吉林省長(zhǎng)春市九臺(tái)區(qū)師范高級(jí)中學(xué)2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期初考試試題

PAGEPAGE16吉林省長(zhǎng)春市九臺(tái)區(qū)師范高級(jí)中學(xué)2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期初考試試題本次考試時(shí)間110分鐘滿(mǎn)分150分一、（每小題6分，共48分）單選題（1—8小題）1．用簡(jiǎn)潔隨機(jī)抽樣的方法從含有個(gè)個(gè)體的總體中抽取一個(gè)容量為的樣本，其中某一個(gè)體“第一次被抽到”的可能性與“其次次被抽到”的可能性分別是（）A．、B．、C．、 D．、2．假如復(fù)數(shù)滿(mǎn)意，則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)所在象限為（）A．第一象限B．其次象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限3．已知數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，方差為，則，，…，的平均數(shù)和方差分別為（）A．和B．和C．和 D．和4．某超市收銀臺(tái)排隊(duì)等候付款的人數(shù)及其相應(yīng)概率如下：排隊(duì)人數(shù)01234概率0.10.160.30.30.10.04則至少有兩人排隊(duì)的概率為（）A．0.16 B．0.26 C．0.56 D．0.745．在中，為線(xiàn)段上的一點(diǎn)，，且，則A．，B．，C．， D．，6．下列敘述不正確的是（）A．已知，是空間中的兩條直線(xiàn)，若，則直線(xiàn)與平行或異面B．已知是空間中的一條直線(xiàn)，是空間中的一個(gè)平面，若，則或與只有一個(gè)公共點(diǎn)C．已知，是空間兩個(gè)不同的平面，若，則，必相交于一條直線(xiàn)D．已知直線(xiàn)與平面相交，且垂直于平面內(nèi)的多數(shù)條直線(xiàn)，則7．已知一個(gè)圓柱的側(cè)面積等于其表面積的，且其軸截面的周長(zhǎng)為24，則該圓柱的體積為（）A． B． C． D．8．若隨機(jī)事務(wù)，互斥，，發(fā)生的概率均不等于0，且，，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．多選題（9—12小題）9．下面是關(guān)于復(fù)數(shù)的四個(gè)命題，其中真命題為（）A．B．C．的虛部為-1 D．的共軛復(fù)數(shù)為10．下面結(jié)論正確的是（）A．若，則事務(wù)A與B是互為對(duì)立事務(wù)B．若，則事務(wù)A與B是相互獨(dú)立事務(wù)C．若事務(wù)A與B是互斥事務(wù)，則A與也是互斥事務(wù)D．若事務(wù)A與B是相互獨(dú)立事務(wù)，則A與也是相互獨(dú)立事務(wù)11．如圖，AC為圓O的直徑，，PA垂直于圓O所在的平面，B為圓周上不與點(diǎn)A，C重合的點(diǎn)，于S，于N，則下列選項(xiàng)正確的是（）A．平面平面PBC B．平面平面PABC．平面平面PBC D．平面平面PAC12．在中，D，E，F(xiàn)分別是邊，，中點(diǎn)，下列說(shuō)法正確的是（）A．B．C．若，則是在的投影向量D．若點(diǎn)P是線(xiàn)段上的動(dòng)點(diǎn)，且滿(mǎn)意，則的最大值為二、填空題（每小題5分，共15分）13．總體由編號(hào)為1，2，…，99，100的100個(gè)個(gè)體組成.現(xiàn)用隨機(jī)數(shù)法選取60個(gè)個(gè)體，利用電子表格軟件產(chǎn)生的若千個(gè)范圍內(nèi)的整數(shù)隨機(jī)數(shù)的起先部分?jǐn)?shù)據(jù)(如下)，則選出來(lái)的第5個(gè)個(gè)體的編號(hào)為_(kāi)__________.14．已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，向量，，若，則________.15．在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，①若sinA＞sinB，則A＞B；②若sin2A＝sin2B，則△ABC肯定為等腰三角形；③若，則△ABC為直角三角形；④若△ABC為銳角三角形，則sinA<cosB．以上結(jié)論中正確的有____________.（填正確結(jié)論的序號(hào)）16．（此小題填對(duì)一個(gè)3分，填對(duì)兩個(gè)5分。有錯(cuò)的0分）已知一個(gè)高為的三棱錐，各側(cè)棱長(zhǎng)都相等，底面是邊長(zhǎng)為的等邊三角形，則三棱錐的表面積為_(kāi)_____，若三棱錐內(nèi)有一個(gè)體積為V的球，則V的最大值為_(kāi)_____.三、解答題（每個(gè)大題12分，共60分，每個(gè)題依據(jù)完整的步驟累計(jì)給分）17．已知平面對(duì)量，滿(mǎn)意，，.（1）求；（2）若向量與的夾角為銳角，求實(shí)數(shù)的取值范圍.18．如圖，四邊形是矩形，平面，平面，，.（1）證明：平面平面.（2）求三棱錐的體積.19．設(shè)，，分別為三個(gè)內(nèi)角，，的對(duì)邊，若.（1）求角；（2）若，的周長(zhǎng)為6，求的面積.20．如圖所示，在樹(shù)人中學(xué)高一年級(jí)學(xué)生中抽出40名參與環(huán)保學(xué)問(wèn)競(jìng)賽，將其成果(均為整數(shù)整理后畫(huà)出的頻率分布直方圖如圖，視察圖形，回答下列問(wèn)題：（1）求成果在80~90這一組的頻數(shù)；（2）估計(jì)這次環(huán)保學(xué)問(wèn)競(jìng)賽成果的平均數(shù)、40百分位數(shù)；（3）從成果是50分以下(包括50分)和90分以上(包括90分)這兩個(gè)分?jǐn)?shù)段的學(xué)生中選2人，求他們不在同一分?jǐn)?shù)段的概率.21．如圖，在三棱柱中，，點(diǎn)為的中點(diǎn)，，．（1）證明：平面平面ABC．（2）求點(diǎn)到平面的距離．參考答案1．A【分析】依據(jù)抽樣中，每個(gè)個(gè)體在每一次被抽到的概率都是相等的，由此可得出結(jié)果.【詳解】在抽樣過(guò)程中，個(gè)體每一次被抽中的概率是相等的，因?yàn)榭傮w容量為，故個(gè)體“第一次被抽到”的可能性與“其次次被抽到”的可能性均為，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查抽樣中概率的計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題.2．A【分析】由給定復(fù)數(shù)等式求出復(fù)數(shù)z，進(jìn)而求得z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)即可得解.【詳解】因，則，于是得在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為，所以在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第一象限.故選：A3．B【分析】依據(jù)平均數(shù)和方差的性質(zhì)干脆求解.【詳解】因?yàn)閿?shù)據(jù)的平均數(shù)為，方差為，所以，，…，的平均數(shù)和方差分別為和故選：B4．D【分析】利用互斥事務(wù)概率計(jì)算公式干脆求解．【詳解】由某超市收銀臺(tái)排隊(duì)等候付款的人數(shù)及其相應(yīng)概率表，得：至少有兩人排隊(duì)的概率為：．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查概率的求法、互斥事務(wù)概率計(jì)算公式，考查運(yùn)算求解實(shí)力，是基礎(chǔ)題．5．A【分析】依據(jù)相等向量的定義及向量的運(yùn)算法則：三角形法則求出，利用平面對(duì)量基本定理求出x，y的值【詳解】由題意，∵，∴，即，∴，即故選A．【點(diǎn)睛】本題以三角形為載體，考查向量的加法、減法的運(yùn)算法則；利用運(yùn)算法則將未知的向量用已知向量表示，是解題的關(guān)鍵．6．D【分析】利用空間直線(xiàn)與直線(xiàn)、直線(xiàn)與平面、平面與平面的位置關(guān)系對(duì)各選項(xiàng)逐一推斷作答.【詳解】對(duì)于A(yíng)，空間兩直線(xiàn)沒(méi)有公共點(diǎn)，由空間兩直線(xiàn)位置關(guān)系的分類(lèi)知，兩直線(xiàn)平行或是異面直線(xiàn)，A正確；對(duì)于B，直線(xiàn)與平面有公共點(diǎn)，由直線(xiàn)與平面位置關(guān)系的分類(lèi)知，直線(xiàn)與平面有多數(shù)個(gè)公共點(diǎn)(直線(xiàn)在平面內(nèi))或僅只一個(gè)，即B正確；對(duì)于C，兩個(gè)不重合平面有公共點(diǎn)，由平面基本性質(zhì)知，它們有且只有一條經(jīng)過(guò)公共點(diǎn)的公共直線(xiàn)，即C正確；對(duì)于D，正三棱錐的側(cè)棱垂直于底面三角形與該棱相對(duì)的邊，而在底面三角形所在平面內(nèi)與該邊平行的直線(xiàn)都垂直于這條棱，正三棱錐側(cè)棱不垂直于底面，即D不正確.故選：D7．D【分析】設(shè)圓柱的底面半徑為，高為，則由題意得，，解方程組，再依據(jù)圓柱的體積公式求解即可．【詳解】設(shè)圓柱的底面半徑為，高為，∵圓柱的側(cè)面積等于表面積的，且其軸截面的周長(zhǎng)是24，∴，解得，∴圓柱的體積為，故選:D．【點(diǎn)睛】本題主要考查圓柱的表面積公式與體積公式，屬于基礎(chǔ)題．8．C【分析】利用互斥事務(wù)的加法公式及概率的基本性質(zhì)列式即可作答.【詳解】因隨機(jī)事務(wù)，互斥，則，依題意及概率的性質(zhì)得，即，解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選：C9．AC【分析】利用復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算即可求解.【詳解】，所以，故A正確；，故B錯(cuò)誤；的虛部為-1，故C正確；的共軛復(fù)數(shù)為，故D錯(cuò)誤.故選：AC10．BD【分析】依據(jù)互斥事務(wù)、對(duì)立事務(wù)的學(xué)問(wèn)推斷AC兩個(gè)選項(xiàng)的正確性，依據(jù)相互獨(dú)立事務(wù)的學(xué)問(wèn)推斷BD兩個(gè)選項(xiàng)的正確性.【詳解】對(duì)于A(yíng)選項(xiàng)，要使為對(duì)立事務(wù)，除還需滿(mǎn)意，也即不能同時(shí)發(fā)生，所以A選項(xiàng)錯(cuò)誤.對(duì)于C選項(xiàng)，包含于，所以與不是互斥事務(wù)，所以C選項(xiàng)錯(cuò)誤.對(duì)于B選項(xiàng)，依據(jù)相互獨(dú)立事務(wù)的學(xué)問(wèn)可知，B選項(xiàng)正確.對(duì)于D選項(xiàng)，依據(jù)相互獨(dú)立事務(wù)的學(xué)問(wèn)可知，D選項(xiàng)正確.故選：BD【點(diǎn)睛】本小題主要考查互斥事務(wù)和對(duì)立事務(wù)，考查相互獨(dú)立事務(wù)，屬于基礎(chǔ)題.11．ACD【分析】由平面PBC可推斷A正確；因無(wú)法推斷可推斷B錯(cuò)誤；由平面PAB可推斷C正確；由平面ABC可推斷D正確.【詳解】對(duì)于A(yíng)，平面ABC，BC，圓中，是直徑，，，平面PAB，，，，平面PBC，平面，平面平面PBC，故A正確；對(duì)于B，，則要使平面平面PAB，則必有平面，但無(wú)法推斷，故無(wú)法推斷平面平面PAB，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，由A選項(xiàng)知平面PAB，平面PBC，平面平面PBC，故C正確；對(duì)于D，平面ABC，平面PAC，平面平面PAC，故D正確.故選：ACD.【點(diǎn)睛】本題考查面面垂直的推斷，屬于基礎(chǔ)題.12．BCD【分析】對(duì)選項(xiàng)A，B，利用平面對(duì)量的加減法即可推斷A錯(cuò)誤，B正確.對(duì)選項(xiàng)C，首先依據(jù)已知得到為的平分線(xiàn)，即，再利用平面對(duì)量的投影概念即可推斷C正確.對(duì)選項(xiàng)D，首先依據(jù)三點(diǎn)共線(xiàn)，設(shè)，，再依據(jù)已知得到，從而得到，即可推斷選項(xiàng)D正確.【詳解】如圖所示：對(duì)選項(xiàng)A，，故A錯(cuò)誤.對(duì)選項(xiàng)B，，故B正確.對(duì)選項(xiàng)C，，，分別表示平行于，，的單位向量，由平面對(duì)量加法可知：為的平分線(xiàn)表示的向量.因?yàn)?，所以為的平分線(xiàn)，又因?yàn)闉榈闹芯€(xiàn)，所以，如圖所示：在的投影為，所以是在的投影向量，故選項(xiàng)C正確.對(duì)選項(xiàng)D，如圖所示：因?yàn)樵谏?，即三點(diǎn)共線(xiàn)，設(shè)，.又因?yàn)?，所?因?yàn)?，則，.令，當(dāng)時(shí)，取得最大值為.故選項(xiàng)D正確.故選：BCD【點(diǎn)睛】本題主要考查平面對(duì)量的加法，減法的幾何意義，數(shù)形結(jié)合為解決本題的關(guān)鍵，屬于中檔題.13．31【分析】依據(jù)隨機(jī)抽樣中利用隨機(jī)數(shù)法獲得個(gè)體編號(hào)的規(guī)律即可得解.【詳解】隨機(jī)抽樣中，隨機(jī)數(shù)法獲得個(gè)體編號(hào)在指定編號(hào)范圍內(nèi)，遇到大于總體編號(hào)或者重復(fù)號(hào)碼舍去不要，由給定的數(shù)據(jù)，從8數(shù)起至第5個(gè)仍是8，重復(fù)，舍去，第5個(gè)編號(hào)為31，所以選中的第5個(gè)個(gè)體的編號(hào)為31.故答案為：3114．【分析】首先設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，分別求出和的坐標(biāo)，依據(jù)即可得到點(diǎn)的坐標(biāo)，再求即可.【詳解】設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，，.因?yàn)椋?即，解得，.故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查向量的坐標(biāo)運(yùn)算，同時(shí)考查學(xué)生的計(jì)算實(shí)力，屬于簡(jiǎn)潔題.15．①③【分析】結(jié)合三角形的性質(zhì)、三角函數(shù)的性質(zhì)及正弦定理，對(duì)四個(gè)結(jié)論逐個(gè)分析可選出答案.【詳解】對(duì)于①，由正弦定理，所以由sinA＞sinB，可推出，則，即①正確；對(duì)于②，取，則，而△ABC不是等腰三角形，即②錯(cuò)誤；對(duì)于③，，則，由正弦定理可得，故△ABC為直角三角形，即③正確；對(duì)于④，若△ABC為銳角三角形，取，此時(shí)，即，故④錯(cuò)誤.故答案為：①③.【點(diǎn)睛】本題考查真假命題的推斷，考查三角函數(shù)、解三角形學(xué)問(wèn)，考查學(xué)生推理實(shí)力與計(jì)算求解實(shí)力，屬于中檔題.16．【分析】畫(huà)出圖形，取的中點(diǎn)，連接、，設(shè)的中心為，連接，由題意結(jié)合正三棱錐的幾何特征可得、，進(jìn)而可求得的三棱錐的表面積和體積，由等體積法即可求得三棱錐內(nèi)切球的半徑，即可得解.【詳解】由題意，三棱錐如圖所示：取的中點(diǎn)，連接、，由正三角形的性質(zhì)可得的中心在線(xiàn)段上，且，連接，則即為該三棱錐的高，即，所以，又，所以，所以，又，所以三棱錐的表面積；所以該三棱錐的體積,當(dāng)球與三棱錐內(nèi)切時(shí)，體積最大，設(shè)三棱錐的內(nèi)切球的半徑為，則，解得，則.故答案為：；.【點(diǎn)睛】本題考查了正三棱錐幾何特征的應(yīng)用以及幾何體內(nèi)切球半徑的求解，考查了空間思維實(shí)力與運(yùn)算求解實(shí)力，屬于中檔題.17．（1）；（2）.【分析】(1)由給定條件求出，再依據(jù)向量模的計(jì)算公式即可得解；(2)依據(jù)向量夾角為銳角借助數(shù)量積列出不等關(guān)系即可作答.【詳解】（1）依題意，，得，，所以；（2）由向量與的夾角為銳角，可得，即有，解得，而當(dāng)向量與同向時(shí)，可知，綜上所述的取值范圍為.18．（1）證明見(jiàn)解析；（2）.【分析】（1）要證面面平行，只要證一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線(xiàn)分別平行于另外一個(gè)平面即可得解；（2）通過(guò)轉(zhuǎn)體積法由即可得解.【詳解】（1）因?yàn)槠矫?，平面，所以，又因?yàn)槠矫妫矫?，所以平?在矩形中，，平面，平面，所以平面..又，所以平面平面.（2）因?yàn)槠矫妫?，在矩形中，又，所以平?易證平面，所以點(diǎn)到平面的距離為，所以.19．（1）；（2）.【分析】（1）利用正弦定理的邊角互化以及三角形的內(nèi)角和公式可得，進(jìn)而可得，即求.（2）由余弦定理可得，再由三角形的面積公式即可求解.【詳解】（1）由及正弦定理可得.由帶入上式，整理得.因?yàn)?，所?因?yàn)?，所以?（2）∵的周長(zhǎng)為6，得，由.可得即.解得，∴.所以的面積為.20．（1）4；（2）平均數(shù)為，40百分位數(shù)為；（3）.【分析】(1)由給定的頻率分布直方圖，求出成果在80~90這一組頻率即可得解；(2)利用頻率分布直方圖求平均數(shù)及百分位數(shù)的方法計(jì)算即得；(3)先求出給定兩段的學(xué)生總數(shù)，再用列舉法求概率的方法求解即得.【詳解】（1）依題意50~60這一組的頻率為，60~70這一組的頻率為，70~80這一組的頻率為，90~100這一組的頻率為，則80~90這一組的頻率，其頻數(shù)為4；（2）這次競(jìng)賽成果的平均數(shù)為，40~50這一組的頻率為0.1，50~60這一組的頻率為0.15，40~60的頻率為0.25，60~70這一組的頻率為，因此40百分位數(shù)在60~70這一組內(nèi)，且在本組內(nèi)須要找到頻率為0.15的部分，所以40百分位數(shù)為；（3）記選出的2人不在同一分?jǐn)?shù)段為事務(wù)，40~50之間的人數(shù)為人，設(shè)為，，，，90~100之間有人，設(shè)為1，2，從這6人中選出2人，