2020-2021學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)56函數(shù)

函數(shù)y=Asin(cox+6)(一)

?基礎(chǔ)通關(guān)一水平一》

(15分鐘35分)

nTt

L為了得到函數(shù)尸sinX—-的圖象，只需把函數(shù)尸sin1+-的圖象()

36

n

A.向左平移一個單位長度

4

n

B.向右平移一個單位長度

4

71_

C.向左平移一個單位長度

2

71

D.向右平移一個單位長度

2

n\TT_

(的圖象向右平移&個單位長度得到

y=sin(%+—y)=sin(%一的圖象.

2.將函數(shù)尸sinx的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的，(縱坐標(biāo)不變)，得到的函數(shù)為

()

1

A.y=5sinxB.y="sinx

1

C.y=sin5xD.y=sin-x

【解析】選C.y二sinx所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的I縱坐標(biāo)不變)得到

5

y=sin5x.

3.把函數(shù)尸cos(31+的圖象適當(dāng)變換就可以得到y(tǒng)=sin(-3x)的圖象，這種變換可以是

n

A.向右平移1個單位長度

71

B.向左平移一個單位長度

4

7T_

C.向右平移一個單位長度

12

7T

D.向左平移一個單位長度

12

【解析】選D.因?yàn)閥=cos（3%+

=cos］一（：-3%）卜［11（：13%）

二sin卜3卜咤）］,

所以將y=sin-3（1一姿）］的圖象向左平移卷個單位長度能得到丫=$行（-玄）的圖象.

4.給出幾種變換：

①橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍，縱坐標(biāo)不變；

②橫坐標(biāo)縮小到原來的乙縱坐標(biāo)不變；

2

_7T_

③向左平移一個單位長度；

3

_7T_

④向右平移一個單位長度；

3

_7T_

⑤向左平移一個單位長度；

6

_7T_

⑥向右平移一個單位長度；

6

則由函數(shù)丫=$3x的圖象得到y(tǒng)=sin（2x+C）的圖象，可以實(shí)施的方案是（）

3

A.①一③B.②一③

C.②一④D.②一⑤

【解析】選D.y二sinx的圖象二sin2x的圖象=sin（2%+^）的圖象.

5.將函數(shù)丫=$行（2%+￡）的圖象向左平移2個單位，所得函數(shù)的解析式為.

【解析】由y=sin（2%+勻向左平移1個單位得

y=sin2（%+§+￡bin(2x

=sin（21H------）=cos2x.

答案：y=cos2x

6.已知函數(shù)f（x）=3sin（2x+力）（"￡（0,彳）），其圖象向左平移個單位長度后，關(guān)于y軸

對稱.

（1）求函數(shù)f（x）的解析式.

（2）說明其圖象是由y=sinx的圖象經(jīng)過怎樣的變換得到的.

7T

【解析】（1）將函數(shù)f（x）=3sin（2x+4））圖象上的所有點(diǎn)向左平移一個單位長度后，所得圖象的

6

函數(shù)解析式為y=3sin2（X+^）+9+W+0)

因?yàn)閳D象平移后關(guān)于y軸對稱，

7Tn

所以一+。=k兀+—（k￡Z）,

32

n

所以6=k叮+-（keZ）,

6

c7T\7T

(0>y),所以巾

所以f（x）=3sin（21+

n

⑵將函數(shù)尸sinx的圖象上的所有點(diǎn)向左平移一個單位長度，所得圖象的函數(shù)解析式為

6

y=sin（x+-）,再把所得圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來的々縱坐標(biāo)不變），得函數(shù)

62

y=sin（21+￡）的圖象，再把圖象上各點(diǎn)的縱坐標(biāo)伸長到原來的3倍（橫坐標(biāo)不變），即得函

數(shù)y=3sin（21+孑）的圖象.

■能力進(jìn)階一水平二>>

（30分鐘60分）

一、單選題（每小題5分，共20分）

1.把函數(shù)y二sin（2%-的圖象向右平移:個單位，所得圖象對應(yīng)的函數(shù)是（）

A.非奇非偶函數(shù)B.既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)

C.奇函數(shù)D.偶函數(shù)

的圖象向右平移d個單位得到尸可2

【解析】選D.y=sin

y=-cos2x是偶函數(shù).

2.設(shè)3〉0,函數(shù)y=sin（31+^+2的圖象向右平移（口個單位后與原圖象重合，貝U?的

最小值為（）

13

A.—B.1C.一D.2

22

47r

【解析】選C.由題意知一是函數(shù)周期的整數(shù)倍,

3

27r4

又3〉0,所以—,k="n,

33

~3、

所以3二一k(k￡Z),

2

,3

因?yàn)?>0,所以3的最小值為一.

2

3.(2020?福州高一檢測)設(shè)函數(shù)f(x)=sin(3x+。)(3>\(p\<§的最小正周期為

n_

兀，且圖象向左平移一個單位長度后得到的函數(shù)為奇函數(shù)，則函數(shù)f(x)的圖象()

6

>

A.關(guān)于點(diǎn)(E0)對稱

B?關(guān)于點(diǎn)后,。

n

C.關(guān)于直線x二一對稱

12

D.關(guān)于直線x二一對稱

12

/2元

【解析】選D.函數(shù)f(X)=sin(3x+。)(3>0>I<鼻)的最小正周期為兀，即了二兀，

所以3=2.

71

則f(x)=sin(2x+4)),向左平移一個單位后得:

6

y二sin(21+—+9)是奇函數(shù),

7171

即一+@=k兀，k￡Z.所以。=kr——,k￡Z,

33

nn

因?yàn)閨6|<一,則6=一，故f（x）的解析式為

f(x)=sin(2%-&)

n

由對稱中心的橫坐標(biāo)可得:2x--k兀，k￡Z,

3

1n1,,

即x=-kJi+-，k￡Z.所以A,B選項(xiàng)不對.

26

n7i157r5TT

由對稱軸方程可得：2x--=kn+-,k￡Z,即x=-k兀+—，k￡Z.當(dāng)k=0時，可得x二—.

3221212

【補(bǔ)償訓(xùn)練】

將函數(shù)y=sin（61+2）的圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的3倍（縱坐標(biāo)不變），再向

n

右平移一個單位，所得函數(shù)圖象的一個對稱中心是（

【解析】選D.將函數(shù)y=sin（61+的圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的3倍（縱坐標(biāo)不變）

可得到函數(shù)y=sin（21+的圖象，然后該函數(shù)的圖象向右平移:個單位可得到函數(shù)

y=sin2（X--）H----sin2x的圖象，由2x=kJi=>x=—，k￡Z,所以該函數(shù)的對稱中心

4.為了得到函數(shù)y二sin（2%-的圖象，可以將函數(shù)y=cos2x的圖象（）

Tt

A.向右平移一個單位長度

6

Tt

B.向右平移一個單位長度

3

n

C.向左平移一個單位長度

6

71

D.向左平移一個單位長度

3

【解析】選B.y二sin(2%"

=卡(2%-勻］

2”

=cos

【誤區(qū)警示】注意變換前后函數(shù)名不一樣.

二、多選題(每小題5分，共10分，全部選對得5分，選對但不全的得3分，有選錯的得0

分)

5.把函數(shù)f(x)-sin(21-

的圖象向左平移6(0〈口)個單位長度可以得到函數(shù)g(x)的圖

象.若g(x)的圖象關(guān)于y軸對稱，則小的值可以是()

5冗7兀5元11兀

A.—B.—C.—D.---

1212612

【解析】AD.由題意，

7T

得g(x)=sin2CX+(p)—

sin+因?yàn)間(x)的圖象關(guān)于y軸對稱，所以g(x)為偶函數(shù)，所以

nnkn5n5nlln

2巾—=k兀+—(k￡Z),所以@二—+—(1<￡2).當(dāng)1<=0時，巾二—；當(dāng)k=l時，@二---.

322121212

6.為得到函數(shù)廠cosx的圖象，可以把y=sinx的圖象向右平移e個單位長度得到，那么“

的值可以是()

n

【解析】選BD.y=sinx=cos

二cos9一5向右平移6個單位長度后得到y(tǒng)=cos(%-0"q),所以6+^二2女兀,

~江~37r7n

keZ,所以6=2k?！?，keZ.所以4)的值可以是—，—.

222

【光速解題】把選擇項(xiàng)逐項(xiàng)代入，馬上得到答案BD正確.

三、填空題(每小題5分，共10分)

7.將函數(shù)y=」sin(21+2)的圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的士縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)

2\6/2

*TT

y=g(x)的圖象，則函數(shù)g(x)在0,一上的最小值為_______.

41

【解題指南】先根據(jù)題目提供的變換方法求出g(x)的解析式，再在固定區(qū)間上求g(x)的最小

值.

【解析】依據(jù)圖象變換可得函數(shù)g(x)」sin(4x+F).因?yàn)閤￡|0,-1,

264j

~,7T[n7n

所以4x+—￡—>一，

6166」

所以當(dāng)4x+一二—時，g(x)取最小值--.

664

1

答案：一

4

【補(bǔ)償訓(xùn)練】

若g(x)=2sin(2x+￡)+a在7T

0>一上的最大值與最小值之和為7,則a=_______.

3j

【解析】當(dāng)OWxW-n時，n-W2x+7-1W5—7,rl-Wsin(—2%+7—T\)W1,

36662V67

所以l+aW2sin(2%+—)+aW2+a,由l+a+2+a-7,得a=2.

答案：2

8.將函數(shù)f(x)=Asin(3x+@)(3>0)I@^圖象上每一點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來的一

71-

半，縱坐標(biāo)不變，再向右平移一個單位長度得到尸Asinx的圖象，則3=,。=.

6

【解析】y=Asinx的圖象向左平移￡個單位長度，得到y(tǒng)=Asin(%+%)的圖象，再將每一點(diǎn)

的橫坐標(biāo)伸長為原來的2倍，縱坐標(biāo)不變，得到y(tǒng)=Asin(：1+/)的圖象即為f(x)=Asin(3

/In\1

x+@)的圖象，所以f(x)=Asin(-1H---),所以3二一,

\2672

n

。二一.

6

17T

答案：一一

26

四、解答題(每小題10分，共20分)

+0-2)+1(3>0,0<6<兀)為偶函數(shù)，且函數(shù)f(x)的圖象的

9.已知函數(shù)f(x)=2sin

n

兩相鄰對稱軸間的距離為一.

2

⑴求的值;

71

⑵將函數(shù)f(x)的圖象向右平移一個單位長度后，再將得到的圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長為原來

6

的4倍，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)g(x)的圖象，求函數(shù)g(x)的單調(diào)遞減區(qū)間.

nn

【解析】(1)因?yàn)閒(x)為偶函數(shù)，所以。-一二kn+-(k￡Z),

62

所以。=k兀+—(k￡Z).

3

又0<6〈兀，所以“二一，

3

所以f(x)=2sin(3X+—J+l=2coscox+1.

、.n

又函數(shù)f(x)的圖象的兩相鄰對稱軸間的距離為一,

2

2元71

所以T二——二2義一，所以3二2,

32

所以f(x)=2cos2x+l,

所以fO=2COS(2X^+1=V2+1.

(2)將f(x)的圖象向右平移:個單位長度后，得到函數(shù)f(1一￡)的圖象，再將所得圖象上各點(diǎn)

的橫坐標(biāo)伸長為原來的4倍，縱坐標(biāo)不變，得到

的圖象,

~/XTt\J(xn\'

所以g(x)=f(1一匕)=2cos2—J+1

(xn\

=2cosl—'—)+1.

\237

X71

當(dāng)2krW---W2k兀+兀，k￡Z,

23

即4k兀+—WxW4k兀+—(k￡Z)時，g(x)單調(diào)遞減.

33

所以函數(shù)g(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是

4/CTTH——>4/CTTH------(kez).

L33

10.已知函數(shù)f(x)=sin(3-2%)(xGR).

(1)求f(x)的單調(diào)減區(qū)間;

(2)經(jīng)過怎樣的圖象變換使f(x)的圖象關(guān)于y軸對稱？(僅敘述一種方案即可)

【解析】(1)由已知函數(shù)化為f(x)=-sin(2x-￡).欲求函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間，只需求

3

y二sin(21"的單調(diào)遞增區(qū)間.

由2k?！猈2x—W2k兀+一,k￡Z,

232

解得k兀Wx〈kn+一兀，k￡Z,所以原函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為［憶兀，一>/C7T+—TT(k

1212L1212J

￡Z).

(2)f(x)=sin(r2x)=cos[r(r2x)]

因?yàn)閥二cos2x是偶函數(shù)，圖象關(guān)于y軸對稱,

71

所以只需把y=f(x)的圖象向右平移正個單位長度即可(答案不唯一).

I創(chuàng)新遷移》

L(2020?上海高一檢測)已知函數(shù)f(x)=4sin(2x+￡),xe0>—的圖象與直線y=m的三個

6L6」

交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為Xi,X2,X3(X1<X2<X3),則X1+2X2+X3的值是.

【解析】用“五點(diǎn)法”畫出函數(shù)f(x)二

4sin(2%+—x￡0>—的圖象，如圖

7127r,_z7Tn

因?yàn)楹瘮?shù)的圖象關(guān)于直線X二一和直線x二—對稱,所以由題思得XI+X2=2X-,X2+X3=2X

6363

2n471?577

—=—，所以XI+2X2+X3=—.

333

57r

答案：—

3

【補(bǔ)償訓(xùn)練】

1

函數(shù)y=2sin兀x------(-2WxW4)的所有零點(diǎn)之和為.

l^x

11

【解析】函數(shù)y=2sin兀x-------(-2WxW4)的零點(diǎn)即方程2sin兀x-------的根,

l^xl^x

1

作函數(shù)y=2sin兀x與尸---的圖象如圖，由圖可知共有8個公共點(diǎn)