2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)-8.5.1-橢圓及其性質(zhì)-專項(xiàng)訓(xùn)練【含解析】

2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)-8.5.1-橢圓及其性質(zhì)-專項(xiàng)訓(xùn)練【原卷版】基礎(chǔ)鞏固練1.已知點(diǎn)P在橢圓E：4x2+y2=16上，F(xiàn)A.5 B.6 C.7 D.82.已知F1，F(xiàn)2是橢圓C：x29+A.14 B.16 C.8+273.已知橢圓x2+y2mA.2 B.1 C.14 4.已知橢圓C的焦點(diǎn)為F10,?2，F(xiàn)20,2，過點(diǎn)F2的直線與CA.x29+y25=1 5.已知橢圓x23m+y2A.12 B.2 C.22 .6.(2024·九省適應(yīng)性測試)若橢圓x2a2+y2=1(a>1)的離心率為12,則a=(A.233 B.2 C.3 D7.“0<a<1，A.充要條件 B.必要不充分條件C.充分不必要條件 D.既不充分也不必要條件8.已知F1,F2分別是橢圓E：x29+y2A.17 B.5 C.10 D.11綜合提升練9.（多選題）已知F1,F2分別是橢圓C：x2A.橢圓C的離心率為22 B.C.52?5≤P10.（多選題）已知橢圓C：x216+y29=1的左、右焦點(diǎn)分別為F1A.橢圓C的焦點(diǎn)在x軸上 B.△PFC.PF1的取值范圍為[94，4)11.已知橢圓C：x2a12.已知橢圓C的兩個焦點(diǎn)分別為F1?3,0，F(xiàn)2應(yīng)用情境練13.在天文學(xué)上，航天器繞地球運(yùn)行的橢圓軌道上距離地心最遠(yuǎn)的一點(diǎn)稱為遠(yuǎn)地點(diǎn)，距離地心最近的一點(diǎn)稱為近地點(diǎn)，遠(yuǎn)地點(diǎn)與地球表面的最短距離稱為遠(yuǎn)地點(diǎn)高度，近地點(diǎn)與地球表面的最短距離稱為近地點(diǎn)高度.已知某航天器的運(yùn)行軌道是以地心為一個焦點(diǎn)的橢圓，地球（視為一個球體）的半徑為R，若該航天器的遠(yuǎn)地點(diǎn)高度為5R，所在橢圓軌道的離心率為15，則該航天器的近地點(diǎn)高度為14.古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼奧斯在研究圓錐曲線時發(fā)現(xiàn)了它們的光學(xué)性質(zhì).比如橢圓，他發(fā)現(xiàn)如果把橢圓焦點(diǎn)F一側(cè)做成鏡面，并在F處放置光源，那么經(jīng)過橢圓鏡面反射的光線都會經(jīng)過另一個焦點(diǎn).如圖所示，設(shè)橢圓方程x2a2+y2b2=1a>b>0,創(chuàng)新拓展練15.已知橢圓C的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在y軸上，F(xiàn)1，F(xiàn)2為C的兩個焦點(diǎn)，C的短軸長為4，且C上存在一點(diǎn)P，使得PF116.[2024·長沙模擬]如圖，橢圓C:x2a2+y24（1）過橢圓上一點(diǎn)P和原點(diǎn)O作直線l交圓O于M，N兩點(diǎn)，若PF1P（2）過圓O上任意一點(diǎn)R引橢圓C的兩條切線，求證：兩條切線相互垂直.2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)-8.5.1-橢圓及其性質(zhì)-專項(xiàng)訓(xùn)練【解析版】基礎(chǔ)鞏固練1.已知點(diǎn)P在橢圓E：4x2+y2=16上，F(xiàn)1，A.5 B.6 C.7 D.8[解析]由橢圓E：4x2+y2=16，即由橢圓定義可知PF2+P故選A.2.已知F1，F(xiàn)2是橢圓C：x29+y2A.14 B.16 C.8+27[解析]由題可知a=4，c=a2?b2=73.已知橢圓x2+y2m=1A.2 B.1 C.14 [解析]由條件可知，a2=m，b2=1，故選D.4.已知橢圓C的焦點(diǎn)為F10,?2，F(xiàn)20,2，過點(diǎn)F2的直線與C交于AA.x29+y25=1 [解析]依題意得{c=2,因?yàn)闄E圓C的焦點(diǎn)在y軸上，所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為y29+x5.已知橢圓x23m+y2m=A.12 B.2 C.22 [解析]由題意,得m>0，a2=3m,b2=m，則6.(2024·九省適應(yīng)性測試)若橢圓x2a2+y2=1(a>1)的離心率為12,則a=(A.233 B.2 C.3 D[解析]由題意得e=a2-1a=12,解得7.“0<a<1，0<A.充要條件 B.必要不充分條件C.充分不必要條件 D.既不充分也不必要條件[解析]當(dāng)a=b=14時，滿足“0<a<1，0<b<1”，此時題中方程可化為x2+y2=4,其表示的曲線是圓而不是橢圓；當(dāng)a=1,b=4時，故“0<a<1，0<b<1”是“方程a8.已知F1,F2分別是橢圓E：x29+y25=A.17 B.5 C.10 D.11[解析]由橢圓E的方程知，a=3，c=a2?由橢圓的定義知，PF所以PF又QF所以PF1+PQ≤11，當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)F2即PF1+PQ的最大值為綜合提升練9.（多選題）已知F1,F2分別是橢圓C：x250+A.橢圓C的離心率為22 B.C.52?5≤P[解析]依題意得a=52，b則PF1+PF2=2a=102，橢圓C∵a?c≤PF1≤當(dāng)點(diǎn)P位于短軸的端點(diǎn)時，∠F1PF2取得最大值，此時PF1=PF2=a=52，F(xiàn)1F10.（多選題）已知橢圓C：x216+y29=1的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)A.橢圓C的焦點(diǎn)在x軸上 B.△PFC.PF1的取值范圍為[94，4)[解析]對于A，由橢圓C的方程可知，橢圓C的焦點(diǎn)在x軸上，故A正確；對于B，因?yàn)閏=16?9=7，所以△PF1對于C，因?yàn)辄c(diǎn)P不在x軸上，所以a?c<PF1<a+c，所以對于D，設(shè)橢圓C的上頂點(diǎn)為B，則0≤∠F1PF2≤∠F1BF2<π2，所以tan∠F1PF2的最大值為tan∠F1BF2,設(shè)∠OB11.已知橢圓C：x2a2+[解析]由題意可得，橢圓C的長軸長2a、短軸長2b、焦距2c成等比數(shù)列，所以2b2=2a?2c，即b2=ac=a2?12.已知橢圓C的兩個焦點(diǎn)分別為F1?3,0，F(xiàn)23,0，為了使橢圓[解析]根據(jù)橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)可知，c=3，且焦點(diǎn)在x軸上，若要使橢圓C的方程為x225+y216=1，應(yīng)用情境練13.在天文學(xué)上，航天器繞地球運(yùn)行的橢圓軌道上距離地心最遠(yuǎn)的一點(diǎn)稱為遠(yuǎn)地點(diǎn)，距離地心最近的一點(diǎn)稱為近地點(diǎn)，遠(yuǎn)地點(diǎn)與地球表面的最短距離稱為遠(yuǎn)地點(diǎn)高度，近地點(diǎn)與地球表面的最短距離稱為近地點(diǎn)高度.已知某航天器的運(yùn)行軌道是以地心為一個焦點(diǎn)的橢圓，地球（視為一個球體）的半徑為R，若該航天器的遠(yuǎn)地點(diǎn)高度為5R，所在橢圓軌道的離心率為15，則該航天器的近地點(diǎn)高度為3R[解析]設(shè)橢圓的長半軸長為a，短半軸長為b，半焦距為c，則由題意，可知ca=15,a+14.古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼奧斯在研究圓錐曲線時發(fā)現(xiàn)了它們的光學(xué)性質(zhì).比如橢圓，他發(fā)現(xiàn)如果把橢圓焦點(diǎn)F一側(cè)做成鏡面，并在F處放置光源，那么經(jīng)過橢圓鏡面反射的光線都會經(jīng)過另一個焦點(diǎn).如圖所示，設(shè)橢圓方程x2a2+y2b2=1a>b>0,F1[解析]由橢圓的光學(xué)性質(zhì)可知，BC,AD都經(jīng)過點(diǎn)F1，且在△ABF1中，∠BAF1=90°，tan∠由橢圓的定義可知3k+4k+5k又AF可得AF在Rt△AF1F2所以F1F2=創(chuàng)新拓展練15.已知橢圓C的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在y軸上，F(xiàn)1，F(xiàn)2為C的兩個焦點(diǎn)，C的短軸長為4，且C上存在一點(diǎn)P，使得PF1=6[解析]根據(jù)題意可設(shè)C的方程為x2b2+y2a2=1a>b所以2a7≥a?因?yàn)闄E圓C的短軸長為4，即2b=4，解得由ca≥57，可得1所以橢圓C其中的一個標(biāo)準(zhǔn)方程為x216.[2024·長沙模擬]如圖，橢圓C:x2a2+y24（1）過橢圓上一點(diǎn)P和原點(diǎn)O作直線l交圓O于M，N兩點(diǎn)，若PF1P（2）過圓O上任意一點(diǎn)R引橢圓C的兩條切線，求證：兩條切線相互垂直.[解析]（1）如圖，設(shè)Px0,y0，由于而PF1PF所以x02+y因?yàn)镺M=ON,所以（2）設(shè)Rm,n，則m2設(shè)當(dāng)過