全等三角形輔助線分類

ABDEFMN專題講解——三角形輔助線的方法∟∟連線法第一關(guān)如圖,AB=AD,BC=DC,求證:∠B=∠D.ACBD連接AC構(gòu)造全等三角形連線構(gòu)造全等連線構(gòu)造全等如圖,AB與CD交于O,且AB=CD，AD=BC，OB=5cm，求OD的長(zhǎng).連接BD構(gòu)造全等三角形ACBDO第二關(guān)中線倍增法如何利用三角形的中線來構(gòu)造全等三角形？

可以利用倍長(zhǎng)中線法，即把中線延長(zhǎng)一倍，來構(gòu)造全等三角形。

如圖，若AD為△ABC的中線，

必有結(jié)論：ABCDE12延長(zhǎng)AD到E，使DE=AD，連結(jié)BE（也可連結(jié)CE）?！鰽BD≌△ECD，∠1=∠E，∠B=∠2，EC=AB，CE∥AB。已知，如圖AD是△ABC的中線，ABCDE延長(zhǎng)AD到點(diǎn)E，使DE=AD，連結(jié)CE.思考：若AB=3,AC=5求AD的取值范圍？倍長(zhǎng)中線第三關(guān)利用角平分線截長(zhǎng)補(bǔ)短

可以利用角平分線所在直線作對(duì)稱軸，翻折三角形來構(gòu)造全等三角形。如何利用三角形的角平分線來構(gòu)造全等三角形？問題：

如圖，在△ABC中，AD平分∠BAC。方法一：ABCDE必有結(jié)論：在AB上截取AE=AC，連結(jié)DE?！鰽DE≌△ADC。ED=CD，3*21∠AED=∠C，∠ADE=∠ADC。方法二：ABCDF延長(zhǎng)AC到F，使AF=AB，連結(jié)DF。必有結(jié)論：△ABD≌△AFD。BD=FD，如何利用三角形的角平分線來構(gòu)造全等三角形？問題：3*21

如圖，在△ABC中，AD平分∠BAC。

可以利用角平分線所在直線作對(duì)稱軸，翻折三角形來構(gòu)造全等三角形?！螧=∠F，∠ADB=∠ADF。如何利用三角形的角平分線來構(gòu)造全等三角形？問題：ABCDMN方法三：作DM⊥AB于M，DN⊥AC于N。必有結(jié)論：△AMD≌△AND。DM=DN，3*21

如圖，在△ABC中，AD平分∠BAC。

可以利用角平分線所在直線作對(duì)稱軸，翻折三角形來構(gòu)造全等三角形。AM=AN，∠ADM=∠AND。

（還可以用“角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等”來證DM=DN）練習(xí)1如圖，已知△ABC中，AD是∠BAC的角平分線，AB=AC+CD，求證：∠C=2∠BABCDE1221證明:在AB上截取AE，使AE=AC，連結(jié)DE?！逜D是∠BAC的角平分線（已知）∴∠1=∠2（角平分線定義）在△AED和△ACD中∵AE=AC（已知）∠1=∠2（已證）

AD=AD（公共邊）∴△AED≌△ACD（S.A.S）3∴∠B=∠4（等邊對(duì)等角）4*∴∠C＝∠3（全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等)又∵AB=AC+CD=AE+EB（已知）∴EB=DC=ED（等量代換）∵∠3=∠B+∠4=2∠B（三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角和）∴∠C=2∠B（等量代換）ED=CD（全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等）Ⅱ.角平分線上點(diǎn)向兩邊作垂線段典例2:如圖,△ABC中,∠C=90o,AC=BC,AD平分∠BAC,求證:AB=AC+DC.ACD過點(diǎn)D作DE⊥AB構(gòu)造了:全等的直角三角形且距離相等BE思考:

若AB=15cm,則△BED的周長(zhǎng)是多少?Ⅱ.角平分線上點(diǎn)向兩邊作垂線段典例3:如圖,梯形中,∠A=∠D=90o,BE、CE均是角平分線,

求證:BC=AB+CD.ACD過點(diǎn)E作EF⊥BC構(gòu)造了:全等的直角三角形且距離相等BF思考:

你從本題中還能得到哪些結(jié)論?E證明：例1已知：如圖，在四邊形ABCD中，BD是∠ABC的角平分線，AD=CD，求證：∠A+∠C=180°DABCE在BC上截取BE，使BE=AB，連結(jié)DE?！連D是∠ABC的角平分線（已知）∴∠1=∠2（角平分線定義）在△ABD和△EBD中∵AB=EB（已知）∠1=∠2（已證）BD=BD（公共邊）∴△ABD≌△EBD（S.A.S）1243∵∠3+∠4＝180°（平角定義），∠A＝∠3（已證）∴∠A+∠C＝180°（等量代換）321*∴∠A＝∠3（全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等）∵AD=CD（已知），AD=DE（已證）∴DE=DC（等量代換）∴∠4=∠C（等邊對(duì)等角）AD=DE（全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等）證明:例1已知：如圖，在四邊形ABCD中，BD是∠ABC的角平分線，AD=CD，求證：∠A+∠C=180°DABCF延長(zhǎng)BA到F，使BF=BC，連結(jié)DF?！連D是∠ABC的角平分線（已知）∴∠1=∠2（角平分線定義）在△BFD和△BCD中∵BF=BC（已知）∠1=∠2（已證）BD=BD（公共邊）∴△BFD≌△BCD（S.A.S）1243∵∠F＝∠C（已證）∴∠4=∠C（等量代換）321*∴∠F＝∠C（全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等）∵AD=CD（已知），DF=DC（已證）∴DF=AD（等量代換）∴∠4=∠F（等邊對(duì)等角）∵∠3+∠4＝180°（平角定義）∴∠A+∠C＝180°（等量代換）DF=DC（全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等）證明:例1已知：如圖，在四邊形ABCD中，BD是∠ABC的角平分線，AD=CD，求證：∠A+∠C=180°DABCM作DM⊥BC于M，DN⊥BA交BA的延長(zhǎng)線于N。∵BD是∠ABC的角平分線（已知）∴∠1=∠2（角平分線定義）∵DN⊥BA，DM⊥BC（已知）∴∠N=∠DMB=90°（垂直的定義）在△NBD和△MBD中∵∠N=∠DMB（已證）∠1=∠2（已證）BD=BD（公共邊）∴△NBD≌△MBD（A.A.S）12∴∠4=∠C（全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等）N43321*∴ND=MD（全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等）∵DN⊥BA，DM⊥BC（已知）∴△NAD和△MCD是Rt△在Rt△NAD和Rt△MCD中∵ND=MD（已證）AD=CD（已知）∴Rt△NAD≌Rt△MCD（H.L）∵∠3+∠4＝180°（平角定義），∠A＝∠3（已證）∴∠A+∠C＝180°（等量代換）A1BCD234如圖所示，已知AD∥BC，∠1=∠2，∠3=∠4，直線DC經(jīng)過點(diǎn)E交AD于點(diǎn)D，交BC于點(diǎn)C。求證：AD+BC=ABEF在AB上取點(diǎn)F使得AF=AD,連接EF截長(zhǎng)補(bǔ)短第四關(guān)周長(zhǎng)問題轉(zhuǎn)化1.如圖,△ABC中,∠C=90o,AC=BC,AD平分∠ACB,DE⊥AB.若AB=6cm,則△DBE的周長(zhǎng)是多少?Ⅴ.“周長(zhǎng)問題”的轉(zhuǎn)化

借助“角平分線性質(zhì)”BACDEBE+BD+DEBE+BD+CDBE+BCBE+ACBE+AEAB2.如圖,△ABC中,D在AB的垂直平分線上,E在AC的垂直平分線上.若BC=6cm,求△ADE的周長(zhǎng).Ⅴ.“周長(zhǎng)問題”的轉(zhuǎn)化

借助“垂直平分線性質(zhì)”BACDEAD+AE+DEBD+CE+DEBC5.如圖,△AB