2024屆江蘇省南京東山外國語學(xué)校高考三模數(shù)學(xué)試卷（解析版）

2023-2024學(xué)年高三下學(xué)期南京市江寧區(qū)東外五月三模數(shù)學(xué)試卷一、單選題1.設(shè)全集，集合，，則（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)集合并補(bǔ)運(yùn)算即可求得.【詳解】，，所以，所以，故選：B.2.已知復(fù)數(shù)滿足，則的虛部為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由復(fù)數(shù)除法運(yùn)算法則直接計(jì)算，結(jié)合復(fù)數(shù)的虛部的概念即可求解.【詳解】因?yàn)?，所以，所以的虛部?故選：A.3.已知向量，滿足，，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用向量的夾角公式和垂直的充要條件即可求解.【詳解】因?yàn)椋?，即，因?故選：C.4.命題P：，，…，的平均數(shù)與中位數(shù)相等；命題Q：，，…，是等差數(shù)列，則P是Q的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】【分析】由，，…，是等差數(shù)列，易推導(dǎo)出，，…，的平均數(shù)與中位數(shù)相等，所以P是Q的必要條件；舉出反例可推翻P是Q的充分條件.【詳解】由，，…，是等差數(shù)列，所以，而中位數(shù)也是，所以，，…，的平均數(shù)與中位數(shù)相等，即，是的必要條件；若數(shù)據(jù)是，則平均數(shù)和中位數(shù)相等，但，，…，不是等差數(shù)列，所以推不出，所以不是的充分條件；所以是的必要不充分條件.故選：B.5.如圖，中國空間站的主體結(jié)構(gòu)包括天和核心艙、問天實(shí)驗(yàn)艙和夢(mèng)天實(shí)驗(yàn)艙，假設(shè)中國空間站要安排甲，乙，丙，丁，戊，己6名航天員開展實(shí)驗(yàn)，其中天和核心艙安排3人，問天實(shí)驗(yàn)艙安排2人，夢(mèng)天實(shí)驗(yàn)艙安排1人.若安排甲、乙兩人同時(shí)在一個(gè)艙內(nèi)做實(shí)驗(yàn)，則不同的安排方案共有（）A.12種 B.16種 C.20種 D.24種【答案】B【解析】【分析】按照元素甲、乙所在艙位進(jìn)行討論，特殊元素優(yōu)先考慮即可求解.【詳解】按照甲、乙兩人同時(shí)在天和核心艙或問天實(shí)驗(yàn)艙兩種情況討論：①若甲、乙兩人同時(shí)在天和核心艙，則需要從剩余4人中再選1人，剩下的3人去剩下的兩個(gè)艙位，則有種可能；②若甲、乙兩人同時(shí)在問天實(shí)驗(yàn)艙，則剩下的4人選3人去天和核心艙即可，共有種可能，根據(jù)分類加法計(jì)算原理，共有12+4=16種可能，故選：B.6.已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長度后得到函數(shù)的圖象，則在下列區(qū)間上函數(shù)單調(diào)遞增的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由的圖象，棱臺(tái)三角函數(shù)的性質(zhì)求得，進(jìn)而得到，結(jié)合正弦型函數(shù)的性質(zhì)，即可求解.【詳解】由函數(shù)的圖象，可得，解得，所以，所以，又由，即，可得，即，因?yàn)椋?，所以，所以，令，解得，所以函?shù)的單調(diào)增區(qū)間是.故選：C.7.設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為，過拋物線上點(diǎn)作其準(zhǔn)線的垂線，設(shè)垂足為，若，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由題意得，結(jié)合正切定義以及可得，進(jìn)一步即可求解.【詳解】如圖所示：為準(zhǔn)線與軸的交點(diǎn)，因?yàn)?，且，所以，因?yàn)椋?，而，所以，所?故選：A.8.已知函數(shù)其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù).若函數(shù)有三個(gè)不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】當(dāng)時(shí)，由解出的值，函數(shù)只有兩個(gè)零點(diǎn)，舍去；當(dāng)時(shí)，對(duì)求導(dǎo)，討論的單調(diào)性和最值，可知數(shù)至多兩個(gè)零點(diǎn)，舍去；當(dāng)時(shí)，當(dāng)只有一個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)，令，要使函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)，需使函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，即即可求出實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】①當(dāng)時(shí)，所以由得或，解得或，函數(shù)只有兩個(gè)零點(diǎn)，舍去；②當(dāng)時(shí)，當(dāng)，；當(dāng)至多兩個(gè)零點(diǎn)，即函數(shù)至多兩個(gè)零點(diǎn)，舍去；③當(dāng)時(shí)，當(dāng)只有一個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)，令，因此當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，，因?yàn)橐购瘮?shù)有三個(gè)零點(diǎn)，需使函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，因此.綜上，取值范圍為.故選：B.二、多選題9.已知，則下列描述正確的是（）A. B.除以5所得的余數(shù)是1C.中最小為 D.【答案】BC【解析】【分析】利用賦值可求得，判斷A；，可判斷B；由展開式的通項(xiàng)公式，可判斷C；求導(dǎo)，可得，判斷D.【詳解】對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，可得，故，故A不正確；對(duì)于B，，除最后一項(xiàng)外，其余項(xiàng)都可以被5整除，故余數(shù)為1，故B正確；對(duì)于C，二項(xiàng)式系數(shù)，可知奇數(shù)項(xiàng)小于零，偶數(shù)項(xiàng)大于零，則最小必然在奇數(shù)項(xiàng)中產(chǎn)生，，所以最小的為，故C正確；對(duì)于D，，則有，故D錯(cuò)誤．故選：BC.10.中，內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，為的面積，且，，下列選項(xiàng)正確的是（）A.B.若，則只有一解C.若為銳角三角形，則取值范圍是D.若為邊上的中點(diǎn)，則的最大值為【答案】ABD【解析】【分析】利用平面向量數(shù)量積公式及三角形面積公式可判定A，直接解三角形可判定B，利用角的范圍結(jié)合正弦定理可判定C，利用平面向量中線的性質(zhì)及數(shù)量積公式結(jié)合余弦定理、基本不等式可判定D.【詳解】對(duì)于A，因?yàn)?，所以，則，因?yàn)?，所以，故A正確；對(duì)于B，因?yàn)?，則，，故只有一解，故B正確；對(duì)于C，若為銳角三角形，則，，則，則，即，由正弦定理可知：，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，若D為邊上的中點(diǎn)，則，所以由余弦定理知，得，又，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得等號(hào)，所以，即，故D正確.故選：ABD.11.在四面體中，是邊長為2的正三角形，，二面角的大小為，則下列說法正確的是（）A.B.四面體體積的最大值為C.棱的長的最小值為D.四面體的外接球的表面積為【答案】BCD【解析】【分析】假設(shè)，然后得出，由此可判斷選項(xiàng)A；要使四面體的體積的最大，只需高最大，根據(jù)題意求解即可判斷選項(xiàng)B，C；設(shè)的外心為，為的中點(diǎn)，設(shè)過與平面垂直的直線為，過作于點(diǎn)，則外接球球心在上，根據(jù)即可求出，從而可求出外接球半徑，從而判斷選項(xiàng)D正確.【詳解】對(duì)于：假設(shè)，設(shè)的中點(diǎn)為，因?yàn)闉檎切?，所以，又，，平面，故平面，又平面，故，而題中并不能得到，故假設(shè)不成立，所以不一定垂直，故選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于：要使最大，只需三棱錐高最大，設(shè)三棱錐的高為，易知當(dāng)?shù)冗吶切螘r(shí)，高最大，此時(shí)的最大值為，故選項(xiàng)正確；對(duì)于：由選項(xiàng)中可知，最大時(shí)最小，故的最小值為，故選項(xiàng)正確；對(duì)于：設(shè)的外心為，為的中點(diǎn)，則由正弦定理得，設(shè)過與平面垂直的直線為，過作于點(diǎn)，則，則外接球球心在上，只需，又，，設(shè)，由，可得，解得，所以，所以四面體的外接球的表面積為，故選項(xiàng)正確．故選：BCD．三、填空題12.函數(shù)在上的最大值點(diǎn)為________.【答案】##【解析】【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，即可求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求出函數(shù)的極值點(diǎn)，即可求出函數(shù)最大值點(diǎn).【詳解】由題意得，當(dāng)時(shí)，，所以在和上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，所以在處取得極小值，在處取得極大值，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得極大值；因?yàn)?，所以最大值點(diǎn)為.故答案為：.13.已知直線是圓的切線，點(diǎn)和點(diǎn)到的距離相等，則直線的方程可以是__________.（寫出一個(gè)滿足條件的即可）【答案】（寫出一個(gè)滿足條件即可）【解析】【分析】當(dāng)時(shí)設(shè)的方程為，利用圓心到直線的距離等于半徑求出，若經(jīng)過的中點(diǎn)，分斜率存在與斜率不存在兩種情況討論，分別求出切線方程，即可得解.【詳解】若，此時(shí)的斜率為.設(shè)的方程為，則點(diǎn)到的距離，解得，因此的方程為或.若經(jīng)過的中點(diǎn)，當(dāng)?shù)男甭什淮嬖跁r(shí)，此時(shí)的方程為，滿足與圓相切；當(dāng)?shù)男甭蚀嬖跁r(shí)，設(shè)其方程為，則點(diǎn)到直線的距離，解得，此時(shí)直線的方程為.故答案為：（寫出一個(gè)滿足條件的即可）.14.已知雙曲線與直線交于M，N兩點(diǎn)（點(diǎn)M位于第一象限），點(diǎn)P是直線l上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)A，B分別為C的左、右頂點(diǎn)，當(dāng)最大時(shí)，（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），則雙曲線C的離心率______．【答案】【解析】【分析】先求得兩點(diǎn)的坐標(biāo)，分析得到當(dāng)最大時(shí)，最大，利用正切函數(shù)的定義及基本不等式求出當(dāng)最大時(shí)點(diǎn)P的位置，根據(jù)求得，進(jìn)而求得雙曲線的離心率.【詳解】將代入雙曲線方程得，得，所以．設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為，不妨設(shè)，由題意知為銳角，所以當(dāng)最大時(shí)，最大，則最大．設(shè)雙曲線C的右焦點(diǎn)為F，因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，所以當(dāng)時(shí)，最大，即最大．由可得，所以，故雙曲線C的離心率．故答案為：四、解答題15.如圖，已知四棱錐的底面是菱形，對(duì)角線交于點(diǎn)，，，底面，分別為側(cè)棱的中點(diǎn)，點(diǎn)在上且．（1）求證：四點(diǎn)共面；（2）求直線與平面所成角的正弦值．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）易知，由線面垂直的性質(zhì)可得，建立如圖空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法證明，即可證明；（2）由（1）求出的坐標(biāo)，利用空間向量法求解線面角即可.【小問1詳解】因?yàn)槠矫媸橇庑?，所以，由平面，平面，得，所以兩兩垂直，建立如圖空間直角坐標(biāo)系，，則，由，得，所以，則，所以共面，又直線的公共點(diǎn)為，所以四點(diǎn)共面；【小問2詳解】由（1）知，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，令，得，所以，得，即直線與平面所成角的正弦值為.16.已知函數(shù)，其中為常數(shù).（1）過原點(diǎn)作圖象切線，求直線的方程；（2）若，使成立，求的最小值.【答案】（1）（2）.【解析】【分析】（1）設(shè)切點(diǎn)，求導(dǎo)得出切線方程，代入原點(diǎn)，求出參數(shù)即得切線方程；（2）由題意，將其等價(jià)轉(zhuǎn)化為在0,+∞有解，即只需求在0,+∞上的最小值，利用導(dǎo)數(shù)分析推理即得的最小值.【小問1詳解】設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為，則切線方程為，因?yàn)榍芯€經(jīng)過原點(diǎn)，所以，解得，所以切線的斜率為，所以的方程為.【小問2詳解】，，即成立，則得在0,+∞有解，故有x∈0,+∞時(shí)，令，，，令h'x>0得；令h'故hx在單調(diào)遞減，單調(diào)遞增，所以，則，故的最小值為.17.已知橢圓（），四點(diǎn)，，，中恰有三點(diǎn)在橢圓C上．（1）求橢圓C的方程；（2）橢圓C上是否存在異于的兩點(diǎn)M，N使得直線與的斜率之和與直線MN的斜率（不為零）的2倍互為相反數(shù)？若存在，請(qǐng)判斷直線MN是否過定點(diǎn)；若不存在，請(qǐng)說明理由．【答案】（1）（2）存在，直線MN過定點(diǎn)．【解析】【分析】（1）根據(jù)橢圓的對(duì)稱性，確定橢圓C過的三點(diǎn)，再代入方程求解作答.（2）設(shè)出直線MN的方程，與橢圓方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理結(jié)合已知及斜率坐標(biāo)公式列式求解即可.【小問1詳解】由橢圓的對(duì)稱性知，，，三點(diǎn)在橢圓C上，故，，得，從而橢圓C的方程為．【小問2詳解】直線MN過定點(diǎn)，證明如下：假設(shè)存在，不妨設(shè)直線、、MN的斜率分別為，，k，滿足，設(shè)直線MN的方程為（），且，，與橢圓C的方程聯(lián)立，得，則，即（*），且那么，化簡(jiǎn)得，，即整理得：，解得或，當(dāng)時(shí)，中一點(diǎn)與重合，故舍去，故直線MN過定點(diǎn)．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題第二問的關(guān)鍵是設(shè)直線MN的方程為（），且，，將其與橢圓方程聯(lián)立得到韋達(dá)定理式，再將斜率之間的關(guān)系式整理從而將韋達(dá)定理代入，最后化簡(jiǎn)得，解出值并檢驗(yàn).18.2024年7月26日至8月11日將在法國巴黎舉行夏季奧運(yùn)會(huì).為了普及奧運(yùn)知識(shí)，M大學(xué)舉辦了一次奧運(yùn)知識(shí)競(jìng)賽，競(jìng)賽分為初賽與決賽，初賽通過后才能參加決賽（1）初賽從6道題中任選2題作答，2題均答對(duì)則進(jìn)入決賽.已知這6道題中小王能答對(duì)其中4道題，記小王在初賽中答對(duì)的題目個(gè)數(shù)為，求的數(shù)學(xué)期望以及小王在已經(jīng)答對(duì)一題的前提下，仍未進(jìn)入決賽的概率；（2）大學(xué)為鼓勵(lì)大學(xué)生踴躍參賽并取得佳績(jī)，對(duì)進(jìn)入決賽的參賽大學(xué)生給予一定的獎(jiǎng)勵(lì).獎(jiǎng)勵(lì)規(guī)則如下：已進(jìn)入決賽的參賽大學(xué)生允許連續(xù)抽獎(jiǎng)3次，中獎(jiǎng)1次獎(jiǎng)勵(lì)120元，中獎(jiǎng)2次獎(jiǎng)勵(lì)180元，中獎(jiǎng)3次獎(jiǎng)勵(lì)360元，若3次均未中獎(jiǎng)，則只獎(jiǎng)勵(lì)60元.假定每次抽獎(jiǎng)中獎(jiǎng)的概率均為，且每次是否中獎(jiǎng)相互獨(dú)立.（i）記一名進(jìn)入決賽的大學(xué)生恰好中獎(jiǎng)1次的概率為，求的極大值；（ii）大學(xué)數(shù)學(xué)系共有9名大學(xué)生進(jìn)入了決賽，若這9名大學(xué)生獲得的總獎(jiǎng)金的期望值不小于1120元，試求此時(shí)的取值范圍.【答案】（1），（2）（i）；（ii）【解析】【分析】（1）6道題中小王能答對(duì)4道，答錯(cuò)2道，結(jié)合超幾何分布計(jì)算即可，再結(jié)合條件概率計(jì)算即可.（2）由，運(yùn)用導(dǎo)數(shù)研究其極大值即可.（3）分析每名進(jìn)入決賽的大學(xué)生獲得的獎(jiǎng)金的期望，解不等式即可.【小問1詳解】由題意知，的可能取值為，則，，，故的分布列為012則.記事件：小王已經(jīng)答對(duì)一題，事件：小王未進(jìn)入決賽，則小王在已經(jīng)答對(duì)一題的前提下，仍未進(jìn)入決賽的概率.【小問2詳解】（i）由題意知，，則，令，解得或（舍），當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，有極大值，且的極大值為.（ii）由題可設(shè)每名進(jìn)入決賽的大學(xué)生獲得的獎(jiǎng)金為隨機(jī)變量，則的可能取值為，，，，，所以，所以，即，整理得，經(jīng)觀察可知是方程的根，故，因?yàn)楹愠闪?，所以由可得，解得得，又，所以的取值范圍?19.對(duì)于數(shù)列，若從第二項(xiàng)起的每一項(xiàng)均大于該項(xiàng)之前的所有項(xiàng)的和，則稱為數(shù)列.（1）若的前項(xiàng)和，試判斷是否是數(shù)列，并說明理由；（2）設(shè)數(shù)列是首項(xiàng)為、公差為的等差數(shù)列，若該數(shù)列是數(shù)列，求的取值范圍；（3）設(shè)無窮數(shù)列是首項(xiàng)為、公比為的等比數(shù)列，有窮數(shù)列，是從中取出部分項(xiàng)按原來的順序所組成的不同數(shù)列，其所有項(xiàng)和分別為，，求是數(shù)列時(shí)與所滿足的條件，并證明命題“若且，則不是數(shù)列”.【答案】（1）是，理由見解析；（2）；（3）當(dāng)是數(shù)列時(shí)，與滿足的條件為或，證明見解析.【解析】【分析】(1)由數(shù)列定義知，僅需驗(yàn)證當(dāng)時(shí)，恒成立即可；(2)寫出，的表達(dá)式，則對(duì)滿足的任意都成立，則將此問題轉(zhuǎn)化為不等式恒成立的問題，然后據(jù)此去求解的范圍；(3)根據(jù)數(shù)列是數(shù)列，可以得到，所以需要分，和，去討論，