2021年滬教版高二數(shù)學(xué)暑假作業(yè)：平面解析幾何【含答案】

2021年滬教版高二數(shù)學(xué)暑假作業(yè)：平面解析幾何【含答案】

一、單選題

1.拋物線=8x的準(zhǔn)線方程是()

A.尤=4B.x=2C.x=—2D.x=—4

【答案】C

【分析】由拋物線的知識(shí)直接可得答案.

【詳解】拋物線V=8%的準(zhǔn)線方程是1=—2

故選：C

2.直線x+3y—1=0的一個(gè)法向量可以是()

A.(3,-1)B.(3,1)C.(L3)D.(-1,3)

【答案】C

【分析】先求解出直線的一個(gè)方向向量，設(shè)出法向量，利用數(shù)量積為零計(jì)算即可.

r/u1u

【詳解】直線x+3y—1=。的一個(gè)方向向量為v=L-§,設(shè)直線的法向量為根=因?yàn)関.加=o,

所以1—不=0,得/=3,所以法向量加=。,3).

故選：C.

3.若直線(a—l)x—y—。=0不通過(guò)第二象限，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是()

A.[1,+co)B.(1,-Hx>)C.(^?,0)0[1,+℃)D.(0,1)

【答案】A

【分析】由直線不過(guò)第二象限，討論。-1=0、。一1>0、。一1<0求。的取值范圍即可.

【詳解】由直線(a—l)x—y—。=0不通過(guò)第二象限，知：

當(dāng)。一1=0,。=1時(shí)，y=—l符合題意；

當(dāng)a—1>0,。>1時(shí)，直線上的點(diǎn)(0,一a)一定不在V軸上半部分，所以。之0,即。>1；

當(dāng)。一1<0時(shí)，直線定過(guò)第二象限，不合題意；

二綜上有：ae[1,+oo)

故選：A

【點(diǎn)睛】本題考查了由直線方程求參數(shù)范圍，理解辨析直線不過(guò)某個(gè)象限時(shí)需要滿足的條件，應(yīng)用了分類

討論，屬于簡(jiǎn)單題.

4.確定了標(biāo)準(zhǔn)方程的形式后，已知曲線上一點(diǎn)的坐標(biāo)就能確定其方程的是

A.橢圓B.雙曲線C.拋物線D.橢圓或雙曲線

【答案】C

【分析】由橢圓、雙曲線、拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程的形式可判斷其結(jié)果.

【詳解】解：因?yàn)闄E圓和雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程中含有2個(gè)待定的系數(shù)a,b,所以要確定其方程需要2個(gè)條件,

而拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程中只含有1個(gè)待定的系數(shù)0,所以只需1個(gè)條件即可，也就是已知曲線上一點(diǎn)的坐標(biāo)

就能確定其方程，

故選：C

【點(diǎn)睛】此題考查了橢圓、雙曲線、拋物線的方程的確定，屬于基礎(chǔ)題.

5.拋物線y=4x2的準(zhǔn)線方程是（）

A.x——2B.%=-1C.y=--D.y=--—

816

【答案】D

【分析】將拋物線方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式，可得P=!，進(jìn)一步可得準(zhǔn)線方程.

【詳解】由＞=4必可得爐=7＞，所以夕=§,

所以準(zhǔn)線方程為y=--=-^-.

216

故選：D

【點(diǎn)睛】本題考查了拋物線方程的標(biāo)準(zhǔn)形式，考查了拋物線的準(zhǔn)線方程，屬于基礎(chǔ)題.

二、填空題

ab,

6.已知］2=。，則直線依+勿+。=。的傾斜角為-

【答案】-arctan—

2

【分析】先根據(jù)條件得到處=,，從而可求出直線的斜率，進(jìn)一步就可以求出直線的傾斜角.

b2

ClbZ71Z71

【詳解】由，c=0可得，2a—b=3即一=—,而直線的斜率左=——=—,

12b2b2

所以直線ax+by+c=0的傾斜角為兀一arctang.

故答案為：7T-arctan—.

2

22

7.橢圓工+2L=i長(zhǎng)軸長(zhǎng)為.

925

【答案】10

【分析】根據(jù)橢圓的方程，求得。的值，即可求得其長(zhǎng)軸長(zhǎng)，得到答案.

22

【詳解】由題意，橢圓上+2-=1,可得a=51=3,

925

所以橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為2a=10.

故答案為：10.

22

8.已知耳，K是橢圓C：、~+g=l的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)尸在c上，則△PF；工的周長(zhǎng)為

【答案】10

【分析】根據(jù)橢圓的定義計(jì)算.

【詳解】由橢圓方程知。=3,C=J4=2，P在橢圓上，

所以歸耳|+|9|+忻閭=2a+2c=2x3+2x2=10.

故答案為：10.

9.直線＜。eR）與x軸交點(diǎn)的坐標(biāo)為___________.

y=l+f

【答案】（5,0）

x=2—3t

【分析】根據(jù)直線〈，（teR）,令y=l+/=0求解.

y=l+t

x=2-3t

【詳解】因?yàn)橹本€〈，aeR）,

[y=i+f

令y=l+t=0得z=-1,

所以x=2-3t=5,

所以直線與x軸的交點(diǎn)的坐標(biāo)為（5,0）,

故答案為：（5,0）

10.已知產(chǎn)為拋物線。：必=2加（夕〉0）上一點(diǎn)，點(diǎn)「到拋物線。的焦點(diǎn)的距離為7,到y(tǒng)軸的距離為5,

貝.

【答案】4

【分析】根據(jù)拋物線的定義計(jì)算.

【詳解】由題意「司=%+'=5+'=7,解得。=4.

故答案為：4.

11.經(jīng)過(guò)點(diǎn)（2,4）的拋物線丁=依2焦點(diǎn)坐標(biāo)是.

【答案】

【分析】把點(diǎn)（2,4）代入拋物線方程可得°,進(jìn)而求出拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，結(jié)合拋物線的性質(zhì)，進(jìn)而得到焦點(diǎn)

坐標(biāo).

【詳解】???拋物線丁=。/經(jīng)過(guò)點(diǎn)（2,4）,

\a-1,

???拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程為f=y,

拋物線焦點(diǎn)坐標(biāo)為（0,工）

4

故答案為：（0,工）

4

三、解答題

12.已知向量〃=卜,血?。?=（1,0）,且（口+25）_L（萬(wàn)-25）,點(diǎn)

（1）求點(diǎn)T的軌跡方程C；

（2）過(guò)點(diǎn)（0,1）且以（2,四）為方向向量的一條直線與軌跡方程。相交于點(diǎn)尸，。兩點(diǎn)，OP,。。所在的直

線的斜率分別是左OP，k°Q,求上的值；

V2V21

【答案】（1）—+^=1；（2）

422

【分析】（1）先由向量萬(wàn)=（x,、/5y），B=（l,o）,表示出1+2石與］—2b，再由+—,即

可得出結(jié)果；

（2）先由題意得出直線PQ的方程，設(shè)尸（七,另），。（9,為），聯(lián)立直線與橢圓方程，結(jié)合韋達(dá)定理即可求

出結(jié)果.

【詳解】已知向量萬(wàn)=（x,后y）,B=（l,o）,且僅+2到”萬(wàn)—25）,點(diǎn)T（x,y）.

⑴求點(diǎn)T的軌跡方程C；

（2）過(guò)點(diǎn)（0,1）且以（2,J5）為方向向量的一條直線與軌跡方程。相交于點(diǎn)P,Q兩點(diǎn)，OP,OQ所在的直

線的斜率分別是％OP，kOQ,求自「自。的值；

解：（1）因?yàn)?=卜,&，），b=（1,0）,所以M+25=（x+2,"y）,萬(wàn)一25=（x—2,0y）,

因?yàn)椋?+25）1?（萬(wàn)一25）,所以（萬(wàn)+25）?（萬(wàn)一25）=0,即（％+2）（%—2）+2/=0,

22

整理得二+匕=1;

42

（2）由題意得，直線PQ的方程：>=孝％+1,設(shè)尸（%,％）,Q（x2,y2）

[3+1

y=---x+1

2

聯(lián)立22消去丁得：必+缶_i=o所以芭々=-1，

工+匕=1

[42

同理可得，

所以kopkoQ=竺1=—.

%工22

【點(diǎn)睛】本題主要考查點(diǎn)的軌跡方程以及直線與橢圓位置關(guān)系，常需要聯(lián)立直線與橢圓方程，結(jié)合韋達(dá)定

理即可求解，屬于?？碱}型.

13.已知橢圓的焦點(diǎn)片。,0）,6（—LO），尸[°，；]過(guò)作垂直于y軸的直線被橢圓所截線段長(zhǎng)為布，過(guò)用

作直線/與橢圓交于AB兩點(diǎn).

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）若A是橢圓與y軸負(fù)半軸的交點(diǎn)，求ARAB的面積；

（3）是否存在實(shí)數(shù)f使麗+而=/%,若存在，求f的值和直線/的方程；若不存在，說(shuō)明理由.

【答案】解：（1）y+y2=l（2）S"旬=1（3）當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，得/=2,直線/的方程為x=l；

211

當(dāng)直線斜率存在時(shí)，t=~直線點(diǎn)的方程為y=—‘X+Q.

【分析】（1）根據(jù)過(guò)點(diǎn)P作的垂直，可得橢圓上點(diǎn)的坐標(biāo)，再根據(jù)c的值即可求得橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程。

（2）根據(jù)點(diǎn)坐標(biāo)，可得直線方程，再求得與橢圓的交點(diǎn)即可求得三角形面積。

（3）先討論斜率不存在時(shí)的情況，此時(shí)醫(yī)德A、B點(diǎn)坐標(biāo)，代入即可求得t的值及直線方程；當(dāng)斜率存在

時(shí)，設(shè)出直線方程，聯(lián)立橢圓方程，可得兩個(gè)交點(diǎn)橫坐標(biāo)關(guān)系，再結(jié)合向量坐標(biāo)運(yùn)算，即可求得t的值，進(jìn)

而求得直線方程。

22

【詳解】（1）設(shè)橢圓方程為=+4=1（?！?〉0）

ab

由題意點(diǎn)在橢圓上,a2^b2+l

+泉=1

所以

解得廿=1,所以/=2

2

X21

—+V=1

2

(2)由題意可得4(0,—1),耳(1,0)

所以過(guò)耳、4兩點(diǎn)的直線方程為V=x-1

代入橢圓方程可得3X2-4X=0

4

可得x=0或％=一

3

4\_

所以B點(diǎn)坐標(biāo)為

§'3

因?yàn)閜,,;

所以SMBpngxAPxxB

134,

=—x—x—=1

223

/、

A

(3)當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，易求得A1,^-,B1,-彳/2

I12)2

7

所以討個(gè),叫［L容”.J

由可+而=/所得方=2,直線/的方程為x=l

當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)4(%,乂),3(%2，%)，直線方程為y=1)

y=^(x-1)

則尤221，化簡(jiǎn)得x--2k~x+k--1^0

—+V=1

I2-

4k2

所以石+々=

1+2?

所以用=1，％-!

由方+而=/所得

xr+x2=tx1+x2=t

111即，1

/工+乂-3-不[%+%=1-57

因?yàn)閬V+丁2=左(%+%2-2)

所以1—5=左(-2)且4k2

l+2k2

12

解得％=—,t=一

23

所以此時(shí)直線方程為y=—；》+；

綜上所述，當(dāng)直線斜率不存在時(shí)r=2,直線/的方程為x=l

2i|

當(dāng)直線斜率存在時(shí)/=—,直線/的方程為丁=—-x+—

322

【點(diǎn)睛】本題考查了橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的求法，直線與橢圓的位置關(guān)系，分類討論的應(yīng)用，屬于中檔題。

14.（1）求以富世器臚=?為漸近線，且過(guò)點(diǎn)您而，—褥5：的雙曲線麴的方程；

（2）求以雙曲線,題的頂點(diǎn)為焦點(diǎn)，焦點(diǎn)為頂點(diǎn)的橢圓爵的方程；

（3）橢圓點(diǎn)上有兩點(diǎn)更，蝮，椅為坐標(biāo)原點(diǎn)，若直線電鶻，磁斜率之積為:，求證：悒部「書|晦『為

定值

2222

【答案】（1）-乙=1,（2）土+匕=1,（3）0尸+。。2=30

205255

【解析】分析：（1）利用待定系數(shù)法設(shè)出雙曲線方程，然后代入坐標(biāo)即可，（2）確定橢圓的焦點(diǎn)和頂點(diǎn)

坐標(biāo)，即可求出橢圓方程，（3）直線與橢圓聯(lián)立，求得。尸，的值，即可得證結(jié)論.

22

解析：⑴設(shè)雙曲線方程為必―4y2=%,將（2近,-忘）代入可得;1=20,所以雙曲線方程為工-2=入

205

（2）雙曲線的頂點(diǎn)為（±而,0）,焦點(diǎn)為（±5,0）,所以橢圓的頂點(diǎn)為（±5,0）,焦點(diǎn)為（土回,0）,所以

22

〃=5,所以橢圓B的方程為工+2=1.

255

⑶證明：設(shè)七？=鼠七0=二,由丁=紅225，所以0尸=25與+1,同理可得

5k｛旦+d=1='=-15/+1

255

2=5（25f+1）,所以0P2+O02=1504：+30=30

5k2+15k2+1

點(diǎn)睛：熟練雙曲線和橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)即可解決此題，對(duì)于第（3）問(wèn)證明題則只需根據(jù)題意先求出問(wèn)題

的表達(dá)式進(jìn)行化簡(jiǎn)即可得出結(jié)論.

15.已知函數(shù)/（力=2「2-二

⑴設(shè)4（升,％）,8（%2，%乂%產(chǎn)％2）是產(chǎn)/（%）圖象上的兩點(diǎn)，直線斜率左存在，求證：k>0；

（2）求函數(shù)8（同=22、+2-2=4〃礦（力（加€尺