冪級(jí)數(shù)求和方法總結(jié)

———冪級(jí)數(shù)求和方法總結(jié)關(guān)于冪級(jí)數(shù)求和的探討例1求冪級(jí)數(shù)∑∞[]n=0xn[]n+1的和函數(shù)。解先求收斂域。由limn→∞an+1[]an=limn→∞n+1[]n+2=1得收斂半徑R=1、在端點(diǎn)x=—1處，冪級(jí)數(shù)成為∑∞[]n=0（—1）n[]n+1，是收斂的交錯(cuò)級(jí)數(shù)；在端點(diǎn)x=1處，冪級(jí)數(shù)成為∑∞[]n=01[]n+1，是發(fā)散的。因此收斂域?yàn)镮=[—1，1]。設(shè)和函數(shù)為s（x），即s（x）=∑∞[]n=0xn[]n+1，x∈[—1，1）。（1）于是xs（x）=∑∞[]n=0xn+1[]n+1、（2）利用性質(zhì)3，逐項(xiàng)求導(dǎo)，并由1[]1—x=1+x+x2+…+xn+…，（—1得[xs（x）]′=∑∞[]n=0xn+1[]n+1=∑∞[]n=0xn=1[]1—x，（|x|<1）。（4）對(duì)上式從0到x積分，得xs（x）=∫x01[]1—xdx=—ln（1—x），（—1≤x≤1）。（5）于是，當(dāng)x≠0時(shí)，有s（x）=—1[]xln（1—x），而s（0）可由s（0）=a0=1得出，故s（x）=—1[]xln（1—x），x∈[—1，0）∪（0，1），1，x=0、（6）一、錯(cuò)誤及原因分析1.疏忽冪級(jí)數(shù)的起始項(xiàng)例如在求解冪級(jí)數(shù)∑∞[]n=1xn的和函數(shù)時(shí)，有學(xué)生就很容易將其和函數(shù)寫為s（x）=1[]1—x，而事實(shí)上其和應(yīng)當(dāng)為s（x）=x[]1—x。該錯(cuò)誤產(chǎn)生的原因在于學(xué)生疏忽了冪級(jí)數(shù)的起始項(xiàng)，習(xí)慣性的把第一項(xiàng)默認(rèn)為1、2.疏忽和函數(shù)的定義域產(chǎn)生該錯(cuò)誤的原因，重要是學(xué)生對(duì)和函數(shù)的概念理解不透徹，無窮多項(xiàng)求和其和并不總是存在的，即不總是收斂的，所以在求和函數(shù)時(shí)，首先要推斷在哪些點(diǎn)處和是存在的，這些點(diǎn)的集合就是和函數(shù)的定義域，即冪級(jí)數(shù)的收斂域。3.錯(cuò)誤地給出和函數(shù)的定義域，即冪級(jí)數(shù)的收斂域該錯(cuò)誤的產(chǎn)生重要源于利用和函數(shù)的分析性質(zhì)求解和函數(shù)時(shí)，疏忽了收斂域的變動(dòng)。上述例子中的（5）式就顯現(xiàn)了這方面的錯(cuò)誤。4.疏忽了收斂域中的特殊點(diǎn)在上述例子式中，利用（5）求s（x）時(shí)，需要在等式兩邊同時(shí)除以x。此時(shí)，當(dāng)x≠0時(shí)，才有s（x）=—1[]xln（1—x），因此，對(duì)x=0還要單獨(dú)求解s（0）。二、求冪級(jí)數(shù)和函數(shù)時(shí)應(yīng)注意的問題及應(yīng)對(duì)措施1.標(biāo)注和函數(shù)的定義域和函數(shù)的定義域不同于一般函數(shù)的定義域，其定義域事實(shí)上為與和函數(shù)相對(duì)應(yīng)的冪級(jí)數(shù)的收斂域，因此在和函數(shù)表達(dá)式之后應(yīng)正確標(biāo)注x的取值范圍，即和函數(shù)的定義域。為避開在這里顯現(xiàn)錯(cuò)誤，在求解和函數(shù)時(shí)，應(yīng)首先求出所求冪級(jí)數(shù)的收斂域。嚴(yán)格依照先求收斂域再求和函數(shù)的步驟求解能特別好地解決這一問題（參看教材[1]中例6）。2.注意收斂域與級(jí)數(shù)的匹配利用和函數(shù)的分析性質(zhì)求解和函數(shù)是解決冪級(jí)數(shù)求和的緊要方法，尤其是教材[1]中的性質(zhì)2和性質(zhì)3，簡稱為逐項(xiàng)求積和逐項(xiàng)求導(dǎo)。但這兩條性質(zhì)都只說明變動(dòng)后的級(jí)數(shù)其收斂半徑不發(fā)生變動(dòng)，未對(duì)收斂域的情況進(jìn)行認(rèn)真說明。事實(shí)上，逐項(xiàng)積分后所得冪級(jí)數(shù)的收斂域有可能擴(kuò)大，即有可能把收斂區(qū)間的端點(diǎn)包含進(jìn)來；逐項(xiàng)求導(dǎo)后所得冪級(jí)數(shù)的收斂域有可能縮小，即有可能把收斂域的端點(diǎn)去掉。應(yīng)對(duì)這一問題，只需要在利用逐項(xiàng)求導(dǎo)和逐項(xiàng)求積時(shí)，對(duì)端點(diǎn)處的收斂性重新推斷即可。3.注意等式變動(dòng)過程中x的取值問題譬如在（5）式中，求解s（x）時(shí)，需要在等式兩邊同時(shí)除以x。此時(shí)x不能取零，但x=0又是收斂域中的點(diǎn)，因此需單獨(dú)求解s（0）。對(duì)這一問題，需要在等式變動(dòng)過程中，關(guān)注x的取值變動(dòng)。對(duì)收斂域中不能取到的點(diǎn)x0，應(yīng)單獨(dú)求解s（x0）。可用以下兩種方法，方法一：求解x=x0時(shí)對(duì)應(yīng)的常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的和。方法二：利用和函數(shù)的連續(xù)性求解x=x0時(shí)對(duì)應(yīng)的常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的和。冪級(jí)數(shù)求和方法1、逐項(xiàng)求導(dǎo)和逐項(xiàng)積分法：這種方法基于冪級(jí)數(shù)在收斂域上的全都收斂性。假如冪級(jí)數(shù)中含有xn的形式，可以考慮求導(dǎo)或積分。逐項(xiàng)求導(dǎo)后再積分或反過來，是求解這類冪級(jí)數(shù)和函數(shù)的一種常見方法。需要注意的是，在解題過程中，由于要逐項(xiàng)求導(dǎo)后再積分或反過來，步驟不理順很容易亂，因此需要特別注意。2、利用打開式直接求和：當(dāng)級(jí)數(shù)的形式使得可以直接應(yīng)用某些已知的級(jí)數(shù)和公式時(shí)，這種方法特別有用。例如，假如級(jí)數(shù)形式允許直接應(yīng)用等比數(shù)列的求和公式，可以直接求解。3、等比數(shù)列求和法：對(duì)于形如∑=0∞∑n=0∞anxn的冪級(jí)數(shù)，當(dāng)∣∣<1∣x∣<1時(shí)，可以利用等比數(shù)列的求和公式111x1來求解。這種方法適用于當(dāng)冪級(jí)數(shù)可以轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列時(shí)。4、利用傅里葉級(jí)數(shù)求級(jí)數(shù)和：在某些情況下，可以通過傅里葉級(jí)數(shù)的性質(zhì)來求解冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)。這種方法在特定的數(shù)學(xué)問題中可能會(huì)用到。5、先定積分后求導(dǎo)，或先求導(dǎo)后定積分，或求導(dǎo)定積分多次聯(lián)合并用：這種方法適用于需要通過積分和微分操作來簡化冪級(jí)數(shù)求和的情況。需要注意的是，在應(yīng)用定積分時(shí)，要特別注意積分的下限，否則將肯定出差錯(cuò)。6、特殊函數(shù)的冪級(jí)數(shù)打開：