=120°。設(shè)DB=x，CE=y，求y求x的函數(shù)關(guān)系式，并指出這個(gè)函數(shù)自變量的取值范圍分析：若要發(fā)現(xiàn)線段DB與CE所滿足的等量關(guān)系，則應(yīng)從幾何的角度尋找線索?？紤]到△ABC是等邊三角形，∠DAE=120°，則∠1+∠2=60°，即可發(fā)現(xiàn)△ABC與△ECA相似，對(duì)應(yīng)邊成比例，從而問題得以解決。解：∵△ABC是等邊三角形∴AB=BC=CA=4，且∠ABC=∠BCA=∠CAB=60°。∴∠ABC=∠ACE=120°又∠DAE=120°∴∠1+∠2=60°，而∠1+∠D=∠ABC=60°∴∠2=∠D∴△ABC~△ECA。即當(dāng)點(diǎn)D與點(diǎn)B重合時(shí)，x=0；當(dāng)點(diǎn)C與點(diǎn)E重合時(shí)，AD//BC，x趨向無窮大，∴x>0例6已知p（-3，m）和Q（1，m）是拋物線上的兩點(diǎn)。求b的值判斷關(guān)于x的一元二次方程y=2x2+bx+1是否有實(shí)數(shù)根，若有，求出它的實(shí)數(shù)根；若沒有，請(qǐng)說明理由。解：（1）因?yàn)辄c(diǎn)P、Q在拋物線上且縱坐標(biāo)相同，所以P、Q關(guān)于拋物線對(duì)稱軸對(duì)稱并且到對(duì)稱軸距離相等所以，拋物線對(duì)稱軸x=-所以b=4(2)由（1）可知，關(guān)于x的一元一次方程為y=2x2+4x+1=0因?yàn)椤?b2-4ac=16-8=8>0所以，方程有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，分別是例7兩摞相同規(guī)格的飯碗整齊地疊放在桌面上，請(qǐng)根據(jù)圖中給出的數(shù)據(jù)信息，解答問題：（1）求桌面上整齊疊放的飯碗的高度y（cm）與飯碗數(shù)x（個(gè)）之間的一次函數(shù)關(guān)系式（不要求寫出自變量x的取值范圍）；（2）若桌面上有12個(gè)飯碗，整齊疊放成一摞，求出它的高度。解：（1）設(shè)所求函數(shù)關(guān)系式為y=kx+b，根據(jù)題意，得，解得∴y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為y=1.5x+4.5例8矩形OABC在直角坐標(biāo)系中的位置如圖所示，A、C兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A（6,0）、C（0,3）直線與BC邊相交于點(diǎn)D。（1）求點(diǎn)D的坐標(biāo)（2）若拋物線y=ax2+bx經(jīng)過D、A兩點(diǎn)，試確定此拋物線的解析式；（3）P為x軸上方（2）中拋物線上一點(diǎn)，求△POA面積的最大值（4）設(shè)（2）中拋物線的對(duì)稱軸與直線OD交于點(diǎn)M，點(diǎn)Q為對(duì)稱抽上一動(dòng)點(diǎn)，以Q、O、M為頂點(diǎn)的三角形與△OCD相似，求符合條件的Q點(diǎn)的坐標(biāo)。解：（1）由題知，直線與BC交于點(diǎn)D（x,3）把y=3代入中，得x=4,∴D(4,3)(2)∵拋物線y=ax2+bx經(jīng)過D（4,3）、A（6,0）兩點(diǎn)，把x=4，y=3和x=6,y=0分別代入y=ax2+bx得解得∴拋物線的解析式為：y=x2+x(3)∵△POA的底邊OA=6∴當(dāng)S△POA有最大值時(shí)，點(diǎn)P須位于拋物線的最高點(diǎn)∵a=<0,∴拋物線頂點(diǎn)恰為最高點(diǎn)∵，∴當(dāng)S△POA有最大值=（4）拋物線的對(duì)稱軸與x軸的交點(diǎn)Q1符合條件∵對(duì)稱軸平行于y軸，∴∠Q2MO=∠DOC。∴Rt△Q2MO~Rt△DOC∴在Rt△Q2Q1O和Rt△DOC，Q1O=CO=3，∠Q2=∠ODC∴Rt△Q2Q1O≌Rt△DOC∴CD=Q2Q1=4第四章圖形的認(rèn)識(shí)一.考點(diǎn)1.點(diǎn)、線、面2.角3.相交線與平行線(1)垂線(2)平行線4.多邊形5.三角形（1）三角形的分類（2）一般三角形的性質(zhì)（3）特殊三角形的性質(zhì)(4)三角形的面積6.四邊形(1)平行四邊形(2)幾種特殊的平行四邊形(3)梯形(4)四邊形和幾種特殊四邊形之間的關(guān)系如下圖所示;7.圓(1)圓的對(duì)稱性(2)弦、弧和直徑(3)弦、弧和圓心角(4)圓心角和圓周角(5)與圓有關(guān)的位置關(guān)系(6)圓中的計(jì)算問題8.尺規(guī)作圖9.投影與視圖(1)投影(2)視圖(3)平面展開圖二例題例1如圖①，在5x5的正方形網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長為1.請(qǐng)?jiān)谒o網(wǎng)格中按下列要求畫出圖形:（1）畫一條線段AB，使點(diǎn)B落在格點(diǎn)（即小正方形的頂點(diǎn)）上，且長度為（2）以（1）中的AB為邊畫一個(gè)等腰三角形ABC，使點(diǎn)C在格點(diǎn)上，且另兩邊的長都是無理數(shù)。解：如圖②，AB和△ABC為所求。（注：第（2）問也可以取點(diǎn)C關(guān)于AB的對(duì)稱點(diǎn)）說明：本題在考查勾股定理、等腰三角形的特征、無理數(shù)等知識(shí)點(diǎn)。解題過程中，可以充分利用網(wǎng)絡(luò)中的直角三角形例2：如圖，根據(jù)圖形寫出使AB//DF成立的條件（至少寫出四個(gè)不同的條件）分析：判定兩條直線平行常見的方法有三種：同位角相等，兩直線平行；內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行；同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行解：使AB//DF成立的條件可以是∠B=∠FDC；或∠A= ∠DFC；或∠AEF=∠EFD或∠BEF=∠EFD=180°；或∠B=∠BDF=180°；或∠A=∠DFC=180°例35個(gè)棱長為1的正方體組成如圖5的幾何體。（1）該幾何體的體積是（立方單位）表面積是（平方單位）（2）畫出該幾何體的注視圖和左視圖。解：（1）5,22（2）幾何體的主視圖和左視圖分別如下：例4如圖，在邊長為4的正三角形ABC中，ADBC于點(diǎn)D，以AD為一邊向右作正三角形ADE。（1）求△ABC的面積S；（2）判斷AC、DE的位置關(guān)系，并給出證明。解：（1）在正△ABC中，AD=∴在△CDF=180°-∠C-∠CDF=180°-60°-30°=90°，AC⊥DE例5為美化壞境，計(jì)劃在某小區(qū)內(nèi)用30m2的草皮鋪設(shè)綠地。已知該綠地為一邊長是10m的等腰三角形，請(qǐng)你求出這塊等腰三角形綠地另兩邊的長。分析：等腰三角形的一條邊長為10m，這條邊長可能是腰，也可能是底，因此要分類討論解：分三種情況計(jì)算，不妨設(shè)AB=10m，過點(diǎn)C作CD⊥AB，垂足為D，則S△ABC=∴CD=6m(1)當(dāng)AB為底邊時(shí)，AD=DB=5m（如圖5圖①）AC=BC==（2）當(dāng)AB為腰且三角形為銳角三角形時(shí)（如圖5圖②）AB=AC=10m,AD==8m，BD=2m，BC==2(3)當(dāng)AB為腰且三角形為鈍角三角形時(shí)AB=AC=10m，BD==8m，AC==6說明：已知等腰三角形一個(gè)角的度數(shù)，求另外兩個(gè)角的度數(shù)，或已知等腰三角形的一條邊長，求另外兩條邊的長，一般都要分類討論，分類討論是研究數(shù)學(xué)問題常用的一種思想方法，分類要求不重復(fù)也不遺漏例6如圖，矩形ABCD中，對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O，DE平分ABC交AB與點(diǎn)E，若ODE=15°，求AOE的度數(shù)解：矩形ABCD中，∠ADC=90°，OA=OB=OC=OD∵DE平分∠ADC，∴∠ADE=∠CDE=45°∴Rt△ADE是等腰直角三角形，AD=AE又∵∠ODE=15°，∴∠ADO=60°，∠CDO=30°∴△AOD是等邊三角形，即AD=AO,且∠EAO=30°∴AO=AE△ADE=（180°—∠EAO）÷2=（180°-30°）÷2=75° 例7如圖，梯形ABCD中，AD//BC，且BC=2AD，BDDC；若AD=2，C=60°，求梯形ABCD的面積。分析：求梯形ABCD的面積，關(guān)鍵在于求出梯形ABCD的高。解：過點(diǎn)D做DF⊥BC于點(diǎn)F∵BC=2AD，∴BC=4Rt△BDC中，BC=4，∠C=60°，則DC=2∴DF=DC×sin60°=∴梯形ABCD的面積為（AD+BC）×DF=（2+4）×=3例8如圖，AB是⊙O的直徑，∠AOE=57°，CE交⊙O與D，且CD=OB，求∠C的度數(shù)。解：連接OD，由CD=OB知，CD=OD∴∠C=∠DOC,∠E=∠ODE=∠C+∠DOC=2∠C∵∠AOE=57°∴∠AOE=∠E+∠C=3∠C=57°，∴∠C=19°說明：在解決圓的有關(guān)問題時(shí)，常常需要借助“同圓或等圓的半徑相等”這一隱含條件得到邊或角的相等關(guān)系。連接半徑是常用的輔助線之一例9如圖的直徑AB與CD相交于點(diǎn)P，且有PA=5，PB=1，APC=60°。求CD的長。解：過點(diǎn)O作OE⊥CD于點(diǎn)E，則CE=ED。連接OC∵PA=5，PB=1，∴AB=5+1=6，且OC==3∴OP=-PB=3-1=2在Rt△OPE中，OE=OP·sin60°=在Rt△OCE中,CE=∴CD=2CE=2說明：根據(jù)圖形的特點(diǎn)，把有關(guān)數(shù)據(jù)集中到直角三角形中，借助勾股定理或三角函數(shù)求解，也是圓中有關(guān)計(jì)算題的常見思路例10如圖，Rt△ABC中，∠A=90°，點(diǎn)O在AC上，⊙O切BC于點(diǎn)E，A在⊙O上，若AB=5，AC=12，求⊙O的半徑分析：求⊙O的半徑，往往需要將半徑放置到一個(gè)三角形中，利用三角形中的邊角關(guān)系進(jìn)行求解解法1：連接BO,EO根據(jù)勾股定理，有BC=設(shè)⊙O的半徑為x，則：S△ABC=S△ABO+S△BOC∴·AC·AB=·AB·AO+·BC·EO即解得x=,∴⊙O的半徑為解法2：連接OE，則OE⊥BC在Rt△ABC中，由AB=5，AC=12，可知BC=13∵∠C公共，∴Rt△ABC~Rt△EOC,∴設(shè)⊙O的半徑為x，則有解得x=,∴⊙O的半徑為解法3：連接OE，則OE⊥BC，且BA=BE=5在Rt△ABC中,由AB=5，AC=12，可知BC=13，∴CE=AB-AE=13-5=8設(shè)⊙O的半徑為x,Rt△EOC中,OC=12-x∵OC2=OE2+EC2,∴(12-x)2=x2+82解得x=,∴⊙O的半徑為第五章圖形與變換一考點(diǎn):1.圖形的軸對(duì)稱(1)軸對(duì)稱圖形與圖形的軸對(duì)(2)軸對(duì)稱的性質(zhì)(3)簡單的軸對(duì)稱圖形及其性質(zhì)①線段.②角.③等腰三角形與等邊三角形.④矩形、菱形與正方形.⑤等腰梯形.⑥正n邊形.⑦圓.(4)鏡面對(duì)稱2.圖形的平移(1)平移的特點(diǎn)(2)平移的基本性質(zhì)(3)平移的作圖3.圖形的旋轉(zhuǎn)(1)旋轉(zhuǎn)的特點(diǎn)(2)旋轉(zhuǎn)的基本性質(zhì)(3)旋轉(zhuǎn)的作圖(4)旋轉(zhuǎn)對(duì)稱圖形(5)中心對(duì)稱圖形與圖形的中心對(duì)稱4.平面圖案的設(shè)計(jì)5.圖形的相似(1)比例和比例線段（2）黃金分割(3)相似多邊形的特征(4)相似三角形(5)圖形的位似(6)三角函數(shù)(7)直角三角形中的邊角關(guān)系(8)仰角和俯角(9)坡角和坡度二例題例1如圖，在正方形網(wǎng)絡(luò)上有一個(gè)ABC（1）作△ABC關(guān)于直線MN的對(duì)稱圖形（不寫作法）（2）若網(wǎng)絡(luò)上的最小正方形的邊長為1，求△ABC的面積解：（1）分別作出點(diǎn)A、B、C關(guān)于直線MN的對(duì)稱點(diǎn)，連接對(duì)稱點(diǎn)，即得到△ABC關(guān)于直線MN的對(duì)稱圖形，如圖△ABC的面積可以看出是邊長2和3的矩形與三個(gè)直角三角形的面積差2×3-2×（1×2）÷2-（1×3）÷2=2.5所以△ABC的面積為2.5例2如圖梯形ABCD中，AD//BC，B+C=90°，若AB=8，CD=5，試求BC-AD的值分析：通過平移線段AB到DE的位置，使BC-AD轉(zhuǎn)化為CE，同時(shí)將CE放在了直角三角形中，利用勾股定理即可解決解：將線段AB平移到DE的位置。則AB//DE,且AB=DE∴AD=BE.且∠B=∠DEC即BC-AD=BC-BE=EC∵∠B+∠C=90°，∴∠DEC+∠C=90°在Rt△DEC中，CE=∴BC-AD的值為例3如圖，ABC的周長為24，AC的垂直平分線交BC于點(diǎn)D，E為垂足，若AE=4，求ABD的周長。分析：通過軸對(duì)稱變換，可將線段AD翻折到線段CD的位置，則△ABC的周長轉(zhuǎn)化為線段AB+BC的長度，問題即可解決解：∵DE垂直平分線段AC，∴AD=DE且AE=EC∵AE=4,∴AC=2AE=8,又∵△ABC的周長為24△ABC的周長=AB+BD+AD=AB+BD+DC=AB+BC=24-AC=24-8=16例4如圖，以等腰Rt△ABC的斜邊AB為邊向點(diǎn)C的同側(cè)作等邊ABD，連接CD，以CD為邊作等邊CDE，B、E在CD的同側(cè)，若AB=2，求BE的長度。分析：這是一道看似復(fù)雜的計(jì)算題，而實(shí)質(zhì)上是典型的軸對(duì)稱變換題，如果發(fā)現(xiàn)直線CD是△ABC與△ABC的對(duì)稱軸，直線BD是△CDE的對(duì)稱軸，則易知BE=BC=解：在Rt△ABC中,AB=2，且AC=BC,∴AC=BC==∵△ABC、△ABD是有公共底邊的兩個(gè)等腰三角形∴CD所在直線是△ABC、△ABD的公共對(duì)稱軸∴∠ADC=∠BDC在等邊△ABD中，∠ADB=60°，∴∠BDC=∠ADB=30°在等邊△CDE中，∠CDE=60°∴∠BDC=∠BDE=30°，∴直線BD是△CDE的對(duì)稱軸∴BE=BC=例5點(diǎn)C是線段BA延長線上的一點(diǎn)，正方形ACDE和正方形ABGF在AB的同側(cè)，判斷線段CF與BE的大小關(guān)系，并說明理由解：CF=EB，理由如下：∵ACDE和ABGF是正方形，∴AC=AE，AF=AB，且∠CAF=∠EAB∴Rt△CAF≌Rt△EAB,∴CF=EB或ACDE和ABGF是正方形∴將Rt△CAF繞著點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，則與Rt△EAB重合∴CF=EB例6如圖，梯形ABCD中，AD//BC,ABC=90°，對(duì)角線ACBD于點(diǎn)E，若AD：BC=3:4，求AC：BD的值。分析：已知與求解中所涉及的四條線段AC、BD、AD、BC恰好位于兩個(gè)直角三角形中，因此，可以利用相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例進(jìn)行求解解：∵∠ABC=90°，AC⊥BD∴∠1+∠EBC=∠ABC=90°，∠2+∠EBC=90°∴∠1=∠2∵AD//BC,∴∠ABC=∠BAD=90°∴Rt△CBA~Rt△BAD∴設(shè)AD=3k,BC=4k,則AB2=AD×BC=12k2,即AB=2∴AC:BD=AB:AD=例7如圖①，斜坡AC的坡度（坡比）為1：，AC=10米，坡頂有一旗桿BC，旗桿頂端B點(diǎn)與A點(diǎn)有一條彩帶AB相連，AB=14米。試求旗桿BC的高度。解：延長BC交AD于E點(diǎn)，則CE⊥AD在Rt△AEC中，AC=10米由坡比為1：可知：∠CAE=30°∴CE=AC·sin30°=（米）AE=AC·cos30°=（米）在Rt△ABC中，BE=∵BE=BC+CE,∴BC=BE-CE=11-5=6答：旗桿的高度為6米例8如圖①是某區(qū)部分街道示意圖，其中CE垂直平分AF，AB//DC,BC//DF.從B站乘車到E站只有兩條路線有直接到達(dá)的公交車，路線1是B→D→A→E,路線2是B→C→F→E,請(qǐng)比較兩條路線路程的長短，并給出證明。解：兩條路線的路程一樣長如圖②，延長FD交AB于點(diǎn)G由CE垂直平分AF，可得FE=EA,DA=DF∵AB//DC,∴△AFG~△EFD.∴FE:FA=FD:FG由FE=EA,可知FD=DG,∴AD=DG∵AB//DC,BC//GF∴四邊形BCDG是平行四邊形?！郈B=DG∴CB=DA,CB=FD又由BC//DF.∴四邊形BCFD是平行四邊形∴BD=CF從而BD+DA+AE=BC+CF+FE說明：本題的解法多樣，只要正確均可例9有兩張完全重合的矩形紙片，小亮將其中一張繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后得到矩形AMEF，連接BD、MF,若他測得BD=8cm∠ADB=30°（1）試探究線段BD與線段MF的關(guān)系，并簡要說明理由（2）小紅用剪刀將△BCD與MEF剪去，與小亮繼續(xù)探究，他們將△ABD繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得△AB1D1，AD1交FM于點(diǎn)K(如圖②)，設(shè)旋轉(zhuǎn)角為β（0°＜β＜90°），當(dāng)△AFK為等腰三角形時(shí)，求出旋轉(zhuǎn)角β解：（1）BD=MF,BD⊥MF.延長FM交BD于點(diǎn)N，由題意得：△BAD?△MAF.∴BD=MF,∠ADB=∠AFM.又∴∠DMN=∠AMF,∴∠ADB+∠DMN=∠AFM+∠AMF=90°，∴∠DNM=90°，∴BD⊥MF。（2）顯然AK≠AF。①當(dāng)FA=FK時(shí)，則∠FAK=∠FKA=75°.∴B1AM=75°，∴∠BAB1=15°②當(dāng)AK=KF時(shí)，則∠KAF=∠F=30°。.∴F30°∴∠BAB1=60°∴旋轉(zhuǎn)角β的度數(shù)為15°或60°。第六章圖形與坐標(biāo)一考點(diǎn):1.平面直角坐標(biāo)系2.用坐標(biāo)確定位置3.圖形的運(yùn)動(dòng)與坐標(biāo)（1)平移(2)軸對(duì)稱(3)旋轉(zhuǎn)(4)相似4.方位角、仰角、俯角、坡角二例題例1如圖是某校九年級(jí)（1）班的座位圖，小芳說：“我坐在第三排第三列，如果我的座位用（3，3）表示，那么曉艷的座位是（2，5），小強(qiáng)的座位是（5，4）?！闭?qǐng)?jiān)趫D中標(biāo)出曉艷和小強(qiáng)的座位。分析：根據(jù)小芳的描述，可以先確定坐標(biāo)原點(diǎn)、x軸和y軸，然后在直角坐標(biāo)系中，根據(jù)坐標(biāo)確定相應(yīng)點(diǎn)的位置。解：曉艷的座位在圖中的A點(diǎn)，小強(qiáng)的座位在圖中的B點(diǎn)。例2如圖，A點(diǎn)坐標(biāo)為（3，3），將?ABC先向下平移4個(gè)單位得?A’B’C’，再將?A’B’C’繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)180°得?A’B’C’。請(qǐng)你畫出?A’B’C’和A’B’C’，并寫出點(diǎn)A”的坐標(biāo)。解：?A’B’C’和?A’B’C’如圖示，點(diǎn)A”的坐標(biāo)為（-3，1）。例3如圖，邊長為2的正方形的對(duì)稱中心在坐標(biāo)原點(diǎn)O，在坐標(biāo)平面內(nèi)找一點(diǎn)P，使?PAB、?PBC、?PCD、?PDA同時(shí)為等腰三角形，寫出滿足條件的所有點(diǎn)P分析：尋找滿足條件的點(diǎn)P時(shí)，要考慮正方形的邊長為等腰三角形的底邊或腰兩種情況。解：顯然，原點(diǎn)O（0，0）符合條件。以點(diǎn)C為圓心，CD長為半徑畫弧交x軸地點(diǎn)P1、P2，則點(diǎn)P1、P2符合條件。Rt?P1MC中，由P1C=2，MC=1，得P1M=3；Rt?P2MC中，由P2C=2，MC=1，得P2M=3。所以，P1（1+3，0），P2（1-3仿上述解答過程，還可以得到下列點(diǎn)也滿足條件：（-1±3，0），（0，1±3，），（0，-1±3）。即滿足條件的點(diǎn)P例4在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A、B、E、D、F的坐標(biāo)分別是A（4，3）、B（4，0）E（5，0）、D（13，6）、F（13，0），?DEF是由?AOB經(jīng)過位似變換得到的，求位似中心點(diǎn)O’的坐標(biāo)。分析：相似圖形的每組對(duì)應(yīng)點(diǎn)所在直線都經(jīng)過同一個(gè)點(diǎn)，這個(gè)點(diǎn)就是位似中心。求位似中心點(diǎn)O’的坐標(biāo)，就是求直線AD與x軸的交點(diǎn)的坐標(biāo)解：設(shè)圖像經(jīng)過點(diǎn)A、D的一次函數(shù)表達(dá)式為y=kx+b,則解這個(gè)方程組，得所以，所求一次函數(shù)表達(dá)式為當(dāng)y=0時(shí)，x=-5，所以位似中心點(diǎn)O’的坐標(biāo)為（-5,0）例5已知Rt△ABC的斜邊AB在平面直角坐標(biāo)系的x軸上，點(diǎn)C（1,3）在反比例函數(shù)y=的圖象上，且sin∠BAC=求k的值和邊AC的長求點(diǎn)B的坐標(biāo)解：（1）∵點(diǎn)C（1,3）在反比例函數(shù)y=的圖象上，∴3=，解得k=3.∴k的值為3，作CD⊥x軸，垂足為點(diǎn)D∵sin∠BAC=，∴sin∠BAC==又CD=3，∴AC=5（2）斜邊AB在直角坐標(biāo)系的x軸上有兩種情況：①點(diǎn)B在點(diǎn)D的右邊（如圖1）∵∠BAC+∠ABC=90°，∠BAC+∠DBC=90°∵∠BAC=∠BCD在Rt△ABC中，CD=3，AC=5，∴AD=4求BD的長給出以下兩種解法：解法1：tan∠CAD=tan∠BCD，∴=即∴BD=（或2.25）解法2：在Rt△ADC和Rt△CDB中，∠ADC=∠CDB=90°,∠DAC=∠DCB,∠ACD=∠CBD∴Rt△ADC~Rt△CDB∴∴BD=（或2.25）∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為(,0)(或?qū)懗?3.25,0))②點(diǎn)B在點(diǎn)D的左邊（如圖2）同理可得點(diǎn)B的坐標(biāo)為（，0）（或?qū)懗桑?1.25,0））第七章圖形與證明一考點(diǎn):1.有關(guān)概念(1)定義(2)命題(3)公理(4)定理2.證明的依據(jù)(1)六個(gè)公理①兩條直線被第三條直線所截，如果同位角相等，那么這兩條直線平行.②兩條平行線被第三條直線所截，同位角相等.③兩邊及其夾角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等.④兩角及其夾邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等.⑤三邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等.⑥全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等，對(duì)應(yīng)角相等.(2)等式的有關(guān)性質(zhì)①若a=b,b=c,則a=c.②若a=b,且c=d,則a+c=b+d③若a=b,且c=d,則ac=bd.④若a=b,且c≠O,則a(3)不等式的有關(guān)性質(zhì)①若a>b,b>c,則a>c②若a>③若a>b,且c>O,則ac>bc,④若a<b,且c<O,則a<bc,3.有關(guān)定理(1)平行的性質(zhì)定理與判定定理(2)三角形(3)角平分線(4)線段垂直平分線(5)平行四邊形(6)矩形(7)菱形(8)正方形(9)梯形4.反證法①假設(shè)命題的結(jié)論不成立;②從這個(gè)假設(shè)出發(fā)，應(yīng)用正確的推理方法，得出與定義、公理、定理或已知條件相矛盾的結(jié)果;③由矛盾的結(jié)果判定假設(shè)不正確，從而肯定命題的結(jié)論正確.二例題例1如圖，直線AB//CD,∠BEF的平分線交CD于點(diǎn)G，求證：EF=FG證明：∵EG是∠BEF的平分線，∴∠1=∠2∵AB//CD∴∠1=∠3∴∠2=∠3∴EF=FG例2平行四邊形ABCD中，點(diǎn)E、F是對(duì)角線AC上的兩點(diǎn)，且AE=CF，求證：四邊形BFDE為平行四邊形分析：由于判定四邊形為平行四邊形的方法有多種，因此本題的證明方法很多證法1：連接BD交AC于點(diǎn)O，由平行四邊形ABCD可得AO=OC,BO=OD∵AE=CF,且AO=OC，∴AO-AE=OC-CF,即EO=OF∴四邊形BFDE為平行四邊形證法2：由平行四邊形ABCD可得AB//CD，且AB=CD∵AB//CD，∴∠BAE=∠DCF又∵AB=CD，AE=CF，∴△BAE≌△DCF（SAS）∴DF=BE同理可證，BF=DE∴四邊形BFDE為平行四邊形證法3：∵平行四邊形ABCD是中心對(duì)稱圖形，且AE=CF∴將□ABCD繞對(duì)稱中心（AC的中點(diǎn)）旋轉(zhuǎn)180°后，點(diǎn)A與點(diǎn)C重合，點(diǎn)B與點(diǎn)D重合，點(diǎn)E與點(diǎn)F重合，從而BF=DE，BE=DF∴四邊形BFDE為平行四邊形例3如圖，AD是△ABC的角平分線，若AC=AB+BD，求證：∠B=2∠C分析：由于∠BAC的對(duì)稱軸是直線AD，所以將△ABD沿直線AD折疊后，∠B與∠C就變成了內(nèi)外角的關(guān)系，問題就轉(zhuǎn)化了要證∠C=∠EDC因?yàn)闂l件中有AC=AB+BD，也可以考慮在線段AC上截取AE=AB，將線段和的條件轉(zhuǎn)化為線段相等的關(guān)系證法1：∵AD是△ABC的角平分線∵將△ABD沿直線AD折疊，點(diǎn)B落在AC邊的點(diǎn)E上，且∠B=∠AED,BD=DE,AB=AE又∵AC=AB+BD=AE+DE=AE+EC∴DE=EC,∴∠C=∠EDC又∵∠AED=∠C+∠EDC,∴∠B=∠AED=2∠C證法2：在AC上截取AE=AB，連接DE∵AD是△ABC的角平分線∴∠BAD=∠EAD又∵AD=AD,∴△ABD≌△AED(SAS)∴∠B=∠AED,BD=DE又∵AC=AB+BD=AE+DE=AE+EC又∵∠AED=∠C+∠EDC,∴∠B=∠AED=2∠C例4如圖，正方形ABCD中，點(diǎn)P是對(duì)角線BD上任意一點(diǎn)，過點(diǎn)P作PE⊥CD于E，PE⊥BC于F，連接EF，求證：EF=PA分析：證明線段相等的方法，除了構(gòu)造全等三角形外，還可以利用軸對(duì)稱性、旋轉(zhuǎn)對(duì)稱性等。證法1：如圖①連接PC∵直線BD是正方形ABCD的對(duì)稱軸，A、C是對(duì)稱點(diǎn)∴PA=PC∴PE⊥PC,PF⊥BC,∴∠BCD是直角∴四邊形PECF是矩形，∴PC=EF∴PA=EF證法2：如圖②，延長EP交AB于點(diǎn)G∵PE⊥PC,PF⊥BC,∴AD//GE,∠AGP是直角∴AG=DE∵正方形ABCD中，BD平分直角∠ADC∴∠PDC=45°Rt△PDE中，PE=DEAG=PE又∵BD平分直角∠ABC,PE⊥AB,PF⊥BC∴PC=EF∴Rt△PAG≌Rt△FEP(SAS)∴PA=EF證法3如圖③將Rt△FEP繞點(diǎn)P順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，則點(diǎn)E落在PF的點(diǎn)H上，PE=PH；點(diǎn)F落在EP的延長線上。設(shè)EP的延長線交AB于點(diǎn)G∵BD平分直角∠ABC,PE⊥AB,PF⊥BC∴PG=PF∴旋轉(zhuǎn)后，EF與GH重合∵PE⊥PC,PF⊥BC∴AD//GE,∠AGP是直角∴AG=DE又∵正方形ABCD，BD平分直角∠ABC∴∠PDC=45°，即Rt△PDE中，PE=DE∴AG=PH∵AG//PH∴四邊形AGHP是平行四邊形∴PA=GH∴PA=EF例5如圖，梯形ABCD中，AB//CD，AC=BD求證：AD=BC分析：證明線段相等可以通過證明三角形全等來達(dá)到，和等腰梯形相關(guān)的證明，常用的添加輔助線的方法作高，或者平移對(duì)角線等證法1：如圖①作AE⊥CD垂足為E，作BF⊥CD,垂足為F。∵AB//CD∴AE=BF∵AC=BD,∴Rt△ACE≌Rt△BDF(HL)∴∠1=∠2又∵AC=BD,CD=CD,∴△ACD≌△BDC(SAS)∴AD=BC證法2：如圖②過點(diǎn)B作BE//AC，交DC的延長線于E，則四邊形ACEB為平行四邊形∴AB=CE且AC=BE∵AC=BD∴BD=BE∴∠1=∠E∵AB//CD∴∠1=C∠2∴∠E=∠2∴△ABD≌△CEB(SAS)∴AD=BC例6求證：在一個(gè)三角形中，不可能有兩個(gè)角是鈍角分析：本題結(jié)論從正面說明較困難，可以用反證法證明已知：△ABC求證：∠A、∠B、∠C中不可能有兩個(gè)角是鈍角證明：假設(shè)∠A、∠B、∠C中有兩個(gè)角是鈍角，不妨設(shè)∠A和∠B是鈍角，則∠A=90°，∠B=90°，∠A+∠B+∠C>90°+90°+∠C>180°這與三角形內(nèi)角和定理矛盾，∠A和∠B是鈍角不成立所以在一個(gè)三角形中，不可能有兩個(gè)角是鈍角例7如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC,直線MN經(jīng)過點(diǎn)C，AD⊥MN；BE⊥MN，垂足分別為D、E（1）當(dāng)直線MN繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到①的位置時(shí)，求證：①△ADC≌△CEB;②DE=AD+BE（2）當(dāng)直線MN繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到②的位置時(shí)，試問DE、AD、BE具有怎樣的等量關(guān)系？請(qǐng)寫出這個(gè)等量關(guān)系，并加以證明分析：對(duì)于第（1）小題，要證△ADC≌△CEB;又因?yàn)锳C=BC,AD⊥MN；BE⊥MN,所以只要證明∠DCA=∠EBC或∠DAC=∠ECB即可，在證得△ADC≌△CEB的前提下再證DE=AD+BE就證明：①∠ADC=∠ACB=90°∠CAD+∠ACD=90°，∠BCE+∠ACD=90°∠CAD+∠BCE又AC=BC,∠ADC=∠CEB=90°△ADC≌△CEB②△ADC≌△CEBCE=AD,CD=BEDE=CE+CD=AD+BE(2)當(dāng)MN旋轉(zhuǎn)到圖②的位置時(shí)，ADDEBE所滿足的等量關(guān)系是DE=AD-BE∠ACB=∠CEB=90°，∠ACD+∠BCE=∠CBE+∠BCE=90°∠ACD=∠CBE又AC=BC∠ADC=∠CEB=90°△ADC≌△CEBCE=AD,CE=BEDE=CE-CD=AD-BE說明：本題（2）小題實(shí)際上就是第（1）小題的變式圖形，解決這一類問題的關(guān)系是觀察圖形的變化過程，從中比較出變化的量和沒有變化的量，更重要的是要抓住變式中不變的量和不變的關(guān)系第八章統(tǒng)計(jì)一考點(diǎn)1.統(tǒng)計(jì)中的兩組基本概念(1)普查與抽樣調(diào)查(2)總體、個(gè)體與樣本2.用樣本估計(jì)總體(1)對(duì)樣本的要求(2)不同抽樣的差異3.頻數(shù)和頻舉4.刻畫一組數(shù)據(jù)的代表(1)平均數(shù)、中位數(shù)與眾數(shù)(2)極差與方差5.統(tǒng)計(jì)圖表(1)統(tǒng)計(jì)表格(2)統(tǒng)計(jì)圖形6.利用統(tǒng)計(jì)結(jié)果作出判斷或決策(1)收集獲取數(shù)據(jù)信息(2)綜合已有圖表信息二例題例1判斷下列調(diào)查的樣本是否合適:(1)在大學(xué)生中調(diào)查我國青年在業(yè)余時(shí)間娛樂的主要方式;(2)在公園里調(diào)查老年人的健康狀況;(3)廣州市教育局向你所在班級(jí)的每位同學(xué)發(fā)一張調(diào)查表，用以調(diào)查估計(jì)全市七年級(jí)學(xué)生對(duì)使用新教材的意見和建議;(4)廣州市電視臺(tái)派記者小王調(diào)查中央電視臺(tái)“晚間新聞”欄目的收視率，小王決定到地鐵站去選取樣本;(5)用抽簽的方法在1}12中選出3個(gè)數(shù)，凡是購買手機(jī)的日期是在這三個(gè)月的所有顧客都被選中作為調(diào)查對(duì)象.分析:樣本是否合適，關(guān)鍵要看個(gè)體之間的差異是否大，樣本是否典型、具有代表性，還要看樣本容量是否合適.解:(1)不合適.因?yàn)榇髮W(xué)生只是我國青年中受教育層次高的群體，調(diào)查結(jié)果不能說明其他青年群體在業(yè)余時(shí)間娛樂的情況.(2)可能不合適.因?yàn)椴簧倮夏耆瞬簧瞎珗@，常在家里看電視、看書、做家務(wù)等.(3)可能不合適.因?yàn)槟闼趯W(xué)校與所在班級(jí)的學(xué)習(xí)情況可能很好，也可能很差，不具有代表性.另外，也因?yàn)闃颖救萘刻?(4)可能不合適.因?yàn)椴簧倮夏耆恕埣踩?、家庭困難者都很少乘坐地鐵，而他們中也有不少是經(jīng)?？措娨暤?應(yīng)考慮在不同社區(qū)、年齡層次、文化背景的人中分別選取樣本.(5)合適.例2為了比較市場上甲、乙兩種電子鐘每日走時(shí)誤差的情況，從這兩種電子中，各隨機(jī)抽取10臺(tái)進(jìn)行測試，兩種電子鐘走時(shí)誤差的數(shù)據(jù)如下表（單位：秒）編號(hào)類型一二三四五六七八九十甲種電子鐘1-3-442-22-1-12乙種電子鐘4-3-12-21-22-21（1）計(jì)算甲、乙兩種電子鐘走時(shí)誤差的平均數(shù)（2）計(jì)算甲、乙兩種電子鐘走時(shí)誤差的方差（3）根據(jù)經(jīng)驗(yàn)，走時(shí)穩(wěn)定性較好的電子鐘質(zhì)量更優(yōu)，若兩種類型的電子鐘價(jià)格相同，請(qǐng)問：你買哪種電子鐘？為什么？解：（1）（2）+（3）買乙種電子鐘，因?yàn)榧?、乙兩種電子鐘走時(shí)誤差的平均數(shù)一樣，<所以乙種電子鐘更穩(wěn)定例3據(jù)媒體報(bào)道：某市四月份空氣質(zhì)量優(yōu)良，高居全國榜首，一中學(xué)九年級(jí)課外興趣小組據(jù)此提出了“今年究竟能有多少天空氣質(zhì)量達(dá)到優(yōu)良”的問題，他們?nèi)〉脟噎h(huán)保總局所公布的空氣質(zhì)量級(jí)別表（見表1）以及市環(huán)保監(jiān)測站提供的資料，從中隨機(jī)抽取了今年1-4月份中30天空氣綜合污染指數(shù)，統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下·表：空氣質(zhì)量級(jí)別表空氣污染指數(shù)0~5051~100101~150151~200201~250251~300大于300空氣質(zhì)量級(jí)別1級(jí)（優(yōu)）Ⅱ（良）Ⅲ1（輕微污染）Ⅲ2（輕度污染）Ⅳ1（中度污染）Ⅵ2（中度重污染）Ⅴ（重度污染）空氣綜合污染指數(shù)30,32,40,42,45,45,77,83,85,87,90,113,127,153,16738,45,48,53,57,64,66,77,92,98.130,184,201,235,243請(qǐng)根據(jù)空氣質(zhì)量級(jí)別表和抽查的空氣綜合污染指數(shù)，解答以下問題（1）填寫頻率分布表中未完成的空格分組頻數(shù)統(tǒng)計(jì)頻數(shù)頻率0~500.3051~100120.40101~150151~20030.10201~25030.10合計(jì)30301.00（2）寫出統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)中的中位數(shù)、眾數(shù)（3）請(qǐng)根據(jù)抽樣數(shù)據(jù)，估計(jì)該市今年（按360天計(jì)算）空氣質(zhì)量是優(yōu)良（包括Ⅰ、Ⅱ級(jí)）的天數(shù)解（1）分組頻數(shù)統(tǒng)計(jì)頻數(shù)頻率0~500.3051~100120.40101~150151~20030.10201~25030.10合計(jì)30301.00（2）中位數(shù)是80、眾數(shù)是45（3）∵∵空氣質(zhì)量優(yōu)良（包括Ⅰ、Ⅱ級(jí)）的天數(shù)是252天例4一次測試九年級(jí)若干名學(xué)生1分鐘跳繩次數(shù)的頻數(shù)分布直方圖如圖，請(qǐng)根據(jù)這個(gè)直方圖回答下面的問題：（1）求參加測試的總?cè)藬?shù)及從左至右最后一組的頻率（2）若圖中自左至右各組的跳繩平均次數(shù)分別：137次，146次，156次，164次，177次，小麗按以下方法計(jì)算參加測試學(xué)生跳繩次數(shù)平均數(shù)是：（137+145+156+164+177）÷5=156請(qǐng)你判斷小麗算式是否正確，若不正確，寫出正確的算式（只列式不計(jì)算）（3）如果測試所得數(shù)據(jù)的中位數(shù)是160次，那么測試次數(shù)為160次的學(xué)生至少有多少人？解：（1）參加測試的總?cè)藬?shù)為4+6+8+20+12=50，從左至右最后一組的頻率為12÷50=0.24（2）不正確正確的算法：（137x4+146x6+156x8+164x20+177x12）÷50(3)∵組距為10∵第四組前一個(gè)邊界值為160又∵第一、二、三組的頻數(shù)和為18,50÷2-18+1=8，即次數(shù)為160次的學(xué)生至少有8人例5某商店在四個(gè)月的試銷期內(nèi)，只銷售A、B兩個(gè)品牌的電視機(jī)，共售出400臺(tái)，試銷結(jié)束后，只能經(jīng)銷其中的一個(gè)品牌為作出決定，經(jīng)銷人員正在繪制兩幅統(tǒng)計(jì)圖，如圖1和圖2（1）第四個(gè)月銷量占總銷量的百分比是（2）在圖2中補(bǔ)全表示B品牌電視機(jī)月銷量的折線（3）為跟，蹤調(diào)查電視機(jī)的使用情況，從該商店第四個(gè)月售出的電視機(jī)中，隨機(jī)抽取一臺(tái)，求抽到B品牌電視機(jī)的概率（4）經(jīng)計(jì)算，兩個(gè)品牌電視機(jī)月銷量的平均水平相同，請(qǐng)你結(jié)合折線的走勢進(jìn)行簡要分析，判斷該商店應(yīng)經(jīng)銷哪個(gè)品牌的電視機(jī)解：（1）30%；（2）如圖3（3）所以抽到B品牌電視機(jī)的概率為（4）由于月銷量的平均水平相同，從折線的走勢看，A品牌的月銷量呈下降趨勢，而B品牌的月銷量呈上升趨勢，所以該商店應(yīng)經(jīng)銷B品牌電視機(jī)例6吸煙有害健康。你知道么？被動(dòng)吸煙也大大危害著人類的健康。為此，聯(lián)合國規(guī)定每年5月31日為“世界無煙日”為配合今年的“世界無煙日”宣傳活動(dòng)，小明和同學(xué)們?cè)趯W(xué)校所在地區(qū)開展了以“我支持的戒煙方式”為主題的問卷調(diào)查活動(dòng)，征求市民的意見，并將調(diào)查結(jié)果分析整理后，制成了統(tǒng)計(jì)圖（1）求小明和同學(xué)們一共隨機(jī)調(diào)查了多少人？（2）根據(jù)以上信息，請(qǐng)你把統(tǒng)計(jì)圖補(bǔ)充完整（3）如果該地區(qū)有2萬人，那么請(qǐng)你根據(jù)以上調(diào)查結(jié)果，估計(jì)該地區(qū)大約多少人支持“強(qiáng)制戒煙”這種戒煙方式解（1）20÷10%=200（人）所以小明和同學(xué)們一共隨機(jī)調(diào)查了200人（2）如下圖（3）20000×45%=9000（人）所以該地區(qū)大約有9000人支持強(qiáng)制戒煙例7某學(xué)校舉行演講比賽，選出了10名同學(xué)擔(dān)任評(píng)委，并事先擬定從如下4個(gè)方案中選擇合理的方案來確定每個(gè)演講者的最后得分（滿分為10分）方案1：所有評(píng)委所給的分的平均數(shù)方案2：在所有評(píng)委所給分中，去掉一個(gè)最高分和一個(gè)最低分，然后再計(jì)算其余給分的平均數(shù)方案3：所以評(píng)委所給分的中位數(shù)方案4：所以評(píng)委所給分的眾數(shù)為了探究上述方案的合理性，先對(duì)某個(gè)同學(xué)的演講成績進(jìn)行統(tǒng)計(jì)實(shí)驗(yàn)，下面是這個(gè)同學(xué)的得分統(tǒng)計(jì)圖（1）分別按上述4個(gè)方案計(jì)算這個(gè)同學(xué)演講的最后得分（2）根據(jù)（1）中的結(jié)果，請(qǐng)用統(tǒng)計(jì)的知識(shí)說明那些方案不適合合作為這個(gè)同學(xué)演講的最后得分解（1）方案1最后得分：（分）方案2最后得分：（分）方案3最后得分：8（分）方案4最后得分：8或8.4（分）（2）因?yàn)榉桨?中的平均數(shù)受極端數(shù)值的影響，不能反映這組數(shù)據(jù)的“平均水平”所以方案1不適合作為最后得分的方案，方案4中的眾數(shù)有兩個(gè)，眾數(shù)失去了實(shí)際意義，所以方案4不適合作為最后得分的方案說明：一組數(shù)據(jù)的眾數(shù)可以有1個(gè)或多個(gè)，當(dāng)一組數(shù)據(jù)的眾數(shù)有多個(gè)時(shí)，眾數(shù)就失去了實(shí)際意義第九章概率一考點(diǎn)1.隨機(jī)事件、必然事件和不可能事件2.概率3.用頻率估計(jì)概率4.用列舉法求概率5.概率的應(yīng)用二例題例1指出下列事件是必然事件、隨機(jī)事件還是不可能事件:(1)小強(qiáng)放學(xué)回家打開電視機(jī)，屏幕上恰好在播足球賽;(2)小莉媽媽下夜班回家，在黑暗中從一串沒有明顯區(qū)別的鑰匙中，拿到一把一下子就打開了房門的鑰匙;(3)取一個(gè)正方體骸子進(jìn)行拋擲試驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)“偶數(shù)朝上”出現(xiàn)的頻率與“奇數(shù)朝上”出現(xiàn)的頻率之和等于1;(4)廣州市每年夏天都不下雨.分析:要說明事件的可能性，常用的方法有兩種:①想一想有沒有該事件發(fā)生的例子和該事件不發(fā)生的例子.如果兩種都有，則是隨機(jī)事件;若沒有該事件發(fā)生的例子，則是不可能事件;若沒有該事件不發(fā)生的例子，則是必然事件.②列出試驗(yàn)中的所有可能發(fā)生的結(jié)果。若包含部分結(jié)果，則是隨機(jī)事件;若不包含任何結(jié)果，則是不可能事件;若包含全部結(jié)果，則是必然事件.解:(1)隨機(jī)事件;(2)隨機(jī)事件;(3)必然事件;(4)不可能事件.例2小明和曉嵐都想代表班級(jí)去參加數(shù)學(xué)夏令營活動(dòng)，雖然他倆的得票一樣多，可是名額只有一個(gè).曉嵐建議用拋兩枚硬幣的辦法來決定誰去.同時(shí)拋兩枚質(zhì)地相同的硬幣，落地時(shí)，如果同時(shí)正面朝上，則小明去;如果一正一反，則曉嵐去.你認(rèn)為這個(gè)辦法對(duì)雙方公平嗎?認(rèn)為公平，請(qǐng)說明理由;認(rèn)為不公平，請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)出較為公平的規(guī)則.分析:要說明是否公平，就要看兩枚硬幣落地時(shí)，“同時(shí)正面朝上”與“一正一反”的概率是否相同.解:列出拋兩枚質(zhì)地相同的硬幣可能出現(xiàn)的所有結(jié)果是:“正正、正反、反正、反反”.因此，“同時(shí)正面朝上”的概率是14而“一正一反”的概率是12可以修改如下:同時(shí)拋兩枚質(zhì)地相同的硬幣，落地時(shí)，如果“同正”或“同反”，則小明央:如果“一正一反”，則曉嵐去.例3某校七年級(jí)(1)班有50名學(xué)生，每人進(jìn)行了60次的拋擲正方體骸子試驗(yàn)，他們?cè)囼?yàn)的結(jié)果如下:學(xué)號(hào)12345678910111213141516171朝上的次數(shù)121567148613912181110981214學(xué)號(hào)18192021222324252627282930313233341朝上的次數(shù)11751091010710911128141379學(xué)號(hào)353637383940414243444546474849501朝上的次數(shù)13141110910107861412781010怎樣利用這些數(shù)據(jù)對(duì)骸子落地后“1朝上”的概率進(jìn)行估計(jì)?解:將全班50名同學(xué)的數(shù)據(jù)合起來，就相當(dāng)于做了3000次試驗(yàn)，可以將試驗(yàn)數(shù)據(jù)整理如下:試驗(yàn)次數(shù)1朝上的次數(shù)1朝上的頻率6001020.1712002070.172518003030.1683240041301687從上述統(tǒng)計(jì)表可以看出，骸子落地后“1朝上”的頻率波動(dòng)很小，由此可以估計(jì)般子落地后“1朝上”的概率約為0.17.例4.曉霞在紙上隨機(jī)寫一個(gè)大于—5的負(fù)整數(shù)，小梅的紙上隨機(jī)寫一個(gè)小于6的正整數(shù)，兩人寫的數(shù)恰好互為相反數(shù)的概率是多少？解：可以利用列表法進(jìn)行計(jì)算：曉霞小梅—4—3—2—11（1，—4）（1，—3）（1，—2）（1，—1）2（2，—4）（2，—3）（2，—2）（2，—1）3（3，—4）（3，—3）（3，—2）（3，—1）4（4，—4）（4，—3）（4，—2）（4，—1）5（5，—4）（5，—3）（5，—2）（5，—1）所以，兩人寫得數(shù)恰好互為相反數(shù)的概率是。例5某中學(xué)九年級(jí)（3）班50名學(xué)生參加平均每周上網(wǎng)時(shí)間的調(diào)查，由調(diào)查結(jié)果繪制了頻數(shù)分布直方圖（如圖），根據(jù)圖中信息回答下列問題：求ａ的值；用列舉法求一下事件的概率：從上網(wǎng)時(shí)間在610小時(shí)的學(xué)生中隨機(jī)選取2人，其中至少1人的上網(wǎng)時(shí)間在810小時(shí)。解：（1）由頻數(shù)分布直方圖可以看出ａ＝50-6-14-25-2=3.所以a的值為3.由（1）知上網(wǎng)時(shí)間在610小時(shí)的共有5名學(xué)生，設(shè)上網(wǎng)時(shí)間在68小時(shí)的3名學(xué)生為A、B、Ｃ，上網(wǎng)時(shí)間在８１０小時(shí)的2名學(xué)生為D、E，解法1：則在5人中選取2人的情況有：選取的2人中至少有1人的上網(wǎng)時(shí)間在８１０小時(shí)的情況有AD、AE、BD、BE、CD、CE、DE共7種，所以選取的2人中至少有1人的上網(wǎng)時(shí)間在８１０小時(shí)的概率為.解法2：則在5人中選取2人的情況有：AB、AC、AD、AE、BC、BD、BE、CD、CE、DE共10種，選取的2人中至少有1人的上網(wǎng)時(shí)間在810小時(shí)的情況有：AD、AE、BD、BE、CD、CE共7種，所以選取的2人中至少有1人的上網(wǎng)時(shí)間在810小時(shí)的概率為。解法3：（列表法）ABCＤＦAABACADAEBBABCBDBEＣCAＣＢCDCEDDADBDCDEEEAEBECED上表中選取的2人中至少有1人的上網(wǎng)時(shí)間在810小時(shí)的情況有：AD、AE、BD、BE、C