2022-2023學(xué)年湖北省武漢市部分重點中學(xué)六校聯(lián)考高一（下）期末數(shù)學(xué)試卷含答案

2022-2023學(xué)年湖北省武漢市部分重點中學(xué)六校聯(lián)考高一（下）期末數(shù)學(xué)試卷一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．（5分）設(shè)i為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)z滿足（1+i）z＝﹣1+2i，則z?zA．102 B．5 C．2 D．2．（5分）從小到大排列的數(shù)據(jù)1，2，3，x，4，5，6，7，8，y，9，10的下四分位數(shù)為（）A．3 B．3+x2 C．8 D．3．（5分）已知平面向量a→=（1，2），b→=（3，4），那么A．（1155，255） B．（5C．（115，225） D．（5，24．（5分）圓臺的上、下底面半徑分別是1和5，且圓臺的母線長為5，則該圓臺的體積是（）A．30π B．31π C．32π D．33π5．（5分）在邊長為4的正方形ABCD中，動圓Q的半徑為1、圓心在線段CD（含端點）上運動，點P是圓Q上及其內(nèi)部的動點，則AP→A．[﹣4，20] B．[﹣1，5] C．[0，20] D．[4，20]6．（5分）某校高三（1）班（45人）和高三（2）班（30人）進行比賽，按照分層抽樣的方法從兩個班共抽取10名同學(xué)，相關(guān)統(tǒng)計情況如下：高三（1）班答對題目的平均數(shù)為1，方差為1；高三（2）班答對題目的平均數(shù)為1.5，方差為0.35，則這10人答對題目的方差為（）A．0.61 B．0.675 C．0.74 D．0.87．（5分）某數(shù)學(xué)興趣小組要測量一個球體建筑物的高度，已知點A是球體建筑物與水平地面的接觸點（切點），地面上B，C兩點與點A在同一條直線上，且在點A的同側(cè)．若小明同學(xué)在B，C處分別測得球體建筑物的最大仰角為60°和20°，且BC＝a米，則該球體建筑物的高度為（）米．A．a(chǎn)4cos10° B．a(chǎn)C．a(chǎn)sin10°2sin40° D．8．（5分）已知正四棱錐S﹣ABCD的底面邊長為1，側(cè)棱長為2，SC的中點為E，過點E作與SC垂直的平面α，則平面α截正四棱錐S﹣ABCD所得的截面面積為（）A．33 B．63 C．23二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．（多選）9．（5分）已知復(fù)數(shù)z1，z2，z3是方程z3﹣1＝0的三個解，則下列說法正確的是（）A．z1+z2+z3＝1 B．z1z2z3＝1 C．z1，z2，z3中有一對共軛復(fù)數(shù) D．z1z2+z2z3+z3z1＝﹣1（多選）10．（5分）伯努利試驗是在同樣的條件下重復(fù)地、相互獨立地進行的一種隨機試驗，其特點是每次試驗只有兩種可能結(jié)果．若連續(xù)拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣n次，記錄這n次實驗的結(jié)果，設(shè)事件M＝“n次實驗結(jié)果中，既出現(xiàn)正面又出現(xiàn)反面”，事件N＝“n次實驗結(jié)果中，最多只出現(xiàn)一次反面”，則下列結(jié)論正確的是（）A．若n＝2，則M與N不互斥 B．若n＝2，則M與N相互獨立 C．若n＝3，則M與N互斥 D．若n＝3，則M與N相互獨立（多選）11．（5分）已知P是△ABC所在平面內(nèi)一點，則下列說法正確的是（）A．若AP→=13AB→B．若P與C不重合，PB→?PC→=PAC．若AP→=-23AB→D．若AP→=mAB→+nAC→且（多選）12．（5分）如圖，在四邊形ABCD中，△ACD和△ABC是全等三角形，AB＝AD，∠ABC＝90°，∠BAC＝60°，AB＝1．下面有兩種折疊方法將四邊形ABCD折成三棱錐．折法①；將△ACD沿著AC折起，得到三棱錐D1﹣ABC，如圖1．折法②：將△ABD沿著BD折起，得到三棱錐A1﹣BCD，如圖2．下列說法正確的是（）A．按照折法①，三棱錐D1﹣ABC的外接球表面積恒為4π B．按照折法①，存在D1滿足AB⊥CD1 C．按照折法②，三棱錐A1﹣BCD體積的最大值為38D．按照折法②，存在A1滿足A1C⊥平面A1BD，且此時BC與平面A1BD所成線面角正弦值為6三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13．（5分）在正三角形ABC中，AB＝2，D是BC的中點，E是AC的中點，則AD→?14．（5分）從A，B等5名自愿者中隨機選3名參加核酸檢測工作，則A和B至多有一個入選的概率為．15．（5分）已知向量a→，b→滿足（a→+b→）?b→=0，|a16．（5分）如圖是一座山峰的示意圖，山峰大致呈圓錐形，峰底呈圓形，其半徑為1km，峰底A到峰頂S的距離為4.8km，B是山坡SA上一點，且AB→=λAS→，λ∈（0，1）．為了發(fā)展當?shù)芈糜螛I(yè)，現(xiàn)要建設(shè)一條從A到B的環(huán)山觀光公路．若從A出發(fā)沿著這條公路到達B的過程中，要求先上坡，后下坡．則當公路長度最短時，四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17．（10分）某校為了提高學(xué)生對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣，舉辦了一場數(shù)學(xué)趣味知識答題比賽活動，共有1000名學(xué)生參加了此次答題活動．為了解本次比賽的成績，從中抽取100名學(xué)生的得分（得分均為整數(shù)，滿分為100分）進行統(tǒng)計．所有學(xué)生的得分都不低于60分，將這100名學(xué)生的得分進行分組，第一組[60，70），第二組[70，80），第三組[80，90），第四組[90，100]（單位：分），得到如下的頻率分布直方圖．（1）求圖中m的值，并估計此次答題活動學(xué)生得分的中位數(shù)；（2）根據(jù)頻率分布直方圖，估計此次答題活動得分的平均值．若對得分不低于平均值的同學(xué)進行獎勵，請估計參賽的學(xué)生中有多少名學(xué)生獲獎．（以每組中點作為該組數(shù)據(jù)的代表）18．（12分）某電視臺舉行沖關(guān)直播活動，該活動共有三關(guān)，只有一等獎和二等獎兩個獎項，參加活動的選手從第一關(guān)開始依次通關(guān)，只有通過本關(guān)才能沖下一關(guān)．已知第一關(guān)的通過率為0.7，第二關(guān)通過率為0.5，第三關(guān)的通過率為0.3，三關(guān)全部通過可以獲得一等獎（獎金為300元），通過前兩關(guān)就可以獲得二等獎（獎金為200元），如果獲得二等獎又獲得一等獎，則獎金可以累加為500元．假設(shè)選手是否通過每一關(guān)相互獨立，現(xiàn)有甲、乙兩位選手參加本次活動．（Ⅰ）求甲最后沒有得獎的概率；（Ⅱ）已知甲和乙都通過了第一關(guān)，求甲和乙最后所得獎金總和為700元的概率．19．（12分）已知△ABC為銳角三角形，且cosA+sinB=3（sinA+cosB（1）若C=π3，求（2）已知點D在邊AC上，且AD＝BD＝2，求CD的取值范圍．20．（12分）已知四棱錐C﹣ABED的底面是直角梯形，AB∥DE，∠D＝90°，AB＝2，DE＝1，AD=3，側(cè)面△BCE是正三角形，側(cè)棱長AC=（1）證明：平面BCE⊥平面ABED；（2）求直線CD與平面BCE所成角的余弦值．21．（12分）在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，且滿足sin（1）當tanA＝2時，求tanC的值；（2）當a＝2，且C﹣A取得最大值時，求△ABC的面積．22．（12分）如圖，在四面體ABCD中，△ABC是邊長為2的等邊三角形，△DBC為直角三角形，其中D為直角頂點，∠DCB＝60°．E、F，G、H分別是線段AB、AC、CD、DB上的動點，且四邊形EFGH為平行四邊形．（1）當二面角A﹣BC﹣D從0°增加到90°的過程中，求線段DA在平面BCD上的投影所掃過的平面區(qū)域的面積；（2）設(shè)λ=AEAB，λ∈（0，1），且△ACD是以CD為底的等腰三角形，當λ為何值時，多面體ADEFGH的體積恰好為

2022-2023學(xué)年湖北省武漢市部分重點中學(xué)六校聯(lián)考高一（下）期末數(shù)學(xué)試卷參考答案與試題解析一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．（5分）設(shè)i為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)z滿足（1+i）z＝﹣1+2i，則z?zA．102 B．5 C．2 D．【解答】解：（1+i）z＝﹣1+2i，則z=-1+2i1+i=(-1+2i)(1-i)(1+i)(1-i)=12×（﹣1+3i﹣2i∴z=12-32i，∴z?z=（故選：D．2．（5分）從小到大排列的數(shù)據(jù)1，2，3，x，4，5，6，7，8，y，9，10的下四分位數(shù)為（）A．3 B．3+x2 C．8 D．【解答】解：12×25%＝3，故該組數(shù)據(jù)的下四分位數(shù)為第3個和第4個數(shù)的平均數(shù)，即3+x2故選：B．3．（5分）已知平面向量a→=（1，2），b→=（3，4），那么A．（1155，255） B．（5C．（115，225） D．（5，2【解答】解：∵平面向量a→=（1，2），∴a→?b→=∴b→在a→上的投影向量的坐標為a→?b故選：C．4．（5分）圓臺的上、下底面半徑分別是1和5，且圓臺的母線長為5，則該圓臺的體積是（）A．30π B．31π C．32π D．33π【解答】解：圓臺的上、下底面半徑分別是r＝1，R＝5，且圓臺的母線長為5，則圓臺的高為52則該圓臺的體積是13故選：B．5．（5分）在邊長為4的正方形ABCD中，動圓Q的半徑為1、圓心在線段CD（含端點）上運動，點P是圓Q上及其內(nèi)部的動點，則AP→A．[﹣4，20] B．[﹣1，5] C．[0，20] D．[4，20]【解答】解：AP→?AB→=|AP→||AB→|cos＜AP→，AB所以|AP→|cos＜AP→，AB→＞當點P在點N處時，AP→在AB→上的投影最小為﹣|當點P在點M處時，AP→在AB→上的投影最大為|所以AP→?AB故選：A．6．（5分）某校高三（1）班（45人）和高三（2）班（30人）進行比賽，按照分層抽樣的方法從兩個班共抽取10名同學(xué)，相關(guān)統(tǒng)計情況如下：高三（1）班答對題目的平均數(shù)為1，方差為1；高三（2）班答對題目的平均數(shù)為1.5，方差為0.35，則這10人答對題目的方差為（）A．0.61 B．0.675 C．0.74 D．0.8【解答】解：根據(jù)題意，由分層抽樣定義，可得高三（1）班抽取的人數(shù)為4545+30高三（2）班抽取的人數(shù)為3045+30設(shè)高三（1）班（6人）答對題目數(shù)依次為x1，x2，…，x6，高三（2）班（4人）答對題目數(shù)依次為y1，y2，y3，y4，則16可得i=16則這10人答對題目的平均數(shù)110(i=1故選：D．7．（5分）某數(shù)學(xué)興趣小組要測量一個球體建筑物的高度，已知點A是球體建筑物與水平地面的接觸點（切點），地面上B，C兩點與點A在同一條直線上，且在點A的同側(cè)．若小明同學(xué)在B，C處分別測得球體建筑物的最大仰角為60°和20°，且BC＝a米，則該球體建筑物的高度為（）米．A．a(chǎn)4cos10° B．a(chǎn)C．a(chǎn)sin10°2sin40° D．【解答】解：由題意如圖所示：由圓的切線性質(zhì)：可得∠OBA＝30°，∠OCA＝10°，設(shè)球的半徑R，設(shè)AB＝x，則Rx=tan30°=33，可得且Rx+a=tan10°，可得R＝xtan10°+atan10°=3R可得R=atan10°所以球體的高度為2R=故選：B．8．（5分）已知正四棱錐S﹣ABCD的底面邊長為1，側(cè)棱長為2，SC的中點為E，過點E作與SC垂直的平面α，則平面α截正四棱錐S﹣ABCD所得的截面面積為（）A．33 B．63 C．23【解答】解：在正四棱錐S﹣ABCD中，連接AC，則AC=2=SA=SC，△SAC是正三角形，由SC的中點為E，得AE⊥而SC⊥α，SC∩α＝E，則AE?α，在△SBC中，cos∠BSC=SB2令平面α與直線SB交于F，連EF，AF，則SC⊥EF，SF=SEcos∠BSC=22同理平面α與棱SD相交，令交點為G，連EG，AG，于是四邊形AFEG為平面α截正四棱錐S﹣ABCD所得的截面，由對稱性知△AEG?△AEF，在△SEF中，EF=SFsin∠BSC=2而AE=ACsinπ3=62由余弦定理得AF=(在△AEF中，cos∠EAF=A所以所得截面面積SAFEG故選：A．二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．（多選）9．（5分）已知復(fù)數(shù)z1，z2，z3是方程z3﹣1＝0的三個解，則下列說法正確的是（）A．z1+z2+z3＝1 B．z1z2z3＝1 C．z1，z2，z3中有一對共軛復(fù)數(shù) D．z1z2+z2z3+z3z1＝﹣1【解答】解：由z3﹣1＝0，得（z﹣1）（z2+z+1）＝0，即z﹣1＝0或z2+z+1＝0，解得z＝1或z=-12+z=-12+32由題意知，不妨取z1所以z1+z所以z1z2所以z=-12+故選：BC．（多選）10．（5分）伯努利試驗是在同樣的條件下重復(fù)地、相互獨立地進行的一種隨機試驗，其特點是每次試驗只有兩種可能結(jié)果．若連續(xù)拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣n次，記錄這n次實驗的結(jié)果，設(shè)事件M＝“n次實驗結(jié)果中，既出現(xiàn)正面又出現(xiàn)反面”，事件N＝“n次實驗結(jié)果中，最多只出現(xiàn)一次反面”，則下列結(jié)論正確的是（）A．若n＝2，則M與N不互斥 B．若n＝2，則M與N相互獨立 C．若n＝3，則M與N互斥 D．若n＝3，則M與N相互獨立【解答】解：2次實驗結(jié)果中，共{正反，反正，正正，反反}四種情況，事件M＝{正反，反正}，事件N＝{正反，反正，正正}，顯然M與N不互斥，故A正確；P（M）=12，P（N）=34，P（MN）=12，P（MN）≠P（M）P（N），故n＝2，則3次實驗結(jié)果中，共{正正正，正正反，正反正，反正正，正反反，反正反，反反正，反反反}八種情況，事件M＝{正正反，正反正，反正正，正反反，反正反，反反正}，事件N＝{正正正，正正反，正反正，反正正}，顯然M與N不互斥，故C錯誤；P（M）=68=34，P（N）=12，P（MN）=38，P（MN）＝P（M）P（N故選：AD．（多選）11．（5分）已知P是△ABC所在平面內(nèi)一點，則下列說法正確的是（）A．若AP→=13AB→B．若P與C不重合，PB→?PC→=PAC．若AP→=-23AB→D．若AP→=mAB→+nAC→且【解答】解：選項A，設(shè)D為BC中點，則AD→若AP→=1即點P位于中線AD上，且是靠近點D的三等分點，故P是△ABC的重心，A正確；選項B，由PB→?PC即PC→?AB→=則P在AB的高線所在的直線上，選項B正確；選項C，若AP→=-2即CP→=23BC→，故點選項D，如圖，延長AP交BC于點M，由AP→=mAB則可得5AP→=5mAB→+5nAC→故有5AP→=AM→，則則△PBC的面積是△ABC面積的45，選項D故選：ABD．（多選）12．（5分）如圖，在四邊形ABCD中，△ACD和△ABC是全等三角形，AB＝AD，∠ABC＝90°，∠BAC＝60°，AB＝1．下面有兩種折疊方法將四邊形ABCD折成三棱錐．折法①；將△ACD沿著AC折起，得到三棱錐D1﹣ABC，如圖1．折法②：將△ABD沿著BD折起，得到三棱錐A1﹣BCD，如圖2．下列說法正確的是（）A．按照折法①，三棱錐D1﹣ABC的外接球表面積恒為4π B．按照折法①，存在D1滿足AB⊥CD1 C．按照折法②，三棱錐A1﹣BCD體積的最大值為38D．按照折法②，存在A1滿足A1C⊥平面A1BD，且此時BC與平面A1BD所成線面角正弦值為6【解答】解：對于A：由題意，△ACD?△ABC，∠ABC＝90°，∠BAC＝60°，AB＝1，則AC的中點O到A，B，C，D的距離相等，故O為棱錐D1﹣ABC外接球的球心，AC為直徑，所以外接球的半徑為1，所以該外接球的表面積為4π×12＝4π，故A正確；按照折法①，在折起過程中，點D1在平面ABC內(nèi)的投影D1'在線段BD上（不包括端點）而線段BD（不包括端點）不存在D1'使得CD'⊥AB，故不存在D1滿足AB⊥CD1，故B選項錯誤；按照折法②，取BD的中點H，A1H=12，當平面A1BD⊥平面BCD時，三棱錐A1﹣BCD體積取得最大值，此時體積V=13AH?S△BCD=13×1當A1C=2時，A1C2+A1B2=BC2故此時A1C⊥A1B，A1C⊥A1D，又因為A1B∩A1D＝A1，A1B，A1D?平面A1BD，故A1C⊥平面A1BD，∠A1BC為BC與平面A1BD所成線面角，則sin∠A1BC=故選：ACD．三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13．（5分）在正三角形ABC中，AB＝2，D是BC的中點，E是AC的中點，則AD→?BE→【解答】解：由題意可得AD→?BE→=12=14（AB→?BA→+AB→=14[﹣4+2×2×（-12）+2×2×（=-3故答案為：-314．（5分）從A，B等5名自愿者中隨機選3名參加核酸檢測工作，則A和B至多有一個入選的概率為710【解答】解：由題可知則A和B至多有一個入選的概率為P=C故答案為：71015．（5分）已知向量a→，b→滿足（a→+b→）?b→=0，|a→+【解答】解：設(shè)c→則b→則c→設(shè)|c則|a所以|a→+b→|+|故答案為：41016．（5分）如圖是一座山峰的示意圖，山峰大致呈圓錐形，峰底呈圓形，其半徑為1km，峰底A到峰頂S的距離為4.8km，B是山坡SA上一點，且AB→=λAS→，λ∈（0，1）．為了發(fā)展當?shù)芈糜螛I(yè)，現(xiàn)要建設(shè)一條從A到B的環(huán)山觀光公路．若從A出發(fā)沿著這條公路到達B的過程中，要求先上坡，后下坡．則當公路長度最短時，λ的取值范圍為【解答】解：根據(jù)題意，作出圓錐的側(cè)面展開圖，由兩點之間線段最短，顯然當公路長度最短時，觀光公路為圖中的A'B，過點S作A'B的垂線，垂足為H，如圖：圓錐的底面半徑為1km，AS＝4.8km，則AA′=2π，則∠A′SB=記點P為A'B上任意一點，由兩點之間線段最短，知觀光鐵路為圖中的A'B，當H在線段AB上時，上坡即P到山頂S的距離PS越來越小，下坡即P到山頂S的距離PS越來越大，此時滿足從A出發(fā)沿著這條公路到達B的過程中，先上坡，后下坡；反之，當H不在線段A′B上時，不能滿足從A到B的過程中，先上坡，后下坡；過點A′作A′M⊥SA，交SA于點M，當B在AM之間時，滿足從A到B的過程中，先上坡，后下坡；如圖：由于∠A′SB=5π12，則SMSA′=6-2若從A到B的過程中，先上坡，后下坡，必有λ∈（0，4-2故答案為：（0，4-2四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17．（10分）某校為了提高學(xué)生對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣，舉辦了一場數(shù)學(xué)趣味知識答題比賽活動，共有1000名學(xué)生參加了此次答題活動．為了解本次比賽的成績，從中抽取100名學(xué)生的得分（得分均為整數(shù)，滿分為100分）進行統(tǒng)計．所有學(xué)生的得分都不低于60分，將這100名學(xué)生的得分進行分組，第一組[60，70），第二組[70，80），第三組[80，90），第四組[90，100]（單位：分），得到如下的頻率分布直方圖．（1）求圖中m的值，并估計此次答題活動學(xué)生得分的中位數(shù)；（2）根據(jù)頻率分布直方圖，估計此次答題活動得分的平均值．若對得分不低于平均值的同學(xué)進行獎勵，請估計參賽的學(xué)生中有多少名學(xué)生獲獎．（以每組中點作為該組數(shù)據(jù)的代表）【解答】解：（1）由圖知第一組頻率為1﹣（0.03+0.04+0.02）×10＝0.10，所以第一組矩形的高為m0.1010因為前兩組的頻率為（0.01+0.03）×10＝0.4＜0.5，前三組的頻率為（0.01+0.03+0.04）×10＝0.8＞0.5，所以得分的中位數(shù)在第三組內(nèi)，設(shè)中位數(shù)為x，（0.01+0.03）×10+（x﹣80）×0.04＝0.5，解得x＝82.5，所以估計此次得分的中位數(shù)是82.5分．（2）由頻率分布直方圖知，學(xué)生得分的平均值為x=參賽的500名學(xué)生中得分不低于82分的人數(shù)為1000×[0.02×10+（90﹣82）×0.04]＝520，所以估計此次參加比賽活動學(xué)生得分的平均值為82分，參賽的1000名學(xué)生中有520名學(xué)生獲獎．18．（12分）某電視臺舉行沖關(guān)直播活動，該活動共有三關(guān)，只有一等獎和二等獎兩個獎項，參加活動的選手從第一關(guān)開始依次通關(guān)，只有通過本關(guān)才能沖下一關(guān)．已知第一關(guān)的通過率為0.7，第二關(guān)通過率為0.5，第三關(guān)的通過率為0.3，三關(guān)全部通過可以獲得一等獎（獎金為300元），通過前兩關(guān)就可以獲得二等獎（獎金為200元），如果獲得二等獎又獲得一等獎，則獎金可以累加為500元．假設(shè)選手是否通過每一關(guān)相互獨立，現(xiàn)有甲、乙兩位選手參加本次活動．（Ⅰ）求甲最后沒有得獎的概率；（Ⅱ）已知甲和乙都通過了第一關(guān)，求甲和乙最后所得獎金總和為700元的概率．【解答】解：（Ⅰ）第一關(guān)沒通過的概率為0.3，第一關(guān)通過第二關(guān)沒通過的概率為0.7×（1﹣0.5）＝0.35，故甲沒有得獎的概率P＝0.3+0.35＝0.65．（Ⅱ）記甲和乙通過了第二關(guān)時最后獲得二等獎為事件E，通過了第二關(guān)時最后獲得一等獎為事件F，則P（E）＝0.5×（1﹣0.3）＝0.35，P（F）＝0.5×0.3＝0.15，∵甲和乙最后所得獎金總和為700元，∴甲和乙一人得一等獎，一人得二等獎，則甲得了一等獎，乙得了二等獎的概率為P1＝0.35×0.15＝0.0525，乙得了一等獎，甲得了二等獎的概率為P2＝0.35×0.15＝0.0525，∴甲和乙最后所得獎金總和為700元的概率為：P＝P1+P2＝0.0525+0.0525＝0.105．19．（12分）已知△ABC為銳角三角形，且cosA+sinB=3（sinA+cosB（1）若C=π3，求（2）已知點D在邊AC上，且AD＝BD＝2，求CD的取值范圍．【解答】解：（1）∵C=π3，又cosA+sinB=3（sinA∴cosA+sin（2π3-A）=3sinA+3∴cosA+32cosA+12sinA=3sinA+3（-∴(1+3∴tanA＝1，又A∈（0，π），∴A=π（2）∵cosA+sinB=3（sinA+cosB∴3sinA﹣cosA＝sinB-3cosB∴2sin（A-π6）＝2sin（B∴A-π6=B-π3或A∴A＝B-π6或A+B又AD＝BD＝2，∴∠A＝∠ABD，∴∠CBD=π在△BCD中，由正弦定理可得|CD|sin∠CBD∴|CD|12=2sinC又sinC＝sin（7π6-2B），又△∴0＜A=B-π6＜π20＜B＜π2∴7π6-2B∈（π6∴sinC＝sin（7π6-2B）∈（∴|CD|=1sinC20．（12分）已知四棱錐C﹣ABED的底面是直角梯形，AB∥DE，∠D＝90°，AB＝2，DE＝1，AD=3，側(cè)面△BCE是正三角形，側(cè)棱長AC=（1）證明：平面BCE⊥平面ABED；（2）求直線CD與平面BCE所成角的余弦值．【解答】（1）證明：取BE的中點F，連接AE、AF、CF，在直角梯形ABED中，AE＝AB＝BE＝2，所以AF=3又CF=3，AC=6，所以AF2+CF2＝AC2，即CF⊥由題意知，CF⊥BE，且AF∩BE＝F，AF、BE?平面ABED，所以，CF⊥平面ABED，又CF?平面BCE，所以平面BCE⊥平面ABED．（2）解：過D作DH⊥BE交BE于H，因為平面BCE⊥平面ABED，平面BCE∩平面ABED＝BE，DH?平面ABED，所以DH⊥平面BCE，設(shè)點D到平面BCE的距離為d，則d＝|DH|＝|DE|sin60°=32，連接在△DEF中，因為DE＝EF＝1，∠DEF=2π由余弦定理可知DF=3，又△DCF為直角三角形，于是DC=設(shè)直線CD與平面BCE所成角為θ，則sinθ=dDC=所以cosθ=1421．（12分）在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，且滿足sin（1）當tanA＝2時，求tanC的值；（2）當a＝2，且C﹣A取得最大值時，求△ABC的面積．【解答】解：（1）由sin2C-si又由余弦定理得cosA=b∴4sinCcosA＝3sinB＝3sinAcosC+3sinCcosA，∴sinCcosA＝3sinAcosC，∴tanC＝3tanA＝6；（2）由（1）可知，若cosA＝0，則cosC＝0，則A=C=π所以tanC＝3tanA，于是有tan（C﹣A）=tanC-tanA當且僅當tanA=33時，tan（C﹣A）有最大值，此時C﹣此時A=π6，B=π2，所以S=122．（12分）如圖，在四面體ABCD中，△ABC是邊長為2的等邊三角形，△DBC為直角三角形，其中D為直角頂點，∠DCB＝60°．E、F，G、H分別是線段AB、AC、CD、DB上的動點，且四邊形EFGH為平行四邊形．（1）當二面角A﹣BC﹣D從0°增加到90°的過程中，求線段DA在平面BCD上的投影所掃過的平面區(qū)域的面積；（2）設(shè)λ=AEAB，λ∈（0，1），且△ACD是以CD為底的等腰三角形，當λ為何值時，多面體ADEFGH的體積恰好為【解答】解：（1）∵AB＝AC，∴A在平面BCD上的投影滿足AB＝AC，即A在線段BC的中垂線上．如右圖所示，將RT△BCD補成邊長為2的正△BCM，當二面角A﹣BC﹣D為180°角時，即點A在平面BCD上，此時A為M，當二面角A﹣BC﹣D為0°角時，此時A為BC中點N，故DA在平面BCD上的投影所掃過的平面區(qū)域為△DMN，而S△DMN故線段DA在平面BCD上的投影所掃過的平面區(qū)域的面積為34（2）∵AC＝2，CD＝1，且△ACD是以CD為底的等腰三角形，∴AD＝2．取BC中點O，由題意得：OA⊥BC，OA=3，OD=滿足OA2+OD2＝AD2，根據(jù)勾股定理可知OA⊥OD．∴OA⊥平面BCD．∴VA-BCD=1而多面體ADEFGH的體積恰好為14，即多面體ADEFGH的體積恰為四面體ABCD連接AH、AG．VA-EFGH=2×13×S△AEH∴VA﹣EFGH＝2λ2（1﹣λ）?V四面體ABCD．V四面體ADGHV四面體ABCD∴V四面體ADGH＝λ2?V四面體ABCD．∴V多面體ABCDEFGH＝VA﹣EGH+V四面體ADGH＝λ2（3﹣2λ）?V四面體ABCD=1∴λ2(3-2λ)=12，整理得（λ-12解得λ=12（2022-2023學(xué)年湖北省武漢市華中師大一附中高一（下）期末數(shù)學(xué)試卷一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.（在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.）1．（5分）已知i為虛數(shù)單位，則（cos75°+isin75°）（cos15°+isin15°）＝（）A．﹣1 B．1 C．﹣i D．i2．（5分）如果一組數(shù)據(jù)的中位數(shù)比平均數(shù)小很多，則下列敘述一定錯誤的是（）A．數(shù)據(jù)中可能有異常值 B．這組數(shù)據(jù)是近似對稱的 C．數(shù)據(jù)中可能有極端大的值 D．數(shù)據(jù)中眾數(shù)可能和中位數(shù)相同3．（5分）有2個人在一座8層大樓的底層進入電梯，假設(shè)每一個人從第二層開始在每一層離開電梯是等可能的，則這兩人在不同層離開電梯的概率為（）A．37 B．67 C．784．（5分）已知點A的坐標為(1，3)，將OA→繞坐標原點O逆時針旋轉(zhuǎn)90°，得到OBA．-3 B．﹣1 C．3 5．（5分）某調(diào)查機構(gòu)抽取了部分關(guān)注濟南地鐵建設(shè)的市民作為樣本，分析其年齡和性別結(jié)構(gòu)，并制作出如下等高條形圖．根據(jù)圖中（35歲以上含35歲）的信息，關(guān)于該樣本的結(jié)論不一定正確的是（）A．男性比女性更關(guān)注地鐵建設(shè) B．關(guān)注地鐵建設(shè)的女性多數(shù)是35歲以上 C．35歲以下的男性人數(shù)比35歲以上的女性人數(shù)多 D．35歲以上的人對地鐵建設(shè)關(guān)注度更高6．（5分）已知l，m，n是三條不同的直線，α，β，γ是三個不同的平面，給出下列命題，其中真命題是（）A．若l⊥α，l⊥m，則m∥α B．若α∩β＝l，β∩γ＝m，γ∩α＝n，l∥m，則m∥n C．若α⊥β，l?α，m?β，則l⊥m D．l?α，l⊥m，l⊥n，m∥β，n∥β，則α∥β（多選）7．（5分）設(shè)平面向量|a→|=1，|b→|=2，A．a(chǎn)→?c→=c→?b→8．（5分）已知銳角α，β滿足sinα﹣cosα=15，tanα+tanβ+3tanαtanβ=3A．α＜π4＜β B．β＜π4＜α二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.（在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.）（多選）9．（5分）下列關(guān)于復(fù)數(shù)z=2A．在復(fù)平面內(nèi)z對應(yīng)的點Z在第一象限 B．z2＝2i C．z的共軛復(fù)數(shù)為﹣1+i D．z是關(guān)于x的方程x2﹣2x+2＝0的一個根（多選）10．（5分）對于一個事件E，用n（E）表示事件E中樣本點的個數(shù)．在一個古典概型的樣本空間Ω和事件A，B，C，D中，n（Ω）＝100，n（A）＝60，n（B）＝40，n（C）＝20，n（D）＝10，n（A∪B）＝100，n（A∩C）＝12，n（A∪D）＝70，則（）A．A與D不互斥 B．A與B互為對立 C．A與C相互獨立 D．B與C相互獨立（多選）11．（5分）在一次黨建活動中，甲、乙、丙、丁四個興趣小組舉行黨史知識競賽，每個小組各派10名同學(xué)參賽，記錄每名同學(xué)失分（均為整數(shù)）情況，若該組每名同學(xué)失分都不超過7分，則該組為“優(yōu)秀小組”，已知甲、乙、丙、丁四個小組成員失分數(shù)據(jù)信息如下，則一定為“優(yōu)秀小組”的是（）A．甲組中位數(shù)為2，極差為5 B．乙組平均數(shù)為2，眾數(shù)為2 C．丙組平均數(shù)為1，方差大于0 D．丁組平均數(shù)為2，方差為3（多選）12．（5分）如圖所示，正方體ABCD﹣A′B′C′D′的棱長為1，E，F(xiàn)分別是棱AA′，CC′的中點，過直線EF的平面分別與棱BB′，DD′交于點M，N，以下四個命題中正確的是（）A．四邊形EMFN一定為菱形 B．平面EMFN⊥平面DBB′D′ C．四棱錐A﹣MENF體積為16D．四邊形EMFN的周長最小值為2三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13．（5分）已知函數(shù)f（x）＝cos（2x+φ）（x∈R）的圖象關(guān)于點(23π，0)中心對稱，則|φ14．（5分）如圖所示，直線PA垂直于圓O所在的平面，△ABC內(nèi)接于圓O，且AB為圓O的直徑，PA＝AB＝2．現(xiàn)有以下命題：①BC⊥PC；②當點C在圓周上由B點逐步向A點移動過程中，二面角B﹣PC﹣A會逐步增大；③當點C在圓周上由B點逐步向A點移動過程中，三棱錐B﹣PAC的體積的最大值為23其中正確的命題序號為．15．（5分）在某次模擬測試中，30名男生的平均分數(shù)是70分，樣本方差是10；20名女生的平均分數(shù)是80分，樣本方差是15，則該次模擬考試中這50名同學(xué)成績的平均分為，方差為．16．（5分）在三棱錐V﹣ABC中，AB，AC，AV兩兩垂直，AB＝AV＝4，AC＝2，P為棱AB上一點，AH⊥VP于點H，則△VHC．面積的最大值為；此時，三棱錐A﹣VCP的外接球表面積為．四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17．（10分）已知扇形OAB的半徑為1，∠AOB=π3，P是圓弧上一點（不與A，B重合），過P作PM⊥OA，PN⊥OB，M，（1）若|PM|=12，求（2）設(shè)∠AOP＝x，PM，PN的線段之和為y，求y的取值范圍．18．（12分）柜子里有3雙不同的鞋，記第1雙鞋左右腳編號為a1，a2，記第2雙鞋左右腳編號為b1，b2，記第3雙鞋左右腳編號為c1，c2．如果從中隨機取出4只，那么（1）寫出試驗的樣本空間Ω，并求恰好取到兩雙鞋的概率；（若取到a1，b1，c1，c2，則樣本點記為a1b1c1c2，其余同理記之．）（2）求事件M“取出的鞋子中至少有兩只左腳，且不能湊兩雙鞋”的概率．19．（12分）如圖，正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，E，F(xiàn)分別是棱AA1，BB1上的點，A1E＝BF=1（1）證明：平面CEF⊥平面ACC1A1；（2）若AC＝AE＝2，求二面角C1﹣CF﹣E的正弦值．20．（12分）在平面凸四邊形（每個內(nèi)角都小于180°）ABCD中，∠A+∠C＝180°，AB＝AD＝2，BC=2，CD=（1）求四邊形ABCD的面積；（2）若M，N為邊AB，CD的中點，求(AB21．（12分）某研究小組經(jīng)過研究發(fā)現(xiàn)某種疾病的患病者與未患病者的某項醫(yī)學(xué)指標有明顯差異，經(jīng)過大量調(diào)查，得到如圖的患病者和未患病者該指標的頻率分布直方圖：利用該指標制定一個檢測標準，需要確定臨界值c，將該指標大于c的人判定為陽性，小于或等于c的人判定為陰性．此檢測標準的漏診率是將患病者判定為陰性的概率，記為p（c）；誤診率是將未患病者判定為陽性的概率，記為q（c）．假設(shè)數(shù)據(jù)在組內(nèi)均勻分布，以事件發(fā)生的頻率作為相應(yīng)事件發(fā)生的概率．（1）當漏診率p（c）＝0.5%時，求臨界值c和誤診率q（c）；（2）設(shè)函數(shù)f（c）＝p（c）+q（c），當c∈[95，105]時，求f（c）的解析式，并求f（c）在區(qū)間[95，105]的最小值．22．（12分）如圖，四棱臺ABCD﹣A1B1C1D1中，上、下底面均是正方形，且側(cè)面是全等的等腰梯形，AB＝2A1B1＝4，E、F分別為DC、BC的中點，上下底面中心的連線O1O垂直于上下底面，且O1O與側(cè)棱所在直線所成的角為45°．（1）求證：BD1∥平面C1EF；（2）線段BF上是否存在點M，使得直線A1M與平面C1EF所成的角的正弦值為32222，若存在，求出線段

2022-2023學(xué)年湖北省武漢市華中師大一附中高一（下）期末數(shù)學(xué)試卷參考答案與試題解析一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.（在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.）1．（5分）已知i為虛數(shù)單位，則（cos75°+isin75°）（cos15°+isin15°）＝（）A．﹣1 B．1 C．﹣i D．i【解答】解：（cos75°+isin75°）（cos15°+isin15°）＝（sin15°+icos15°）（cos15°+isin15°）＝sin15°cos15°+icos215°+isin215°+i2sin15°cos15°＝sin15°cos15°+i（cos215°+sin215°）﹣sin15°cos15°＝i．故選：D．2．（5分）如果一組數(shù)據(jù)的中位數(shù)比平均數(shù)小很多，則下列敘述一定錯誤的是（）A．數(shù)據(jù)中可能有異常值 B．這組數(shù)據(jù)是近似對稱的 C．數(shù)據(jù)中可能有極端大的值 D．數(shù)據(jù)中眾數(shù)可能和中位數(shù)相同【解答】解：中位數(shù)表示一組數(shù)據(jù)的一般水平，平均數(shù)表示一組數(shù)據(jù)的平均水平，如果這兩者差不多，說明數(shù)據(jù)分布較均勻，也可以看作近似對稱，但現(xiàn)在它們相差很大，說明其中有異常數(shù)據(jù)，有極端大的值，眾數(shù)是出現(xiàn)次數(shù)最多的教，可能不止一個，當然可以和中位數(shù)相同，因此只有B項錯誤，故選：B．3．（5分）有2個人在一座8層大樓的底層進入電梯，假設(shè)每一個人從第二層開始在每一層離開電梯是等可能的，則這兩人在不同層離開電梯的概率為（）A．37 B．67 C．78【解答】解：由題意得，由于每一個人自第二層開始在每一層電梯是等可能的，故兩人離開電梯的所有可能情況有7×7＝49種，而兩人在同一層電梯的可能情況有7×1＝7，所以兩人在同一層離開電梯的概率為749所以兩人在不同層離開電梯的概率為1-1故選：B．4．（5分）已知點A的坐標為(1，3)，將OA→繞坐標原點O逆時針旋轉(zhuǎn)90°，得到OBA．-3 B．﹣1 C．3 【解答】解：設(shè)點A是α終邊上一點，設(shè)點B的橫坐標為x0，則|OA|=|OB|=3+1所以sinα=3所以x0故選：A．5．（5分）某調(diào)查機構(gòu)抽取了部分關(guān)注濟南地鐵建設(shè)的市民作為樣本，分析其年齡和性別結(jié)構(gòu)，并制作出如下等高條形圖．根據(jù)圖中（35歲以上含35歲）的信息，關(guān)于該樣本的結(jié)論不一定正確的是（）A．男性比女性更關(guān)注地鐵建設(shè) B．關(guān)注地鐵建設(shè)的女性多數(shù)是35歲以上 C．35歲以下的男性人數(shù)比35歲以上的女性人數(shù)多 D．35歲以上的人對地鐵建設(shè)關(guān)注度更高【解答】解：由等高條形圖可得：對于選項A：由左圖知，樣本中男性數(shù)量多于女性數(shù)量，所以男性比女性更關(guān)注地鐵建設(shè)，故A正確；對于選項B：由右圖知女性中35歲以上的占多數(shù)，從而樣本中多數(shù)女性是35歲以上，從而得到關(guān)注地鐵建設(shè)的女性多數(shù)是35歲以上，故B正確；對于選項C：由左圖知男性人數(shù)大于女性人數(shù)，由右圖知35歲以下的男性占男性人數(shù)比35歲以上的女性占女性人數(shù)的比例少，所以無法判斷35歲以下的男性人數(shù)與35歲以上的女性人數(shù)的多少，故C不一定正確；對于選項D：由右圖知樣本中35歲以上的人對地鐵建設(shè)關(guān)注度更高，故D正確．故選：C．6．（5分）已知l，m，n是三條不同的直線，α，β，γ是三個不同的平面，給出下列命題，其中真命題是（）A．若l⊥α，l⊥m，則m∥α B．若α∩β＝l，β∩γ＝m，γ∩α＝n，l∥m，則m∥n C．若α⊥β，l?α，m?β，則l⊥m D．l?α，l⊥m，l⊥n，m∥β，n∥β，則α∥β【解答】解：若l⊥α，l⊥m，則m∥α或m?α，故A錯誤；若α∩β＝l，β∩γ＝m，γ∩α＝n，l∥m，則由線面平行的判定定理與性質(zhì)定理易得m∥n．故B正確；若α⊥β，l?α，m?β，則l與m不一定垂直，故C錯誤；若l?α，l⊥m，l⊥n，m∥β，n∥β，則不能得到α∥β．故D錯誤．故選：B．（多選）7．（5分）設(shè)平面向量|a→|=1，|b→|=2，A．a(chǎn)→?c→=c→?b→【解答】解：設(shè)b→與a→的夾角為對于A，當θ為銳角時，a→?c對于B．當θ為銳角時，a→當θ為鈍角時，a→當θ為直角時，a→對于C，|a→?對于D，a→?c故選：BC．8．（5分）已知銳角α，β滿足sinα﹣cosα=15，tanα+tanβ+3tanαtanβ=3A．α＜π4＜β B．β＜π4＜α【解答】解：∵sinα﹣cosα=1∴sinα＞cosα，∴α＞π∵tanα+tanβ+3tanαtanβ=∴tan（α+β）=tanα+tanβ∴α+β=π∴β＜π故選：B．二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.（在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.）（多選）9．（5分）下列關(guān)于復(fù)數(shù)z=2A．在復(fù)平面內(nèi)z對應(yīng)的點Z在第一象限 B．z2＝2i C．z的共軛復(fù)數(shù)為﹣1+i D．z是關(guān)于x的方程x2﹣2x+2＝0的一個根【解答】由z=21-i可得對于A，點Z為（1，1），故在第一象限，A正確，對于B，z2＝（1+i）2＝2i，故B正確，對于C，z的共軛復(fù)數(shù)為1﹣i，故C錯誤，對于D，（1+i）2﹣2（1+i）+2＝2i﹣2﹣2i+2＝0，故D正確．故選：ABD．（多選）10．（5分）對于一個事件E，用n（E）表示事件E中樣本點的個數(shù)．在一個古典概型的樣本空間Ω和事件A，B，C，D中，n（Ω）＝100，n（A）＝60，n（B）＝40，n（C）＝20，n（D）＝10，n（A∪B）＝100，n（A∩C）＝12，n（A∪D）＝70，則（）A．A與D不互斥 B．A與B互為對立 C．A與C相互獨立 D．B與C相互獨立【解答】解：因為n（A）+n（D）＝n（A∪D），所以A與D互斥，即選項A錯誤；因為n（A）+n（B）＝n（A∪B）＝n（Ω），所以A與B互斥且對立，即選項B正確；由題意知，P（A）=n(A)n(Ω)=60100=35，P（B）=n(B)n(Ω)=40100=2所以P（A∩C）＝P（A）?P（C），即A與C相互獨立，所以選項C正確；因為n（A∩C）＝12，n（C）＝20，且A與B互為對立，所以n（B∩C）＝20﹣12＝8，所以P（B∩C）=n(B∩C)n(Ω)=8100=225所以B與C相互獨立，即選項D正確．故選：BCD．（多選）11．（5分）在一次黨建活動中，甲、乙、丙、丁四個興趣小組舉行黨史知識競賽，每個小組各派10名同學(xué)參賽，記錄每名同學(xué)失分（均為整數(shù)）情況，若該組每名同學(xué)失分都不超過7分，則該組為“優(yōu)秀小組”，已知甲、乙、丙、丁四個小組成員失分數(shù)據(jù)信息如下，則一定為“優(yōu)秀小組”的是（）A．甲組中位數(shù)為2，極差為5 B．乙組平均數(shù)為2，眾數(shù)為2 C．丙組平均數(shù)為1，方差大于0 D．丁組平均數(shù)為2，方差為3【解答】解；對A，因為中位數(shù)為2，極差為5，故最大值小于等于7，故A正確；對B，如失分數(shù)據(jù)分別為0，0，0，2，2，2，2，2，2，8，則滿足平均數(shù)為2，眾數(shù)為2，但不滿足每名同學(xué)失分都不超過7分，故B錯誤；對C，如失分數(shù)據(jù)分別為0，0，0，0，0，0，0，0，1，9，則滿足平均數(shù)為1，方差大于0，但不滿足每名同學(xué)失分都不超過7分，故C錯誤；對D，利用反證法，假設(shè)有一同學(xué)失分超過7分，則方差大于110×(8-2)故選：AD．（多選）12．（5分）如圖所示，正方體ABCD﹣A′B′C′D′的棱長為1，E，F(xiàn)分別是棱AA′，CC′的中點，過直線EF的平面分別與棱BB′，DD′交于點M，N，以下四個命題中正確的是（）A．四邊形EMFN一定為菱形 B．平面EMFN⊥平面DBB′D′ C．四棱錐A﹣MENF體積為16D．四邊形EMFN的周長最小值為2【解答】解：連接BD，B′D′，MN，AC，EF，顯然AE∥CF，且AE＝CF，所以ACFE為平行四邊形，所以AC∥EF，由題意得AC⊥BD，BB′⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，所以BB′⊥AC，∵BD∩BB′＝B，BD，BB′?平面BDD′B′，所以AC⊥平面BDD′B′，則EF⊥平面BDD′B′，EF?平面EMFN，所以平面EMFN⊥平面BDD′B′，故B正確；由正方體的性質(zhì)得平面BCC′B′∥平面ADD′A′，平面BCC′B′∩平面EMFN＝MF，平面ADD′A′∩平面EMFN＝EN，故MF∥EN，同理得ME∥NF，又EF⊥平面BDD′B′，MN?平面BDD′B′，EF⊥MN，∴四邊形EMFN為菱形，故A正確；對于C，四棱錐A﹣MENF的體積為：VA-MENF=V對于D，∵四邊形EMFN是菱形，∴四邊形EMFN的周長l=4M∴當點M，N分別為BB′，DD′的中點時，四邊形EMFN的周長最小，此時MN=EF=2，即周長的最小值為4，故D故選：ABC．三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13．（5分）已知函數(shù)f（x）＝cos（2x+φ）（x∈R）的圖象關(guān)于點(23π，0)中心對稱，則|φ|的最小值為【解答】解：因為函數(shù)f（x）＝cos（2x+φ）（x∈R）的圖象關(guān)于點(2所以2×2π3+φ=則當k＝1時，|φ|的最小值為π6故答案為：π614．（5分）如圖所示，直線PA垂直于圓O所在的平面，△ABC內(nèi)接于圓O，且AB為圓O的直徑，PA＝AB＝2．現(xiàn)有以下命題：①BC⊥PC；②當點C在圓周上由B點逐步向A點移動過程中，二面角B﹣PC﹣A會逐步增大；③當點C在圓周上由B點逐步向A點移動過程中，三棱錐B﹣PAC的體積的最大值為23其中正確的命題序號為①③．【解答】解：因為PA⊥平面ABC，BC?平面ABC，所以PA⊥BC，又因為AB為圓O的直徑，所以AC⊥BC，又PA∩AC＝A，PA，AC?平面PAC，所以BC⊥平面PAC，而PC?平面PAC，所以BC⊥PC，故①正確；因為BC⊥平面PAC，而BC?平面BPC，所以平面BPC⊥平面PAC，故當點C在圓周上由B點逐步向A點移動過程中，二面角B﹣PC﹣A恒為90°，故②不正確；因為PA＝AB＝2，所以三棱錐B﹣PAC的體積VB-PAC過點C作CH⊥AB交AB于點H，所以S△ABC所以VP-ABC所以求三棱錐B﹣PAC的體積的最大值，即求CH的最大值，當點C在圓周上由B點逐步向A點移動過程中，當H為AB中點時，CH最大，且CH的最大值為1，所以三棱錐B﹣PAC的體積的最大值為23，故③故答案為：①③．15．（5分）在某次模擬測試中，30名男生的平均分數(shù)是70分，樣本方差是10；20名女生的平均分數(shù)是80分，樣本方差是15，則該次模擬考試中這50名同學(xué)成績的平均分為74，方差為36．【解答】解：記30名男生得分記為x1，x2，……，x30，20名女生得分記y1，y2，……，y20，所以男生得分平均分x=x1+x2+...+x3030所以女生得分平均分y=y1+y2+...+y2020所以總平均分m=總方差為s2所以此50人該次模擬考試成績的平均分是74，方差是36．故答案為：74；36．16．（5分）在三棱錐V﹣ABC中，AB，AC，AV兩兩垂直，AB＝AV＝4，AC＝2，P為棱AB上一點，AH⊥VP于點H，則△VHC．面積的最大值為5；此時，三棱錐A﹣VCP的外接球表面積為148π5【解答】解：設(shè)AP＝x，∵AB，AC，AV兩兩垂直，∴VP=16+∴12VP?AH=12VA?AP，∴由已知可得AC⊥平面VAB，∴AC⊥AH，HC=4+∵VH⊥AH，AH∩AC＝A，∴VH⊥平面AHC，∵HC?平面AHC，∴VH⊥HC，∴VH=16-∴S△VHC=12×VH×當且僅當4+16x216+三棱錐A﹣VCP的外接球的半徑為r，則（2r）2＝AP2+AC2+AV2=16×1525+∴4πr2=1485故答案為：5；1485π四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17．（10分）已知扇形OAB的半徑為1，∠AOB=π3，P是圓弧上一點（不與A，B重合），過P作PM⊥OA，PN⊥OB，M，（1）若|PM|=12，求（2）設(shè)∠AOP＝x，PM，PN的線段之和為y，求y的取值范圍．【解答】解：（1）sin∠POM=12，∠POM∈(0，π所以∠PON=π3-（2）∠POB=πy=sinx+sin(πx+π3∈(π318．（12分）柜子里有3雙不同的鞋，記第1雙鞋左右腳編號為a1，a2，記第2雙鞋左右腳編號為b1，b2，記第3雙鞋左右腳編號為c1，c2．如果從中隨機取出4只，那么（1）寫出試驗的樣本空間Ω，并求恰好取到兩雙鞋的概率；（若取到a1，b1，c1，c2，則樣本點記為a1b1c1c2，其余同理記之．）（2）求事件M“取出的鞋子中至少有兩只左腳，且不能湊兩雙鞋”的概率．【解答】解：（1）由題意得，試驗的樣本空間為：Ω＝{a1a2b1b2，a1a2b1c1，a1a2b1c2，a1a2b2c1，a1a2b2c2，a1a2c1c2，a1b1b2c1，a1b1b2c2，a1b1c1c2，a1b2c1c2，a2b1b2c1，a2b1b2c2，a2b1c1c2，a2b2c1c2，b1b2c1c2}，設(shè)A表示事件“恰好取到兩雙鞋”，則A＝{a1a2b1b2，a1a2c1c2，b1b2c1c2}，所以n（Ω）＝15，n（A）＝3，故事件“恰好取到兩雙鞋”的概率