高數(shù)重要知識(shí)點(diǎn)習(xí)題

高數(shù)重要知識(shí)點(diǎn)習(xí)題 單元一:概念 2單元二:偏導(dǎo)與全微分計(jì)算 3單元三:隱函數(shù)求導(dǎo)(方程或方程組) 5單元四:二元極值 7單元五:交換二次積分次序 9單元六:二重積分計(jì)算 單元七:二重積分應(yīng)用 單元一:收斂定義 單元二:數(shù)項(xiàng)級數(shù)審斂 單元三:冪級數(shù) 單元四:傅里葉級數(shù) 單元二:解析幾何 單元三:偏導(dǎo)數(shù)的幾何應(yīng)用 單元四:方向?qū)?shù)與梯度 單元一:三重積分計(jì)算 單元二:三重積分應(yīng)用 單元三:第一類線面積分計(jì)算 單元四:第一類線面積分應(yīng)用 單元六:積分與路徑無關(guān)性 單元八:第二類線面積分應(yīng)用 第五講:多元微分與二重積分單元一:概念A(yù):連續(xù)不可導(dǎo);D:全微分存在EQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up19(x2),x2)EQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up19(y2),y2)EQ\*jc3\*hps36\o\al(\s\up18(0),0)A:連續(xù)不可導(dǎo);D:全微分存在x3A:連續(xù)不可導(dǎo);D:全微分存在4.f=(x2+y2)F(x,y),其中F在含點(diǎn)(0,0)的鄰域內(nèi)有界,那么f在點(diǎn)(0,0)處:[D]C:可導(dǎo)連續(xù)不可微;D:全微分存在5.設(shè)Q(x,y)連續(xù),F(x,y)=x-yQ(x,y),研究F(1x2+y2201x2+y220在點(diǎn)(0,0)可微,但偏導(dǎo)不連續(xù).22喻02喻02222x2x20不連續(xù)]單元二:偏導(dǎo)與全微分計(jì)算22EQ\*jc3\*hps35\o\al(\s\up13(δ),δ)EQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up14(2),x)EQ\*jc3\*hps35\o\al(\s\up13(x),x))2nf(,),f(u,n1fxn2yf',u=xn1f'—f,u=f2xyf'f+2y2f'xf2yf2f(x2y2)的解.其中x++pEQ\*jc3\*hps35\o\al(\s\up12(δ),δ)EQ\*jc3\*hps35\o\al(\s\up12(u),x)EQ\*jc3\*hps35\o\al(\s\up12(δ),δ)EQ\*jc3\*hps35\o\al(\s\up12(u),y)EQ\*jc3\*hps35\o\al(\s\up12(δ),δ)EQ\*jc3\*hps35\o\al(\s\up12(u),z)ξf(u)du,求:.[z=yf(xy)-f(x-y),z=f(xy)+xyf'(xy)+f'(x-y)]"]x[略][=a(βf"-μf")+λ(βf"-μf")]EQ\*jc3\*hps35\o\al(\s\up12(δ),δ)EQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up13(2),y)單元三:隱函數(shù)求導(dǎo)(方程或方程組)EQ\*jc3\*hps35\o\al(\s\up12(x),z)EQ\*jc3\*hps35\o\al(\s\up12(δ),δ)EQ\*jc3\*hps35\o\al(\s\up12(z),x)EQ\*jc3\*hps35\o\al(\s\up12(δ),δ)EQ\*jc3\*hps35\o\al(\s\up12(z),y)-,dz=—EQ\*jc3\*hps36\o\al(\s\up7(F),1)EQ\*jc3\*hps21\o\al(\s\up7(F'),2)f'dy)]abf'[FEQ\*jc3\*hps35\o\al(\s\up12(z),y)EQ\*jc3\*hps35\o\al(\s\up12(1),y)EQ\*jc3\*hps35\o\al(\s\up12(z),x2)EQ\*jc3\*hps35\o\al(\s\up12(1),x)EQ\*jc3\*hps35\o\al(\s\up12(δ),δ)EQ\*jc3\*hps35\o\al(\s\up12(z),x)EQ\*jc3\*hps35\o\al(\s\up12(δ),δ)EQ\*jc3\*hps35\o\al(\s\up12(z),y)xEQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up12(1),z)=─]EQ\*jc3\*hps35\o\al(\s\up11(dx),x)EQ\*jc3\*hps35\o\al(\s\up11(dy),y)2z2-EQ\*jc3\*hps35\o\al(\s\up25(a),x)ye-ay-f'(a)=EQ\*jc3\*hps35\o\al(\s\up9(1),x)δxδyx2x222-z2lnx2y]單元四:二元極值1.求函數(shù)f(x,y)=4(x-y)-x2-y2的極值點(diǎn).|lfy=(6x-x2)(4-2y)|lfy=(6x-x2)(4-2y)22-zy有無窮個(gè)極大值而無極小值EQ\*jc3\*hps35\o\al(\s\up13(z),z)EQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up2(x),y)y-2)(非極值)]MM2l2x22滿足:x2f0=]7.經(jīng)過點(diǎn)(1,1,2)的平面與三個(gè)坐標(biāo)面在第一卦限內(nèi)可圍成四面體，求體積最小值EQ\*jc3\*hps36\o\al(\s\up13(1),a)EQ\*jc3\*hps36\o\al(\s\up13(1),b)EQ\*jc3\*hps36\o\al(\s\up13(2),c)EQ\*jc3\*hps36\o\al(\s\up13(1),3)4EQ\*jc3\*hps36\o\al(\s\up15(z),z)EQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up4(x),y)EQ\*jc3\*hps36\o\al(\s\up15(2),1)EQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up12(y2),4)EQ\*jc3\*hps35\o\al(\s\up23(2),1)EQ\*jc3\*hps37\o\al(\s\up24(xλ),λ)EQ\*jc3\*hps35\o\al(\s\up23(0),0)min22下32大值與極小值之和EQ\*jc3\*hps36\o\al(\s\up14(A),B)A+λBB=0EQ\*jc3\*hps36\o\al(\s\up15(B),C)2EQ\*jc3\*hps36\o\al(\s\up15(1),λ)EQ\*jc3\*hps38\o\al(\s\up16(π),C)EQ\*jc3\*hps36\o\al(\s\up17(A),B)EQ\*jc3\*hps36\o\al(\s\up17(B),C)單元五:交換二次積分次序.1.設(shè)函數(shù)f(x,y)連續(xù),交換積分次序:λBππ]AC-B21f(x,y)dy[πf(x,y)dx]2(2)I=1x2f(x,y)dy[1y2f(x,y)dx]f(x,y)dx[dx(3)I=2xf(x,y)dx[dxy2y2y2y24yf(x,y)dx[4x2f(x,y)dy]22xf(xy)dy[2xx-[I=y2--2lnxdx+2lnxdx[I=x1EQ\*jc3\*hps21\o\al(\s\up12(1),2)EQ\*jc3\*hps21\o\al(\s\up12(y),x)EQ\*jc3\*hps21\o\al(\s\up12(y),x)y[I=xEQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up11(y),x)bf(x)dx.b—2aaf(x)Daaf(y)2f(y)f(x)[I=b—aaf(y)2f(y)f(x)bf(x)f(y)dy=1[∫bf(x)dx]2.abf(x)f(y)dxdy=右式]bf(x)f(y)dxdy<1[f2(x)+f2(y)]dxdy=右式][f(x)-f(y)]2dxdy=∫∫[f2(x)+f2(y)-2f(x)f(y)]dxdy]單元六:二重積分計(jì)算xD11-y2[I=EQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up0(k),5)[“y〞奇函數(shù)Dx2[I=為頂點(diǎn)的三角形.EQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up14(1),3)[I=dσ(a>0),其中D由圓心在點(diǎn)(a,a),半徑為a,且與坐標(biāo)軸相切的圓的較D短一段弧和坐標(biāo)軸所圍的區(qū)域.EQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up9(3),2)D[I=EQ\*jc3\*hps22\o\al(\s\up12(π),2)2D[I=2x33D-yD2-y3yyDy32(y221-xlxy2y2ylxy2yEQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up11(3),2)D[D為無界域,I=12x-x21-]EQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up11(3),2)1xf(x)dx0D1f(u)du(x2EQ\*jc3\*hps22\o\al(\s\up12(π),2)r3EQ\*jc3\*hps22\o\al(\s\up12(π),2)EQ\*jc3\*hps21\o\al(\s\up13(π),2)22DEQ\*jc3\*hps21\o\al(\s\up5(π),2)EQ\*jc3\*hps21\o\al(\s\up5(π),2)2DEQ\*jc3\*hps21\o\al(\s\up11(π),2)x2+y2D2[I=EQ\*jc3\*hps22\o\al(\s\up7(π),2)2x2DEQ\*jc3\*hps35\o\al(\s\up11(1),3)EQ\*jc3\*hps35\o\al(\s\up11(1),9)[I=EQ\*jc3\*hps21\o\al(\s\up12(π),4)3cEQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up11(n),s)EQ\*jc3\*hps21\o\al(\s\up12(EQ\*jc3\*hps35\o\al(\s\up11(1),3)EQ\*jc3\*hps35\o\al(\s\up11(1),9)D0x2+y2x2+y22,其他f(x,y)dσDEQ\*jc3\*hps21\o\al(\s\up5(π),2)4D[I=EQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up0(cos),0)EQ\*jc3\*hps35\o\al(\s\up13(c),c)EQ\*jc3\*hps37\o\al(\s\up13(osθ),osθ)EQ\*jc3\*hps35\o\al(\s\up13(s),s)EQ\*jc3\*hps35\o\al(\s\up13(i),i)EQ\*jc3\*hps35\o\al(\s\up13(n),n)EQ\*jc3\*hps37\o\al(\s\up13(θ),θ)EQ\*jc3\*hps35\o\al(\s\up13(1),2)EQ\*jc3\*hps35\o\al(\s\up13(c),c)EQ\*jc3\*hps35\o\al(\s\up13(o),o)EQ\*jc3\*hps35\o\al(\s\up13(s),s)EQ\*jc3\*hps37\o\al(\s\up13(θ),θ)EQ\*jc3\*hps35\o\al(\s\up13(-si),+si)EQ\*jc3\*hps35\o\al(\s\up13(n),n)EQ\*jc3\*hps37\o\al(\s\up13(θ),θ)EQ\*jc3\*hps35\o\al(\s\up12(1),4)EQ\*jc3\*hps35\o\al(\s\up12(c),c)EQ\*jc3\*hps35\o\al(\s\up12(o),o)EQ\*jc3\*hps35\o\al(\s\up12(s),s)EQ\*jc3\*hps35\o\al(\s\up12(θ一s),θ+s)EQ\*jc3\*hps35\o\al(\s\up12(i),i)EQ\*jc3\*hps35\o\al(\s\up12(n),n)EQ\*jc3\*hps37\o\al(\s\up12(θ),θ)EQ\*jc3\*hps35\o\al(\s\up12(c),c)EQ\*jc3\*hps35\o\al(\s\up12(o),o)EQ\*jc3\*hps35\o\al(\s\up12(s),s)EQ\*jc3\*hps37\o\al(\s\up12(θ),θ)EQ\*jc3\*hps35\o\al(\s\up12(一si),+si)EQ\*jc3\*hps35\o\al(\s\up12(n),n)EQ\*jc3\*hps37\o\al(\s\up12(θ),θ)EQ\*jc3\*hps35\o\al(\s\up12(1),2)fdσEQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up20(D),1)DDf連續(xù),且f(x,y)=1x2y2-8f(u,v)dudv,求f(x,y)πD[adxdy--DDEQ\*jc3\*hps22\o\al(\s\up11(π),2)1r2rdraEQ\*jc3\*hps29\o\al(\s\up12(π),2)f(x,y)=11x2y2單元七:二重積分應(yīng)用D一半,求ba2x2y2-DEQ\*jc3\*hps21\o\al(\s\up5(π),2)第六講:無窮級數(shù)單元一:收斂定義u也收斂.n2n-11a-an-na收斂,并求和.[另解:Σ(1-x)ndx=4.{na}收斂,又Σn(a-a)收斂,證明:Σa收斂.[S*P,過P作y軸平行線交拋物線于Q,再過Q作拋物線的切線得P,這樣無限作下去,n-1EQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up10(n),1)Σn-14n-1nn3+Σ+Σ單元二:數(shù)項(xiàng)級數(shù)審斂nn偽vnnn(-nn(-1)nnn1-]nEQ\*jc3\*hps29\o\al(\s\up12(π),4)ΣnΣEQ\*jc3\*hps35\o\al(\s\up13(a),n)1n1,-a(1)假設(shè)Σbn收斂,那么Σa[ba<ab]-an-1+偽a發(fā)散,那么Σbn-1n-2(1)級數(shù)Σ(a-a)絕對收斂;(2)數(shù)列{a}收斂.nn-1n5.假設(shè)級數(shù)Σ偽n[D]A:Σn1n[C][[A:Σ偽偽Σ[C]A:絕對收斂;B:條件收斂;C:發(fā)散;D:收斂性與a的取值有關(guān)8.考察以下正項(xiàng)級數(shù)的斂散性(1)ΣEQ\*jc3\*hps21\o\al(\s\up6(1),2)-nn2+1ΣnEQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up10(1),n)Σn00Σ1Σ+偽Σ+偽Σ+偽Σ.n!.nlnn或un∫EQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up4(1),n)—2n1[u～-1-收斂]nnn[=nnlnnn9.考察以下交錯(cuò)級數(shù)的斂散性(1)Σ～—:條件收斂]CC(-1)n-1(-1)n-1s-2-+-++-+[bn24n-1Σ偽n發(fā)散常原級數(shù)發(fā)散]+偽Σ(u-u)=Σ+偽(-1)n+1u收斂]1<-(唯一)偽偽--;a-1Σana4nna-1a4-1單元三:冪級數(shù)(1)x2n-1;[lim[uuun13n+1n+1(2)Σ(n!)2──x2n一(n!)2.[lim[uuun2lim22-]2偽n2的收斂半徑為:R3.Σaxnnn的收斂區(qū)間.4.求冪級數(shù)的收斂域:(1)Σn(2)Σn(3)Σxnn1-++ 1-++[lim[limnn5.將以下函數(shù)展開成x的冪級數(shù),并指明展開式成立的范圍Σ=Σ0[f(x)=x2n)dx=Σ偽(5)f(x)=[f(x)=___偽xn)'Σxnn,xe(1,1)]Σ]n(4x2)n2偽,xe[1,1],Σ+偽9.求冪級數(shù)的收斂域及和函數(shù)(1)Σ+偽(2)Σ+偽+偽(3)Σ+偽(4)Σnn──]3(x2nn!──x2nn!2偽nx2)]n!Σx2)'2x2]n!nn(5)Σnn(6)Σn.nΣn=x(Σ偽n!n!(7)Σ2n[Ωtx2]n!n!xe2t20n-ΣnΣn偽(Σ](1)Σ偽1Σn(2)nΣn--]xΣ]22nnn1limnnnn──;x1x1xx單元四:傅里葉級數(shù)01.設(shè)函數(shù)f(x)以2為周期,它在一個(gè)周期內(nèi)的表達(dá)式為:f(x)23記S(x)為f(x)的傅立葉級數(shù)的和函數(shù)220x-2242.函數(shù)f(x)2.函數(shù)f(x)以2為周期,它在[,)上的表達(dá)式為:f(x),將f(x)在[,]上展開成傅立葉級數(shù),并由收斂定理求該級數(shù)的和函數(shù).[ann～-—f(x)xnf(x)xn3.將f(x)x,0x[,)2x[,]展開成Fourier級數(shù),并求:1.[2]--2在(,)內(nèi)的Fourier級數(shù)2x25.把f(x)10x,x[5,15]展開成傅立葉級數(shù),并指明展開式成立的范圍6.設(shè)f(x)是以2為周期的連續(xù)函數(shù),a,b為其傅立葉系數(shù),求函數(shù):F(x)-1f(t)f(xt)dt傅立葉系數(shù):A,B[F連續(xù),周期為2]f(t)f(xt)dtdx-1f(t)-1f(xt)cosnxdxdtnnBsinnx-f(t)f(xt)dtdx-1f(t)-1f(xt)sinnxdxdtBnn-π-π單元一:向量代數(shù)2ξ2ζ222η2ζ)2ξ2ζ0(1)A」B;(2)以A與B為鄰邊的平行四邊22L55 單元二:解析幾何角,求直線L的方程.8==]001(a|13EQ\*jc3\*hps35\o\al(\s\up14(a),a)23b1b222b333)|)|L:3=3=3與L:1=1=1的位置關(guān)系.5.設(shè)動(dòng)點(diǎn)M(x,y,z)到xoy面的距離與其到定點(diǎn)(1,一1,1)的距離相等,M的軌跡為Σ,假設(shè)ly2ly222單元三:偏導(dǎo)數(shù)的幾何應(yīng)用f(y-z)在任一點(diǎn)的切平面都與直線x=y=z平行.[n=(1,f',-1-f'),n.(1,1,1)=0]x2+y22.-z2=3上點(diǎn)P處的切平面垂直于直線x=y=z,假設(shè)P在第三2x=22=z-1繞x軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)面的方程,并求該旋轉(zhuǎn)面在點(diǎn)(0,-2,1)1處的切平面方程.2+y2-z2=27的切平面,求此切平面方程OM.其中f可