高考數(shù)學(xué) 過關(guān)檢測2 新人教A版選修4-1

【創(chuàng)新設(shè)計(jì)】屆高考數(shù)學(xué)過關(guān)檢測2新人教A版選修4-1(時間：90分鐘滿分：120分)一、選擇題(本大題共10小題，每小題4分，共40分，在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是滿足題目要求的)1．如圖所示，已知⊙O的半徑為5，兩弦AB、CD相交于AB的中點(diǎn)E，且AB＝8，CE∶ED＝4∶9，則圓心到弦CD的距離為()．A.eq\f(2\r(14),3) B.eq\f(28,9)C.eq\f(2\r(7),3) D.eq\f(80,9)解析過O作OH⊥CD，連接OD，則DH＝eq\f(1,2)CD，由相交弦定理知AE·BE＝CE·DE，而AE＝EB＝4.可設(shè)CE＝4x，則DE＝9x，所以4×4＝4x×9x，解得x＝eq\f(2,3)，即OH＝eq\r(OD2－DH2)＝eq\r(52－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(13,3)))2)＝eq\f(2\r(14),3).答案A2．如圖所示，圓內(nèi)接四邊形ABCD的一組對邊AD、BC的延長線相交于點(diǎn)P，對角線AC、BD相交于點(diǎn)Q，則圖中相似三角形共有()．A．4對B．2對C．5對D．3對解析由∠PAC＝∠PBD，可知△PAC∽△PBD，又∵∠ADB＝∠ACB，∴△AQD∽△BQC.又由割線定理得PD·PA＝PC·PB，且∠P＝∠P，∴△PAB∽△PCD.又∵∠BAQ＝∠CDQ，∠BQA＝∠DQC，∴△AQB∽△DQC.∴總共有4對相似三角形．答案A3．如圖所示，四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，延長BC到E，已知∠BCD∶∠ECD＝3∶2，那么∠BOD等于()．A．120° B．136°C．144° D．150°解析要求圓心角∠BOD的度數(shù)，需求圓周角∠A的度數(shù)，由圓的內(nèi)接四邊形的性質(zhì)知：∠A＝∠DCE，即求出∠ECD的度數(shù)．而∠BCD∶∠ECD＝3∶2，可求出∠ECD＝72°，即∠A＝72°，故∠BOD＝2∠A＝144°.答案C4．如圖所示，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB于點(diǎn)P，CD＝10cm，AP∶PB＝1∶5，那么⊙O的半徑是()．A．5eq\r(2)cm B．4eq\r(3)cmC．3eq\r(5)cm D．2eq\r(6)cm解析觀察圖形與分析已知條件可利用垂徑定理來解．連接OC，則CP＝eq\f(1,2)CD＝5cm，設(shè)AP＝x，則PB＝5x，OC＝3x，OP＝2x，在Rt△OCP中，OC2＝CP2＋OP2，即(3x)2＝52＋(2x)2，解得x＝eq\r(5)，故OC＝3x＝3eq\r(5)cm.答案C5．如圖所示，在圓的內(nèi)接四邊形ABCD中，AC平分∠BAD，EF切⊙O于C點(diǎn)，那么圖中與∠DCF相等的角的個數(shù)是()．A．4 B．5C．6 D．7解析∠DCF＝∠DAC，∠DCF＝∠BAC，∠DCF＝∠BCE，∠DCF＝∠BDC，∠DCF＝∠DBC.答案B6．如圖所示，⊙O的兩條弦AD和CB相交于點(diǎn)E，AC和BD的延長線相交于點(diǎn)P，下面結(jié)論：①PA·PC＝PD·PB；②PC·CA＝PB·BD；③CE·CD＝BE·BA；④PA·CD＝PD·AB.其中正確的有()．A．1個B．2個C．3個D．4個解析根據(jù)割線定理，①式正確．答案A7．如圖所示，已知O是圓心，直徑AB和弦CD相交于點(diǎn)P，PA＝2，PC＝6，PD＝4，則AB等于()．A．3B．8C．12解析要求AB的長，需求出PB的長，由相交弦定理知：PA·PB＝PC·PD，解得PB＝eq\f(PC·PD,PA)＝eq\f(6×4,2)＝12，故AB＝PA＋PB＝14.答案D8．如圖，已知Rt△ABC的兩條直角邊AC，BC的長分別為3cm，4cm，以AC為直徑的圓與AB交于點(diǎn)D，則eq\f(BD,DA)＝()．A.eq\f(16,9) B.eq\f(25,9)C.eq\f(25,16) D.eq\f(5,3)答案A9．如圖所示，PA切圓于A，PA＝8，直線PCB交圓于C、B，連接AB、AC，且PC＝4，AD⊥BC于D，∠ABC＝α，∠ACB＝β，則eq\f(sinα,sinβ)的值等于()．A.eq\f(1,4)B.eq\f(1,2)C．2D．4解析要求eq\f(sinα,sinβ)，注意到sinα＝eq\f(AD,AB)，sinβ＝eq\f(AD,AC)，即eq\f(AC,AB)＝eq\f(sinα,sinβ)，又△PAC∽△PBA，得eq\f(AC,AB)＝eq\f(PC,PA)＝eq\f(4,8)＝eq\f(1,2).答案B10．如圖，AT切⊙O于T，若AT＝6，AE＝3，AD＝4，DE＝2，則BC等于()．A．3B．4C．6解析∵AT為⊙O的切線，∴AT2＝AD·AC.∵AT＝6，AD＝4，∴AC＝9.∵∠ADE＝∠B，∠EAD＝∠CAB，∴△EAD∽△CAB，即eq\f(DE,BC)＝eq\f(AE,AC)，∴BC＝eq\f(DE·AC,AE)＝eq\f(2×9,3)＝6.答案C二、填空題(本大題共6小題，每小題4分，共24分，將正確答案填在橫線上)11．如圖所示，AB是⊙O的直徑，C是⊙O上一點(diǎn)，CD⊥AB，D為垂足，AB＝8，若BD＝3AD，則CD＝________.解析連接AC，BC，∵AB為⊙O的直徑，C為⊙O上一點(diǎn)，∴∠ACB＝90°.又∵CD⊥AB，D為垂足，由射影定理得CD2＝AD·BD.又∵AB＝8＝AD＋DB，BD＝3AD，∴AD＝2，BD＝6.故CD2＝2×6＝12，∴CD＝2eq\r(3).答案2eq\r(3)12．如圖所示，PA是⊙O的切線，切點(diǎn)為A，PA＝2.AC是⊙O的直徑，PC與⊙O交于點(diǎn)B，PB＝1，則⊙O的半徑r＝________.解析依題意，△PBA∽△ABC，所以eq\f(PA,2r)＝eq\f(PB,AB)，即r＝eq\f(PA·AB,2PB)＝eq\f(2×\r(22－12),2×1)＝eq\r(3).答案eq\r(3)13．已知⊙O和⊙O內(nèi)一點(diǎn)P，過P的直線交⊙O于A、B兩點(diǎn)，若PA·PB＝24，OP＝5，則⊙O的半徑長為_____________．解析如圖所示，延長OP分別交⊙O于C、D兩點(diǎn)．不妨設(shè)該圓的半徑為r，則有PC＝OC－OP＝r－5，PD＝OP＋OD＝r＋5，∴PA·PB＝PC·PD，∴r2－25＝24，∴r＝7.答案714．如圖所示，AB為⊙O的直徑，AB＝2，OC是⊙O的半徑，OC⊥AB，點(diǎn)D在eq\x\to(AC)上，eq\x\to(AD)＝2eq\x\to(CD)，點(diǎn)P是OC上一動點(diǎn)，則PA＋PD的最小值為________．解析滿足PA＋PD最小的點(diǎn)為：連接BD交OC于點(diǎn)P.由于AO⊥OC，則eq\x\to(AC)的度數(shù)為90°.又eq\x\to(AD)＝2eq\x\to(CD)，∴∠B的度數(shù)為30°.又AB為直徑，連接AD，則∠ADB＝90°.在Rt△ABD中，BD＝2cos30°＝eq\r(3).∴AP＋PD＝PB＋PD＝BD＝eq\r(3).答案eq\r(3)15．如圖，四邊形ABCD是圓O的內(nèi)接四邊形，延長AB和DC相交于點(diǎn)P.若eq\f(PB,PA)＝eq\f(1,2)，eq\f(PC,PD)＝eq\f(1,3)，則eq\f(BC,AD)的值為______．解析由題意可知△PBC∽△PDA，于是由eq\f(BC,DA)＝eq\f(PB,PD)＝eq\f(PC,PA)，得eq\f(BC,AD)＝eq\r(\f(PB,PD)·\f(PC,PA))＝eq\r(\f(1,6))＝eq\f(\r(6),6).答案eq\f(\r(6),6)16．如圖，AB是圓O的直徑，直線CE和圓O相切于點(diǎn)C，AD⊥CE于D，若AD＝1，∠ABC＝30°，則圓O的面積是________．解析∵在⊙O中，∠ACD＝∠ABC＝30°，且在Rt△ACD中，AD＝1，∴AC＝2，AB＝4，又∵AB是⊙O的直徑，∴⊙O的半徑為2，∴圓O的面積為4π.答案4π三、解答題(本大題共5小題，共56分，解答時應(yīng)寫出必要的文字說明，證明過程或演算步驟)17．(10分)如圖所示，△ABC內(nèi)接于圓，AD切圓于A，E是BA延長線上一點(diǎn)，連接CE交AD于D點(diǎn)．若D是CE的中點(diǎn)．求證：AC2＝AB·AE.證明過E作EF∥AC交AD的延長線于點(diǎn)F.∵CD＝DE，∴△ACD≌△FED，∴AC＝EF(AC2＝AB·AE等價于AC·EF＝AB·AE)．又∵AD是圓的切線，∴∠B＝∠CAF.又EF∥AC，∴∠BAC＝∠AEF，∠CAD＝∠F，∴∠B＝∠F，∴△ABC∽△EFA.∴eq\f(AB,AC)＝eq\f(EF,AE)，∴AC·EF＝AB·AE，即AC2＝AB·AE.18．(10分)已知C點(diǎn)在圓O直徑BE的延長線上，CA切圓O于A點(diǎn)，DC是∠ACB的平分線交AE于點(diǎn)F，交AB于D點(diǎn)．(1)求∠ADF的度數(shù)；(2)AB＝AC，求AC∶BC.解(1)∵AC為圓O的切線，∴∠B＝∠EAC.又知DC是∠ACB的平分線，∴∠ACD＝∠DCB.∴∠B＋∠DCB＝∠EAC＋∠ACD即∠ADF＝∠AFD，又因?yàn)锽E為圓O的直徑，∴∠DAE＝90°，∴∠ADF＝eq\f(1,2)(180°－∠DAE)＝45°.(2)∵∠B＝∠EAC，∠ACB＝∠ACB，∴△ACE∽△BCA，∴eq\f(AC,BC)＝eq\f(AE,AB)，又∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB＝30°，∴在Rt△ABE中，eq\f(AC,BC)＝eq\f(AE,AB)＝tan∠B＝tan30°＝eq\f(\r(3),3).19．(12分)如圖所示，在△ABC中，I為△ABC的內(nèi)心，AI交BC于D，交△ABC外接圓于E.求證：(1)IE＝EC；(2)IE2＝ED·EA.證明(1)連接IC，∵I為內(nèi)心，∴∠3＝∠4，∠1＝∠2.∵∠1＝∠5，∴∠2＝∠5.∴∠3＋∠2＝∠4＋∠5，∴∠EIC＝∠ECI.∴IE＝CE.(2)∵∠E＝∠E，∠2＝∠5，∴△ECD∽△EAC，∴eq\f(CE,DE)＝eq\f(AE,EC)，∴CE2＝AE·DE，∴IE2＝AE·ED.20．(12分)如圖所示，已知AB是⊙O的直徑，C為圓上任意一點(diǎn)，過C的切線分別與過A、B兩點(diǎn)的切線交于P、Q.求證：AB2＝4AP·BQ.證明法一連接OP、OQ，如圖所示．∵AP、PQ、BQ為⊙O的切線，∴∠1＝∠2，∠3＝∠4.又AP、BQ為⊙O的切線，AB為直徑，∴AB⊥AP，AB⊥BQ.∴AP∥BQ.∴∠A＝∠B＝90°，∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝180°.∴∠1＋∠4＝∠2＋∠3＝90°.∵∠1＋∠5＝90°，∴∠4＝∠5.∴△AOP∽△BQO.∴eq\f(AO,BQ)＝eq\f(AP,OB).∵AB＝2AO＝2OB，∴AB2＝4AP·BQ.法二連接OC.同上可證得∠2＋∠3＝90°.∵PQ切⊙O于C，∴OC⊥PQ.在Rt△PQO中，由射影定理可得OC2＝PC·CQ，利用切線長定理，有PC＝AP，BQ＝QC.OC2＝AP·BQ，∵AB＝2OC，∴AB2＝4AP·BQ.法三如圖所示，過P作BQ的垂線PD，垂足為D.∵AP、BQ、PQ切⊙O于A、B、C，∴∠A＝∠B＝90°，AP＝PC，CQ＝BQ.∴四邊形ABDP為矩形，PQ＝AP＋BQ.∵AP＝BD，AB＝PD.在Rt△PQD中，利用勾股定理得：PQ2＝PD2＋QD2，∴(AP＋BQ)2＝AB2＋(BQ－AP)2.∴4AP·BQ＝AB2.21．(12分)如圖所示，過圓O外一點(diǎn)M作它的一條切線，切點(diǎn)為A，過A點(diǎn)作直線AP垂直于直線O