第1章《一元二次方程》-2024-2025學(xué)年九年級上冊數(shù)學(xué)單元測試卷（蘇科版）

2024-2025學(xué)年九年級上冊數(shù)學(xué)單元測試卷第1章《一元二次方程》一、單項選擇題（一共8個小題，每題3分，共24分）1．下列方程中，關(guān)于x的一元二次方程是（

）A．B．C．D．2．若兩個數(shù)的和為6，積為5，則以這兩個數(shù)為根的一元二次方程是（

）A．x2-12x+5=0 B．x2-5x+6=0 C．x2-6x-5=0 D．x2-6x+5=03．某商品經(jīng)過連續(xù)兩次降價，售價由原來的每件25元降到每件9元，設(shè)該商品平均每次降價的百分率為x（x＞0），則（

）A．9（1-x）2=25 B．25（1-x）2=9 C．9（1+x）2=25 D．25（1+x）2=94．方程x2+3x-5=0的根的情況是（

）A．有兩個不相等的實數(shù)根 B．有兩個相等的實數(shù)根C．沒有實數(shù)根 D．無法確定是否有實數(shù)根5．方程x2+6x-5=0的左邊配成完全平方后所得的方程為（

）A．（x+3）2=14 B．（x-3）2=14 C．（x+6）2=41 D．（x-6）2=416．若（a2+b2）2+5a2+5b2=6，則a2+b2的值是（

）A．-6 B．1 C．1或-6 D．1或67．已知和是方程的兩個根，則的值為（

）A． B．2021 C． D．20238．使得關(guān)于x的不等式組有且只有4個整數(shù)解，且關(guān)于x的一元二次方程有實數(shù)根的所有整數(shù)a的值之和為（

）A．35 B．30 C．26 D．21二、填空題（一共10個小題，每題3分，滿分30分）9．方程的根是．10．已知a、b是方程的兩根，則．11．若等腰的一邊長，另兩邊長恰好是關(guān)于方程的兩個實數(shù)根，則的面積為．12．方程的兩個實數(shù)根互為相反數(shù)，則的值是．13．某服裝廠生產(chǎn)一批服裝，2020年該類服裝出廠價為200元/件，2021年、2022年連續(xù)兩年改進(jìn)技術(shù)，降低成本，2022年該類服裝的出廠價調(diào)整為162元/件．若這兩年此類服裝的出廠價下降的百分率相同，則2021年此類服裝的出廠價為元/件．14．某學(xué)校組織籃球比賽，實行單循環(huán)制，共有36場比賽，則參加的隊數(shù)為．15．已知為實數(shù)，若，那么的值為．16．如圖，將邊長為的正方形沿其對角線剪開，再把沿著方向平移，得到，若兩個三角形重疊部分的面積為，則它移動的距離等于．

17．年月日，世界上最長的港珠澳大橋正式通車，香港口岸途徑西人工島到達(dá)澳門口岸．五一期間小輝與小亮兩家人在港澳旅游，某日兩家人從香港口岸前往澳門口岸，當(dāng)小輝一家乘坐穿梭巴士出發(fā)分鐘后，小亮一家乘坐跨境出租車出發(fā)，兩車在全程中均保持勻速行駛，跨境出租車比穿梭巴士早到分鐘，過海關(guān)時間不考慮在內(nèi)，兩車距西人工島的路程之和（千米）與小輝家出發(fā)的時間（分鐘）之間的關(guān)系如圖所示，穿梭巴士出發(fā)分鐘到達(dá)澳門口岸．

18．如圖，．過點作，延長到，使，連接．若，則．（結(jié)果保留根號）

三、解答題（一共10題，滿分86分）19．解方程（1）（2）（3）（配方法）（4）20．先化簡，再求值，其中為方程的根．21．若，是方程的兩實數(shù)根，求下列各式的值．（1）；（2）；（3）．22．已知關(guān)于的方程有兩個不相等的實數(shù)根．（1）求n的取值范圍；（2）若方程的一個根為4，求方程的另一根．23．如圖，把一塊長為40cm，寬為30cm的矩形硬紙板的四角剪去四個相同小正方形，然后把紙板的四邊沿虛線折起，并用膠帶粘好，即可做成一個無蓋紙盒．若該無蓋紙盒的底面積為，求紙盒的體積．24．某商場將進(jìn)價為30元的臺燈按40元出售，平均每月能售出600盞．調(diào)查表明，這種臺燈的售價每上漲1元，其銷售量減少10盞．為了實現(xiàn)平均每月10000元的銷售利潤，這種臺燈的售價應(yīng)定為多少元？25．在國家的調(diào)控下．某市商品房成交價由今年8月份的50000元下降到10月份的40500元．（1）同8～9兩月平均每月降價的百分率是多少？（2）如果房價繼續(xù)回落，按此降價的百分率，你預(yù)測到12月份該市的商品房成交均價是否會跌破30000元/？請說明理由．26．如圖，矩形中，，，點從點出發(fā)沿向點移動（不與點、重合），一直到達(dá)點為止；同時，點從點出發(fā)沿向點移動（不與點、重合）．（1）若點、均以的速度移動，經(jīng)過多長時間四邊形為菱形？（2）若點為的速度移動，點以的速度移動，經(jīng)過多長時間為直角三角形？27．閱讀下列材料：在解一元二次方程時，無論是用直接開平方法、配方法還是用因式分解法，我們都是將一元二次方程轉(zhuǎn)化為兩個一元一次方程，用“轉(zhuǎn)化”的數(shù)學(xué)思想，我們還可以解一些新的方程．例如：一元三次方程，可以通過因式分解把它轉(zhuǎn)化為，解一元一次方程和一元二次方程，可得，，．再如，解無理方程（根號下含有未知數(shù)的方程），可以通過方程兩邊平方把它轉(zhuǎn)化為，解得．（1）解下列方程：①②（2）根據(jù)材料給你的啟示，求函數(shù)的最小值．28．某文明小區(qū)50平方米和80平方米兩種戶型的住宅，50平方米住宅套數(shù)是80平方米住宅套數(shù)的2倍．物管公司月底按每平方米2元收取當(dāng)月物管費(fèi)，該小區(qū)全部住宅都人住且每戶均按時全額繳納物管費(fèi)．（1）該小區(qū)每月可收取物管費(fèi)90000元，問該小區(qū)共有多少套80平方米的住宅？（2）為建設(shè)“資源節(jié)約型社會”，該小區(qū)物管公司5月初推出活動一：“垃圾分類送禮物”，50平方米和80平方米的住戶分別有40%和20%參加了此次活動．為提離大家的積極性，6月份準(zhǔn)備把活動一升級為活動二：“拉圾分類抵扣物管費(fèi)”，同時終止活動一．經(jīng)調(diào)查與測算，參加活動一的住戶會全部參加活動二，參加活動二的住戶會大幅增加，這樣，6月份參加活動的50平方米的總戶數(shù)在5月份參加活動的同戶型戶數(shù)的基礎(chǔ)上將增加，每戶物管費(fèi)將會減少；6月份參加活動的80平方米的總戶數(shù)在5月份參加活動的同戶型戶數(shù)的基礎(chǔ)上將增加，每戶物管費(fèi)將會減少．這樣，參加活動的這部分住戶6月份總共繳納的物管費(fèi)比他們按原方式共繳納的物管費(fèi)將減少，求a的值．參考答案一、單選題（一共8個小題，每題3分，共24分）1．C【分析】根據(jù)一元二次方程的定義解答即可?！驹斀狻拷猓篈．該方程化簡后為6x=-1，是一元一次方程，不符合題意；B．當(dāng)a=0時，ax2+bx+c=0不是一元二次方程，不符合題意；C．該方程化簡后為x2+3=0，是一元二次方程，符合題意；D．該方程是分式方程，不符合題意；故選：C．【點睛】本題考查了一元二次方程的定義，一元二次方程必須滿足四個條件：①未知數(shù)的最高次數(shù)是2，②二次項系數(shù)不為0，③是整式方程，④含有一個未知數(shù)，熟練掌握一元二次方程必須滿足的四個條件，是解題的關(guān)鍵．2．D【分析】以，為根的一元二次方程的形式是，根據(jù)這個公式直接代入即可得到所求方程．【詳解】解：A、中，，，不符合題意；B、中，，，不符合題意；C、中，，，不符合題意；D、中，，，符合題意；故選：D．【點睛】本題考查一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，的兩根分別為，，則，．3．B【分析】根據(jù)增長率的計算方法，一元二次方程與實際問題的綜合運(yùn)用即可求解．【詳解】解：原來的每件元降到每件元，連續(xù)兩次降價，平均每次降價的百分率為，∴列方程得，，故選：．【點睛】本題主要考查一元二次方程與增長率的實際運(yùn)用，理解題目中的數(shù)量關(guān)系，掌握一元二次方程與實際問題的綜合運(yùn)用是解題的關(guān)鍵．4．A【分析】根據(jù)根的判別式進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：∵方程中，，，∴，∴方程有兩個不相等的實數(shù)根，故A正確．故選：A．【點睛】本題考查了根的判別式，一元二次方程的根與有如下關(guān)系：當(dāng)時，方程有兩個不相等的實數(shù)根；當(dāng)時，方程有兩個相等的實數(shù)根；當(dāng)時，方程無實數(shù)根．5．A【分析】根據(jù)配方法的步驟對方程進(jìn)行配方即可．【詳解】解：移項得：，配方可得：，即，故選：A．【點睛】本題考查用配方法解一元二次方程．熟練掌握用配方法解一元二次方程的具體步驟是解決此題的關(guān)鍵．6．B【分析】設(shè)，而，可得，再解一元二次方程即可．【詳解】解：設(shè)，∴∴，∴，∴或，解得：，（不符合題意舍去）；∴，故選B【點睛】本題考查的是利用換元法與因式分解的方法解一元二次方程，非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，熟練的換元是解本題的關(guān)鍵．7．A【分析】由和是方程的兩個根，根據(jù)根于系數(shù)關(guān)系可得，，由一元二次方程根的定義可得，即可求解；【詳解】和是方程的兩個根，，，，，故選A．【點睛】該題考查了根與系數(shù)的關(guān)系以及一元二次方程的解，熟記一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系公式是解答該題的關(guān)鍵．8．B【分析】先求出不等式組的解集，根據(jù)有且只有4個整數(shù)解可確定a的取值范圍，再通過根的判別式確定a的取值范圍，最后結(jié)合兩個取值范圍找出滿足條件的整數(shù)相加即可．【詳解】解：整理不等式組得：由①得：，由②得：x<4∵不等式組有且只有4個整數(shù)解，∴不等式組的4個整數(shù)解是：3，2，1，0，∴，解得：，∵有實數(shù)根，∴解得：a≤9，∵方程是一元二次方程，∴a≠5∴，且a≠5，滿足條件的整數(shù)有：6、7、8、9；∴6+7+8+9=30，故選：B．【點睛】本題主要考查了解一元一次不等式組和一元二次方程根的判別式，熟練掌握解不等式的性質(zhì)和不等式解集的寫法是解題發(fā)關(guān)鍵．二、填空題（一共10個小題，每題3分，滿分30分）9．【分析】利用直接開平方法解二元一次方程即可．【詳解】解：∵，∴或，解得．故答案為：．【點睛】本題主要考查解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有：直接開平方法、因式分解法、公式法及配方法，根據(jù)方程的特點選擇簡便的方法是解題的關(guān)鍵．10．【分析】利用一元二次方程的解的定義和根與系數(shù)的關(guān)系，可得，從而得到，然后代入，即可求解．【詳解】解：∵a，b是方程的兩根，∴，∴，∴．故答案為：．【點睛】本題主要考查了一元二次方程的解的定義和根與系數(shù)的關(guān)系，熟練掌握一元二次方程的解的定義和根與系數(shù)的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．11．或【分析】當(dāng)?shù)妊牡走厼?，利用根的判別式的意義得到，求出得到后方程化為，解方程得到三角形的三邊分別為、、，即，，過點作于，則，利用勾股定理計算出，則可計算出的面積；當(dāng)?shù)妊难鼮椋汛胍辉畏匠痰?，則方程化為，解方程得到此時三角形的三邊分別為、、，即，，過點作于，則，利用勾股定理計算出，則可計算出的面積．【詳解】解：當(dāng)?shù)妊牡走厼?，則兩腰為方程的兩個實數(shù)根，，解得，方程化為，解得，此時三角形的三邊分別為、、，如圖，，，過點作于，則，，的面積；當(dāng)?shù)妊难鼮?，把代入方程得，解得，方程化為，解得，，此時三角形的三邊分別為、、，如圖，，，過點作于，則，，的面積；綜上所述，的面積為或．故答案為：或

【點睛】本題考查了根的判別式：一元二次方程的根與有如下關(guān)系：當(dāng)時，方程有兩個不相等的實數(shù)根；當(dāng)時，方程有兩個相等的實數(shù)根；當(dāng)時，方程無實數(shù)根．也考查了三角形三邊的關(guān)系和等腰三角形的性質(zhì)．12．【分析】設(shè)方程的兩根分別為，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得到，解得，然后分別計算，最后確定．【詳解】解：設(shè)方程的兩根分別為，∵方程的兩個實數(shù)根互為相反數(shù)，，∴，解得，當(dāng)，方程變?yōu)椋?，，方程沒有實數(shù)根，所以舍去；當(dāng)，方程變?yōu)椋?，，方程有兩個不相等的實數(shù)根；∴．故答案為：．【點睛】本題考查了一元二次方程（為常數(shù)）根與系數(shù)的關(guān)系：若方程的兩根分別為，則；．也考查了一元二次方程的根的判別式：當(dāng)，方程有兩個不相等的實數(shù)根；當(dāng)，方程有兩個相等的實數(shù)根；當(dāng)，方程沒有實數(shù)根．13．【分析】設(shè)這兩年此類服裝的出廠價下降的百分率為，根據(jù)題意，列方程求解即可．【詳解】解：設(shè)這兩年此類服裝的出廠價下降的百分率為，由題意可得：解得：或（舍去）2021年此類服裝的出廠價為（元）故答案為：【點睛】此題考查了一元二次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是理解題意，正確列出方程．14．9【分析】設(shè)有個球隊參加比賽，那么第一個隊和其他隊打場球，第二個隊和其他隊打場，以此類推可以知道共打場，然后列出方程求解．【詳解】解：設(shè)邀請個球隊參加比賽，依題意得，即，，或（不合題意，舍去）．故答案為：9．【點睛】此題考查了一元二次方程的應(yīng)用，該題和實際生活結(jié)合比較緊密，準(zhǔn)確找到關(guān)鍵描述語，從而根據(jù)等量關(guān)系準(zhǔn)確地列出方程是解決問題的關(guān)鍵．此題還要判斷所求的解是否符合題意，舍去不合題意的解．15．2或3【分析】將原方程變形為，然后把看作一個整體運(yùn)用因式分解法求出的值即可．【詳解】解：∵，∴,∴,∴,∴，解解，，故答案為：2或3．【點睛】本題主要考查了配方法，用因式分解法解一元二次方程，正確將原方程進(jìn)行變形運(yùn)用因式分解法求解是解答本題的關(guān)鍵．16．2【分析】由平移的性質(zhì)可知陰影部分為平行四邊形，設(shè)，根據(jù)題意陰影部分的面積為，解方程即可求解．【詳解】設(shè)，與相交于點，∵是正方形剪開得到的，∴是等腰直角三角形，∴，∴是等腰直角三角形，∴，，∵兩個三角形重疊部分的面積為4，∴，解得，即移動的距離為2．

故答案為：2．【點睛】本題考查正方形和圖形的平移，一元二次方程的應(yīng)用，熟練掌握平移的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，列出方程是解題的關(guān)鍵．17．【分析】先根據(jù)已知圖中路程中千米可知：兩家沒出發(fā)時，距西人工島的路程之和為千米，即香港口岸距西人工島的路程千米，千米，設(shè)穿梭巴士的速度為千米/分，跨境出租車的速度為千米/分，千米，分別根據(jù)時間相等列方程可解決問題．【詳解】解：如圖1，

由題意得：，，設(shè)穿梭巴士的速度為千米/分，跨境出租車的速度為千米/分，當(dāng)時，兩家同時到達(dá)西人工島，則，解得：，設(shè)千米，則，，∴，即，解得：，∴，，，，，檢驗：當(dāng)時，無意義，故舍去；當(dāng)時，左邊，右邊，左邊右邊，故原方程的解是．∴，∴穿梭巴士的時間，答：穿梭巴士出發(fā)分鐘到達(dá)澳門口岸．故答案為：．【點睛】本題考查一次函數(shù)的應(yīng)用，解分式方程，解一元二次方程，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用一次函數(shù)的性質(zhì)和數(shù)形結(jié)合的思想解答，注意本題的軸表示兩車距人工島的路程和，容易被忽略，本題較難．18．/【分析】如圖，過作，交的延長線于點，設(shè)，可得，證明，，為等腰直角三角形，，，由勾股定理可得：，再解方程組可得答案．【詳解】解：如圖，過作，交的延長線于點，

設(shè)，∵，，∴，∵，∴，，為等腰直角三角形，∴，∴，由勾股定理可得：，整理得：，解得：，經(jīng)檢驗不符合題意；∴；故答案為：．【點睛】本題考查的是等腰直角三角形的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，一元二次方程的解法，作出合適的輔助線構(gòu)建直角三角形是解本題的關(guān)鍵．三、解答題（一共10題，滿分86分）19．（1），（2），（3），（4），【分析】（1）方程兩邊同時除以，然后根據(jù)直接開平方法解一元二次方程；（2）根據(jù)公式法解一元二次方程；；（3）根據(jù)配方法解一元二次方程；（4）根據(jù)因式分解法解一元二次方程即可求解．【詳解】（1）解：，∴，即，解得：，（2）解：,∵，,∴,解得：，;（3）解：，∴，∴，∴，解得：，；（4）解：∴，即，∴，∴或，解得：，【點睛】本題考查了解一元二次方程，熟練掌握解一元二次方程的方法是解題的關(guān)鍵．20．【分析】先對分式進(jìn)行化簡，然后求出一元二次方程的解，進(jìn)而代值求解即可．【詳解】，解方程得：或，如果已知分式有意義，必須不等于2，，1，∵為方程的根，∴只能為，∴當(dāng)時，原式．【點睛】本題主要考查分式的化簡求值及一元二次方程的解法，解題的關(guān)鍵是熟練掌握各個運(yùn)算方法．21．（1）；（2）；（3）【分析】（1），是方程的兩實數(shù)根，，，再利用，從而可得答案；（2）利用，再整體代入即可得到答案；（3）由，是方程的兩實數(shù)根，可得，再利用，再整體代入進(jìn)行計算即可．【詳解】（1）解：∵，是方程的兩實數(shù)根，∴，，∴；（2）；（3）∵，是方程的兩實數(shù)根，∴，∴，∴．【點睛】本題考查的是一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，方程的解的含義，熟記根與系數(shù)的關(guān)系是解本題的關(guān)鍵．22．（1）；（2）【分析】（1）根據(jù)判別式的意義得到，然后解不等式即可得到的取值范圍；（2）設(shè)方程另一個根為，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得到，然后解關(guān)于的一次方程即可．【詳解】（1）解：根據(jù)題意得：，解得：；（2）解：設(shè)方程另一個根為，根據(jù)題意得，解得，即方程的另一根為．【點睛】本題考查了一元二次方程根的判別式，根與系數(shù)的關(guān)系，本題的關(guān)鍵是熟練掌握根的判別式的意義．23．3000cm3【分析】設(shè)剪去小正方形的邊長是xcm，也是紙盒的高．則紙盒底面的長為（40﹣2x）cm，寬為（30﹣2x）cm，根據(jù)長方形的面積公式結(jié)合紙盒的底面積是600cm2，即可得出關(guān)于x的一元二次方程并解答．【詳解】設(shè)剪去小正方形的邊長是xcm，根據(jù)題意得：（30－2x）（40－2x）＝600．解得x1＝5，x2＝30由題可知x＜15，所以x＝5，體積：V＝600x＝600×5＝3000cm3答：紙盒的體積為3000cm3．【點睛】本題考查一元二次方程的應(yīng)用，其中涉及長方形的面積、長方體體積等知識，是重要考點，難度較易，掌握相關(guān)知識是解題關(guān)鍵．24．臺燈的售價應(yīng)定為50元或80元【分析】設(shè)售價為x元，根據(jù)“銷售利潤=一個燈泡的利潤×銷售燈泡的個數(shù)”，列出方程解方程即可．【詳解】解：設(shè)售價定為x元，由題意得[600?10（x?40）]（x?30）=10000，整理,得x2?130x+4000=0，解得：x1=50，x2=80.∴這種臺燈的售價應(yīng)定為50元或80元，答：臺燈的售價應(yīng)定為50元或80元．【點睛】本題主要考查了一元二次方程的實際應(yīng)用，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握相關(guān)知識進(jìn)行求解．25．（1）8、9兩月平均每月降價的百分率是；（2）12月份該市的商品房成交均價不會跌破30000元，見解析【分析】（1）設(shè)8、9兩月平均每月降價的百分率是x，那么9月份的房價為50000（1-x），10月份的房價為50000（1-x）2，然后根據(jù)10月份的40500元/m2即可列出方程解決問題；（2）根據(jù)（1）的結(jié)果可以計算出今年12月份商品房成交均價，然后和30000元/m2進(jìn)行比較即可作出判斷．【詳解】解：（1）設(shè)這兩月平均每月降價的百分率是x，根據(jù)題意得：解得：（不合題意，舍去）答：8、9兩月平均每月降價的百分率是（2）不會跌破30000元．∴12月份該市的商品房成交均價不會跌破30000元【點睛】此題考查了一元二次方程的應(yīng)用，和實際生活結(jié)合比較緊密，正確理解題意，找到關(guān)鍵的數(shù)量關(guān)系，然后列出方程是解題的關(guān)鍵．26．（1）經(jīng)過秒四邊形是菱形；（2）經(jīng)過2秒、秒、秒時為直角三角形【分析】（1）根據(jù)矩形性質(zhì)可得，由P、Q兩點速度大小相同得到平行四邊形，只需，四邊形是菱形，設(shè)經(jīng)過x秒四邊形是菱形，將BP、DP表示出來，建立一元二次方程即可得解；（2）由分為①②兩種情況討論：對①，過Q作于M，利用勾股定理即可得出關(guān)于x的一元二次方程，即可得解；對②，則，由此可得關(guān)于x的一元一次方程，即可得解．【詳解】解：（1）由題可知,由于P、Q兩點速度大小相同，，是平行四邊形，當(dāng)時，四邊形是菱形；設(shè)經(jīng)過了x秒四邊形是菱形，則有：，由勾股定理得：解得：故經(jīng)過秒四邊形是菱形；（2）P、A兩點不重合為直角三角形有兩種情況：①當(dāng)時過Q作于M，可知為矩形，如圖所示，，則有：，解得：，；②當(dāng)時，，所以，解得；綜上可知：經(jīng)過2秒、秒、秒時為直角三角形．【點睛】本題考查了矩形的性質(zhì)、勾股定理的逆定理以及菱形的判定；解題的關(guān)鍵在于：（1）根據(jù)領(lǐng)邊相等建立一元二次方程；（2）分類討論，根據(jù)邊與邊的關(guān)系建立方程；解決該類問題根據(jù)菱形的判定、勾股定理的逆定理得出關(guān)于x的方程是關(guān)鍵．27．（1）①，，；②；（2）【分析】（1）①結(jié)合題意，首先提取公因式，再結(jié)合因式分解法求解，即可得到答案②方程兩邊平方把它轉(zhuǎn)化為，再通過因式分