遼寧省普通高中2024-2025學(xué)年度上學(xué)期期初考試模擬試題（2） 高二數(shù)學(xué) 答案與解析

試題考查范圍：必修三、必修四只有一個(gè)選項(xiàng)是符合題目要求的.12345678BAABCCDA9四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.1512）.3171）證明見(jiàn)解析2）23）.（23）（2）45（證明見(jiàn)解析3）[?32,8)試題考查范圍：必修三、必修四的.+=2，且=2，則向量在向量上的投影向量為()A.?C.?1D.?【答案】B【分析】根據(jù)數(shù)量積相關(guān)運(yùn)算，2=2，與同向的單位向量為→a,進(jìn)而轉(zhuǎn)化求解即可.a即||2+所以向量在向量上的投影向量為的()【答案】【答案】A==1得到a，b共線且方向相同，存在非零實(shí)數(shù)x，y，使得xa+yb=0得到a，b共【分析】化簡(jiǎn)得到cos(a,b,故,故+2=線，得到答案.ba+ba+b=+ba,整理得到aba+ba+b=+ba,整理得到a.b=【詳解】a故故，共線且方向相同，存在非零實(shí)數(shù)存在非零實(shí)數(shù)x，y，使得x+y=0，故，共線，ba+b=a+”是“存在非零實(shí)數(shù)x，y，使得xaba+b=a+3．若復(fù)數(shù)z=1+i+i2+i3+…+i2021，則復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第象限【答案】【答案】A【分析】根據(jù)周期性得到z=1+i,得到答案.【詳解】z=1+i+i2+i3+…+i2021=(1+i?1?i)+…+(1+i?1?i)+1+i=1+i，故復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第一象限.【點(diǎn)睛】本題考查了復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)象限，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化能力.①若a∥b,a?α,b?β,α∩β=c，則aⅡc②若a丄b,a丄c,b?α,c?α,則a丄α③若a∥α,b∥α,a∩b=A,a?β,b?β,則α∥β④若α丄β,α∩β=c,a丄c，則a丄β【答案】【答案】B【詳解】對(duì)于①,因?yàn)閍Db,a?α,所以b//α,又b?β,α∩β=c，所以b//c，所以aⅡc，①正確；對(duì)于②,當(dāng)對(duì)于②,當(dāng)b//c時(shí)，直線a不一定垂直于α,②錯(cuò)誤；對(duì)于③,由面面平行的判定定理可知，③正確；對(duì)于④,由面面垂直性質(zhì)定理可知，若直線a丈α?xí)r，直線a不一定垂直于β,④錯(cuò)誤.【答案】【答案】C即5sinC=8sinB，即5c=8b;S□ABC=bcsinA=10，即bcsinA=203；又B+C=2A，得；綜上c=8,b=5.則a2=b2+c2?2bccosA=49，即a=7.c2+a2+b2+2=?69，6．如圖，棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD?A1B1C1D1中，P為線段AB1的中點(diǎn)，M，N分別為體對(duì)角線AC1和棱C1D1上任意一點(diǎn)，則2PM+MN的最小值為()【答案】【答案】C【分析】轉(zhuǎn)化PM【分析】轉(zhuǎn)化PM,MN，利用三點(diǎn)共線來(lái)求得2PM+2MN的最小值.【詳解】設(shè)【詳解】設(shè)E是AC的中點(diǎn)，所以所以PM=EM.對(duì)任一點(diǎn)對(duì)任一點(diǎn)M，MN的最小值是M到直線C1D1的距離，過(guò)過(guò)M作MN丄C1D1，交C1D1于N，過(guò)過(guò)M作MF丄A1C1，交A1C1于F，連接FN，則則FN//A1D1，所以FN=C1N.所以所以2PM+MN=2|(PM+MN)|=2(EM+MF)，(2,當(dāng)當(dāng)E,M,F三點(diǎn)共線，也即F是A1C1的中點(diǎn)，M是EF與AC1的交點(diǎn)時(shí)，EMEM+MF取得最小值為1，所以2PM+2MN的最小值為2.7．復(fù)數(shù)z=a+bi(a,b∈R,i是虛數(shù)單位)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)點(diǎn)為Z，設(shè)r=OZ,θ是以x軸的非負(fù)半軸為始邊，以O(shè)Z所在,z3=1+i，則z可能取值為()【答案】【答案】D【詳解】設(shè)【詳解】設(shè)z=r(cosθ+isinθ)，3(cos3θ+isin3θ)，.-「(2kττ)(2kττ)7 相等，建立方程即可得出所求復(fù)數(shù)的一般形式相等，建立方程即可得出所求復(fù)數(shù)的一般形式.,,【答案】【答案】A所以所以從而分情況，得到不等式，求出答案.(τ)((τ)(τ)125τ629τ17τ6 5ττ625τ629τ17τ6 5ττ6666(66」(3」66,「「3) 數(shù)等，此部分題目還常常和導(dǎo)函數(shù)，去絕對(duì)值等相結(jié)合考查綜合能力數(shù)等，此部分題目還常常和導(dǎo)函數(shù)，去絕對(duì)值等相結(jié)合考查綜合能力.對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)9．點(diǎn)O為△ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，則()(ACAB,(BC(ACAB,(BCBA,C．若【答案】【答案】AD【分析】根據(jù)三角形四心的定義，結(jié)合向量數(shù)量積的幾何意義，對(duì)題目中的四個(gè)選項(xiàng)逐一進(jìn)行運(yùn)點(diǎn)在△ABC中的特殊位置，即可得到答案.故O為△ABC的重心；選項(xiàng)A正確.---→---→ABAB|(ACAB,||(BCBA,|的平分線上，故的平分線上，故O為△ABC的內(nèi)心；選項(xiàng)B錯(cuò)誤.錯(cuò)誤..即所以動(dòng)點(diǎn)所以動(dòng)點(diǎn)O在線段BC的中垂線上，故動(dòng)點(diǎn)O的軌跡必通過(guò)△ABC的外心.選項(xiàng)D正確.,A．若f(x)相鄰兩條對(duì)稱軸的距離為，則ω=2C．當(dāng)ω=2時(shí)，f(x)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到函數(shù)解析式為y=?2cos2x【答案】【答案】ACD22ωff(x)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，11．如圖，ABCD是邊長(zhǎng)為5的正方形，半圓面APD⊥平面ABCD．點(diǎn)P為半圓弧D上不重合）．下列說(shuō)法正確的是()D．當(dāng)直線PB與平面ABCD所成角最大時(shí)，平面PAB截四棱錐P-ABCD外接球的截面面積為【答案】【答案】AC當(dāng)點(diǎn)P是半圓弧AD的中點(diǎn)時(shí)，三棱錐P?ABD的底面積S□PAD取得最大值，求解即可判斷選項(xiàng)B；證明AB為異面直線PA與BC的距離，即可判斷選項(xiàng)C；過(guò)點(diǎn)P作PH丄AD于點(diǎn)H，連接BH，確定∠PBH為直線PB與平面ABCD所成的角，利用平面幾何知識(shí)，表示出sin2∠PBH，利用基本不等式求解最值，即可得到答案．由題意可得正方形ABCD的中心即為四棱錐P?ABCD的外接球的球心，可得外接球的半徑，代入球的表面積公式得答案.【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，因?yàn)榈酌鍭BCD為邊長(zhǎng)是4的正方形，則AB丄AD，又半圓APD丄平面ABCD，半圓APD∩平面ABCD=AD，AB?平面ABCD，則AB丄半圓APD，又AP?平面APD，故AB丄AP，則△APB為直角三角形，所以PB2=AP2+AB2，所以PD2=AD2?AP2，因?yàn)锳B丄AD，所以BD2=AD2+AB2，在△PDB中，PB2+PD2=(AP2+AB2)+(AD2?AP2)=AD2+AB2=BD2，所以△BPD為直角三角形，對(duì)于B選項(xiàng)，在三棱錐P?ABD中，AB丄半圓面APD，則AB是三棱錐P?ABD的高，當(dāng)點(diǎn)P是半圓弧AD的中點(diǎn)時(shí)，三棱錐P?ABD的底面積S□PAD取得最大值，三棱錐P?ABD的體積取得最大值為因?yàn)榘雸A面APD丄平面ABCD，AB丄AD，半圓面APD∩平面ABCD=AD，所以AB丄半圓面APD，又PA?半圓面APD，所所以AB為異面直線PA與BC的距離，所以異面直線PA與BC的距離為定值；故C正確；對(duì)于D選項(xiàng)，取BD的中點(diǎn)O，由選項(xiàng)A中的解析可得，OA=OB=OP=OD=BD=，過(guò)點(diǎn)P作PH丄AD于點(diǎn)H，連接BH，如圖所示，因?yàn)榘雸A面APD丄平面ABCD，半圓面APD∩平面ABCD=AD，故故PH丄平面ABCD，所以所以BH為PB在平面ABCD內(nèi)的射影，則則∠PBH為直線PB與平面ABCD所成的角，在在RtΔAPD中，PH2=AH.DH=x(5?x)，故故sin2∠PBH=所以直線PB所以直線PB與平面ABCD所成最大角的正弦值為2?1，，所以球心所以球心O到面PAB的距離滿足 能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想等，屬于難題.能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想等，屬于難題.步行街中心地帶，是抗戰(zhàn)勝利的精神象征，是中國(guó)唯一一座紀(jì)念中華民族抗日戰(zhàn)B處測(cè)得其頂點(diǎn)P的仰角為30°,若AB=55米，且∠OAB=60。，則解放碑的高度【答案】h222h222 2—→ 2—→ 22【解析】因?yàn)锽A.BC=AB，則BA.BCcos∠ABC=AB，即BCcos∠ABC=AB，所以∠ 22點(diǎn)A,B,C均位于圓O上,所以BC為直徑.又PB.PC=3，所以 2點(diǎn)A,B,C均位于圓O上,所以BC為直徑.又PB.PC=3，所以 2244(1836,244(1836,【答案】9【詳解】∵x=?為f（x）的零點(diǎn)，x=為y＝f即ω=2n+1n∈N）2ππ4此時(shí)f（x）在單調(diào)，滿足題意；2（2）若△ABC是銳角三角形，求sinB+2cos2C的.【分析】（【分析】（1）根據(jù)題意利用余弦定理即可求解.最后利用正弦函數(shù)的單調(diào)性確定取值范圍最后利用正弦函數(shù)的單調(diào)性確定取值范圍.2sinAsinCac即即sin(B+C)?2sinCcosB=sinC，sinBcosC+cosBsinC?2sinCcosB=sinC(6,.ττ,2τ,,2263(6,(2,.在△ABC中，a,b,c分別為角A,（1）求角A；【答案】（1【答案】（12）311【分析】（1）利用兩角和差余弦公式可將已知等式化簡(jiǎn)為2cosAsinBsinC=sinCsinB，從而求得cosA=；結(jié)合2A∈(0,π)可求得結(jié)果2）根據(jù)內(nèi)切圓面積可知內(nèi)切圓半徑為1，由內(nèi)切圓特點(diǎn)及切::2cosAsinBsinC=sinCsinB」」B,C∈(0,π):sinCsinB≠0:cosA=」」A∈(0,π):A=如圖，設(shè)圓如圖，設(shè)圓I為三角形ABC的內(nèi)切圓，D，E為切點(diǎn)22 2::bc≥12或bc≤當(dāng)且僅當(dāng)b=c時(shí)，AB.AC 的應(yīng)用、三角形中最值問(wèn)題的求解等知識(shí)；解題關(guān)鍵是能夠靈活應(yīng)用三角形內(nèi)切圓的性質(zhì)構(gòu)造出三邊之間的代入余弦定理中，利用基本不等式求得兩邊之積的最值代入余弦定理中，利用基本不等式求得兩邊之積的最值.如圖，在四棱錐P?ABCD中，四邊形ABCD是直角梯形，AB丄AD,AB//CD,PC丄底面ABCD，（1）求證：平面EAC丄平面PBC；（3）在（2）的條件下求直線PA與平面EAC所成角的正弦值.【答案】（【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）2（3）【分析】（1）根據(jù)PC丄平面ABCD有PCAC，利用勾股定理可證明AC丄BC，故AC丄平面PBC，再由面面（2）以點(diǎn)C為原點(diǎn)，CNCDCP分別為x軸、y軸、z軸正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量方法，由二面角6建立方程求得a的值.6建立方程求得a的值.3（3）在（2）條件下利用向量求得PA和平面EAC所成角的正弦值.【詳解】（1）」PC丄平面ABCD,ACc平面ABCD,:AC丄PCCN2CN2取AB的中點(diǎn)為N，則可得CN//AD,則CN丄AB所以BC=所以BC=所以所以AC丄BC,又BC∩PC=C，所以AC丄平面PBC.因?yàn)橐驗(yàn)锳C?平面EAC，所以平面EAC丄平面PBC.cosm,ncosm,ncosPA,ncosPA,n 即直線PA與平面EAC所成角的正弦值為.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：向量法求解空間幾何問(wèn)題的步驟：建、設(shè)、求【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：向量法求解空間幾何問(wèn)題的步驟：建、設(shè)、求1、建：建立空間直角坐標(biāo)系，以三條互相垂直的直線的交點(diǎn)為原點(diǎn)坐標(biāo)系，盡可能的使得較多的關(guān)鍵點(diǎn)落在坐標(biāo)軸或坐標(biāo)平面內(nèi).22、設(shè)：設(shè)出所需的點(diǎn)的坐標(biāo)，得出所需的向量坐標(biāo).4、算：運(yùn)用向量的數(shù)量積運(yùn)算，驗(yàn)證平行、垂直，利用線面角公式求線面角，或求出兩個(gè)平55、?。焊鶕?jù)題意，或二面角的范圍，得出答案.象先向右平移單位，再向上平移1個(gè)單位，所得函數(shù)g(x)為奇函數(shù).【答案】（1）f(x)=sin(2x+)?13）【解析】τ 3τ 3τ32，2t2<0,:m(t1)<m(t2)，∴相鄰兩個(gè)零點(diǎn)之間的距離為或，「5ττ5τ「5ττ5τ7的“伴隨函數(shù)”為f(x)，求f(x)在x∈[0,τ]的值域；），求AB+AC?AB【答案】（1【答案】（1）?3,22）45（證明見(jiàn)解析3）[?3【解析】【解析】ττ≤x+τ≤4τ,則當(dāng)x+τ=τ時(shí)，f(x)=2則當(dāng)則當(dāng)x+=時(shí)，f(x)min=?,所以函數(shù)f(x)的值域?yàn)?,2的源向量為OM的源向量為OM=3cosα,3sinα,圓O內(nèi)切于