2021年函數(shù)和不等式思想在極值點(diǎn)偏移問題中的應(yīng)用

精編word文檔下載可編輯PAGEPAGE45函數(shù)和不等式思想在極值點(diǎn)偏移問題中的應(yīng)用一、教材分析1．教材的內(nèi)容選修1-1第三章，本節(jié)屬于專題復(fù)習(xí)課.教材所處的地位和作用微積分的創(chuàng)立是數(shù)學(xué)發(fā)展史中的里程碑，它的發(fā)展應(yīng)用開創(chuàng)了向近代數(shù)學(xué)過渡的新時(shí)期，它為研究變量與函數(shù)提供了重要的方法和手段。導(dǎo)數(shù)的概念是微積分的核心概念之一，它有及其豐富的實(shí)際背景和廣泛的應(yīng)用。在選修模塊中，學(xué)生將通過大量實(shí)例，經(jīng)歷由平均變化率到瞬時(shí)變化率刻畫現(xiàn)實(shí)問題的過程，理解導(dǎo)數(shù)的含義，體會(huì)導(dǎo)數(shù)思想及其內(nèi)涵；應(yīng)用導(dǎo)數(shù)探索函數(shù)的單調(diào)，極值等性質(zhì)在實(shí)際中的應(yīng)用，感受導(dǎo)數(shù)在解決數(shù)學(xué)問題和實(shí)際問題中的作用，體會(huì)微積分的產(chǎn)生對(duì)人類文化發(fā)展的價(jià)值。學(xué)情分析①通過《數(shù)學(xué)必修》中函數(shù)，幾何與代數(shù)，數(shù)學(xué)建模等內(nèi)容的學(xué)習(xí)以及在《數(shù)學(xué)選修1-1》中第二，三章內(nèi)容的學(xué)習(xí)，學(xué)生已經(jīng)具備了函數(shù)的基本知識(shí)和運(yùn)算能力，這為本節(jié)我們討論極值點(diǎn)偏移問題提供了很好的前提與基礎(chǔ)。②學(xué)生具體研究學(xué)習(xí)了數(shù)學(xué)必修中函數(shù)單調(diào)性的尋找，證明和應(yīng)用及不等式的相關(guān)結(jié)論，具備了一定的探究能力?；诖?，學(xué)生會(huì)產(chǎn)生思考，如何運(yùn)用函數(shù)和不等式來解決高考試題中極值點(diǎn)偏移的問題，能否給出一般性的解決方法和步驟，如果能夠得到這類問題較為簡單的解題通法，這個(gè)常常出現(xiàn)在高考數(shù)學(xué)壓軸題21題位置上的難點(diǎn)將不會(huì)再對(duì)我們造成太難的阻礙，甚至?xí)蔀椴糠滞瑢W(xué)新的得分點(diǎn)。③教學(xué)對(duì)象是高三年級(jí)理科生，由于學(xué)生年齡和能力及題目本身思維要求高，過程繁，計(jì)算難度大等原因，學(xué)生的思維盡管活躍，敏捷，但卻缺乏冷靜深刻的數(shù)學(xué)思維和解難題的能力，因此所做的探索過于片面，結(jié)論不夠嚴(yán)謹(jǐn).教學(xué)的重點(diǎn)和難點(diǎn)重點(diǎn)函數(shù)構(gòu)造法，對(duì)數(shù)平均不等式和極值點(diǎn)偏移的判定定理難點(diǎn)函數(shù)構(gòu)造法的結(jié)題步驟，構(gòu)造函數(shù)的選取，對(duì)數(shù)平均不等式的放縮和極值點(diǎn)偏移的判定定理的使用二、教學(xué)目標(biāo)分析1．知識(shí)與技能能運(yùn)用函數(shù)和不等式解決導(dǎo)數(shù)應(yīng)用中極值點(diǎn)偏移的問題掌握函數(shù)和不等式解決這類題的一般步驟極值點(diǎn)偏移的判定定理的使用2、過程與方法通過利用幾何畫板展現(xiàn)極值點(diǎn)偏移的過程，讓學(xué)生直觀認(rèn)識(shí)感受極值點(diǎn)偏移的本質(zhì)原因，激發(fā)學(xué)生探究解決問題的激情，和培養(yǎng)學(xué)生認(rèn)真觀察事物變化過程，總結(jié)變化規(guī)律的習(xí)慣。同時(shí)在此處先不給出極值點(diǎn)偏移的判定定理，而是先用函數(shù)構(gòu)造法和對(duì)數(shù)平均不等式這兩種之前已經(jīng)介紹過的方法來求解例一。重在感受極值偏移的現(xiàn)象，和復(fù)習(xí)歸納已經(jīng)學(xué)習(xí)的知識(shí)方法。結(jié)合例一的解題過程，重點(diǎn)回顧討論解題的方法和步驟，展示這兩種方法的易錯(cuò)點(diǎn)和難點(diǎn)的突破口，樹立學(xué)生解難題的信心規(guī)范學(xué)生的解題過程。然后把時(shí)間向前推移六年到例2（2010天津）讓學(xué)生自主模仿例一的解法嘗試來解例二，通過例一的復(fù)習(xí)學(xué)生較容易使用其中的一種或兩種方法得到題目的答案讓學(xué)生體會(huì)到學(xué)以致用的成就感，同時(shí)也通過兩題的比對(duì)了解到高考題目的變遷歷史體會(huì)該知識(shí)點(diǎn)在高考中的地位清楚今后的復(fù)習(xí)和學(xué)習(xí)方向。展示學(xué)生例二的解題過程并加以點(diǎn)評(píng)后提出更高的要求——有沒有更好的方法，結(jié)合一開始的三張圖片讓學(xué)生再次重新審視極值點(diǎn)偏移的原因回歸到數(shù)學(xué)本質(zhì)上來，不用很精準(zhǔn)只需要說出自己的直觀感受即可，通過這一過程讓學(xué)生鍛煉自己的數(shù)學(xué)直觀想象和數(shù)學(xué)運(yùn)算分析等核心素養(yǎng)，同時(shí)也為后面介紹極值點(diǎn)偏移的判定定理做好鋪墊，比較分析函數(shù)構(gòu)造法和對(duì)數(shù)平均不等式的特點(diǎn)和優(yōu)缺點(diǎn)，認(rèn)識(shí)到具體問題具體分析，方法的選擇要靈活有針對(duì)性，不能盲目模仿和生搬硬套，通過一題多解，和同法異題的求解加深解題方法的理解和應(yīng)用能力的提高，由具體問題的多角度的思維得出不同方法的求解過程培養(yǎng)學(xué)生的探索精神和數(shù)學(xué)歸納的能力，數(shù)學(xué)抽象能力。3、情感態(tài)度與價(jià)值觀通過經(jīng)歷對(duì)例一和例二高考真題的探索和解決，激發(fā)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的好奇心和求知欲，鼓勵(lì)學(xué)生大膽嘗試、勇于探索、敢于創(chuàng)新，磨練思維品質(zhì)，從中獲得成功的體驗(yàn)，感受數(shù)學(xué)思維的奇異美、結(jié)構(gòu)的對(duì)稱美、形式的簡潔美、數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)美．引導(dǎo)學(xué)生樹立科學(xué)的世界觀，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)和綜合素質(zhì)。三、教學(xué)方法與手段分析教學(xué)方法結(jié)合本節(jié)課的教學(xué)內(nèi)容和學(xué)生的認(rèn)知水平，在教法上，我采用“探究發(fā)現(xiàn)”模式的教學(xué)方法，整個(gè)教學(xué)過程以學(xué)生為主體，學(xué)生自主學(xué)習(xí)為中心的思想，同時(shí)運(yùn)用多媒體課件教學(xué)等技術(shù)手段，同一題目不同方法的比對(duì)，相同方法不同題目的求解讓學(xué)生由淺入深，循序漸進(jìn)的參與這堂課的每個(gè)過程，自然而然的完成本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)。學(xué)法觀察分析→自主探究→合作交流→初步運(yùn)用→歸納小結(jié)教學(xué)手段利用計(jì)算機(jī)和實(shí)物投影等輔助教學(xué)，充分調(diào)動(dòng)學(xué)生參與課堂教學(xué)的主動(dòng)性與積極性.四、教學(xué)過程分析教學(xué)是一個(gè)教師的“導(dǎo)”，學(xué)生的“學(xué)”以及教學(xué)過程中的“悟”構(gòu)成的和諧整體.教師的“導(dǎo)”也就是教師啟發(fā)、誘導(dǎo)、激勵(lì)、評(píng)價(jià)等為學(xué)生的學(xué)習(xí)搭建支架，把學(xué)習(xí)的任務(wù)轉(zhuǎn)移給學(xué)生，學(xué)生就是接受任務(wù)，探究問題、完成任務(wù).如果在教學(xué)過程中把“教與學(xué)”完美的結(jié)合也就是以“問題”為核心，通過對(duì)知識(shí)的發(fā)生、發(fā)展和運(yùn)用過程的演繹、解釋和探究來組織和推動(dòng)教學(xué).Ⅰ.創(chuàng)設(shè)情境，提出問題圖1x

=m=x1+x2極值點(diǎn)無偏移圖2x<m=x1+x2極值點(diǎn)左偏0圖3x0

202>m=x1+x22目的①本例通過給出三張典型的凹函數(shù)圖像，讓學(xué)生從圖像特征上去直觀感受函數(shù)圖像極值點(diǎn)發(fā)生偏移的原因，有助于調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)積極性，同時(shí)上來通過圖像讓學(xué)生直觀感受而非繁瑣的計(jì)算來思考解決問題，有助于開拓學(xué)生視野回歸數(shù)學(xué)問題本質(zhì)，降低了學(xué)生對(duì)于該問題的為難情緒。②通過學(xué)生觀察后教師自然而然的給出極值點(diǎn)偏移的定義，并順帶給出極值點(diǎn)偏移的數(shù)學(xué)解釋逐步讓學(xué)生由感性認(rèn)知上升到理論認(rèn)知，當(dāng)然老師在此可以對(duì)學(xué)生提出進(jìn)一步要求，可不可以給出一般性的判定定理？這里我們只先提出問題，做下伏筆，但并不馬上去求解，避免由于問題過難而挫傷學(xué)生的積極性，同時(shí)也為本節(jié)課最后的問題做好了鋪墊。Ⅱ.探究問題例一（2016全國卷一）已知函數(shù)f(x)=(x-2)ex+a(x-1)2有兩個(gè)零點(diǎn)。（I）求a的取值范圍；（略）（II）設(shè)x1,x2是f(x)的兩個(gè)零點(diǎn)，證明x1+x2<2目的①發(fā)揮學(xué)生的主觀能動(dòng)性，先自己探求結(jié)果，檢查學(xué)生前一階段的復(fù)習(xí)成果和對(duì)于問題一的思考和聯(lián)系；②讓學(xué)生對(duì)于零點(diǎn)偏移求解過程更加熟練，思路更加清晰；并為下一步對(duì)數(shù)平均不等式和極值點(diǎn)偏移的判定定理做好鋪墊；解法一對(duì)稱構(gòu)造函數(shù)法由（1）知a30①x1<1<x2②構(gòu)造函數(shù)F(x)=f(x)-f(2-x)，(x<1)TF＇(x)=f＇(x)-f＇(2-x)=(x-1)(ex+2a)+(1-x)(e2-x+2a)=(x-1)(ex-e2-x)x<1時(shí)x-1<0T2-x>1>xTe2-x-ex>0＼F＇(x)>0TF(x)在(-￥，1)上-③代入x1得F(x1)<F(1)=0Tf(x2)=

f(x1)<

f(2-x1)又Qy=

f(x)在(1，+￥)上-x2(1,+￥),2-x1(1,+￥)＼x2<2-x1即x1+x2<2提問1學(xué)生解法一由哪些主要步驟，哪些步驟是你覺得難得地方，我們是如何解決這些困難的？結(jié)合學(xué)生的回答對(duì)稱化構(gòu)造函數(shù)處理極值點(diǎn)偏移問題的基本步驟歸納如下＇①求導(dǎo)獲得f(x)的單調(diào)性，數(shù)形結(jié)合判斷零點(diǎn)x1,x2和極值點(diǎn)x0的范圍②構(gòu)造輔助函數(shù)F(x)=性

f(x)-f(2x0-x)，判斷函數(shù)F(x)的符號(hào)，確定函數(shù)F(x)的單調(diào)③結(jié)合F(x0)=0限定x的范圍判定F(x)的符號(hào)得到不等式④將x1(或x2)代入上述不等式，利用f(x1)=f(x2)替換f(x1)⑤結(jié)合①求得f(x)的單調(diào)性轉(zhuǎn)化為x1,x2的不等式，證明結(jié)束。提問2；可不可以把流程繼續(xù)簡化？其中主要的三步流程簡化為“求導(dǎo)→構(gòu)造→代入”。構(gòu)造是難點(diǎn)，求導(dǎo)是關(guān)鍵，常用構(gòu)造要記清。提問3還有其他解法嗎？提醒學(xué)生從不等式構(gòu)造上思考學(xué)生有困難，則先回顧基本不等式內(nèi)容，讓學(xué)生從熟悉的，簡單的問題入手調(diào)和平均數(shù)￡幾何平均數(shù)￡算術(shù)平均數(shù)￡￡平方平均數(shù)A(a,b)=a+b,L(a,b)=2

a-blna-lnb

,G(a,b)=

ab,(a,b>0)TA￡L￡G解法二對(duì)數(shù)平均不等式（ALG）f(x)=f(x)=0(x-2)ex1+a(x-1)2=(x-2)ex2+a(x

-1)2=0121122ìa(x-1)2=(2-x)ex1221Tí1121212a(x

-1)2=(2-x)ex2，兩式相減得a(x+x

-2)(x

-x)=(2-x)ex1-(2-x)ex2ìx1+x2-230（反證）假設(shè)x+x32Tx-x<0T(2-x)ex-(2-x)ex￡012í121122a30T(2-x)ex1￡(2-x)ex2（左右兩邊同時(shí)取對(duì)數(shù)）12Tln(2-x1)+x1￡ln(2-x2)+x2Tln(2-x1)-ln(2-x2)￡x2-x1T(x2-x1

31T

(2-x1)-(2-x2)31

（*）ln2-x1)-ln(2-x2)ln(2-x1)-ln(2-x2)由對(duì)數(shù)平均不等式（ALG）得

(2-x1)-(2-x2)

<(2-x1)+(2-x2)=2-x1+x2￡1ln(2-x1)-ln(2-x2)22顯然與（*）相矛盾，假設(shè)不成立，原命題成立。解題流程實(shí)際問題→（數(shù)學(xué)抽象）數(shù)學(xué)模型→數(shù)學(xué)解→（解釋與檢驗(yàn)）實(shí)際問題引導(dǎo)學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)思維的奇異美、結(jié)構(gòu)的對(duì)稱美、形式的簡潔美、數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)美．提問4這類問題最早出現(xiàn)在那一年高考題中，當(dāng)時(shí)的高中生如何解決這類問題，我們是否能在當(dāng)年的高考題中取得滿分？激發(fā)學(xué)生的動(dòng)力積極性，檢查學(xué)生的掌握情況。給出本節(jié)的例二例二（2010天津卷）已知函數(shù)f(x)=xe-x(xR)（I）求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間和極值；（II）已知函數(shù)y=g(x)的圖像與函數(shù)y=時(shí)，f(x)>g(x);

f(x)的圖像關(guān)于直線x=1對(duì)稱，證明當(dāng)x>1（III）如果x11x2，且f(x1)=f(x2)，證明x1+x2>2。解法一對(duì)稱構(gòu)造函數(shù)法（1）（2）略①由（1）知x1<1<x2②構(gòu)造函數(shù)F(x)=f(x)-f(2-x)，(x<1)TF＇(x)=f＇(x)-f＇(2-x)=e-x(1-x)+e-(2-x)[1-(2-x)]=e-x(1-x)+e-(2-x)(x-1)=(x-1)(e-2+x-e-x)其中x-1<0

üTF＇(x)>0tx-2<-1Tex-2<e-1<e-xyTF(x)在（-￥,1）上-③代入x1得F(x1)<F(1)=0Tf(x2)=

f(x1)<

f(2-x1)又Qy=

f(x)在(1，+￥)上ˉx2(1,+￥),2-x1(1,+￥)＼x2>2-x1即x1+x2>2解法二對(duì)數(shù)平均不等式（ALG）f(x)=f(x)Txe-x1=xe-x2（左右兩邊同時(shí)取對(duì)數(shù)）1212Tlnx1-x1=lnx2-x2Tx1-x2=lnx1-lnx2Tx1-x2lnx1-lnx2

=1（*）由對(duì)數(shù)平均不等式（ALG）得Tx1+x2>2

x1-x2lnx1-lnx2

=1<x1+x22提問5顯然這個(gè)問題對(duì)于現(xiàn)在的我們不是什么難題了，但作為新時(shí)代的我們能不能用給簡潔的方法給出這兩題的一般性解法，通法的探討顯然是我們要思考的問題。那么學(xué)生對(duì)于這個(gè)新的挑戰(zhàn)自然就會(huì)萌生極大地興趣，這時(shí)再回顧我們一開始觀察三張直觀圖時(shí)提出的問題，解法三的出現(xiàn)也就是必需的了。即本節(jié)課的最后一個(gè)知識(shí)點(diǎn)——極值點(diǎn)偏移的判定定理。III.按圖索驥，回歸本質(zhì)極值點(diǎn)偏移判定定理在給定區(qū)間D上函數(shù)y=

f(x)可導(dǎo)f(x1)=f(x2),(x1<x2)，若

x0為(x,x)上的唯一極小值點(diǎn)，f＇＇＇(x)>0，則極小值點(diǎn)右偏x1+x2<x；1220f＇＇＇(x)<0，則極小值點(diǎn)左偏x1+x2>x。20對(duì)于該定理作為高中生我們只需要了解，不需要完整嚴(yán)格的證明，（后附有泰勒展開的完整證明過程，可以開拓一部分自學(xué)高等數(shù)學(xué)的學(xué)生的視野）那么我們怎么來理解該判定定理呢？我們又如何運(yùn)用它來解決高中相關(guān)的數(shù)學(xué)問題呢？對(duì)此我們分兩部分來討論。第一部分我們主要結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義與n階導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算來了解該定理的由來。首先通過讓學(xué)生再次觀察一開始我們已展示的圖一，二，三不，學(xué)生不難發(fā)現(xiàn)y=

f(x)的圖像偏移的原因，即y=

f(x)的圖像在u(x0,)內(nèi)增減速度的不同而發(fā)生的。接著再進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生思考發(fā)生的不同我們?nèi)绾稳ビ脭?shù)學(xué)的語言來描述刻畫它，提醒學(xué)生從導(dǎo)數(shù)的幾何意義來思考，以圖2為例和學(xué)生一起做探討y=

f(x)的圖像的斜率一直在增加，但增加的速度在變慢，（數(shù)學(xué)直觀想象），如何用數(shù)學(xué)語言來表述這一變化？（數(shù)學(xué)抽象）→f＇(x)>0,

f＇(x)增加Tf＇＇(x)>0（速度變慢）T

f＇＇(x)的絕對(duì)值變小Ty=f＇＇＇(x)<0。完成圖二的探討后可讓學(xué)生模仿獨(dú)立的完成圖3的探索f＇(x)>0,

f＇(x)增加Tf＇＇(x)>0（速度變快）T

f＇＇(x)的絕對(duì)值變大Ty=f＇＇＇(x)>0。以上結(jié)論可簡單記憶口訣（“小大小”，“小小大”），同時(shí)若x0是極大值點(diǎn)的話，結(jié)論相反，口訣為（“大大大”，“大小小”）IV.給出定理，嘗試新解第二部分運(yùn)用新的判定定理重新去接例一和例二例一新解極值點(diǎn)偏移判定定理解法三f(x)=(x-2)ex+a(x-1)2Tf＇(x)=(x-1)(ex+2a)T

f＇＇(x)=(x-1)ex+ex+2aTf＇＇＇(x)=ex(x+1)分兩段區(qū)間討論①若x(-￥,1]，f(2)=a>0結(jié)合圖像可知x1￡-1<x2<a，則x1+x2<21②若x(-1,+￥)，f＇＇＇(x)>0，x=1是極小值，符合“小大小”Tx

+x2<2綜上的x1+x2<2例二新解解法三f(x)=xe-xT

f＇(x)=e-x-xe-xT

f＇＇(x)=e-x(x-2)Tf＇＇＇(x)=e-x(3-x)分兩段區(qū)間討論①若x[3,+￥)，可知x1+x2>max{x1,x2}33>2，則x1+x2>21②若x(-￥,3)，f＇＇＇(x)>0，x=1是極大值，符合“大大大”Tx

+x2>2綜上知x1+x2>2至此我們回頭再看例一和例二的三個(gè)解法，不知不覺中對(duì)于一開始極值點(diǎn)偏移的問題有了更新的認(rèn)知。VI.課堂練習(xí)鞏固雙基練習(xí)1（2011遼寧卷）已知函數(shù)f(x)=lnx-ax2+(2-a)x。（I）討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性；（II）設(shè)a>0，證明當(dāng)0<x<1時(shí)，f(1+x)>f(1-x);aaa（III）若函數(shù)y=f(x0)<0。

f(x)的圖像與x軸交于A,B兩點(diǎn)，線段AB中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x0，證明練習(xí)2（2014天津卷）設(shè)f(x)=x-aex(aR),xR已知函數(shù)y=且x1<x2（1）求a的取值范圍（2）證明x2隨著a的減小而增大x1（3）證明x1+x2隨著a的減小而增大

f(x)有兩個(gè)零點(diǎn)x1,x2，練習(xí)3已知函數(shù)f(x)=a-1-lnx,aR.若函數(shù)f(x)有兩個(gè)零點(diǎn)x,x。x12求證x1+x2>212練習(xí)4已知函數(shù)f(x)=ex-ax有兩個(gè)不同的零點(diǎn)x,x，其極值點(diǎn)為x0（I）求a的取值范圍（II）求證x1+x2