2024秋高中數(shù)學(xué)學(xué)業(yè)質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)檢測1課時作業(yè)含解析新人教A版選修2-1

PAGE1-第一章學(xué)業(yè)質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)檢測時間120分鐘，滿分150分。一、選擇題(本大題共8個小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中只有一個是符合題目要求的)1．(2024·湖南瀏陽一中醴陵三中高二聯(lián)考)設(shè)命題p：?x>0，log2x<2x＋3，則?p為(C)A．?x>0，log2x≥2x＋3B．?x>0，log2x<2x＋3C．?x>0，log2x≥2x＋3D．?x<0，log2x≥2x＋3[解析]全稱命題的否定是特稱命題，所以選C．2．已知等差數(shù)列{an}的公差為d，前n項和為Sn，則“d>0”是“S4＋S6>2S5”A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充分必要條件D．既不充分也不必要條件[解析]方法1：∵數(shù)列{an}是公差為d的等差數(shù)列，∴S4＝4a1＋6d，S5＝5a1＋10d，S6＝6a1∴S4＋S6＝10a1＋21d,2S5＝10a1＋20若d>0，則21d>20d,10a1＋21d>10a1＋20即S4＋S6>2S5.若S4＋S6>2S5，則10a1＋21d>10a1＋20d，即21d>20∴d>0.∴“d>0”是“S4＋S6>2S5”故選C．方法2：∵S4＋S6>2S5?S4＋S4＋a5＋a6>2(S4＋a5)?a6>a5?a5＋d>a5?d>0，∴“d>0”是“S4＋S6>2S5”故選C．3．(2024－2024學(xué)年南康中學(xué)平川中學(xué)信豐中學(xué)聯(lián)考)下列關(guān)于命題說法正確的是(B)A．命題“若xy＝0，則x＝0”的否命題是“若xy＝0，則x≠0”B．命題“若x＋y＝0，則x，y互為相反數(shù)”的逆命題是真命題C．命題“?x∈R，x2－2x＋2≥0”的否定是“?x∈R，x2－2x＋2≥0”D．命題“若cosx＝cosy，則x＝y(tǒng)”的逆否命題是真命題[解析]對于A：命題“若xy＝0，則x＝0”的否命題是“若xy≠0，則x≠0”，故A錯誤，對于B：命題“若x＋y＝0，則x，y互為相反數(shù)”的逆命題是“若x，y互為相反數(shù)，則x＋y＝0”是真命題，故B正確，對于C：命題“?x∈R，x2－2x＋2≥0”的否定是“?x∈R，x2－2x＋2＜0”故C錯誤，對于D：命題“若cosx＝cosy，則x＝y(tǒng)”是假命題，則逆否命題也是假命題，故D錯誤，故選B．4．(2024·北京9)已知α，β∈R，則“存在k∈Z使得α＝kπ＋(－1)kβ”是“sinα＝sinβ”的(C)A．充分而不必要條件B．必要而不充分條件C．充分必要條件D．既不充分也不必要條件[解析]若存在k∈Z使得α＝kπ＋(－1)kβ，則當(dāng)k＝2n，n∈Z時，α＝2nπ＋β，則sinα＝sin(2nπ＋β)＝sinβ；當(dāng)k＝2n＋1，n∈Z時，α＝(2n＋1)π－β，則sinα＝sin(2nπ＋π－β)＝sin(π－β)＝sinβ.若sinα＝sinβ，則α＝2nπ＋β或α＝2nπ＋π－β，n∈Z，即α＝kπ＋(－1)kβ，k∈Z.故選C．5．已知命題p：?x0∈R，使sinx0＝eq\f(\r(5),2)；命題q：?x∈R，都有x2＋x＋2>0，給出下列結(jié)論：①命題“p∧q”為真命題；②命題“(?p)∨(?q)”是假命題；③命題“p∨q”是真命題；④命題“p∨(?q)”是假命題．其中正確的是(C)A．②③ B．②④C．③④ D．①②③[解析]p：∵?x∈R，sinx≤1，∴p為假命題，q：Δ＝1－8<0，∴q為真命題，∴p∧q為假，(?p)∨(?q)為真，p∨q為真，p∨(?q)為假，故選C．6．(2024·山東理，3)已知命題p：?x>0，ln(x＋1)>0；命題q：若a>b，則a2>b2，下列命題為真命題的是(B)A．p∧q B．p∧(?q)C．(?p)∧q D．(?p)∧(?q)[解析]∵x>0，∴x＋1>1，∴l(xiāng)n(x＋1)>ln1＝0.∴命題p為真命題，∴?p為假命題．∵a>b，取a＝1，b＝－2，而12＝1，(－2)2＝4，此時a2<b2，∴命題q為假命題，∴?q為真命題．∴p∧q為假命題，p∧(?q)為真命題，(?p)∧q為假命題，(?p)∧(?q)為假命題．故選B．7．(2024·福州市八縣(市)協(xié)作校期末)下列結(jié)論正確的是(C)A．命題“若am2<bm2，則a<b”的逆命題為真命題B．命題“若x＝1，則x2＋2x－3＝0”的否命題是真命題C．命題p：?x0∈R，xeq\o\al(2,0)≤0的否定是“?x∈R，x2>0.”D．“x>2”是“eq\f(1,x)<eq\f(1,2)”的充要條件[解析]A．“若am2<bm2，則a<b”的逆命題為“若a<b，則am2<bm2”錯誤，例如當(dāng)m＝0時，am2＝bm2B．命題“若x＝1，則x2＋2x－3＝0”的否命題為“若x≠1，則x2＋2x－3≠0”錯誤，如：x＝－3時，x2＋2x－3＝0；C．命題p：?x0∈R，xeq\o\al(2,0)≤0的否定是“?x∈R，x2>0.”正確；D．如x＝－1滿意“eq\f(1,x)<eq\f(1,2)”，但不滿意“x>2”，所以不是充要條件．8．設(shè)x、y、z∈R，則“l(fā)gy為lgx，lgz的等差中項”是“y是x，z的等比中項”的(A)A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件[解析]由題意得，“l(fā)gy為lgx，lgz的等差中項”，則2lgy＝lgx＋lgz?y2＝xz，則“y是x，z的等比中項”；而當(dāng)y2＝xz時，如x＝z＝1，y＝－1時，“l(fā)gy為lgx，lgz的等差中項”不成立，所以“l(fā)gy為lgx，lgz的等差中項”是“y是x，z的等比中項”的充分不必要條件，故選A．二、多項選擇題(本大題共4個小題，每小題5分，共20分，在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，有選錯的得0分，部分選對的得3分．)9．有四個關(guān)于三角函數(shù)的命題，其中是真命題的是(BC)A．?x∈R，sinx＋cosx＝2B．?x∈R，sin2x＝sinxC．?x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))，eq\r(\f(1＋cos2x,2))＝cosxD．?x∈(0，π)，sinx>cosx[解析]對于選項A，因為sinx＋cosx＝eq\r(2)·sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,4)))，所以sinx＋cosx的最大值為eq\r(2)，可得不存在x∈R，使sinx＋cosx＝2成立，得命題A是假命題；對于選項B，因為存在x＝kπ或±eq\f(π,3)＋2kπ(k∈Z)，使sin2x＝sinx成立，故命題B是真命題；對于選項C，因為eq\f(1＋cos2x,2)＝cos2x，所以eq\r(\f(1＋cos2x,2))＝|cosx|，結(jié)合x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))得cosx≥0，由此可得eq\r(\f(1＋cos2x,2))＝cosx，得命題C是真命題；對于選項D，因為當(dāng)x＝eq\f(π,4)時，sinx＝cosx＝eq\f(\r(2),2)，不滿意sinx>cosx，所以存在x∈(0，π)，使sinx>cosx不成立，故命題D是假命題．10．下列命題中假命題的是(ACD)A．命題“?x0∈R，xeq\o\al(2,0)＋1>3x0”的否定是“?x∈R，x2＋1>3x”B．“函數(shù)f(x)＝cosax－sinax的最小正周期為π”是“a＝2”的必要不充分條件C．x2＋2x≥ax在x∈[1,2]時有解?(x2＋2x)min≥(ax)max在x∈[1,2]時成立D．“平面對量a與b的夾角是鈍角”的充分必要條件是“a·b<0”[解析]對于A，命題“?x0∈R，xeq\o\al(2,0)＋1>3x0”的否定是“?x∈R，x2＋1≤3x”，故錯；對于B，由函數(shù)f(x)＝cosax－sinax的最小正周期為π?a＝±2，故正確；對于C，例a＝2時，x2＋2x≥2x在x∈[1,2]上有解，而(x2＋2x)min＝3＜2xmax＝4，∴故錯；對于D，當(dāng)“a·b＜0”時，平面對量a與b的夾角是鈍角或平角，∴“平面對量a與b的夾角是鈍角”的必要不充分條件是“a·b＜0”，故錯．故選ACD．11．(湖南恩施州2024－2024學(xué)年高二期末)已知函數(shù)f(x)＝log2(x＋a)＋log2(x－a)(a∈R)．命題p：?a∈R，函數(shù)f(x)是偶函數(shù)；命題q：?a∈R，函數(shù)f(x)在定義域內(nèi)是增函數(shù)．那么下列命題為真命題的是(AC)A．q B．p∧qC．(?p)∧q D．p∧(?q)[解析]當(dāng)a≥0時，函數(shù)f(x)的定義域為：{x|x＞a}，當(dāng)a＜0時，函數(shù)f(x)的定義域為：{x|x＞－a}，因此當(dāng)a∈R時，函數(shù)的定義域不關(guān)于原點對稱，因此f(x)不行能是偶函數(shù)，所以命題p是假命題，?p是真命題；依據(jù)函數(shù)的單調(diào)性的性質(zhì)可知：?a∈R，函數(shù)f(x)在定義域內(nèi)是增函數(shù)，因此命題q是真命題，?q是假命題，因此有：p∧q是假命題；(?p)∧q是真命題；p∧(?q)是假命題．故選AC．12.若函數(shù)f(x)對隨意x1，x2∈(0，＋∞)，有f(x1)>0，f(x2)>0，且f(x1)＋f(x2)<f(x1＋x2)成立，則稱函數(shù)f(x)為“遵守法律函數(shù)”．給出下列四個函數(shù)，其中是“遵守法律函數(shù)”的是(AC)A．y＝x2 B．y＝log2(x＋1)C．y＝2x－1 D．y＝cosx[解析]對于選項A，函數(shù)y＝x2，當(dāng)x>0時，y>0，f(x1)＋f(x2)－f(x1＋x2)＝xeq\o\al(2,1)＋xeq\o\al(2,2)－(x1＋x2)2＝－2x2x1<0，所以f(x1)＋f(x2)<f(x1＋x2)，故A是“遵守法律函數(shù)”；對于選項B，若f(x)＝log2(x＋1)，對于隨意x1>0，x2>0都有f(x1)>0，f(x2)>0，設(shè)x1＝x2＝1，則f(x1)＋f(x2)＝1＋1＝2，而f(x1＋x2)＝log23<2，所以f(x1)＋f(x2)<f(x1＋x2)不成立，所以B不是“遵守法律函數(shù)”；對于選項C，若f(x)＝2x－1，對于隨意x1>0，x2>0都有f(x1)>0，f(x2)>0，f(x1)＋f(x2)－f(x1＋x2)＝2x1－1＋2x2－1－2x1＋x2＋1＝2x1－1＋2x2(1－2x1)＝(2x1－1)(1－2x2)<0，則C是“遵守法律函數(shù)”；對于選項D，若f(x)＝cosx，因為f(x)＝cosx∈[－1,1]，所以對隨意x1>0，x2>0，f(x1)>0，f(x2)>0不肯定成立，所以D不是“遵守法律函數(shù)”．三、填空題(本大題共4個小題，每小題5分，共20分，把正確答案填在題中橫線上)13．命題“若|x|>1，則x>1”的否命題是__真__.(填“真”或“假”)[解析]原命題的否命題為“若|x|≤1，則x≤1”，∵|x|≤1，∴－1≤x≤1，故原命題的否命題為真命題．14．若命題“?x0∈R，axeq\o\al(2,0)－ax0－2≥0”是假命題，則實數(shù)a的取值范圍是__(－8,0]__.15．寫出命題“若方程ax2－bx＋c＝0(a≠0)的兩根均大于0，則ac>0”的一個等價命題是__若ac≤0，則方程ax2－bx＋c＝0(a≠0)的兩根不全大于0__.[解析]依據(jù)原命題與它的逆否命題是等價命題可干脆寫出．16.某學(xué)校三好學(xué)生的評定標(biāo)準(zhǔn)為：(1)各學(xué)科成果等級均不低于等級B，且達A及以上等級的學(xué)科的比例不低于85%；(2)無違反學(xué)校規(guī)定行為，且老師同學(xué)對其品德投票評定為優(yōu)秀的比例不低于85%；(3)體育學(xué)科綜合成果不低于85分．設(shè)學(xué)生達A及以上等級的學(xué)科比例為x%，學(xué)生的品德被投票評定為優(yōu)秀的比例為y%，學(xué)生的體育學(xué)科綜合成果為z(0≤x，y，z≤100)．用(x，y，z)表示學(xué)生的評定數(shù)據(jù)．已知參評候選人各學(xué)業(yè)成果均不低于B，且無違反學(xué)校規(guī)定行為．則：(1)下列選項中，是“學(xué)生可評為三好學(xué)生”的充分不必要條件的有__②④__(填序號)．①(85,80,100)②(85,85,100)③x＋y＋z≥255④x＋y＋z≥285(2)寫出一個過往學(xué)期某同學(xué)的滿意評定三好學(xué)生的必要條件：__x＋y＋z≥200__.[解析](1)對于①，由數(shù)據(jù)可知，學(xué)生的品德被投票評定為優(yōu)秀的比例是80%，低于85%，不能被評三好學(xué)生，充分性不成立；對于②，由數(shù)據(jù)可知，學(xué)生的評定數(shù)據(jù)均滿意被評為三好學(xué)生的評定標(biāo)準(zhǔn)，充分性成立，但反之，被評為三好學(xué)生，成果不肯定是(85,85,100)，必要性不成立，故②符合題意，對于③，由x≥85，y≥85，z＝85，得x＋y＋z≥255，故x＋y＋z≥255是學(xué)生可評為三好學(xué)生的必要條件，故③不符合題意；對于④，由0≤x，y，z≤100，故有x≥85，y≥85，z≥85，充分性成立，但被評為三好學(xué)生，x＋y＋z≥285不肯定成立，故④符合題意．綜上所述，“學(xué)生可評為三好學(xué)生”的充分不必要條件有②④.(2)由(1)可知，x＋y＋z≥255是“學(xué)生可評為三好學(xué)生”的必要條件，故滿意評定三好學(xué)生的必要條件可以是：x＋y＋z≥200(答案不唯一)．四、解答題(本大題共6個大題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟)17．(本小題滿分10分)命題：已知a、b為實數(shù)，若關(guān)于x的不等式x2＋ax＋b≤0有非空解集，則a2－4b≥0，寫出命題的逆命題、否命題、逆否命題，并推斷這些命題的真假．[解析]逆命題，已知a、b為實數(shù)，若a2－4b≥0，則關(guān)于x的不等式x2＋ax＋b≤0有非空解集．否命題：已知a、b為實數(shù)，若關(guān)于x的不等式x2＋ax＋b≤0沒有非空解集，則a2－4b<0.逆否命題：已知a、b為實數(shù)，若a2－4b<0，則關(guān)于x的不等式x2＋ax＋b≤0沒有非空解集．原命題、逆命題、否命題、逆否命題均為真命題．18．(本小題滿分12分)已知P＝{x|a－4<x<a＋4}，Q＝{x|x2－4x＋3<0}，且x∈P是x∈Q的必要條件，求實數(shù)a的取值范圍．[解析]P＝{x|a－4<x<a＋4}，Q＝{x|1<x<3}．∵x∈P是x∈Q的必要條件，∴x∈Q?x∈P，即Q?P.∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a－4≤1,a＋4≥3))，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a≤5,a≥－1))，∴－1≤a≤5.19．(本小題滿分12分)已知定義在(－∞，3]上的單調(diào)遞減函數(shù)f(x)，使得f(a2－sinx)≤f(a＋1＋cos2x)對x∈R均成立，求a的取值范圍．[解析]由f(x)的單調(diào)性，得3≥a2－sinx≥a＋1＋cos2x對x∈R均成立，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2≤3＋sinx，,a2－a≥sinx＋cos2x＋1,))對x∈R均成立，然后轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題．即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2≤3＋sinxmin，,a2－a≥sinx＋cos2x＋1max，))又3＋sinx≥2，sinx＋cos2x＋1＝－sin2x＋sinx＋2＝－(sinx－eq\f(1,2))2＋eq\f(9,4)≤eq\f(9,4)，故eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2≤2，,a2－a≥\f(9,4).))解得－eq\r(2)≤a≤eq\f(1,2)－eq\f(\r(10),2).∴a的取值范圍是[－eq\r(2)，eq\f(1,2)－eq\f(\r(10),2)]．20．(本小題滿分12分)求使函數(shù)f(x)＝(a2＋4a－5)x2－4(a－1)x＋3的圖象全在x[解析]∵函數(shù)f(x)的圖象全在x軸上方，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2＋4a－5>0,Δ＝16a－12－4a2＋4a－5×3<0))，或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2＋4a－5＝0,a－1＝0))，解得1<a<19或a＝1，故1≤a<19.所以使函數(shù)f(x)的圖象全在x軸的上方的充要條件是1≤a<19.21．(本小題滿分12分)(2024－2024學(xué)年福州一中第一學(xué)期模塊考試)已知p：m＜a＋1＜m2＋2；q：函數(shù)f(x)＝log2x－a在區(qū)間eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，4))上有零點．(1)若m＝1，求使p∨q為真命題時實數(shù)a的取值范圍；(2)若p是q成立的充分不必要條件，求實數(shù)m的取值范圍．[分析](1)推斷函數(shù)的單調(diào)性和依據(jù)零點存在定理求解；(2)依據(jù)p是q成立的充分不必要條件得p集合是q集合的真子集求解，留意是否有等號成立．[解析](1)當(dāng)m＝1時，p：0＜a＜2，∵函數(shù)f(x)＝log2x－a在區(qū)間eq\b\lc\(\rc\