2023蘇教版新教材高中數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊同步練習(xí)-第4章 數(shù)列

第4章數(shù)列

（全卷滿分150分，考試用時120分鐘）

一、單項選擇題（本題共8小題,每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是

符合題目要求的）

1.已知數(shù)列｛aj是等比數(shù)列,S”為其前n項和，若ai+a2+a3=4,at+a5+a?=8,則SI2=（）

A.40B.60C.32D.50

2.已知，是等差數(shù)列｛&｝的前n項和,若S15=45,則5a「3a：；的值為（）

A.6B.15C.34D.17

3.已知數(shù)列｛aj的前n項和為S?,且S?=^-＞貝|三=（）

n+la5

A.-B.-C.-D.30

6530

4.設(shè)+-j—+?+—F—^―\則與M最接近的整數(shù)為（）

\3z-44z-45z-4100z-4/

A.18B.20C.24D.25

5.已知兩個等差數(shù)列｛aj與｛bn）的前n項和分別為An和B”且暮二注,則使得詈為整數(shù)的正整

Bnn+3bn

數(shù)n的個數(shù)是（）

A.2B.3C.5D.4

6.在aABC中，a,b.c分別是角A,B,C的對邊,A=Jb,a,c成等差數(shù)列，且荏?AC=9,則a=（）

A.2V3B.3V2C.2V2D.3V3

7.定義已為n個正數(shù)5,U2,q,…,u,,的“快樂數(shù)”.若已知正項數(shù)列｛%｝的前n項的“快樂數(shù)”

副

為肅則數(shù)列｛不嬴而｝的前2ON項和為（）

A2018D2019r2019「2019

2019202020181010

8.對于數(shù)列｛an｝,若存在常數(shù)M,使對任意neN*,都有|a』WM成立,則稱數(shù)列｛aj有界.若有數(shù)列

｛aj滿足aE,則下列條件中,能使⑸｝有界的是（）

A.a“+an+i=l+nB.a?i—a?=l——

nn

C.aa+產(chǎn)1+2"D.an+1=1+—

11li2

ann

二、多項選擇題（本題共4小題,每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目

要求.全部選對的得5分,部分選對的得2分,有選錯的得0分）

9.若數(shù)列｛a?｝的前n項和是Sn,且Sn=2a?-2,數(shù)列瓜｝滿足b=log2an）則下列結(jié)論正確的為（）

A.數(shù)列｛aj是等差數(shù)列

B.%=2"

C.數(shù)列｛成｝的前n項和為絲F

D.數(shù)歹1」｛二.[+]｝的前11項和為T”則LG

10.已知數(shù)列｛aj不是常數(shù)列,其前n項和為S?,則下列選項正確的是（）

A.若數(shù)歹Ij｛aj為等差數(shù)列,Sn>0恒成立，則｛aj為遞增數(shù)列

B.若數(shù)歹I區(qū)｝為等差數(shù)列,aDO,S3=S10,則S0的最大值在n=6或7時取得

C.若數(shù)歹!]｛a?｝為等比數(shù)列，則S202i-a2聞>0恒成立

D.若數(shù)列｛aj為等比數(shù)列，則｛2而｝也為等比數(shù)列

11.已知數(shù)列｛an｝的前n項和為S?,a,=l,S?H=Sn+2an+l,數(shù)列｛上二｝的前n項和為L.nEN*,則下

lanan+1J

列選項正確的為（）

A.數(shù)列｛a0+l｝是等差數(shù)列

B.數(shù)列｛an+l｝是等比數(shù)列

C.數(shù)列5｝的通項公式為a?=2n-l

D.T?<1

12.在數(shù)列｛aj中,若碎-W-i=P（n22,n￡N*,p為常數(shù)），則稱｛a?｝為等方差數(shù)列.下列對等方差

數(shù)列的判斷正確的是（）

A.若瓜｝是等差數(shù)列,則｛成｝是等方差數(shù)列

B.｛（T）”｝是等方差數(shù)列

C.若｛4｝是等方差數(shù)列,則（8n｝（k￡N*,k為常數(shù)）也是等方差數(shù)列

D.若｛烝｝既是等方差數(shù)列，又是等差數(shù)列，則該數(shù)列為常數(shù)列

三、填空題（本題共4小題,每小題5分，共20分）

13.將數(shù)列｛3n+l｝中的項數(shù)為奇數(shù)的項按照從小到大排列得到數(shù)列｛a“｝,則｛%｝的前n項和

為.

14.用數(shù)學(xué)歸納法證明“當(dāng)neN*,1+2+2?+2、…+2"能被31整除”時，從k到k+1,等式左邊需

添加的項是.

15.已知｛a“｝是等比數(shù)列，且a?>0,a2a4+2a3a5+206=25,則a3+a5=,a4的最大值

為（本題第一~'空3分第二空2分）

16.如圖是一個數(shù)表,第1行依辰寫著從小到大的正整數(shù),然后把每行相鄰的兩個數(shù)的和寫在這

兩數(shù)正中間的下方,得到下一行,數(shù)表從上到下與從左到右均有無限項,則這個數(shù)表中的第11

行的第7個數(shù)為（用具體數(shù)字作答）.

1234567-

35791113???

812162024…

20283644

486480???

四、解答題（本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）

17.（本小題滿分10分）在①S“=2b尸l;②-4bn=bnT（n22）;③bn=bnT+2（n22）這三個條件中任選一

個,補充在問題的橫線上.若問題中的k存在,求出k的值;若k不存在,說明理由.

問題：已知數(shù)列5｝為等比數(shù)列,a.=|,a3=aia2,數(shù)列限｝的首項b,=l,其前n項和為Sn,:

是否存在k@N*,使得對任意n￡N*,abWah恒成立？

注:如果選擇多個條件分別解答,按第一個解答計分.

18.（本小題滿分12分）已知等差數(shù)列5｝的前n項和為Sn,S4=16,a3=3a2.

⑴求｛%｝的通項公式；

⑵設(shè)b?=—求瓜｝的前2n項和T.

GnQn+i2n

19.（本小題滿分12分）設(shè)數(shù)列｛aj的前n項和為Sn,且對任意的正整數(shù)n都滿足。武1）2=為'

（1）求SbS2,S3的值,猜想S”的表達式;

⑵用數(shù)學(xué)歸納法證明⑴中猜想的村的表達式的正確性.

20.（本小題滿分12分）甲、乙兩超市同時開業(yè),第一年的全年銷售額均為a萬元.由于經(jīng)營方式

不同，甲超市前n年的總銷售額為貯產(chǎn)萬元，乙超市第n年的銷售額比前一年的銷售額多

（滬a萬元.

⑴求甲、乙兩超市第n年全年的銷售額的表達式；

（2）若其中某一超市的年銷售額不足另一超市的年銷售額的50%,則該超市將被另一超市收購，

判斷哪個超市有可能被收購.如果有這種情況,將會出現(xiàn)在第幾年？

21.（本小題滿分12分）已知數(shù)列｛aj的前n項積T.滿足條件:①｛1｝是首項為2的等差數(shù)歹U;②

T-T5=i.

6

（1）求數(shù)列｛a.｝的通項公式；

⑵設(shè)數(shù)列?｝滿足b4看a,其前n項和為出,求證:對任意正整數(shù)n,都有0〈S《

22.(本小題滿分12分)若無窮數(shù)列a”a2,a3,…滿足:對任意兩個正整數(shù)

i,J(j~i^3),ai-i+aJ+i=ai+ajaMaj-kai+aj至少有一個成立,則稱這個數(shù)列為“和諧數(shù)列”.

⑴求證:若數(shù)列瓜｝為等差數(shù)列，則瓜｝為“和諧數(shù)列”；

⑵求證:若數(shù)列｛4｝為“和諧數(shù)列”，則數(shù)列EJ從第3項起為等差數(shù)列；

⑶若｛aj是各項均為整數(shù)的“和諧數(shù)列”，滿足由=0,且存在pdN*,使得

a?=p,a1+a2+a：i+—+ap=-p,求p的所有可能的值.

答案全解全析

1.B由等比數(shù)列的性質(zhì)可知，數(shù)列$3,s6-s3,是等比數(shù)列，即數(shù)列4,8,SLSS是等比數(shù)列，因此

5■=4+8+16+32=60,故選B.

2.A設(shè)等差數(shù)列｛a,,｝的公差為d.

?=15as=45,/.as=3,

VSi5=45,A2

.?,5a5-3a3=5X(ai+4d)-3X(a1+2d)=2⑸+7d)=2a=6.故選A.

3.Da=Sn-Sr,1；(n^2),又a1二S1W，符合上式，■J；(neN*),

nnn(n+l)2n(n+l)

.?.±=5X6=30,故選D.

4.D*48島+士+擊+…+康)

1111

二48x------------------+------------------+-----------------+???+-------------------------

(3-2)X(3+2)(4-2)X(4+2)(5-2)X(5+2)(100-2)X(100+2)

=48X(展+盤+++…+

=12X[(1-1)+Q-1)+(1-1)+…+得*)]

=12X(1+9長擊磊*)=25-12x(表+擊+擊+專)

因為0Q2X(表+京+專+壺)<12x專<：,所以M<25.故與M最接近的整數(shù)為25.

5.C?.?數(shù)列E｝和｛bj均為等差數(shù)列,且其前n項和A“和B。滿足答=注，

Bnn+3

(2n-l)(ai+a2n-l)

?—2n-l_2_an

**B.i-(2"1)91+匕2九-1)—b

2n2n

7x(2n-l)+45_14n+38_7(2n+2)+24

2n-l+3-2n+2-2n+2

=7+箴=7+篇

當(dāng)n=l,2,3,5,U時，鼠為整數(shù).故選C.

6.B由題知A=pb,a,c成等差數(shù)列，則2a=b+c,由布,AC=9,得cbcosA=9,所以bc=18,

結(jié)合余弦定理得a2=b2+c2-2bccosA=(b+c)2-3bc=4a2-54,

所以a=3近(負值舍去)，故選B.

7.B設(shè)S“為數(shù)列｛a,,｝的前n項和.

由“快樂數(shù)”的定義可知?=—,即S?=3n2+n.

Sn3n+l

當(dāng)n=l時，ai=Si=4;

當(dāng)n22且n0底時，an=Sn-Sn-i=6n-2,

經(jīng)驗證可知a尸4滿足an=6n-2,

/.a.-6n-2(n￡N*).

??.------36-----=----3-6---=---1--=-1-----1-,

(an+2)(an+1+2)6n?(6n+6)n(n+l)nn+1

數(shù)列〔——聲——]的前2019項和為1」+'4??+」-----」=故選B.

l(an+2)(an+1+2)J223201920202020

8.D對于A選項，假設(shè)瓜｝有界,即存在常數(shù)M,對任意nEN;都有a『WM,aWM,

則1+n=aM&WM+M=2M.由于左邊1+n遞增到無窮大,而右邊為常數(shù)，因此A選項錯誤;

同理對于C選項,an，ian=l+2"WM；錯誤；

對于B選項，n—1時，31=32,n22且n￡N*時,aa+i-a—1——,累加可得,a「a22二(n-2),又a2=a1二l,所以an2力n=l時，

nn222

符合上式,所以a“N；(nWN*),顯然不是有界的；

對于D選項,吩2,皿=1+9=號<*=r*不=-7?臺，

zzz

annnn-l(n+l)(n-l)n+1n-1

累乘可得出X吧x…x9〈(爐x*x...x,?(mx—X-X^),

n

an，ian，2a2'n-13/n-2n-31

即生=2?(n-i)<2,從而a?<4,D正確.故選D.

a2n

9.BD當(dāng)n=l時,Si=2a-2,解得a,=2,當(dāng)n22時，由S“=2a「2①，得S?尸2al.H②，

①-②得a.=2a-(n22),所以數(shù)歹心a“｝是以2為首項,2為公比的等比數(shù)列,故A錯誤；

易知a?=2",貝I]成=4",所以數(shù)列｛成｝的前n項和$'“=^三等=故B正確,C錯誤；

1—43

n

又bn=log2an=log22=n,所以;;一--=—^―-=--士，

所以1\,一工+乙一3+…二一二-=1一--<1,故D正確.

1223nn+1n+1

10.ABC對于A,若數(shù)列｛a,J為等差數(shù)列,S0>0恒成立,則公差d>0,故｛a.｝為遞增數(shù)列，故A正確；

對于B,若數(shù)列｛a,J為等差數(shù)列,ai>0,設(shè)其公差為d,由53=5,0,得3al號d=10al+等d,即a,=-6d,故a?=(n-7)d,

所以當(dāng)nW7時,a.20,a7=0,故S”的最大值在n=6或7時取得,故B正確；

對于C,若數(shù)列｛aj為等比數(shù)列，設(shè)其公比為q,

則$20,?a。產(chǎn)―°叼?a,?q2儂=山?q，*上E>0恒成立，故C正確；

221-q1-q

對于D,若數(shù)列｛a?｝為等比數(shù)列,設(shè)其公比為q,則2"=2aLq"\所以喋=2a^nl\不是常數(shù)，故｛2而｝不為

等比數(shù)列，故D錯誤.故選ABC.

==

11.BCD因為Sn+l=Sn+2an+1,所以an+lSn+l—Sn2an+1,可化為841+1+1=2(4+1),

n

由S尸an,可得數(shù)列瓜+1｝是首項為2,公比為2的等比數(shù)列，則an+l=2,即&=27n￡N)

口2n_2n__1_____]

Xn+1

anan+i-(2-7)--2-f

可得T"=l-擊'+高:一高+…+高一島1=1一蘇%〈卜所以A錯誤，B，C,D均正確?

故選BCD.

12.BCD在選項A中，取a?=n,則｛aj是等差數(shù)列,且磋=憂則a"1-忌=(n+1)/2=2/1,不是常數(shù),所以｛磷｝不是

等方差數(shù)列，故A錯誤.

在選項B中,W-硫i=[(-1)"]2-[(-1)",]2=1-1=0,是常數(shù),所以｛(T)"｝是等方差數(shù)列,故B正確.

在選項C中，由｛aj是等方差數(shù)列，得碎-a￡i=P,從而嫌=謚+(n-l)p,所以或(”+[)-a葭=[al+(kn+k-

l)p]-[^+(kn-l)p]=kP)是常數(shù),所以｛a吊(kGN*,k為常數(shù))是等方差數(shù)列，故C正確.

在選項D中，由｛&｝是等差數(shù)列,可設(shè)其公差為d,則a「a?T=d,又｛a?｝是等方差數(shù)列,所以W-*吏,所以忌-

硫i=(a0+a“J(a?-a?i)=(a?+a?1)d=p?,AKlfn(a?,i+a?)d=p(2).

②-①得，(d+d)d=0,解得d=0,所以｛a.｝是常數(shù)歹ij,故D正確.故選BCD.

13.答案3n2+n

解析設(shè)｛a?｝的前n項和為S?.令b"=3n+l,則a?=b2?-l=3(2n-l)+l=6n-2,

因為a??i-a?=6(n+1)-2-6n+2=6,所以｛a?｝是以6為公差,4為首項的等差數(shù)列,所以S?=4n+n^X6=3n*+n.故答案為

3n2+n.

14.答案2iil,+25k4'+25k+2+25k*3+25k<4

解析根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法，

當(dāng)n=k時,原式為1+2+2町2」+…+2$i;

zs5k-15k5k5k，25k，35k1

當(dāng)n=k+l時,原式為1+2+2+2+...+2+2+2*'+2+2'+2''.

故從k到k+1,等式左邊需添加的項是2m+2"”+25k'2+2"”+2以”.

15.答案5;|

解析因為｛a,.)是等比數(shù)列，a2a4+2@3%+日冏=25,

2

所以送+2a3a5+Q125,即(a3+a5)=25,因為a>0,所以a3+a5=5,

易知a^+as^2y/a3as=2ah當(dāng)且僅當(dāng)a3二25吐等號成立，即aW|,故at的最大值為|.

16.答案12288

解析設(shè)a%n表示第m行的第n個數(shù)，由題中數(shù)表可知,每一行均成等差數(shù)歹U,且第m行的公差為2"、則

=-==m

naB,1+(nl)?2"'\Hn,13(?-1),i+a(n-i),22a(m-i),i+2",

則舞1-器羋=;，即數(shù)歹11｛瑞｝是首項為公差為3的等差數(shù)列，

則騾=；+竽，即awF(m+l)2"2,

2m24

所以〃?=(m+1)2'2+(n-l)2i=(m+2n-l)2"r2,

故a.,,7=(11+14-1)X29=24X29=12288.

17.解析設(shè)等比數(shù)列｛a“｝的公比為q,因為a,=|,所以心三色,

所以q3=；,故a?=（|Y'.（2分）

3\3/

選①,S.=2b?-1,則S?.i=2b?i-l（n>2）,

兩式相減并整理得要=2（n》2）,

bn-l

又bi=l,

nH

所以｛bn）是首項為1,公比為2的等比數(shù)列，所以bn=2,（5分）

所以皿=（|）"?2一弓（丁.（8分）

由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)知,數(shù)列｛ah｝單調(diào)遞增,沒有最大值，

所以不存在kGN；使得對任意nGN,,ahWab恒成立.（10分）

選②，由-4b.=*（n>2）,b=l知數(shù)列｛b“｝是首項為1,公比為5的等比數(shù)列，

所以*?曠,（5分）

所以a?b?=（|）n-（-I）"1=（-4）x（J）”W4X（3nW4X*=|,當(dāng)且僅當(dāng)n=l時取得最大值|.（8分）

所以存在k=1,使得對任意nWN；ahWab恒成立.（10分）

選③，由b.=*+2（n22）可知瓜｝是以2為公差的等差數(shù)列，

又bi=l,所以bn=2n-l.（5分）

設(shè)Cn=ah=（2nT）G）,

則dCn=（2n+D（3-（2n-l）?停）==券修），也分）

所以當(dāng)nW2時,CnQc“當(dāng)n23時,cn+i<cn,

則Ci<C2<C3>C4>C5>***,所以存在k=3,使得對任意nGN*,ahWab恒成立.（10分）

18.解析（1）設(shè)等差數(shù)列｛a..｝的公差為d,（1分）

由題意得儼=4%+竽=4%+6d=16,（3分）

Qi+2d=3（%+d）,

解哦:41沁分）

所以須二-2+4（nT）=4n-6.（6分）

（2）1

由（1）得，a=房；=（4n-6）（4n-2）=4（2n-3）（2n-l）

熹一熹）出分）

所以T2n=bl+bz+b3+…+b2n-l+b2n

n

號(-1-熹)=2(l-4n)>

所以⑹的前2n項和“（12分）

19.解析⑴當(dāng)n=l時,（Si-1）2=Sf,

當(dāng)n22時,(Sn?l)2=(Sn-SQSn，

?.S=|,S3/(3分)

猜想S=-^-,nWN*.（6分）

nn+l

（2）用數(shù)學(xué)歸納法證明：

①當(dāng)n=l時,SW，T=；,猜想正確；（8分）

2n+l2

②假設(shè)n=k（k》l,kCN*）時,猜想正確，即&=；,

k+1

那么當(dāng)n=k+l時，

可得“言=左=上，

即n=k+l時,猜想也成立.（10分）

由①②可知,對任意的正整數(shù)n,S“=」-都成立.（12分）

20.解析（1）設(shè)甲、乙兩個超市第n年全年的銷售額分別為a.萬元、b“萬元，甲超市前n年的總銷售額為S.萬元,

貝IJ$,=（廬；+2"萬元.（2分）

當(dāng)n=l時，Si=ai=a;

當(dāng)n22時,an=Sn-Sn-苗?[n2-n+2-(nT)2+(nT)-2]=(nT)a.(3分)

經(jīng)檢驗,a^a不滿足上式，

(a,n=1,

改a"-l(n-l)a,n>2,n￡N*.

71-1

?a,

所以b=bi+(b-bi)+(b-b)+?,,+(b-b?-i)=a+1a+修)a+***+Q)a=_za=3-2a

B232n[(l)]-

3

顯然b,=a也滿足上式,所以b?=(3-2(|)nl]a(neN*).(6分)

(2)當(dāng)n=2時,a2=a,b?=，則a2>|b2;3n=3時，,a3=2a,bs譚a,則a杉bs；當(dāng)n，4時、an^3a,b(1<3a,故乙超市有可能被

甲超市收購.（8分）

當(dāng)n，4時,令*>bn,貝g（n—l）a>卜一2（|）卜，

?H-1

所以

即n+4（§”">7,所以n》7,

即第7年開始乙超市的年銷售額不足甲超市的年銷售額的50%,乙超市將被甲超市收購.（12分）

21.解析（1）設(shè)等差數(shù)列偌的公差為d.

由已知得白2,所以9=2+（nT）d,

T1Tn

所以工=2+d,2=2+4d,(2分)

T2丁5

1

因為丁2一北三,所以白；一7~~7

62+a2+4a6J

解得d=l,所以」^n+l,即T產(chǎn)二（3分）

Tn汽+1

又Tn=ai-a2....an17,

所以當(dāng)n=l時,akT】g,

當(dāng)n》2時，北尸a「a??…'

所以4啾=看，

當(dāng)n=l時也符合上式,

所以a“=A(nGN*).(6分)

⑵證明:證法一:由⑴知a產(chǎn)券

所以&=忌一

、

因ra為M_一n+1＞—n,

n+2n+T

所以號=名義巖〉島）2,（7分）

所以后>￡?

所以叱忌一羔刈

所以S）0.（8分）