國(guó)人自編第一本數(shù)學(xué)題解辭典記事

國(guó)人自編第一本數(shù)學(xué)題解辭典記事上海市宜山路655弄4號(hào)121室陳振宣1983年6月，國(guó)人自編的第一本數(shù)學(xué)題解辭典《數(shù)學(xué)題解辭典(平面解析幾何)》（以下簡(jiǎn)稱《解幾辭典》）由上海辭書(shū)出版社出版，1983~1998年前后印了六次，印數(shù)達(dá)285000冊(cè).上海向明中學(xué)的一位學(xué)生和外地一位教師因未買(mǎi)到它，分別抄了一本手抄本.全國(guó)各地高中數(shù)學(xué)教師幾乎人手一冊(cè).特別不易的是寧波的特級(jí)教師楊象富老師，花了兩個(gè)多月把全書(shū)1205題全部做了一遍，并向本書(shū)顧問(wèn)趙憲初先生寫(xiě)了17頁(yè)的讀后感，實(shí)屬難能可貴.此書(shū)對(duì)社會(huì)影響之大之好可見(jiàn)一斑.作為責(zé)任編委與主要撰稿人之一的筆者，往事歷歷在目，留下難忘的記憶.按尊重事實(shí)，尊重科學(xué)真理的精神忠實(shí)地記下編寫(xiě)的經(jīng)驗(yàn)教訓(xùn)，對(duì)我國(guó)的教育改革或有一定的參考價(jià)值.一、編寫(xiě)的動(dòng)因與奮斗目標(biāo)問(wèn)題是數(shù)學(xué)的心臟，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)離不開(kāi)解題，廣大中等學(xué)校數(shù)學(xué)教師熱切希望有一部以題解為中心的、比較系統(tǒng)的、實(shí)用的工具書(shū)，雖然此前有日本的兩套題解辭典，但一則與我國(guó)實(shí)際有距離，二則存在不盡如人意的缺陷，因此按我國(guó)的教育實(shí)際編寫(xiě)一套高觀點(diǎn)、寬視野、科學(xué)性、創(chuàng)新性、實(shí)用性、工具性、應(yīng)試與素質(zhì)兼顧、眼前與長(zhǎng)遠(yuǎn)統(tǒng)籌、繼承與發(fā)展并涵，具有中國(guó)數(shù)學(xué)教育特色的數(shù)學(xué)題解辭典應(yīng)是當(dāng)務(wù)之急.經(jīng)過(guò)醞釀，由上海辭書(shū)出版社發(fā)起，請(qǐng)市教育局教研員夏明德同志牽頭，延聘趙憲初先生做顧問(wèn)，唐秀穎女士做主編（兩位都是文革前的超級(jí)教師即特級(jí)教師），鮑志新（文革前中教一級(jí)數(shù)學(xué)教師）、夏明德為副主編，陳振宣、郁楨（兩位都是文革前一級(jí)教師）、顧鴻達(dá)、章景翰、曾容為編委，研究編寫(xiě)指導(dǎo)思想、寫(xiě)作具體方案、工作進(jìn)程、分工.解幾：陳振宣；代數(shù)：郁楨，曾容；三角：顧鴻達(dá)，陳振宣；平幾：章景翰、郁楨；立幾：夏明德；微積分：歐陽(yáng)光中（復(fù)旦教授）、曾容分別為責(zé)任編委.全書(shū)編排以知識(shí)體系為經(jīng)，方法論為緯，帶頭題帶動(dòng)相關(guān)題組分析解題思路，說(shuō)明解題關(guān)鍵，小結(jié)解題規(guī)律，提高思維能力.這和題目、解法的簡(jiǎn)單堆積是完全不同的，形成這套辭典的鮮明特色，這是編委會(huì)追求的目標(biāo)，限于水平與時(shí)間，難免留下一些遺憾，只能靠后繼者來(lái)改進(jìn)了.二、《數(shù)學(xué)題解辭典》的開(kāi)鑼?xiě)蛭覀優(yōu)槭裁催x擇解析幾何？1978年恢復(fù)全國(guó)高考統(tǒng)一命題，連續(xù)五年高考數(shù)學(xué)試卷的壓軸題是解幾題[1]，在社會(huì)上出現(xiàn)了“解幾熱”.1982年的壓軸題是一道優(yōu)美的拋物線的證明題.獲得滿分的是鳳毛麟角，引起廣泛關(guān)注.那年筆者被上海市教育局指派參加閱卷工作.該題的運(yùn)算量特別大，能正確完成的不到千分之一，不少閱卷老師希望筆者寫(xiě)出合理簡(jiǎn)潔的解法.筆者當(dāng)時(shí)給出的證明，已收入《解幾辭典》P601第989題可供查閱，這里就不展開(kāi)了.正是社會(huì)上的“解幾熱”催生了《解幾辭典》的誕生.三、編寫(xiě)的指導(dǎo)思想解析幾何是笛卡兒劃時(shí)代的創(chuàng)造，是方法論的杰作.學(xué)習(xí)解幾是學(xué)習(xí)方法論的最佳載體.解析幾何由坐標(biāo)法和曲線與方程兩大基本矛盾交織而成.《解幾辭典》的編寫(xiě)應(yīng)依兩大基本矛盾為主線按序展開(kāi).既要遵照教育部《全日制六年制重點(diǎn)中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)大綱》的內(nèi)容為主，又要重視解析幾何改革方向和線性代數(shù)相結(jié)合的大趨勢(shì).向量、矩陣、行列式和復(fù)數(shù)工具的應(yīng)用已呈難以阻擋的潮流.應(yīng)用向量與向量射影定理[2]精確刻劃坐標(biāo)系的理論，從感性認(rèn)識(shí)上升到理性認(rèn)識(shí)水平.教學(xué)實(shí)踐已證實(shí)其可行性與優(yōu)越性.這一改革成果進(jìn)入《解幾辭典》，成了這本工具書(shū)的主要特色.《解幾辭典》P9第9題介紹了向量在坐標(biāo)軸上的射影：==||,==||,其中為以為始邊、為終邊的任意角.這是平面直角坐標(biāo)系的基本定理，乃是解析幾何發(fā)明的本源之一.許多定理、公式都可由此直接推出.它是坐標(biāo)化（即解析化或符號(hào)化）的基礎(chǔ)，也是簡(jiǎn)化運(yùn)算的有力“武器”.它將向量、坐標(biāo)、三角函數(shù)融為一體，應(yīng)用十分方便[3].另一方面繼承了Loney的《坐標(biāo)幾何》的參數(shù)思想，并作了發(fā)展.如P83求曲線的方程，參數(shù)方法：①建立坐標(biāo)系，設(shè)(或)為軌跡上任意一點(diǎn).②根據(jù)題意選擇與動(dòng)點(diǎn)有直接聯(lián)系的若干參變量.③根據(jù)軌跡條件建立若干方程，方程的個(gè)數(shù)比選用的參數(shù)個(gè)數(shù)多一.④從③所得方程組消去所有的參數(shù)，即得軌跡的普通方程；如從方程組中解出即為軌跡的參數(shù)方程.這為提高解軌跡題的能力奠定了牢固的基礎(chǔ)，已成為解析幾何教學(xué)中的重要規(guī)律之一.以P90~92第138題為例稍加說(shuō)明.已知定點(diǎn)P與定直線，在上任取一點(diǎn)，連結(jié)的一邊作正三角形（、、的順序呈逆時(shí)針?lè)较颍?求當(dāng)點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上移動(dòng)時(shí)，點(diǎn)的軌跡.取定直線為軸，定點(diǎn)在軸上的射影為原點(diǎn)，建立如圖1所示的平面直角坐標(biāo)系.設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為（），為定值；點(diǎn)的坐標(biāo)為（），為參數(shù)；圖1為軌跡上任意一點(diǎn)，則三點(diǎn)對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)依次為.=,=.∵按逆時(shí)針?lè)较蚶@點(diǎn)旋轉(zhuǎn)60°后與重合，∴，即，得此即點(diǎn)軌跡的參數(shù)方程，消去參數(shù)，得軌跡的普通方程：.以上即《辭典》上的[解二].這里所以應(yīng)用復(fù)數(shù)（本質(zhì)上即用了向量）是因?yàn)楸阌趹?yīng)用復(fù)數(shù)描述向量的旋轉(zhuǎn)變換，直接推出軌跡的參數(shù)方程，[說(shuō)明]中利用矩陣乘法描述向量的旋轉(zhuǎn)變換，同樣方便地達(dá)到目的.從而全面反映了編寫(xiě)的指導(dǎo)思想.在《解幾辭典》編寫(xiě)過(guò)程中這一指導(dǎo)思想貫徹始終.四、《解幾辭典》所作的改革探索.1.向量的線性運(yùn)算與向量射影定理使坐標(biāo)法更科學(xué)更靈活如上述“三、編寫(xiě)的指導(dǎo)思想”中所述，P8第9題所推出的平面直角坐標(biāo)系基本定理.它的本源是向量的線性運(yùn)算與向量射影定量的交匯.這使得數(shù)形結(jié)合更生動(dòng)更方便.它乃是解析幾何發(fā)明的本源之一，并為簡(jiǎn)化運(yùn)算開(kāi)辟了新天地.為了說(shuō)明這一點(diǎn)請(qǐng)看《解幾辭典》P717~719第1171題.本題的初稿是顧正明同志提供的，他將圓的漸開(kāi)線中圓的切線改成一條矩形直尺，看來(lái)變動(dòng)不大，但解答的難度上升了，他提出的[解一]系傳統(tǒng)解法，但當(dāng)圖形發(fā)展到第二象限時(shí)，得重新處理，筆者補(bǔ)充的[解二][解三]，則是無(wú)論圖形畫(huà)在哪個(gè)象限都是適用的，可以反映這一改革的優(yōu)越性，以下[解二]供參考.[解二]坐標(biāo)系與參數(shù)同[解一].∵=+=++∴=()=()+()+()=++=+.=()=()+()+()=++,=.[說(shuō)明]這對(duì)于圖2，圖3都適用.這一方法同樣用在第1172~1177，可見(jiàn)這一方法的通用性.2.參數(shù)思想的發(fā)展與應(yīng)用世界上的事物之間的聯(lián)系的方式是豐富多彩的，或明或暗，或顯或隱，科學(xué)的任務(wù)是要揭示事物之間的內(nèi)在聯(lián)系，從而發(fā)現(xiàn)事物變化的規(guī)律，為了刻劃變化過(guò)程，常常借助于參數(shù).參數(shù)是變量，變與不變的辯證統(tǒng)一正是參數(shù)的靈活性的反映.“因而參數(shù)既可以其變化來(lái)描述事物的變化過(guò)程，又可以暫時(shí)看作常量（已知量），以靜制動(dòng)，揭示問(wèn)題中變量之間的內(nèi)在聯(lián)系，把握變化的規(guī)律.人們利用參數(shù)刻劃變化過(guò)程，并以參數(shù)為媒介揭示問(wèn)題中變量之間的相互制約關(guān)系，把握事物變化規(guī)律的思維方法叫做參數(shù)方法”[4].它在解析幾何中軌跡問(wèn)題、證明問(wèn)題以及最值問(wèn)題，參數(shù)取值范圍的討論中都起著關(guān)鍵作用.在《解幾辭典》中處處閃爍著參數(shù)的光輝.曲線系方程中的也是參數(shù)，以蝴蝶定理的解析證法作為參數(shù)法討論的結(jié)尾.在1978年的競(jìng)賽輔導(dǎo)中講解析證法，一位學(xué)生提出蝴蝶定理能不能用解析法證明？筆者在第二天作了答復(fù)，后在1980年6月《上海教育》上發(fā)表，并收入《解幾辭典》P676第1113題.過(guò)任意二次曲線的弦的中點(diǎn)，作兩弦、；如過(guò)、、、的二次曲線（包括退化二次曲線）與直線交于、兩點(diǎn)，求證：||=||.這是推廣了的蝴蝶定理.圖4如圖4，取直線為軸，的中點(diǎn)為原點(diǎn)，建立平面直角坐標(biāo)系.設(shè)||=||=，則、兩點(diǎn)的坐標(biāo)為（，）、（，-），過(guò)、兩點(diǎn)的任意二次曲線方程為.過(guò)點(diǎn)的任意弦、（不與重合）的方程分別為=,=，過(guò)、、、四點(diǎn)的二次曲線系方程為.……①①在軸上的截距即、，為方程=的根，即==.……②∵曲線①與直線交于兩點(diǎn)、，∴方程②有二實(shí)根：、，且+=.即=-，∴||=||.這是通過(guò)巧妙地建立坐標(biāo)系，利用過(guò)、、、四點(diǎn)的二次曲線系方程①，使直線對(duì)、；或、也涵蓋在曲線①之中，從而引入、為方程=的兩個(gè)實(shí)根，利用韋達(dá)定理證明了命題的結(jié)論，充分展示了解析法的魅力.離了二次曲線系方程（含有參數(shù)）是無(wú)法實(shí)現(xiàn)跨越的.參數(shù)的奧妙，達(dá)到匪夷所思的境界.值得一提的是參數(shù)法與對(duì)稱思想交匯是突破困難的有效方法之一.《解幾辭典》P540第889題是筆者第一次（1944年）教解析幾何所遇到的難題之一，出自李銳夫先生編寫(xiě)開(kāi)明書(shū)局出版的解析幾何教材，筆者苦思多日才獲解如下：原題是：如圖5，設(shè)直線與拋物線(>0)相交于、，為拋物線的焦點(diǎn).、交拋物線于、兩點(diǎn)，求直線的方程.[解]設(shè)、的坐標(biāo)分別為（,）、（,）；、的坐標(biāo)分別為（,），（,），則直線的方程為，圖5即.∵過(guò)焦點(diǎn)，∴=故=,同理=.∴點(diǎn)、的坐標(biāo)分別為（）、（），∵、在已知直線，故方程的兩個(gè)根為、.設(shè)所求直線的方程為，則+=，+=.∴方程的兩個(gè)根也是、.從而有，∴.所以直線的方程為.這是通過(guò)應(yīng)用拋物線的參數(shù)方程與韋達(dá)定理（對(duì)稱函數(shù)）相結(jié)合，突破了解方程組的繁瑣運(yùn)算.上解是對(duì)《解幾辭典》上的解法適當(dāng)改進(jìn)而成.從此可見(jiàn)《解幾辭典》尚存在需要加工的地方，解法的創(chuàng)新與完善是無(wú)止境的.3．線性代數(shù)和解析幾何的內(nèi)在聯(lián)系線性代數(shù)與解析幾何存在天然的聯(lián)系，但在中學(xué)范圍內(nèi)反映不多，因而《解幾辭典》只在少數(shù)地方點(diǎn)到為止.例如P246第388題，P393第647題，P652第1070題，P685第1128題，等等.下面以1070題為例以概其余.已知直線與二次曲線：相切，求證：.[證]設(shè)切點(diǎn)為，過(guò)點(diǎn)的切線方程為，即.此直線與直線重合.∴.∴應(yīng)滿足方程組即關(guān)于的線性齊次方程組有一組非零解（，,,）.∴.這一解法是線性代數(shù)在解析幾何中應(yīng)用的典型范例之一.在立體解析幾何中有更廣泛的應(yīng)用.4.原創(chuàng)題與解法上的創(chuàng)新在編寫(xiě)過(guò)程中除了精選傳統(tǒng)名題與廣泛流行優(yōu)秀題外，還著意編寫(xiě)了不少原創(chuàng)題.如P96第146題，P108第169題，P125第196題，等等.特別值得一提的是P733第1191題.這是筆者1980年為上海市高考模擬考編寫(xiě)的壓軸題.在《解幾辭典》刊出后，在全國(guó)廣泛流傳成為各地高考復(fù)習(xí)中的測(cè)試題.設(shè)為復(fù)數(shù)，且關(guān)于的方程恒有實(shí)根α（α為實(shí)參數(shù)），試求點(diǎn)的軌跡.題目新而十分基本，涉及的概念不多，方法是參數(shù)法，但結(jié)果卻出人意料，竟是著名的蔓葉線（Cissoid）.何以從一個(gè)隨意編制的復(fù)數(shù)二次方程會(huì)引出蔓葉線？至今仍是一個(gè)謎.《解幾辭典》還花了大量精力在題解的創(chuàng)新上.大量解法與原解不同，僅舉一例以概其余.P321第526題系1979年高考?jí)狠S題改編，原題如下：如圖6，設(shè)等腰△的頂角為，高為.（1）在△內(nèi)有一動(dòng)點(diǎn)，到三邊、、的距離分別為||、||、||，并且滿足||·||=||2，求點(diǎn)的軌跡.（2）在上述軌跡上定出點(diǎn)的坐標(biāo)，使得||+||=||.本題的關(guān)鍵是如何求出||、||、||.由三邊所在直線的方程分別為圖6：，：，：.由于教材中的知識(shí)，無(wú)法判斷，的正負(fù)，因而誤判：||=,致使所求軌跡的方程為()()=()2，軌跡成了雙曲線.而正確的是||=，||=，所求軌跡方程為()()=()2，即.所求軌跡以（,）為圓心，為半徑在△內(nèi)部的一段圓孤如圖所示.（2）∵||+||=||，∴，即在△的內(nèi)部的一段線段上.通過(guò)解方程組以,代入方程（２），可解得=（∵>0）.代入①，得=·=.∴點(diǎn)的坐標(biāo)為（，）.不少考生由于誤判||=，導(dǎo)致一分未得.《解幾辭典》上對(duì)（2）的解不完善，上面的解作了補(bǔ)充.在解法創(chuàng)新上，由于數(shù)量太多不一一列舉了.5.一道復(fù)習(xí)題引出的定理P200第324題來(lái)源于Smith&Gale的《ElementsofAnalyticGeometry》的一道復(fù)習(xí)題，從此可推出一條定理(P145第229題)：如果、分居直線的兩側(cè)，則與異號(hào)；如果、在直線的同側(cè)，則與同號(hào).該定理既是解決有關(guān)比例線段問(wèn)題的有效工具，又是解二元一次不等式通法的理論依據(jù).P201~205第325~330題均是該定理應(yīng)用的范例，包括Menelaus，Ceva定理，其證法的簡(jiǎn)潔令人驚嘆！這一定理可以方便地確定的正負(fù)，避免像P321第526題中產(chǎn)生的失誤.這一定理并非什么“發(fā)明”，但卻為解析幾何教學(xué)改革帶來(lái)不小的影響，值得人們仔細(xì)品味.五、群策群力，眾志成城《解幾辭典》是這套題解辭典的第一本，許多問(wèn)題都待探索，籍個(gè)人之力是難以完成的.在主編的帶動(dòng)下，發(fā)揮了編委和全體撰稿人的積極性，共同研究了：如何建立辭典編寫(xiě)的框架，書(shū)稿寫(xiě)作樣稿，如何分工以利發(fā)揮全體撰稿人的作用.關(guān)于書(shū)稿體例，責(zé)編唐尚斌同志發(fā)揮了他的專長(zhǎng)，為辭典質(zhì)量的提高起了獨(dú)特作用.關(guān)于《解幾辭典》由責(zé)任編委提供長(zhǎng)期積累的題目與解，分發(fā)給撰稿人按樣稿寫(xiě)出初稿，其中重點(diǎn)、難點(diǎn)題由責(zé)任編委自己撰稿提供大家討論.并發(fā)動(dòng)大家廣泛收集優(yōu)秀題目寫(xiě)出初稿，互相初審，再交責(zé)任編委和鮑志新、章景翰、曾容三位編委作復(fù)審，主編抽樣作決審，最后由責(zé)任編委和責(zé)任編輯唐尚斌作編輯加工，逐題定稿，二人經(jīng)常義務(wù)加班到晚上，樂(lè)此不疲.在初審中又發(fā)動(dòng)部分撰稿人作計(jì)算核對(duì)，這樣的審稿制度為辭典質(zhì)量提供了保證.這對(duì)其他工具書(shū)的編寫(xiě)或有參考價(jià)值.在編寫(xiě)過(guò)程中有兩道題值得說(shuō)明.P612第1009題來(lái)源于《數(shù)學(xué)通報(bào)》問(wèn)題解答欄，在復(fù)審時(shí)，發(fā)現(xiàn)原解有誤.筆者與另一位同志相約各自作解答，第二天再會(huì)審，筆者應(yīng)用向量作了證明，另一位同志應(yīng)用坐標(biāo)軸平移與旋轉(zhuǎn)也獲證明.分別作為[證一]、[證二]常規(guī)與創(chuàng)新并舉相得益彰.P742第1203題來(lái)源于Loney的坐標(biāo)幾何，但原來(lái)的證明欠嚴(yán)格.筆者重新作了證明.復(fù)審時(shí)，在編委中意見(jiàn)未能統(tǒng)一.有人認(rèn)為=0中是二元一次式并非一元一次式，這不能證明命題的結(jié)論？顧問(wèn)趙憲初先生提議送華東師大程其襄教授（分析專家）審查.大熱天筆者將稿子送程教授府上，當(dāng)面求