安順市2017-2018年高二年級(jí)下冊(cè)期末學(xué)業(yè)水平測(cè)試數(shù)學(xué)試題含解析

安順市重點(diǎn)名校2017-2018學(xué)年高二下學(xué)期期末學(xué)業(yè)水平測(cè)試數(shù)學(xué)試題

一、選擇題：本題共12小題，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.2019年6月7日，是我國(guó)的傳統(tǒng)節(jié)日“端午節(jié)”。這天，小明的媽媽煮了7個(gè)粽子，其中3個(gè)臘肉餡，

4個(gè)豆沙餡。小明隨機(jī)抽取出兩個(gè)粽子，若已知小明取到的兩個(gè)粽子為同一種餡，則這兩個(gè)粽子都為臘肉

餡的概率為()

1

A.—

7

【答案】B

【解析】

【分析】

設(shè)事件A為“取出兩個(gè)粽子為同一種餡”，事件3為“取出的兩個(gè)粽子都為臘肉餡”，計(jì)算P

(A)、P(A3)的值，從而求得P(B|A)的值.

【詳解】

由題意，設(shè)事件A為“取出兩個(gè)粽子為同一種餡”，

事件3為“取出的兩個(gè)粽子都為臘肉餡”，

貝(IP(A)=|

「(明/J

P(AB)1

P(B\A)=

P(A)3,

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查古典概型和條件概率的計(jì)算，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平和計(jì)算能力.

2.已知一組樣本點(diǎn)(為,％),其中，=1,2,3,…,30.根據(jù)最小二乘法求得的回歸方程是丁=法+則下列

說法正確的是()

A.若所有樣本點(diǎn)都在+a上，則變量間的相關(guān)系數(shù)為1

B.至少有一個(gè)樣本點(diǎn)落在回歸直線+a上

C.對(duì)所有的預(yù)報(bào)變量%a=l,2,3,…,30),a的值一定與％有誤差

D.若丁=法+。斜率人＞0,則變量％與y正相關(guān)

【答案】D

【解析】

分析：樣本點(diǎn)均在直線$=法+。上，則變量間的相關(guān)系數(shù)卜=1,A錯(cuò)誤；樣本點(diǎn)可能都不在直線

y=bx+a±,B錯(cuò)誤；樣本點(diǎn)可能在直線$=法+。上，即預(yù)報(bào)變量看對(duì)應(yīng)的估計(jì)值fox,+a可能與%可

以相等，C錯(cuò)誤；相關(guān)系數(shù)廠與人符號(hào)相同D正確.

詳解：選項(xiàng)A：所有樣本點(diǎn)都在夕=法+。，則變量間的相關(guān)系數(shù)W=l,相關(guān)系數(shù)可以為r=±l,故

A錯(cuò)誤.

選項(xiàng)B：回歸直線必過樣本中心點(diǎn)，但樣本點(diǎn)可能都不在回歸直線上，故B錯(cuò)誤.

選項(xiàng)C：樣本點(diǎn)可能在直線3=爪+。上，即可以存在預(yù)報(bào)變量看對(duì)應(yīng)的估計(jì)值〃%+。與%沒有誤差，

故C錯(cuò)誤.

選項(xiàng)D：相關(guān)系數(shù)廠與b符號(hào)相同，若$=法+。斜率6〉0,則廠〉0,樣本點(diǎn)分布從左至右上升，變

量X與>正相關(guān)，故D正確.

點(diǎn)睛：本題考查線性回歸分析的相關(guān)系數(shù)、樣本點(diǎn)、回歸直線、樣本中心點(diǎn)等基本數(shù)據(jù)，基本概念的準(zhǔn)確

把握是解題關(guān)鍵.

3.已知函數(shù)/(x)=cos(x—l+sin(x+w],貝！J()

A.函數(shù)/(%)的最大值為其圖象關(guān)于對(duì)稱

B.函數(shù)/⑺的最大值為2,其圖象關(guān)于『0卜稱

C.函數(shù)/(%)的最大值為"，其圖象關(guān)于直線x=?對(duì)稱

D.函數(shù)/(力的最大值為2,其圖象關(guān)于直線x=?對(duì)稱

【答案】D

【解析】

分析：由誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)函數(shù)/(%),再根據(jù)三角函數(shù)圖象與性質(zhì)，即可逐一判斷各選項(xiàng).

'Ji'Ji'll'J/

詳解：由誘導(dǎo)公式得，sin(x+—)=sin(x——+—)=cos(x——)

3626

47TCTC

f(x)=cos(x--)+sin(xH——)=2cos(x---)

636

Jmax=2,排除A,C.

將x=一代入x,得------=0=k兀(kGz),

6666

TT

二X=:為函數(shù)圖象的對(duì)稱軸，排除B.

6

故選D.

點(diǎn)睛：本題考查誘導(dǎo)公式與余弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)，考查利用余弦函數(shù)的性質(zhì)綜合分析判斷的能力.

4.某家具廠的原材料費(fèi)支出x(單位：萬元)與銷售量y(單位：萬元)之間有如下數(shù)據(jù)，根據(jù)表中提供

的全部數(shù)據(jù)，用最小二乘法得出y與x的線性回歸方程為a=6x+九則?為()

X24568

y2535605575

A.10B.12C.20D.5

【答案】C

【解析】

【分析】

由給定的表格可知元=5,y=50,代入￡=6x+九可得E.

【詳解】

解：由給定的表格可知元=5,y=50,

代入5>=6x+g,可得3=20.

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題考查線性回歸方程，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

5.從混有4張假鈔的10張一百元紙幣中任意抽取3張，若其中一張是假幣的條件下，另外兩張都是真幣

的概率為()

5531

A.—B.—C.—D.一

12852

【答案】A

【解析】

分析:直接利用條件概率公式求解.

C2155

詳解：由條件概率公式得？=言=0=二.故答案為A

C93612

點(diǎn)睛：(1)本題主要考查條件概率，意在考查學(xué)生對(duì)條件概率的掌握水平.(2)條件概率一般有“在A已發(fā)

生的條件下”這樣的關(guān)鍵詞，表明這個(gè)條件已經(jīng)發(fā)生，發(fā)生了才能稱為條件概率.但是有時(shí)也沒有，要靠

自己利用條件概率的定義識(shí)別.

6.某批零件的尺寸X服從正態(tài)分布N(10,b?),且滿足p(x<9)=：,零件的尺寸與10的誤差不超過1

O

即合格，從這批產(chǎn)品中抽取n件，若要保證抽取的合格零件不少于2件的概率不低于0.9,則n的最小值

為()

A.7B.6C.5D.4

【答案】D

【解析】

【分析】

計(jì)算P（9＜X＜11）=；,根據(jù)題意得到＜0,1,設(shè)/（〃）=（3"+1）（；），判

斷數(shù)列單調(diào)遞減，又/（4）＜0.1,/（3）＞0.1,得到答案.

【詳解】

因?yàn)閄:N（10,b2）,且P（X＜9）=」,所以P（9＜X＜11）=』，

84

3

即每個(gè)零件合格的概率為7.

4

合格零件不少于2件的對(duì)立事件是合格零件個(gè)數(shù)為零個(gè)或一個(gè).

合格零件個(gè)數(shù)為零個(gè)或一個(gè)的概率為c：QJ+C：，

由唱"+嗚|『0」,得（3〃+嗚［＜0.1①，

令〃〃）=（3〃+1）［￡|（"cN*）.因?yàn)椋?；；；）3"+4,

--------<1,

12"+4

所以/⑺單調(diào)遞減，又因?yàn)?（4）＜0.1,〃3）＞0」，

所以不等式①的解集為4.

【點(diǎn)睛】

本題考查了正態(tài)分布，概率的計(jì)算，數(shù)列的單調(diào)性，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和綜合應(yīng)用能力.

7.設(shè)隨機(jī)變量X的分布列如下：

X0123

P0.1a0.30.4

則方差D（X）=（）.

A.0B.1C.2D.3

【答案】B

【解析】

分析：先求出。的值，然后求出E（X）,利用公式求出。（X）

詳解：?=1-0.1-0.3-0.4=0.2

石（X）=1x0.2+2x0.3+3x04=2

石聲）=1x02+4x0.3+9x0.4=5

￡＞（X）=E（X2）-［（E（X））］2=5-4=1

故選3

點(diǎn)睛：本題考查了隨機(jī)變量的分布列的相關(guān)計(jì)算，解答本題的關(guān)鍵是熟練掌握隨機(jī)變量的期望與方差的計(jì)

算方法

8.下列函數(shù)中，即是奇函數(shù)，又在(0,+8)上單調(diào)遞增的是

3

A.y=ex+e^xB.y=x+%C.y=x+2sinxD.y=-ln|x|

【答案】B

【解析】

分析：對(duì)四個(gè)選項(xiàng)分別進(jìn)行判斷即可得到結(jié)果

詳解：對(duì)于A,丁=產(chǎn)+夕"f(-x)=e-x+ex,-f(x)=-ex-e-x

/(—x)w—/(x),不是奇函數(shù)，故錯(cuò)誤

對(duì)于C,y=x+2sinx,/=l+2cosx,當(dāng)cosx=—1■時(shí)，y'=0,函數(shù)在(0,+8)上不單調(diào)，故錯(cuò)

誤

對(duì)于。，函數(shù)在(0,+8)上單調(diào)遞減，故錯(cuò)誤

故選3

點(diǎn)睛：對(duì)函數(shù)的奇偶性作出判斷可以用其定義法，單調(diào)性的判斷可以根據(jù)函數(shù)的圖像性質(zhì)，或者利用導(dǎo)數(shù)

來判斷。

9.等比數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和為3，已知$0=10,520=30,則S4o=()

A.270B.150C.80D.70

【答案】B

【解析】

【分析】

根據(jù)題意等比數(shù)列｛4｝的公比4H-1,由等比數(shù)列的性質(zhì)有$0=10,S20-S10,S30-S20,成等比

數(shù)列，可得答案.

【詳解】

根據(jù)題意等比數(shù)列｛4｝的公比qH-1.

由等比數(shù)列的性質(zhì)有$0=10,S20-Sio,S30—S20，成等比數(shù)列

所以有Wo=10,S20-$0=20,則S30-S20=40,S4。一S30=80

所以S3O=4O+S20=7O,S40=80+S30=150

故選:B

【點(diǎn)睛】

本題考查等比數(shù)列的前〃項(xiàng)和的性質(zhì)的應(yīng)用，屬于中檔題.

10.已知函數(shù)/'(x)=%3-3以/+/a+]2(meN*)在x=-1處取得極值，對(duì)任意xwR,y'(無)+27>0恒

-皿“1、”2、“4034、“4035、

成h,貝！I/(—)+/(—)+...+y(—)+/(—)

2()1S201820182018

A.4032B.4034C.4035D.4036

【答案】C

【解析】

分析：根據(jù)函數(shù)〃X)=X3—3陽(yáng)？+加+12(根CN*)在x=-1處取得極值解得3+6m+〃=0,由于

mwN*，對(duì)任意行￡/'(力+27>0恒成立，貝!J<0,確定相、〃的值。再由三次函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)的

幾何意義，確定/(九)的對(duì)稱中心，最后求解。

詳解：已知函數(shù)外力=%3-3g2+依+12(根eN*)在x=-1處取得極值，故尸(—1)=0,解得

3+6m+n=0。對(duì)任意xeR,f(x)+27>0恒成立，則3%2—6mx-6m+24>0,對(duì)任意xeR恒成立，

則<0n-4cm<2,(meN*)nzn=l所以〃=一9.所以函數(shù)表達(dá)式為/(%)=三一3_￥2-9兀+12,

f(x)=3x-6x-9,/"(x)=6x—6，令/"(%)=0,解得x=l,由此/⑴=1,由三次函數(shù)的性質(zhì),

(1,1)為三次函數(shù)的拐點(diǎn)，即為三次函數(shù)的對(duì)稱中心，，所以/(x)+/(l—￡)=2,

點(diǎn)卜/卜??+4黑卜S3=4035.故選C。

點(diǎn)睛：在某點(diǎn)處的極值等價(jià)于在某點(diǎn)處的一階導(dǎo)函數(shù)的根，二階導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)的幾何意義為函數(shù)的拐點(diǎn)，

三次函數(shù)的拐點(diǎn)的幾何意義為三次函數(shù)的對(duì)稱中心。二階導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)為拐點(diǎn)，但不是所有的拐點(diǎn)都為對(duì)

稱中心。

11.小趙、小錢、小孫、小李到4個(gè)景點(diǎn)旅游，每人只去一個(gè)景點(diǎn)，設(shè)事件A="4個(gè)人去的景點(diǎn)彼此互

不相同"，事件3="小趙獨(dú)自去一個(gè)景點(diǎn)”，則P(A|3)=()

5412

A.-B.-C.-D.一

9939

【答案】D

【解析】

分析：這是求小趙獨(dú)自去一個(gè)景點(diǎn)的前提下，4個(gè)人去的景點(diǎn)不相同的概率，求出相應(yīng)基本事件的個(gè)數(shù)，

即可得出結(jié)論.

詳解：小趙獨(dú)自去一個(gè)景點(diǎn)，則有3個(gè)景點(diǎn)可選，其余3人只能在小趙剩下的3個(gè)景點(diǎn)中選擇，可能性為

3x3x3=27種

所以小趙獨(dú)自去一個(gè)景點(diǎn)的可能性為4x27=108種

因?yàn)?個(gè)人去的景點(diǎn)不相同的可能性為4x3x2x1=24種，

242

所以尸(A|B)=——

1089

故選:D.

點(diǎn)睛：本題考查條件概率，考查學(xué)生的計(jì)算能力，確定基本事件的個(gè)數(shù)是關(guān)鍵.

12.數(shù)列｛4｝滿足=—3("22,"eN)是數(shù)列｛%｝為等比數(shù)列的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】B

【解析】

分析：由反例得充分性不成立，再根據(jù)等比數(shù)列性質(zhì)證必要性成立.

詳解：因?yàn)?=0滿足%2=4_]4+],所以充分性不成立

若數(shù)列｛4｝為等比數(shù)列，貝！I?=4，a：=%a“+i，即必要性成立.

an-ian

選B.

點(diǎn)睛：充分、必要條件的三種判斷方法.

1.定義法：直接判斷“若。則小'、”若q則?！钡恼婕?并注意和圖示相結(jié)合，例如“pnq”為真，

則”是。的充分條件.

2.等價(jià)法：利用。0夕與非非。，4=。與非。0非4,Poq與非40非P的等價(jià)關(guān)系，對(duì)于條

件或結(jié)論是否定式的命題，一般運(yùn)用等價(jià)法.

3.集合法：若則A是8的充分條件或3是A的必要條件；若A=8,則A是8的充要條件.

二、填空題：本題共4小題

13.關(guān)于％的方程Ci：=的解為X=

【答案】4或7

【解析】

【分析】

根據(jù)組合數(shù)的性質(zhì)，列出方程，求出X的值即可.

【詳解】

解.?c25—c25,

2x=x+4或2x+(x+4)=25,

解得％=4或x=7.

故答案為：4或7.

【點(diǎn)睛】

本題考查了組合數(shù)的性質(zhì)與應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題目.

14.某校生物研究社共8人，他們的生物等級(jí)考成績(jī)?nèi)缦拢?人70分，3人67分，1人64分，1人61分，

則他們的生物等級(jí)考成績(jī)的標(biāo)準(zhǔn)差為.

【答案】3

【解析】

【分析】

先求出樣本的平均數(shù)，再求出其標(biāo)準(zhǔn)差.

【詳解】

3x70+3x67+1x64+1x61

這八個(gè)人生物成績(jī)的平均分為工==67,

8

所以這八個(gè)人生物成績(jī)的標(biāo)準(zhǔn)差為

3x（70-67）2+3X（67-67）2+（64-67）2+（61-67）2=3

故得解.

【點(diǎn)睛】

本題考查樣本的標(biāo)準(zhǔn)差，屬于基礎(chǔ)題.

15.用1、2、3、4、5、6六個(gè)數(shù)字組成的沒有重復(fù)數(shù)字的六位數(shù)，要求任何相鄰兩個(gè)數(shù)字的奇偶性不同，

且1和2相鄰，這樣的六位數(shù)的個(gè)數(shù)是o

【答案】40

【解析】

【分析】

將問題分成三步解決，首先將3,5排列，再將4,6插空排列，再根據(jù)已排好的位置將1,2整體插空放入，

利用分步乘法計(jì)數(shù)原理計(jì)算可得結(jié)果.

【詳解】

第一步：將3,5進(jìn)行排列，共有尺=2種排法

第二步：將4,6插空排列，共有2H=4種排法

第三步：將1,2整體插空放入，共有&=5種排法

根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理可得共有：2x4x5=40種排法

本題正確結(jié)果：40

【點(diǎn)睛】

本題考查分步乘法計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用，關(guān)鍵是能夠根據(jù)題意將問題拆分成幾個(gè)步驟來進(jìn)行處理，要注意不重

不漏.

16.AA3C中，角的對(duì)邊分別是。，"c,已知。=反02=2^(1—sinC),貝!JC=.

【答案】-

4

【解析】

【分析】

2

化簡(jiǎn)已知等式可得sinC=l-二,又2="由余弦定理可得：cosC=sinC,利用兩角差的正弦函數(shù)公式可

2b2

求正sin(C--)=0,結(jié)合范圍C—石€—),可求C的值.

4444

【詳解】

Vc2=2b2(1-sinC),

c1

???可得：sinC=l-------,

2b2

又???a=b,由余弦定理可得：cosC=巴△——=1—^-=sinC,

2ab2b2

sinC-cosC=0,可得：sin（C-----）=0,

4

77JT37r

VC€（0,ir）,可得：C-----E（----—）,

4494

71一7nn

c------0,可得：c=一.

44

TT

故答案為:

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了余弦定理，兩角差的正弦函數(shù)公式，正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)在解三角形中的應(yīng)用，考查了

轉(zhuǎn)化思想和數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

三、解答題：解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.在直角坐標(biāo)系中，圓。的方程為（x+6）2+尸=25.

（I）以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，X軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，求。的極坐標(biāo)方程;

x=tcosa.—

（H）直線/的參數(shù)方程是,a為參數(shù)），/與。交于A,B兩點(diǎn)，|ABI=廂，求/的斜率.

y=tsma

【答案】（I）p2+12pcos6>+ll=0；（II）±平.

【解析】

試題分析：（I）利用x=pcos。，y=psin?；?jiǎn)即可求解；（H）先將直線/化成極坐標(biāo)方程，將/的

極坐標(biāo)方程代入的極坐標(biāo)方程得夕再利用根與系數(shù)的關(guān)系和弦長(zhǎng)公式進(jìn)行求解.

C2+12pcostz+11=0,

試題解析：（I）化圓的一般方程可化為12+丁2+12尤+11=0.由》=小。58,y=psin?？傻脠A。的極

坐標(biāo)方程夕2+12pcos^+ll=0.

（II）在（I）中建立的極坐標(biāo)系中，直線/的極坐標(biāo)方程為夕二。（夕￡尺）.

設(shè)A,3所對(duì)應(yīng)的極徑分別為月，夕2，將/的極坐標(biāo)方程代入C的極坐標(biāo)方程得夕2+I2pcostz+11=0.

于是夕1+2=-12cos?,pg=11.

242

|^|=|A-A|=<A+Pl)-AP2=A/144COS6Z-44.

tana=±巫

由|AB\=^0得cos2a=-

83

所以/的斜率為正或—姮.

33

b

18.設(shè)函數(shù)/(x)=ax--曲線y=f(x)在點(diǎn)(2,f(2))處的切線方程為7x-4y-12=l.

X

(1)求y=f(x)的解析式；

(2)證明：曲線y=f(x)上任一點(diǎn)處的切線與直線x=l和直線y=x所圍成的三角形面積為定值，并求此

定值.

3

【答案】(1)f(x)=x——；(2)證明見解析.

x

【解析】

7

解：⑴方程7x—4丫-12=1可化為y=：x-3,

4

當(dāng)x=2時(shí)，y=y.

又f'(x)=a+一■,

x

2ca..b———1

于是｛I'解得仁

〃+—二一

44

故f(x)=x—3.

X

3

(2)證明：設(shè)P(xi,yi)為曲線上任一點(diǎn)，由f")=l+可知,曲線在點(diǎn)P(xi,yi)處的切線方程為y—yi=(l

x

333

+-)?(X-X1),即y-(xi--)=(1+—)(X-X1).

66

令x=l得，y=—一，從而得切線與直線x=l,交點(diǎn)坐標(biāo)為(1,——).

%%

令y=x,得y=x=2xi,從而得切線與直線y=x的交點(diǎn)坐標(biāo)為(2xi,2x0.

_16

所以點(diǎn)P(xi,y。處的切線與直線x=l,y=x所圍成的三角形面積為不|一一||2xi|=2.

24

曲線y=f(x)上任一點(diǎn)處的切線與直線x=l和直線y=x所圍成的三角形面積為定值，此定值為2.

3

19.已知/(x)=(x-l)e*-elnx,g(x)=-x3+—x2+a.

(1)討論/(x)的單調(diào)性；

(2)若存在%w(O,+w)及唯一正整數(shù)々，使得/(%)=8(%)，求。的取值范圍.

【答案】⑴/(%)的單調(diào)遞減區(qū)間是(0』)，單調(diào)遞增區(qū)間是(L+8);(2)。的取值范圍是一

【解析】

試題分析：

(1)求出函數(shù)/(%)的導(dǎo)函數(shù)，通過對(duì)導(dǎo)函數(shù)符號(hào)的討論可得函數(shù)的單調(diào)性.(2)由題意得函數(shù)/(%)在

(0,+8)上的值域?yàn)椋?,+8).結(jié)合題意可將問題轉(zhuǎn)化為當(dāng)xe(O,+8)時(shí)，滿足g(x)之。的正整數(shù)解只有

1個(gè).通過討論g(x)的單調(diào)性可得只需滿足由此可得所求范圍.

試題解析：

(1)由題意知函數(shù)的定義域?yàn)?0,轉(zhuǎn)).

因?yàn)?(%)=(九—1)/-elnx9

所以尸(x)=x/—工，

X

令y=xex--,貝!|y'=靖+xex+-^->0,

xx

所以當(dāng)x>0時(shí)，尸(力=%"—§是增函數(shù)，

又/［l)=e-e=0,

故當(dāng)x?0,l)時(shí)，/(力<0"(力單調(diào)遞減，

當(dāng)xe(l,y)時(shí)，r(x)>0J(x)單調(diào)遞增.

所以“X)在(0,1)上單調(diào)遞減，在(1,+8)上單調(diào)遞增.

(2)由(1)知當(dāng)x=l時(shí)，/(%)取得最小值，

又/⑴=。，

所以/(力在(0,”)上的值域?yàn)椋?,”).

因?yàn)榇嬖诓粈(0,”)及唯一正整數(shù)馬，使得=

所以滿足g(X”o的正整數(shù)解只有1個(gè).

3

因?yàn)間(x)=f3+—%2+a,

所以/(%廠一%2+3x=-3x(x-l),

所以g(x)在(0,1)上單調(diào)遞增，在。,轉(zhuǎn))上單調(diào)遞減,

g⑴-+41>0

所以《即2

g⑵<0

—2+tz<0

解得—7Va<2.

2

所以實(shí)數(shù)。的取值范圍是-g,2

點(diǎn)睛：本題中研究方程根的情況時(shí)，通過導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、最大(小)值、函數(shù)圖象的變化趨勢(shì)等，

根據(jù)題目畫出函數(shù)圖象的草圖，通過數(shù)形結(jié)合的思想去分析問題，使問題的解決有一個(gè)直觀的形象，然后

在此基礎(chǔ)上再轉(zhuǎn)化為不等式(組)的問題，通過求解不等式可得到所求的參數(shù)的取值(或范圍).

20.若函數(shù)=cos尤+&sinx,0<x<^.

(1)把/(x)化成/(x)=Asin(ox+°)或/(x)=Acos(Ox+0)的形式；

⑵判斷“X)在o，m上的單調(diào)性，并求“X)的最大值.

【答案】(1)/(x)=2sin^x+-1j；

(2)函數(shù)y=/(x)在0,三|上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.最大值為2?

【解析】

【分析】

(1)利用輔助角公式將函數(shù)y=f(x)的解析式化簡(jiǎn)為f(x)=2sin"R

(2)由XC0,彳］計(jì)算出+卷,尋］,分別令g<x+g<g,彳<x+g<2『可得出函數(shù)

2)\bl63/662263

y=/(x)在區(qū)間。，會(huì)上的單調(diào)遞增區(qū)間和單調(diào)遞減區(qū)間，再由函數(shù)y=/(x)的單調(diào)性得出該函數(shù)的

最大值.

【詳解】

1走sinx]=2sin(x+工71];

(1)/(x)=cosx+A/3sinx=2—COSX+

2JI6)

,、八J冗冗j冗27t

(2)*.*0X<—,——<--

26639

.7T...,一TCTCj、E、M.TC7C7C八TC

令/=x+一，貝(lyuZsin%在二,二■上單倜遞增，令一《%+一<一,<0<x<—,

66216623

c..TC2?jj.、M、,?.7C7C27rTCTC

函數(shù)y=2sin/在式,7-上單調(diào)遞減.令不得不

23/26332

JT\JT7T\

，函數(shù)y=/（x）在o,§上單調(diào)遞增，在1,萬上單調(diào)遞減.

.,.當(dāng)x=（,函數(shù)y=/（x）有最大值2.

【點(diǎn)睛】

本題考查三角函數(shù)的單調(diào)性與最值，解題的關(guān)鍵在于將三角函數(shù)解析式利用三角恒等變換思想化簡(jiǎn)，并利

用正弦或余弦函數(shù)的性質(zhì)求解，考查分析問題和解決問題的能力，屬于中等題.

21.從某市主辦的科技知識(shí)競(jìng)賽的學(xué)生成績(jī)中隨機(jī)選取了40名學(xué)生的成績(jī)作為樣本，已知這40名學(xué)生的

成績(jī)?nèi)吭?0分至100分之間，現(xiàn)將成績(jī)按如下方式分成6組，第一組［40,50）；第二組［50,60）；…；第

六組［9。/。。］,并據(jù)此繪制了如圖所示的頻率分布直方圖.

（1）求成績(jī)?cè)趨^(qū)間［80,90）內(nèi)的學(xué)生人數(shù)；

（2）從成績(jī)大于等于80分的學(xué)生中隨機(jī)選取2名，求至少有1名學(xué)生的成績(jī)?cè)趨^(qū)間［90」。0］內(nèi)的概率.

【答案】（1）4;（2）二（二）=；.

【解析】試題分析：（I）由各組的頻率和等于1直接列式計(jì)算成績(jī)?cè)冢?0,90）的學(xué)生頻率，用40乘以頻率可

得成績(jī)?cè)冢跾Q90）的學(xué)生人數(shù)；

（II）用列舉法求出從成績(jī)大于等于80分的學(xué)生中隨機(jī)選2名學(xué)生的事件個(gè)數(shù)，查出至少有1名學(xué)生成績(jī)?cè)?/p>

［90,100］的事件個(gè)數(shù)，然后直接利用古典概型概率計(jì)算公式求解.

試題解析：（1）因?yàn)楦鹘M的頻率之和為1,

所以成績(jī)?cè)趨^(qū)間［80,90）內(nèi)的頻率為1-（0.005X2+0.015+0.020+0.042］x10=0.1,

所以選取的40名學(xué)生中成績(jī)?cè)趨^(qū)間［80,90;內(nèi)的學(xué)生人數(shù)為40X0/=4.

（2）設(shè)二表示事件”在成績(jī)大于等于80分的學(xué)生中隨機(jī)選取2名，至少有1名學(xué)生的成績(jī)?cè)趨^(qū)間［9CMQ0］

內(nèi)”，由（1）可知成績(jī)?cè)趨^(qū)間［80,90）內(nèi)的學(xué)生有4人，記這4名學(xué)生分別為二，二二二，

成績(jī)?cè)趨^(qū)間［90,100］內(nèi)的學(xué)生有0.005x10x40=2（人），記這2名學(xué)生分別為二二,

則選取2名學(xué)生的所有可能結(jié)果為［二二（二二）,（二二）,（二二）,（二二）,

（二，二）,（二，二）,（口匚）,（匚匚）,（匚匚）,（二二）,

（二二）,（二二）,（二二）,（二二）共15種,

事件“至少有1名學(xué)生的成績(jī)?cè)趨^(qū)間［90』成］內(nèi)”的可能結(jié)果為（匚二）,（二,二）,（Z,Z）.（Z,Z）,（Z,Z）,

（二二）,（二二）,（二二）,（二二;，共9種,

所以二（二）=*=：

22.前段時(shí)間，某機(jī)構(gòu)調(diào)查人們對(duì)屯商平臺(tái)"618”活動(dòng)的認(rèn)可度（分為：強(qiáng)烈和一般兩類），隨機(jī)抽取了100

人統(tǒng)計(jì)得到2x2列聯(lián)表的部分?jǐn)?shù)據(jù)如表:

一般強(qiáng)烈合計(jì)

男45

女10

合計(jì)75100

（1）補(bǔ)全2x2列聯(lián)表中的數(shù)據(jù);

（2）判斷能否有95%的把握認(rèn)為人們的認(rèn)可度是否為“強(qiáng)烈”與性別有關(guān)?

參考公式及數(shù)據(jù)：K-=-————

p(e%)0.050.0250.0100.005

3.8415.0246.6357.879

【答案】（1）列聯(lián)表見解析；（2）沒有

【解析】

【分析】

（1）通過題意，分別求出認(rèn)可度一般的男、女人數(shù)，認(rèn)可度強(qiáng)烈的男、女人數(shù)，填寫列聯(lián)表;

（2）根據(jù)列聯(lián)表，計(jì)算出K?的值，然后進(jìn)行判斷，得到結(jié)論.

【詳解】

（1）因?yàn)榭側(cè)藬?shù)100人，認(rèn)可度一般有75人，所以認(rèn)可度強(qiáng)烈有25人,

因?yàn)檎J(rèn)可度強(qiáng)烈中，女有10人，所以男有15人,

因?yàn)槟泄灿?5人，所以認(rèn)可度一般男有30人，女有45人,

填寫列聯(lián)表如下;

一般強(qiáng)烈合計(jì)

男301545

女451055

合計(jì)7525100

(2)根據(jù)表中數(shù)據(jù),

江玲，100x(30xl0-45xl5『100

計(jì)算K2=--------------------------=—?3.030<3.841

45x55x75x2533

所以沒有95%的把握認(rèn)為人們的認(rèn)可度是否為“強(qiáng)烈”與性別有關(guān).

【點(diǎn)睛】

本題考查完善列聯(lián)表，計(jì)算K?的值并判斷相關(guān)性，屬于簡(jiǎn)單題.

安順市重點(diǎn)名校2018-2019學(xué)年高二下學(xué)期期末學(xué)業(yè)水平測(cè)試數(shù)學(xué)試題

一、選擇題：本題共12小題，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.已知復(fù)數(shù)2=1-t,則二=()

A.2B.-2C.21D.-21

【答案】A

【解析】

解：因?yàn)閦=l-t,所以二=生五=2,故選A

z-1-t

2.某射手每次射擊擊中目標(biāo)的概率是p(0<p<1),且各次射擊的結(jié)果互不影響,設(shè)隨機(jī)變量X為該射

手在〃次射擊中擊中目標(biāo)的次數(shù)，若E(X)=3,O(X)=L2,則〃和。的值分別為()

131,3

A.5,—B.5,—C.6,—D.6,一

2525

【答案】B

【解析】

【分析】

通過二項(xiàng)分布公式E(X)=秋=3及。(X)=np(l-p)=1.2可得答案.

【詳解】

根據(jù)題意，XB(n,p),因此石(X)=叨=3,D(X)=npQ_p)=L2,解得

3

n=5,p=—,故選B.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查二項(xiàng)分布的相關(guān)公式，難度不大.

3.拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子兩次，記事件」=｛兩次的點(diǎn)數(shù)均為奇數(shù)｝,3=｛兩次的點(diǎn)數(shù)之和小于7｝，則

P(B\A)=()

A.B.C?D.

1452

3993

【答案】D

【解析】

由題意得,兩次的點(diǎn)數(shù)均為奇數(shù)且和小于7的情況有(1」),(1,3),(31)，(1，5),(51)(3,3廣

則…，,故選D.

P(AB)=表=；,P(A)=第=4.p(B⑶=等=:

4.將函數(shù)/（X）=COS（X+。）圖像上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來的2倍（縱坐標(biāo)不變），再把得到的圖像

向左平移9個(gè)單位長(zhǎng)度，所得函數(shù)圖像關(guān)于x=g對(duì)稱，則tane=（）

62

A.—乎B.-73C.±0D.土"

【答案】B

【解析】

【分析】

運(yùn)用三角函數(shù)的圖像變換,可得y=cos5x+五+。J,再由余弦函數(shù)的對(duì)稱性,可得°=

計(jì)算可得所求值.

【詳解】

函數(shù)/（x）=cos（x+0）圖像上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來的2倍（縱坐標(biāo)不變），

則可得y=COs[5X+0J,

再把得到的圖像向左平移各個(gè)單位長(zhǎng)度，

O

則可得y=cos]；x+^1+9],

因?yàn)樗煤瘮?shù)圖像關(guān)于X后對(duì)稱，

所以3《+1+0）=±1,

即生+2+°=左萬，

412

1T

解得：<p-k/v~—,k&Z,

所以：tan6?=-tan—=-^/3

3

故選：B

【點(diǎn)睛】

本題考查了三角函數(shù)的圖像變換以及余弦函數(shù)的對(duì)稱性，屬于一般題.

%+6%,2

5.已知函數(shù)，（九）="；',若/（。）=80,貝—4）=（）

3-1,x>2

A.0B.3C.6D.9

【答案】C

【解析】

【分析】

分別討論當(dāng)aW2和a＞2時(shí)帶入/（%）即可得出a,從而得出于（a-4）

【詳解】

當(dāng)時(shí)/（a）=a+6=80na=74（舍棄）.當(dāng)。＞2時(shí)/'（a）=30—1=80=3"=3'=a=4,所以

/（?-4）=/（4-4）=/（0）=6,所以選擇C

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了分段函數(shù)求值的問題，分段函數(shù)問題需根據(jù)函數(shù)分段情況進(jìn)行討論，屬于基礎(chǔ)題.

6.已知三棱錐A-BCD的四個(gè)頂點(diǎn)在空間直角坐標(biāo)系Oxyz中的坐標(biāo)分別為A（2,0,2）,B（2,l,2）,

C（0,2,2）,￡＞（1,2,0）,畫該三棱錐的三視圖的俯視圖時(shí)，以xOy平面為投影面，得到的俯視圖可以為

（）

【答案】C

【解析】

點(diǎn)A（2,0,2）在xOy的投影為（2,0,0）,點(diǎn)5（2,1,2）在xOy的投影為（2,1,0）,C（0,2,2）在xOy的投影

為（0,2,0）,。（1,2,0）在xOy的投影為（1,2,0）,連接四點(diǎn)，注意實(shí)線和虛線，得出俯視圖，選C

7.在區(qū)間［0,2］上隨機(jī)取兩個(gè)數(shù)二，二，則二二€［00的概率是（）.

A.—B.—C.—D.^―

【答案】C

【解析】

試題分析：由題意所有的基本事件滿足黑；I；:,所研究的事件滿足。＜z＜1,畫出可行域如圖，總

的區(qū)域面積是一個(gè)邊長(zhǎng)為2的正方形，其面積為4,滿足。W二W1的區(qū)域的面積為

4-1（2—臺(tái)匚二=4-（2二-加二4=2+21n2,則二二e［0二］的概率為二=亨=早

考點(diǎn)：幾何概型

8.對(duì)于函教二=針,_］尸,/_2、，以下選項(xiàng)正確的是()

A.1是極大值點(diǎn)B.有1個(gè)極小值C.1是極小值點(diǎn)D.有2個(gè)極大值

【答案】A

【解析】

【分析】

求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的極值點(diǎn)，再逐項(xiàng)判斷即可.

【詳解】

f'(x)=e*(x-1)(42—3)

當(dāng)r(x)>0=><X<l,X>vl

當(dāng):h)<0=>1<A-<X3,.V<予故1是極大值點(diǎn),且函數(shù)有兩個(gè)極小值點(diǎn)

故選：A

【點(diǎn)睛】

本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、極值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，是一道基礎(chǔ)題.

9.若復(fù)數(shù)(1+小尸(i為虛數(shù)單位)是純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)。=()

A.±1B.-1C.0D.1

【答案】A

【解析】

因?yàn)?1+az)2=l—a2+2ai是純虛數(shù)，.1—a?-0,a=+1.

10.《九章算術(shù)》是中國(guó)古代第一部數(shù)學(xué)專著，成于公元一世紀(jì)左右，系統(tǒng)總結(jié)了戰(zhàn)國(guó)、秦、漢時(shí)期的數(shù)

學(xué)成就.其中《方田》一章中記載了計(jì)算弧田(弧田就是由圓弧和其所對(duì)弦所圍成弓形)的面積所用的經(jīng)

驗(yàn)公式：弧田面積=(弦義矢+矢義矢)，公式中“弦”指圓弧所對(duì)弦長(zhǎng)，“矢”等于半徑長(zhǎng)與圓心到弦

的距離之差.按照上述經(jīng)驗(yàn)公式計(jì)算所得弧田面積與其實(shí)際面積之間存在誤差.現(xiàn)有圓心角為2T，弦長(zhǎng)為

40、3m的弧田?其實(shí)際面積與按照上述經(jīng)驗(yàn)公式計(jì)算出弧田的面積之間的誤差為()平方米.(其中

JT5s3，x1.73)

A.15B.16C.17D.18

【答案】B

【解析】

分析：先根據(jù)經(jīng)驗(yàn)公式計(jì)算出弧田的面積，再利用扇形面積減去三角形面積得實(shí)際面積，最后求兩者之差.

詳解：因?yàn)閳A心角為二/弦長(zhǎng)為所以圓心到弦的距離為20,半徑為40，

因此根據(jù)經(jīng)驗(yàn)公式計(jì)算出弧田的面積為

7(40V'3X20+20X20)=400、吁+200

實(shí)際面積等于扇形面積減去三角形面積，為，

-X^X4O2-7X2OX40V3=-400、5

2323

因此兩者之差為__，選B.

-400、弓-(400v,I+200)處16

點(diǎn)睛：扇形面積公式，扇形中弦長(zhǎng)公式，扇形弧長(zhǎng)公式

^lr=jar，2rsin?

11.若(2X+Q)4:4+用工+出工?+。4/，貝！J(%+4+。4『一(4+%f的值為()

A.1B.-1C.0D.2

【答案】A

【解析】

22444

(ao+a2+a4)—(ai+as)=(?0