2014年中考攻略專題-：幾何最值問題解法探討(含答案)

，2）。例8.（2011浙江金華、麗水3分）如圖，西安路與南京路平行，并且與八一街垂直，曙光路與環(huán)城路垂直．如果小明站在南京路與八一街的交叉口，準(zhǔn)備去書店，按圖中的街道行走，最近的路程約為【】 A、600m B、500mC、400m 【答案】B。【考點(diǎn)】平行的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理?！痉治觥咳鐖D，由于BC∥AD，那么有∠DAE=∠ACB，由題意可知∠ABC=∠DEA=90°，BA=ED，利用AAS可證△ABC≌△DEA，于是AE=BC=300，再利用勾股定理可求AC=，從而可求得CE=AC﹣AE=200。根據(jù)圖可知從B到E的走法有兩種：①BA＋AE=700；②BC＋CE=500?！嘧罱穆烦淌?00m。故選B例9.（2011湖北宜昌10分）如圖1，Rt△ABC兩直角邊的邊長(zhǎng)為AC=1，BC=2．（1）如圖2，⊙O與Rt△ABC的邊AB相切于點(diǎn)X，與邊CB相切于點(diǎn)Y．請(qǐng)你在圖2中作出并標(biāo)明⊙O的圓心（用尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫作法和證明）（2）P是這個(gè)Rt△ABC上和其內(nèi)部的動(dòng)點(diǎn)，以P為圓心的⊙P與Rt△ABC的兩條邊相切．設(shè)⊙P的面積為S，你認(rèn)為能否確定S的最大值？若能，請(qǐng)你求出S的最大值；若不能，請(qǐng)你說明不能確定S的最大值的理由．【答案】解：(1)作圖如下：（2）能。①當(dāng)⊙P與Rt△ABC的邊

AB和BC相切時(shí)，由角平分線的性質(zhì)，動(dòng)點(diǎn)P是∠ABC的平分線BM上的點(diǎn)，如圖1。在∠ABC的平分線BM上任意確定點(diǎn)P1

(不為∠ABC的頂點(diǎn))，∵

OX

＝BO·sin∠ABM,P1Z＝BP1·sin∠ABM，當(dāng)

BP1＞BO

時(shí)

，P1Z＞OX，即P與B的距離越大，⊙P的面積越大。這時(shí)，BM與AC的交點(diǎn)P是符合題意的、BP長(zhǎng)度最大的點(diǎn)。如圖2，∵∠BPA＞90°，過點(diǎn)P作PE⊥AB，垂足為E，則E在邊AB上。∴以P為圓心、PC為半徑作圓，則⊙P與邊CB相切于C，與邊AB相切于E。即這時(shí)的⊙P是符合題意的圓。這時(shí)⊙P的面積就是S的最大值?！摺螦＝∠A，∠BCA＝∠AEP＝90°，∴

Rt△ABC∽R(shí)t△APE?！?。∵AC＝1，BC＝2，∴AB＝。設(shè)PC＝x，則PA＝AC－PC＝1－x,PC＝PE，∴?！鄕＝

=2－4。②如圖3，同理可得：當(dāng)⊙P與Rt△ABC的邊AB和AC相切時(shí)，設(shè)PC＝y(tǒng)，則

，∴y=

=。③如圖4，同理可得：當(dāng)⊙P與Rt△ABC的邊BC和AC相切時(shí)，設(shè)PF＝z，則，∴z=。∵y－x=>0，∴y>x?！遺－y=>0

∴

z＞y?！?/p>

z＞y＞x?！唷裀的面積S的最大值為?！究键c(diǎn)】尺規(guī)作圖，切線的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，解一元一次方程，二次根式化簡(jiǎn)，實(shí)數(shù)的大小比較。【分析】（1）作出∠B的角平分線BD，再過X作OX⊥AB，交BD于點(diǎn)O，則O點(diǎn)即為⊙O的圓心。（2）由于⊙P與△ABC哪兩條邊相切不能確定，故應(yīng)分⊙P與Rt△ABC的邊AB和BC相切；⊙P與Rt△ABC的邊AB和AC相切時(shí)；⊙P與Rt△ABC的邊BC和AC相切時(shí)三種情況進(jìn)行討論。例10.（2011山東濰坊3分）身高相等的四名同學(xué)甲、乙、丙、丁參加風(fēng)箏比賽，四人放出風(fēng)箏的線長(zhǎng)、線與地面夾角如表（假設(shè)風(fēng)箏線是拉直的），則四名同學(xué)所放的風(fēng)箏中最高的是.同學(xué)甲乙丙丁放出風(fēng)箏線長(zhǎng)1401009590線與地面夾角30°45°45°60°A．甲B．乙C．丙D．丁【答案】D?！究键c(diǎn)】解直角三角形的應(yīng)用（坡度坡角問題），特殊角的三角函數(shù)，無理數(shù)的大小比較。【分析】根據(jù)題意畫出圖形，分別利用解直角三角形的知識(shí)求出風(fēng)箏的高再進(jìn)行比較即可：如圖，甲中，AC=140，∠C=30°，AB=140×sin30°=70=；乙中，DF=100，∠C=45°，DE=100×sin45°=50=；丙中，GI=95，∠I=45°，GH=95×sin45°==；丁中，JL=90，∠C=60°，JK=90×sin60°=45=?！撸迹迹?，∴GH＜AB＜DE＜JK?？梢姸⊥瑢W(xué)所放的風(fēng)箏最高。故選D。例11.（2011安徽省12分）在△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，將△ABC繞頂點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為(0°＜＜180°)，得到△A1B1C．(1)如圖1，當(dāng)AB∥CB1時(shí)，設(shè)A1B1與BC相交于點(diǎn)D．證明：△A1CD是等邊三角形；(2)如圖2，連接AA1、BB1，設(shè)△ACA1和△BCB1的面積分別為S1、S2．求證：S1∶S2＝1∶3；如圖3，設(shè)AC的中點(diǎn)為E，A1B1的中點(diǎn)為P，AC＝a，連接EP．當(dāng)＝°時(shí)，EP的長(zhǎng)度最大，最大值為．【答案】解：（1）證：∵△A1B1C是△ABC∴∠A1B1C＝∠ABC＝30°，∠A1CB1＝∠ACB＝90°，∠CA1B1＝∠CAB＝60°又∵AB∥CB1，∴∠BCB1＝∠ABC＝30°?！唷螦1CD＝60°?！唷螦1DC＝60°。∴△A1CD是等邊三角形。(2)證：∵在△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，∴AC：CB＝tan∠ABC＝又∵在△ACA1和△BCB1中，∠ACA1＝∠BCB1，AC：CB＝A1C：CB1＝，∴△ACA1∽△BCB1。∴S1∶S2＝。（3）120，?！究键c(diǎn)】旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，平行的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，等邊三角形的判定，銳角三角函數(shù)，相似三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)?！痉治觥浚?）易求得△A1CD的三內(nèi)角都等于600，因此得證。(2)易證得△ACA1∽△BCB1，且相似比為，應(yīng)用相似三角形面積的比等于對(duì)應(yīng)邊的比的平方的性質(zhì)，得證。（3）連接CP，則EP≤CE＋CP，當(dāng)E、C、P共線時(shí)，EP最大。由直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)可知，CP＝，故EP的最大值為。沒有旋轉(zhuǎn)時(shí)∠ACP＝60°，從而當(dāng)E、C、P共線時(shí)，旋轉(zhuǎn)了1200。例12.（黑龍江大慶3分）已知⊙O的半徑為1，圓心O到直線l的距離為2，過l上的點(diǎn)A作⊙O的切線，切點(diǎn)為B，則線段AB的長(zhǎng)度的最小值為【】A．1B．eq\r(2)C．eq\r(3)D．2【答案】C?！究键c(diǎn)】點(diǎn)到直線的距離的定義，切線的性質(zhì)，勾股定理?！痉治觥肯冗B接OB，易知△AOB是直角三角形，再利用勾股定理即可求出AB：AB。故選C。例13.（四川資陽9分）在一次機(jī)器人測(cè)試中，要求機(jī)器人從A出發(fā)到達(dá)B處．如圖1，已知點(diǎn)A在O的正西方600cm處，B在O的正北方300cm處，且機(jī)器人在射線AO及其右側(cè)(AO下方)區(qū)域的速度為20cm/秒，在射線AO的左側(cè)(AO(1)分別求機(jī)器人沿A→O→B路線和沿A→B路線到達(dá)B處所用的時(shí)間(精確到秒)；(3分)(2)若∠OCB=45°，求機(jī)器人沿A→C→B路線到達(dá)B處所用的時(shí)間(精確到秒)；(3分)(3)如圖2,作∠OAD=30°，再作BE⊥AD于E,交OA于P．試說明：從A出發(fā)到達(dá)B處，機(jī)器人沿A→P→B路線行進(jìn)所用時(shí)間最短．(3分)(參考數(shù)據(jù)：≈1.414，≈1.732，≈2.236，≈2.449)【答案】解：(1)沿A→O→B路線行進(jìn)所用時(shí)間為：600÷20+300÷10=60(秒)，在Rt△OBA中，由勾股定理，得AB==300(cm)?！嘌谹→B路線行進(jìn)所用時(shí)間為：300÷10≈300×2.236÷10≈67(秒)。(2)在Rt△OBC中,OB=300,∠OCB=45°，∴OC=OB=300cm，BC==300(cm)?！郃C=600－300=300(cm)。∴沿A→C→B路線行進(jìn)所用時(shí)間為：AC÷20+BC÷10=300÷20+300÷10≈15+42.42≈57(秒)。(3)在AO上任取異于點(diǎn)P的一點(diǎn)P′，作P′E′⊥AD于E′，連結(jié)P′B，在Rt△APE和Rt△AP′E′中，sin30°=，∴EP=，E′P′=?！嘌谹→P→B路線行進(jìn)所用時(shí)間為：AP÷20+PB÷10=EP÷10+PB÷10=(EP+PB)÷10=BE(秒)；沿A→P′→B路線行進(jìn)所用時(shí)間為：AP′÷20+P′B÷10=E′P′÷10+P′B÷10=(E′P′+P′B)÷10=(E′P′+P′B)(秒)。連結(jié)BE′，則E′P′+P′B>BE′>BE，∴BE<(E′P′+P′B)?！嘌谹→P→B路線行進(jìn)所用時(shí)間，小于沿A→P′→B路線行進(jìn)所用時(shí)間，即機(jī)器人沿A→P→B路線行進(jìn)所用時(shí)間最短。【考點(diǎn)】動(dòng)態(tài)型問題，勾股定理，銳角三角函數(shù)定義，特殊角的三角函數(shù)值，垂線段的性質(zhì)?！痉治觥?1)直接由速度、路程和時(shí)間的關(guān)系可求沿A→O→B路線行進(jìn)所用時(shí)間；由勾股定理求出AB的長(zhǎng)即可求得沿A→B路線到達(dá)B處所用的時(shí)間。（2）由銳角三角函數(shù)求出BC的長(zhǎng)，即可求出沿A→C→B路線行進(jìn)所用時(shí)間。（3）根據(jù)垂線段最短的性質(zhì)即可求得。例14.（2011江西南昌7分）如圖，已知⊙O的半徑為2，弦BC的長(zhǎng)為2，點(diǎn)A為弦BC所對(duì)優(yōu)弧上任意一點(diǎn)（B，C兩點(diǎn)除外）．（1）求∠BAC的度數(shù)；（2）求△ABC面積的最大值．（參考數(shù)據(jù)：，，.）【答案】解：(1)連接BO并延長(zhǎng)，交⊙O于點(diǎn)D，連接CD?！連D是直徑，∴BD=4，。在Rt△DBC中，，∴，∴。(2)因?yàn)椤鰽BC的邊BC的長(zhǎng)不變，所以當(dāng)BC邊上的高最大時(shí)，△ABC的面積最大，此時(shí)點(diǎn)A落在優(yōu)弧BC的中點(diǎn)處。過O作OE⊥BC于E，延長(zhǎng)EO交⊙O于點(diǎn)A，則A為優(yōu)弧BC的中點(diǎn).連接AB，AC，則AB=AC，。在Rt△ABE中，∵，∴?！郤△ABC=。答：△ABC面積的最大值是?！究键c(diǎn)】垂徑定理，圓周角定理，解直角三角形，銳角三角函數(shù)定義，特殊角的三角函數(shù)值?！痉治觥浚?）連接BO并延長(zhǎng)，交⊙O于點(diǎn)D，連接CD。由直徑所對(duì)圓周角是直角的性質(zhì)，，