2022-上半年教資統(tǒng)考《高中數(shù)學》真題

2022年上半年教師資格統(tǒng)考《數(shù)學學科（高中）》試題

一、單項選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分）

1.下列選項中，運算結果一定是無理數(shù)的是（）。

A.有理數(shù)與無理數(shù)的和

B.有理數(shù)與有理數(shù)的差

C.無理數(shù)與無理數(shù)的和

D.無理數(shù)與無理數(shù)的差

2.在空間直角坐標系中，由參數(shù)方程聽確定的曲線的一般方程是（）。

A.

B.

C.

D.

3.已知空間直角坐標與球坐標的坐標變換公式為

A.柱面B.

圓面C.

半平面D.

半錐面

4.設A為n階方陣，B是A經(jīng)過若干次初等行變換后得到的矩陣，則下列結論正確的是（）。

A.1A|=|B|

B.1A|^|B|

C.若|A|=0,則一定有⑻=0

D.若|A|〉0,則一定有|B|〉0

5.

A.-1

B.0

C.1

D.兀

6.有三個線性無關的特征向量，入=2是A的二重特征根，則（）。A.x=-2.尸2

B.x=l,y=-l

C.x=2,y=-2

D.x=-l,y=l

7.下列表述屬于數(shù)學直觀想象素養(yǎng)的是（）。

①利用圖形描述，分析數(shù)學問題；

②借助空間形式認識事物的位置關系、形態(tài)變化和運動規(guī)律；

③建立形與數(shù)的關系，構建數(shù)學問題直觀模型，探索解決問題的思路；

④在實際情境中從數(shù)學的視角發(fā)現(xiàn)問題，提出問題，分析問題，建立模型。

A.①②③

B.①②④

C.①③④

D.②③④

8.下列描述為演繹推理的是（）。

A.從一般到特殊的推理

B.從特殊到一般的推理

C.通過實驗驗證結論的推理

D.通過觀察猜想得到結論的推理

二、簡答題（本大題共5小題，每小題7分，共35分）

9.一次實踐活動中，某班甲、乙兩個小組各20名學生在綜合實踐基地脫玉米粒，一天內(nèi)每人完

成脫粒數(shù)量（千克）的數(shù)據(jù)如下：

甲組：57,59,63,63,64,71,71,71,72,75,

75,78,79,82,83,83,85,86,86,89?

乙組：50,53,57,62,62,63,65,65,67,68,

69,73,76,77,78,85,85,88,94,96?

問題：

⑴分別計算甲、乙兩組學生脫粒數(shù)量（千克）的中位數(shù)；（2分）

（2）比照甲、乙兩組數(shù)據(jù)，請你給出2種信息，并說明實際意義。（5分）

10.在空問直角坐標系下，試判定直線

系，并求這兩條直線間的距離。

11.在平面直角坐標系下，

(1)三次多項式函數(shù)的圖像過四個點Pl(0,1),P2(l,3),P3(-1,3),P4(2,15),求該三

次多項式函數(shù)的表達式；(4分)

(2)設Pi(xi,yi)(i=l,2,???,n)是平面上滿足條件xl〈x2〈…〈xn的n個點，則由這n個點

所唯一確定的多項式函數(shù)的最高次數(shù)是多少喻要說明理由。(3分)

12.高中數(shù)學課程是培養(yǎng)公民素質(zhì)的基礎性課程，簡述“基礎性”的含義，并舉例說明。

13.評價學生的數(shù)學學習應該采用多樣化的方式，請列舉四種不同類型的評價方式。

三、解答題(本大題1小題，10分)

14.設R2為二維歐氏平面，F(xiàn)是R2到R2的映射，如果存在一個實數(shù)P,0<P<L使得對于

任意的P,QCR2,有d(F(P),F(Q))Wpd(P,Q)(其中d(P,Q)表示P,Q兩點間的距離)，

則稱F是壓縮映射。

設映射T：R2->R2

(1)證明：映射T是壓縮映射；(4分)

⑵設P0=P0(x0,y0)為R2中任意一點，令Pn=T(Pn-l),n=l,2,3,-??,證明：當n-8時,

(6分)

四、論述題(本大題1小題，15分)

15.函數(shù)是中學數(shù)學課程的主線，請結合實例談談如何用函數(shù)的觀點來認識中學數(shù)學課程中的方

程、不等式、數(shù)列等內(nèi)容。

五、案例分析題(本大題1小題，20分)

16.案例：

下面提供的案例是教師A和教師B在《方程的根與函數(shù)的零點》教學中的“課堂提問”。

問題：

⑴請對兩位教師的課堂提問進行評價，并簡述理由；（15分）

⑵請對兩位教師“概念引入”環(huán)節(jié)的課堂提問給出改進建議。（5分）

六、教學設計題（本大題1小題，30分）

17.“簡單隨機抽樣（第一課時）”的教學目標設計如下。

目標一：學會從現(xiàn)實生活或其他學科中提出具有一定價值的統(tǒng)計問題，理解隨機抽樣的必要

性：

目標二：結合具體的實際問題情境，體會簡單隨機抽樣的重要性；

目標三：以“問題鏈”的形式理解樣本是否具有代表性。

要求：

⑴請針對上述教學目標，完成下列任務：

①根據(jù)教學目標一，設計兩個問題，并說明設計意圖；（8分）

②根據(jù)教學目標二，給出一個實例，并說明設計意圖；（4分）

③根據(jù)教學目標三，設計“問題鏈”（至少包含兩個問題），并說明設計意圖。（6分）

（2）請針對“簡單隨機抽樣”的內(nèi)容，回答下列問題：

①這節(jié)課的教學重點是什么？（4分）

②作為高中階段“統(tǒng)計”學習的起始課，其難點是什么？（4分）

③這節(jié)課對后續(xù)哪些內(nèi)容的學習有直接影響？（4分）

2022年上半年教師資格統(tǒng)考《數(shù)學學科（高中）》試題

答案解析

一、單選題

LA【解析】

本題考查有理數(shù)與無理數(shù)的性質(zhì)。（1）有理數(shù)與有理數(shù)：和、差、積、商均為有理數(shù)（求商時

除數(shù)不為零）。（2）有理數(shù)與無理數(shù)：①一個有理數(shù)和一個無理數(shù)的和、差為無理數(shù)；②一個

非零有理數(shù)與一個無理數(shù)的積、商為無理數(shù)。（3）無理數(shù)與無理數(shù)：和、差、積、商可能是有理

數(shù)，也可能是無理數(shù)。故本題選Ao

2.B【解析】

本題考查空間曲線的方程。由

所以將參數(shù)方程化成一般方程式為故本題選B。

3.D【解析】

本題考查直角坐標與球坐標變換。

（方法一）設球坐標中任意一點P（P,0,）,根據(jù)題目中空間直角坐標與球坐標的變換公

式可知，表示原點。與點P之間的徑向距離，。表示0P'到0P的有向角，其中0P'是0P

在xOy坐標面上的投影，表示Ox軸到0P'的有向角，如圖1所示。因此，9=表示以

原點為頂點，以射線0P為母線，以z軸為中心軸的半錐面，如圖2所示。故本題選D。

4.C【解析】

本題考查矩陣初等變換及行列式的性質(zhì)。若n階矩陣A作如下三種行（列）變換得到矩陣B：

①互換矩陣的兩行（列）；②用一個非零數(shù)k乘矩陣的某一行（列）；③把矩陣某一行（列）的k倍

加到另一行（列）上。則對應行列式的關系依次為⑻壬|A|,閭?cè)齥|A|,|B|=|A|,所以若n階

矩陣A經(jīng)若干次初等變換得到矩陣曰，則有|B|=k|A1,k是一個非零常數(shù)。因此當|A|=0時，

定有|B|=k|A|=0。故本題選C。

5.B【解析】

本題考查泰勒級數(shù)的相關知識。因為

6.【解析】

本題考查矩陣特征向量的相關知識。因為三階矩陣A有三個線性無關的特征向量，且入=2是A

的二重特征根，所以齊次線性方程組（2E-A）x=0有兩個線性無關的解向量，則3-r（2E-A）=2,

7.A【解析】

直觀想象是指借助幾何直觀和空間想象感知事物的形態(tài)與變化，利用空間形式特別是圖形，

理解和解決數(shù)學問題的素養(yǎng)。主要包括：借助空間形式認識事物的位置關系、形態(tài)變化與運

動規(guī)律；利用圖形描述、分析數(shù)學問題；建立形與數(shù)的聯(lián)系，構建數(shù)學問題的直觀模型，探

索解決問題的思路。④中的描述屬于數(shù)學建模素養(yǎng)。

8.【解析】

演繹推理是從一般規(guī)律出發(fā)，運用邏輯證明或數(shù)學運算，得出特殊事物應遵循的規(guī)律，即從

一般到特殊的推理。歸納推理是由個別、特殊到一般的推理，通過實驗驗證結論和通過觀察

猜想得到結論的推理，都是歸納推理。故本題選Ao

二、簡答題

9.【解析】

(1)根據(jù)中位數(shù)的定義可知，甲組學生脫粒數(shù)量的中位數(shù)是，乙組學生脫粒數(shù)量的

中位數(shù)是。

(2)①通過兩組數(shù)據(jù)能夠求出甲、乙兩組學生脫粒數(shù)量的平均值甲=74.6,乙=71.65根

據(jù)平均數(shù)的大小比較可知，甲組脫玉米粒速度更快。

②根據(jù)兩組數(shù)據(jù)的波動情況，能夠看出甲組數(shù)據(jù)更為穩(wěn)定，而乙組數(shù)據(jù)波動很大。進而可知，

甲組學生的脫玉米粒能力差不多，而乙組學生脫玉米粒的能力存在很大的個體差異性。10.

【解析】

本題考查空間直線的位置關系、異面直線之間的距離的計算。

1L【解析】

(1)設三次多項式的表達式為

⑵平面上n個不同的點所唯一確定的多項式函數(shù)的最高次數(shù)為n-l?

1個未知量ai(i=O,1,2,m),當這m+1個未知量唯一確定時，多項式函數(shù)唯一確定。

因為n個不同的點都是多項式函數(shù)上的點所以把點坐標代入多項式函數(shù)可得一個有m+1個未知

量、n個不同方程的非齊次線性方程組，且其一定有解。

因為非齊次線性方程組一定有解，所以關于其解的情況只需對非齊次線性方程組的系數(shù)矩陣

當mWn-1時，根據(jù)范德蒙行列式的性質(zhì)可知r(A)=m+l(存在m+1階不等于0的子式，且r(A)

Wmin{n,m+l}=m+l),此時系數(shù)矩陣的秩等于未知量的個數(shù)，非齊次線性方程組有唯一解，

即唯一確定一個多

當m>nT時，非齊次線性方程組方程的個數(shù)小于未知量的個數(shù)，此時非齊次線性方程組有無窮

多解，不能唯一確定一個多項式函數(shù)。

綜上，平面上n個不同的點所唯一確定的多項式函數(shù)的最高次數(shù)為n-l?

【解析】

高中數(shù)學課程的基礎性具有以下幾點含義。

①高中數(shù)學課程在課程內(nèi)容上包含了數(shù)學中最基本的部分。在義務教育階段之后，為滿足給

學生提供更高水平的數(shù)學基礎的需求，面向全體學生提供了學生現(xiàn)階段學習及未來發(fā)展所需

要的數(shù)學基礎知識，為學生的未來發(fā)展奠定基礎。

②高中數(shù)學課程為學生進一步學習提供了選修內(nèi)容。例如，高中數(shù)學設有選修與必修課程，

必修課程是為了滿足所有學生的共同數(shù)學需求，選修系列課程是為了滿足學生的不同數(shù)學需

求，它仍然是學生發(fā)展所需要的基礎性數(shù)學課程。

③高中數(shù)學課程為學生適應未來社會生活、高等教育和職業(yè)發(fā)展等提供必需的數(shù)學基礎。例

如，大學階段理工科類的學生需要更多的數(shù)學知識，而高中數(shù)學課程為大學數(shù)學的學習提供

了必備的基礎知識。

④高中數(shù)學課程也為學生學習其他學科的課程，如高中物理、化學、技術等，提供了必要的

知識準備。

13?【解析】

數(shù)學學習評價的形式多樣，主要有口頭測驗、書面測驗、開放式問題研究、活動報告、課堂

觀察、課后訪談、課內(nèi)外作業(yè)、建立成長記錄袋等。下面列舉幾種不同的評價方式進行闡述。

①口頭測驗，是指在教學過程中教師通過與學生之間的言語互動，及時地了解學生的數(shù)學學

習情況，找出問題并及時糾正。

②書面測驗，是指教師對學生的作業(yè)或者其他測驗報告所做的書面性的評價。這種評價方式

可以幫助教師了解學生的數(shù)學學習狀態(tài)以及知識掌握水平。

③書面評語評價，教師對學生的作業(yè)或者其他活動報告所做的書面性的評價，評分形式不僅

僅是分數(shù)或者等級，評語一般以鼓勵為主，用以幫助學生認識與解決問題。

④課后訪談，是指教師通過課后與學生的溝通交流了解學生數(shù)學學習情況的一種評價方式。

這種評價方式可以幫助教師更直接地了解到學生的數(shù)學學習情況。

⑤建立成長記錄袋，是指將學生的數(shù)學學習過程進行有效記錄而形成的書面存檔。這種評價

方式既可以幫助教師隨時了解學生數(shù)學學習的成長經(jīng)歷，也可以有效地幫助學生確立今后的

學習目標與方向。

三、簡答題

14.【解析】

(1)證明：設P(xp,yp),Q(xQ,yQ)是R2上任意的兩點，貝。

(2)(方法一)設0(0,0)是二維歐氏空間R2的原點。當P0是原點時，有

四、論述題

15.【解析】

函數(shù)是中學數(shù)學課程的主線，它貫穿于整個中學數(shù)學課程中，方程、不等式、數(shù)列等內(nèi)容均

與函數(shù)有非常密切的聯(lián)系。

(1)函數(shù)與方程。中學數(shù)學課程中一元二次方程的求解問題，可以轉(zhuǎn)化成求對應函數(shù)的零點問

題。例如，求方程似ax2+bx+c=0(a#0)的實數(shù)根，可以轉(zhuǎn)化為求函數(shù)y=ax2+bx+c與x軸交

點的橫坐標的值，即求函數(shù)的零點問題。由此可以看出，方程可看作函數(shù)的局部性質(zhì)，求方程的根就

變成了思考函數(shù)圖形與x軸的交點問題。利用函數(shù)的整體性質(zhì)可以研究方程的根的性質(zhì)，判斷根

的個數(shù)，并估計根所在的區(qū)間。

⑵函數(shù)與不等式。用函數(shù)的觀點看，不等式就是確定使函數(shù)圖像y=f(x)在x軸上方或下方

的x的區(qū)域。中學數(shù)學課程中的一元二次不等式的求解問題，可以借助二次函數(shù)的圖像找到不

等式的解集。例如，求不等式x2-3x+2>0的解集，可以通過畫出函數(shù)f(x)=x2-3x+2的圖像找到

使函數(shù)值大于0的所有x組成的集合，而這個集合就是該不等式的解集。

⑶函數(shù)與數(shù)列。數(shù)列是一種特殊的函數(shù)，它的定義域為自然數(shù)集或自然數(shù)子集。數(shù)列是離散的

函數(shù)，表現(xiàn)在坐標系中是一些離散的點的集合。中學數(shù)學課程主要涉及等差數(shù)列和等比數(shù)列，

等差數(shù)列的通項公式是一次函數(shù)的離散化，等差數(shù)列的前n項和公式是二次函數(shù)的離散化，等

比數(shù)列的通項公式以及前n項和公式都是指數(shù)函數(shù)的離散化，因此可以借助函數(shù)的性質(zhì)來研究

數(shù)列。例如，求等差數(shù)列的前n項和Sn=n2-4n在第幾項取得最小值，可以將其轉(zhuǎn)化為求函數(shù)

f(x)=x2-4x的頂點橫坐標問題，根據(jù)函數(shù)的頂點坐標公式可知，當x=2時，函數(shù)f(x)取得最小

值，即Sn在第2項取得最小值。

總之，在方程、不等式、數(shù)列等內(nèi)容中，可以用函數(shù)思想去思考、解決問題，用函數(shù)的概念

和性質(zhì)去分析問題、轉(zhuǎn)化問題和解決問題。

五、案例分析題

16.【解析】

⑴課堂提問要遵循目的性、啟發(fā)性、適度性、興趣性、循序漸進性、全面性、充分思考性、

及時評價性等八個原則。

A教師的課堂提問遵循了目的性、循序漸進性、充分思考性等幾個原則。但沒有涉及啟發(fā)性、適

度性、興趣性、全面性、及時評價性等原則。首先，A教師提出的問題相對比較難，比較抽象，

適合中等以上的學生，沒有考慮全體學生的水平，所以違背了適度性和全面性原則。其次，在A

教師的教學中，例子相對較少，更多的是直接提問知識層面上的問題，讓學生直接思考，沒有考

慮從學生的興趣出發(fā)，調(diào)動學生的積極性。最后，A教師在教學中沒有體現(xiàn)出對學生的回答及時

做出評價。

B教師在課堂提問中遵循了目的性、啟發(fā)性、適度性、興趣性、循序漸進性、充分思考性、全

面性等原則，但沒有涉及及時評價性原則。B教師在整個教學過程中，充分地利用例子，通過

循序漸進的提問，幫助學生一步一步地理解函數(shù)的零點概念以及方程的根與零點之間的關系。但

是在提問的過程中，B教師沒有對學生的回答及時做出評價。

⑵A教師的概念引入部分的提問沒有遵循循序漸進的原則，問題的設置要考慮學生的認知水

平，問題的設置應該由淺入深，由易到難。

建議A教師應該先這樣提問：同學們，在初中你是如何判斷一個方程是否有實數(shù)根的？(回顧之

前學過的方法)用初中的方法能判斷方程lnx+2x-6=0是否有實數(shù)根嗎？(引發(fā)學生的認知沖

突）回顧一下初中的時候一元二次方程與對應的二次函數(shù)之間有什么關系呢？（引導學生思考

方程和函數(shù)之間的關系）B教師的概念引入雖然給出了三組實例，但還需在函數(shù)的類型上進行改

進，不應該只呈現(xiàn)一元二次方程及其對應的二次函數(shù)，還可以增加一次方程及其對應函數(shù)讓學生

進行觀察。

六、教學設計題

17?【解析】

（1）①問題一：生活中，在檢測某食品衛(wèi)生達標情況時，食品衛(wèi)生工作人員一般抽取部分該食品進

行檢測。

你認為這種抽樣方法科學嗎?你還能舉出生活中需要運用這種抽樣方法的其他例子嗎？

【設計意圖】讓學生初步了解生活中需要運用到統(tǒng)計方法的實例，可以使其了解簡單隨機抽

樣方法的價值。讓學生舉出其他生活實例，可以培養(yǎng)學生提出問題、發(fā)現(xiàn)問題的能力，并使

其深切感受到隨機抽樣方法在解決實際問題中的重要性。

問題二：某校領導要了解全校學生的視力情況（近視和不近視），隨機抽取50名學生，統(tǒng)計出

這50名學生的視力情況，最后估計出全校學生的視力情況。你認為這種抽樣方法有什么優(yōu)缺點？

在隨機抽取的過程中應該注意什么？

【設計意圖】該問題一方面可以使學生初步了解簡單隨機抽樣這一抽樣方法，并感受其實際

意義；另一方面使學生自主探究簡單隨機抽樣方法需要注意的問題，可以培養(yǎng)其發(fā)現(xiàn)問題和

解決問題的能力。

②實例：經(jīng)消費者反映，某食品店小包裝餅干存在細菌超標問題。針對該問題，食品衛(wèi)生工

作人員需要對該食品店小包裝餅干進行衛(wèi)生達標檢驗。但是，若食品衛(wèi)生工作人員對該食品

店所有小包裝餅干進行逐一檢測，將面臨巨大的工作量。因此，食品衛(wèi)生工作人員只能隨機

抽取該食品店部分餅干進行衛(wèi)生檢測。

【設計意圖】將實際生活問題作為實例進行教學，不僅可以使學生對簡單隨機抽樣方法有更

深的理解，還可以使其感受在面對總體數(shù)量較多時，簡單隨機抽樣方法的重要性。

③師：在1936年美國總統(tǒng)選舉前，某雜志工作人員做了一次民意測驗，即調(diào)查蘭頓和羅斯福誰

將成為美國的下一屆總統(tǒng)。該調(diào)查者通過電話簿和車輛登記簿上面的名單（只有少數(shù)富人擁有）給一大

批人發(fā)了調(diào)查表，通過分析調(diào)查表數(shù)據(jù)，從而做出預測。

問題一：該雜志工作人員運用了什么抽樣方法?研究的總體和樣本分別是什么?該抽樣方法具

有