7.連續(xù)性方程的推導(dǎo)

7.連續(xù)性方程的推導(dǎo)連續(xù)性方程可由四種方法得到，分別為拉格朗日法下對有限體積和體積元應(yīng)用質(zhì)量守恒定律、在歐拉法下對有限體積應(yīng)用質(zhì)量守恒定律及在直角坐標(biāo)系中直接應(yīng)用質(zhì)量守恒定律。L法有限體積分析取體積為，質(zhì)量為的一定流體質(zhì)點團(tuán)，則有：（1）因為速度散度的物理意義是相對體積膨脹率及密度隨體導(dǎo)數(shù)，即：（2）（3）代入式（1）得（4）運用奧高定理（5）得（6）上式即是連續(xù)性方程的積分形式。假定被積函數(shù)連續(xù)，而且體積是任意選取的，由此可知被積函數(shù)必須等于零，即：（7）或（8）在直角坐標(biāo)系中連續(xù)性方程為：（9）或（10）連續(xù)性方程（10）表明，密度變化（隨時間和位置）等于密度和體積變形的乘積ADDINEN.CITE<EndNote><Cite><Author>戴干策</Author><Year>2005</Year><RecNum>7</RecNum><record><rec-number>7</rec-number><ref-typename="Book">6</ref-type><contributors><authors><author><styleface="normal"font="default"charset="134"size="100%">戴干策</style></author><author><styleface="normal"font="default"charset="134"size="100%">陳敏恒</style></author></authors></contributors><titles><title><styleface="normal"font="default"charset="134"size="100%">化工流體力學(xué)（第二版）</style></title></titles><dates><year>2005</year></dates><pub-location><styleface="normal"font="default"charset="134"size="100%">北京</style></pub-location><publisher><styleface="normal"font="default"charset="134"size="100%">化學(xué)工業(yè)出版社</style></publisher><urls></urls></record></Cite></EndNote>[2]。L法體積元分析考慮質(zhì)量為的體積元，對其用拉格朗日觀點，根據(jù)質(zhì)量守恒定律有：（11）（12）兩邊同除以，得（13）或?qū)懗桑?4）上式表明要維持質(zhì)量守恒定律，相對體積變化率必須等于負(fù)的相對密度變化率。1.3E法有限體積分析著眼坐標(biāo)空間，取空間中以面為界的有限體積，則稱面為控制面，為控制體。取外法線方向為法線的正方向，為外法線方向的單位矢量?？紤]該體積內(nèi)流體質(zhì)量的變化，該變化主要以下兩方面原因引起。第一，通過表面有流體流出或流入，單位時間內(nèi)流出流入變化的總和為：（15）第二，由于密度場的不定常性（注意，歐拉觀點下空間點是固定的，密度的變化只由場的不定常性刻畫），單位時間內(nèi)體積的質(zhì)量將變化，變化量為：（16）上述兩者應(yīng)相等，即（17）由于體積是任意的，且被積函數(shù)連續(xù)，則（18）1.4E法直角坐標(biāo)系分析單位時間內(nèi)通過表面EFGH的通量為