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2021-2022高考數(shù)學(xué)模擬試卷請(qǐng)考生注意:1.請(qǐng)用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上,請(qǐng)用0.5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫(xiě)在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫(xiě)在試題卷、草稿紙上均無(wú)效。2.答題前,認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項(xiàng)》,按規(guī)定答題。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.函數(shù)的定義域?yàn)?,集合,則()A. B. C. D.2.偶函數(shù)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng),當(dāng)時(shí),,求()A. B. C. D.3.若函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn),則實(shí)數(shù)的取值范圍是()A. B. C. D.4.若集合,,則A. B. C. D.5.設(shè),則A. B. C. D.6.在中,角的對(duì)邊分別為,若.則角的大小為()A. B. C. D.7.已知角的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn),則A. B.C. D.8.已知i為虛數(shù)單位,則()A. B. C. D.9.如圖,長(zhǎng)方體中,,,點(diǎn)T在棱上,若平面.則()A.1 B. C.2 D.10.《九章算術(shù)》是我國(guó)古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學(xué)名著,書(shū)中有如下問(wèn)題:“今有芻甍,下廣三丈,袤四丈,上袤二丈,無(wú)廣,高二丈,問(wèn):積幾何?”其意思為:“今有底面為矩形的屋脊?fàn)畹男w,下底面寬3丈,長(zhǎng)4丈,上棱長(zhǎng)2丈,高2丈,問(wèn):它的體積是多少?”已知l丈為10尺,該楔體的三視圖如圖所示,其中網(wǎng)格紙上小正方形邊長(zhǎng)為1,則該楔體的體積為()A.10000立方尺B.11000立方尺C.12000立方尺D.13000立方尺11.2019年10月1日,為了慶祝中華人民共和國(guó)成立70周年,小明、小紅、小金三人以國(guó)慶為主題各自獨(dú)立完成一幅十字繡贈(zèng)送給當(dāng)?shù)氐拇逦瘯?huì),這三幅十字繡分別命名為“鴻福齊天”、“國(guó)富民強(qiáng)”、“興國(guó)之路”,為了弄清“國(guó)富民強(qiáng)”這一作品是誰(shuí)制作的,村支書(shū)對(duì)三人進(jìn)行了問(wèn)話(huà),得到回復(fù)如下:小明說(shuō):“鴻福齊天”是我制作的;小紅說(shuō):“國(guó)富民強(qiáng)”不是小明制作的,就是我制作的;小金說(shuō):“興國(guó)之路”不是我制作的,若三人的說(shuō)法有且僅有一人是正確的,則“鴻福齊天”的制作者是()A.小明 B.小紅 C.小金 D.小金或小明12.已知為兩條不重合直線,為兩個(gè)不重合平面,下列條件中,的充分條件是()A.∥ B.∥C.∥∥ D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.學(xué)校藝術(shù)節(jié)對(duì)同一類(lèi)的,,,四件參賽作品,只評(píng)一件一等獎(jiǎng),在評(píng)獎(jiǎng)揭曉前,甲、乙、丙、丁四位同學(xué)對(duì)這四項(xiàng)參賽作品預(yù)測(cè)如下:甲說(shuō):“或作品獲得一等獎(jiǎng)”;乙說(shuō):“作品獲得一等獎(jiǎng)”;丙說(shuō):“,兩項(xiàng)作品未獲得一等獎(jiǎng)”;丁說(shuō):“作品獲得一等獎(jiǎng)”.若這四位同學(xué)中有且只有兩位說(shuō)的話(huà)是對(duì)的,則獲得一等獎(jiǎng)的作品是______.14.正項(xiàng)等比數(shù)列|滿(mǎn)足,且成等差數(shù)列,則取得最小值時(shí)的值為_(kāi)____15.的展開(kāi)式中,的系數(shù)為_(kāi)___________.16.已知(為虛數(shù)單位),則復(fù)數(shù)________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.(12分)已知曲線的參數(shù)方程為為參數(shù),曲線的參數(shù)方程為為參數(shù)).(1)求與的普通方程;(2)若與相交于,兩點(diǎn),且,求的值.18.(12分)如圖所示,已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直,AB=,AF=1,M是線段EF的中點(diǎn).求證:(1)AM∥平面BDE;(2)AM⊥平面BDF.19.(12分)若正數(shù)滿(mǎn)足,求的最小值.20.(12分)將棱長(zhǎng)為的正方體截去三棱錐后得到如圖所示幾何體,為的中點(diǎn).(1)求證:平面;(2)求二面角的正弦值.21.(12分)如圖,是正方形,點(diǎn)在以為直徑的半圓弧上(不與,重合),為線段的中點(diǎn),現(xiàn)將正方形沿折起,使得平面平面.(1)證明:平面.(2)三棱錐的體積最大時(shí),求二面角的余弦值.22.(10分)武漢有“九省通衢”之稱(chēng),也稱(chēng)為“江城”,是國(guó)家歷史文化名城.其中著名的景點(diǎn)有黃鶴樓、戶(hù)部巷、東湖風(fēng)景區(qū)等等.(1)為了解“五·一”勞動(dòng)節(jié)當(dāng)日江城某旅游景點(diǎn)游客年齡的分布情況,從年齡在22歲到52歲的游客中隨機(jī)抽取了1000人,制成了如圖的頻率分布直方圖:現(xiàn)從年齡在內(nèi)的游客中,采用分層抽樣的方法抽取10人,再?gòu)某槿〉?0人中隨機(jī)抽取4人,記4人中年齡在內(nèi)的人數(shù)為,求;(2)為了給游客提供更舒適的旅游體驗(yàn),該旅游景點(diǎn)游船中心計(jì)劃在2020年勞動(dòng)節(jié)當(dāng)日投入至少1艘至多3艘型游船供游客乘坐觀光.由2010到2019這10年間的數(shù)據(jù)資料顯示每年勞動(dòng)節(jié)當(dāng)日客流量(單位:萬(wàn)人)都大于1.將每年勞動(dòng)節(jié)當(dāng)日客流量數(shù)據(jù)分成3個(gè)區(qū)間整理得表:勞動(dòng)節(jié)當(dāng)日客流量頻數(shù)(年)244以這10年的數(shù)據(jù)資料記錄的3個(gè)區(qū)間客流量的頻率作為每年客流量在該區(qū)間段發(fā)生的概率,且每年勞動(dòng)節(jié)當(dāng)日客流量相互獨(dú)立.該游船中心希望投入的型游船盡可能被充分利用,但每年勞動(dòng)節(jié)當(dāng)日型游船最多使用量(單位:艘)要受當(dāng)日客流量(單位:萬(wàn)人)的影響,其關(guān)聯(lián)關(guān)系如下表:勞動(dòng)節(jié)當(dāng)日客流量型游船最多使用量123若某艘型游船在勞動(dòng)節(jié)當(dāng)日被投入且被使用,則游船中心當(dāng)日可獲得利潤(rùn)3萬(wàn)元;若某艘型游船勞動(dòng)節(jié)當(dāng)日被投入?yún)s不被使用,則游船中心當(dāng)日虧損0.5萬(wàn)元.記(單位:萬(wàn)元)表示該游船中心在勞動(dòng)節(jié)當(dāng)日獲得的總利潤(rùn),的數(shù)學(xué)期望越大游船中心在勞動(dòng)節(jié)當(dāng)日獲得的總利潤(rùn)越大,問(wèn)該游船中心在2020年勞動(dòng)節(jié)當(dāng)日應(yīng)投入多少艘型游船才能使其當(dāng)日獲得的總利潤(rùn)最大?
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.A【解析】
根據(jù)函數(shù)定義域得集合,解對(duì)數(shù)不等式得到集合,然后直接利用交集運(yùn)算求解.【詳解】解:由函數(shù)得,解得,即;又,解得,即,則.故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查了交集及其運(yùn)算,考查了函數(shù)定義域的求法,是基礎(chǔ)題.2.D【解析】
推導(dǎo)出函數(shù)是以為周期的周期函數(shù),由此可得出,代值計(jì)算即可.【詳解】由于偶函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng),則,,,則,所以,函數(shù)是以為周期的周期函數(shù),由于當(dāng)時(shí),,則.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查利用函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性和奇偶性求函數(shù)值,推導(dǎo)出函數(shù)的周期性是解答的關(guān)鍵,考查推理能力與計(jì)算能力,屬于中等題.3.A【解析】試題分析:由題意得有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,所以必有解,則,且,∴.考點(diǎn):利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)極值點(diǎn)【方法點(diǎn)睛】函數(shù)極值問(wèn)題的常見(jiàn)類(lèi)型及解題策略(1)知圖判斷函數(shù)極值的情況.先找導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn),再判斷導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn)的左、右兩側(cè)的導(dǎo)數(shù)符號(hào).(2)已知函數(shù)求極值.求f′(x)―→求方程f′(x)=0的根―→列表檢驗(yàn)f′(x)在f′(x)=0的根的附近兩側(cè)的符號(hào)―→下結(jié)論.(3)已知極值求參數(shù).若函數(shù)f(x)在點(diǎn)(x0,y0)處取得極值,則f′(x0)=0,且在該點(diǎn)左、右兩側(cè)的導(dǎo)數(shù)值符號(hào)相反.4.C【解析】
解一元次二次不等式得或,利用集合的交集運(yùn)算求得.【詳解】因?yàn)榛?,,所以,故選C.【點(diǎn)睛】本題考查集合的交運(yùn)算,屬于容易題.5.C【解析】分析:利用復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算法則:分子、分母同乘以分母的共軛復(fù)數(shù),化簡(jiǎn)復(fù)數(shù),然后求解復(fù)數(shù)的模.詳解:,則,故選c.點(diǎn)睛:復(fù)數(shù)是高考中的必考知識(shí),主要考查復(fù)數(shù)的概念及復(fù)數(shù)的運(yùn)算.要注意對(duì)實(shí)部、虛部的理解,掌握純虛數(shù)、共軛復(fù)數(shù)這些重要概念,復(fù)數(shù)的運(yùn)算主要考查除法運(yùn)算,通過(guò)分母實(shí)數(shù)化轉(zhuǎn)化為復(fù)數(shù)的乘法,運(yùn)算時(shí)特別要注意多項(xiàng)式相乘后的化簡(jiǎn),防止簡(jiǎn)單問(wèn)題出錯(cuò),造成不必要的失分.6.A【解析】
由正弦定理化簡(jiǎn)已知等式可得,結(jié)合,可得,結(jié)合范圍,可得,可得,即可得解的值.【詳解】解:∵,∴由正弦定理可得:,∵,∴,∵,,∴,∴.故選A.【點(diǎn)睛】本題主要考查了正弦定理在解三角形中的應(yīng)用,考查了計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化思想,屬于基礎(chǔ)題.7.D【解析】因?yàn)榻堑慕K邊經(jīng)過(guò)點(diǎn),所以,則,即.故選D.8.A【解析】
根據(jù)復(fù)數(shù)乘除運(yùn)算法則,即可求解.【詳解】.故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)運(yùn)算,屬于基礎(chǔ)題題.9.D【解析】
根據(jù)線面垂直的性質(zhì),可知;結(jié)合即可證明,進(jìn)而求得.由線段關(guān)系及平面向量數(shù)量積定義即可求得.【詳解】長(zhǎng)方體中,,點(diǎn)T在棱上,若平面.則,則,所以,則,所以,故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查了直線與平面垂直的性質(zhì)應(yīng)用,平面向量數(shù)量積的運(yùn)算,屬于基礎(chǔ)題.10.A【解析】由題意,將楔體分割為三棱柱與兩個(gè)四棱錐的組合體,作出幾何體的直觀圖如圖所示:
沿上棱兩端向底面作垂面,且使垂面與上棱垂直,
則將幾何體分成兩個(gè)四棱錐和1個(gè)直三棱柱,
則三棱柱的體積V1四棱錐的體積V2=13×1×3×2=2【點(diǎn)睛】本題考查三視圖及幾何體體積的計(jì)算,其中正確還原幾何體,利用方格數(shù)據(jù)分割與計(jì)算是解題的關(guān)鍵.11.B【解析】
將三個(gè)人制作的所有情況列舉出來(lái),再一一論證.【詳解】依題意,三個(gè)人制作的所有情況如下所示:123456鴻福齊天小明小明小紅小紅小金小金國(guó)富民強(qiáng)小紅小金小金小明小紅小明興國(guó)之路小金小紅小明小金小明小紅若小明的說(shuō)法正確,則均不滿(mǎn)足;若小紅的說(shuō)法正確,則4滿(mǎn)足;若小金的說(shuō)法正確,則3滿(mǎn)足.故“鴻福齊天”的制作者是小紅,故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查推理與證明,還考查推理論證能力以及分類(lèi)討論思想,屬于基礎(chǔ)題.12.D【解析】
根據(jù)面面垂直的判定定理,對(duì)選項(xiàng)中的命題進(jìn)行分析、判斷正誤即可.【詳解】對(duì)于A,當(dāng),,時(shí),則平面與平面可能相交,,,故不能作為的充分條件,故A錯(cuò)誤;對(duì)于B,當(dāng),,時(shí),則,故不能作為的充分條件,故B錯(cuò)誤;對(duì)于C,當(dāng),,時(shí),則平面與平面相交,,,故不能作為的充分條件,故C錯(cuò)誤;對(duì)于D,當(dāng),,,則一定能得到,故D正確.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查了面面垂直的判斷問(wèn)題,屬于基礎(chǔ)題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.B【解析】
首先根據(jù)“學(xué)校藝術(shù)節(jié)對(duì)四件參賽作品只評(píng)一件一等獎(jiǎng)”,故假設(shè)分別為一等獎(jiǎng),然后判斷甲、乙、丙、丁四位同學(xué)的說(shuō)法的正確性,即可得出結(jié)果.【詳解】若A為一等獎(jiǎng),則甲、丙、丁的說(shuō)法均錯(cuò)誤,不滿(mǎn)足題意;若B為一等獎(jiǎng),則乙、丙的說(shuō)法正確,甲、丁的說(shuō)法錯(cuò)誤,滿(mǎn)足題意;若C為一等獎(jiǎng),則甲、丙、丁的說(shuō)法均正確,不滿(mǎn)足題意;若D為一等獎(jiǎng),則乙、丙、丁的說(shuō)法均錯(cuò)誤,不滿(mǎn)足題意;綜上所述,故B獲得一等獎(jiǎng).【點(diǎn)睛】本題屬于信息題,可根據(jù)題目所給信息來(lái)找出解題所需要的條件并得出答案,在做本題的時(shí)候,可以采用依次假設(shè)為一等獎(jiǎng)并通過(guò)是否滿(mǎn)足題目條件來(lái)判斷其是否正確.14.2【解析】
先由題意列出關(guān)于的方程,求得的通項(xiàng)公式,再表示出即可求解.【詳解】解:設(shè)公比為,且,時(shí),上式有最小值,故答案為:2.【點(diǎn)睛】本題考查等比數(shù)列、等差數(shù)列的有關(guān)性質(zhì)以及等比數(shù)列求積、求最值的有關(guān)運(yùn)算,中檔題.15.16【解析】
要得到的系數(shù),只要求出二項(xiàng)式中的系數(shù)減去的系數(shù)的2倍即可【詳解】的系數(shù)為.故答案為:16【點(diǎn)睛】此題考查二項(xiàng)式的系數(shù),屬于基礎(chǔ)題.16.【解析】
解:故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算,屬于基礎(chǔ)題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.(1),(2)0【解析】
(1)分別把兩曲線參數(shù)方程中的參數(shù)消去,即可得到普通方程;(2)把直線的參數(shù)方程代入的普通方程,化為關(guān)于的一元二次方程,再由根與系數(shù)的關(guān)系及此時(shí)的幾何意義求解.【詳解】(1)由曲線的參數(shù)方程為為參數(shù)),消去參數(shù),可得;由曲線的參數(shù)方程為為參數(shù)),消去參數(shù),可得,即.(2)把為參數(shù))代入,得.,..解得:,即,滿(mǎn)足△..【點(diǎn)睛】本題考查參數(shù)方程化普通方程,特別是直線參數(shù)方程中參數(shù)的幾何意義的應(yīng)用,是中檔題.18.(1)見(jiàn)解析(2)見(jiàn)解析【解析】(1)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,設(shè)AC∩BD=N,連結(jié)NE.則N,E(0,0,1),A(,,0),M.∴=,=.∴=且NE與AM不共線.∴NE∥AM.∵NE平面BDE,AM平面BDE,∴AM∥平面BDE.(2)由(1)知=,∵D(,0,0),F(xiàn)(,,1),∴=(0,,1),∴·=0,∴AM⊥DF.同理AM⊥BF.又DF∩BF=F,∴AM⊥平面BDF.19.【解析】試題分析:由柯西不等式得,所以試題解析:因?yàn)榫鶠檎龜?shù),且,所以.于是由均值不等式可知,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),上式等號(hào)成立.從而.故的最小值為.此時(shí).考點(diǎn):柯西不等式20.(1)見(jiàn)解析;(2).【解析】
(1)取的中點(diǎn),連接、,連接,證明出四邊形為平行四邊形,可得出,然后利用線面平行的判定定理可證得結(jié)論;(2)以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系,利用空間向量法可求得二面角的余弦值,進(jìn)而可求得其正弦值.【詳解】(1)取中點(diǎn),連接、、,且,四邊形為平行四邊形,且,、分別為、中點(diǎn),且,則四邊形為平行四邊形,且,且,且,所以,四邊形為平行四邊形,且,四邊形為平行四邊形,,平面,平面,平面;(2)以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則、、、,,,,設(shè)平面的法向量為,由,得,取,則,,,設(shè)平面的法向量為,由,得,取,則,,,,,因此,二面角的正弦值為.【點(diǎn)睛】本題考查線面平行的證明,同時(shí)也考查了利用空間向量法求解二面角,考查推理能力與計(jì)算能力,屬于中等題.21.(1)見(jiàn)解析(2)【解析】
(1)利用面面垂直的性質(zhì)定理證得平面,由此證得,根據(jù)圓的幾何性質(zhì)證得,由此證得平面.(2)判斷出三棱錐的體積最大時(shí)點(diǎn)的位置.建立空間直角坐標(biāo)系,通過(guò)平面和平面的法向量,計(jì)算出二面角的余弦值.【詳解】(1)證明:因?yàn)槠矫嫫矫媸钦叫?,所以平?因?yàn)槠矫妫?因?yàn)辄c(diǎn)在以為直徑的半圓弧上,所以.又,所
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