電子科大matlab期末開(kāi)卷

設(shè)數(shù)a是精確值，x是。的一個(gè)近似值，

,絕對(duì)誤差（absoluteerror）：真實(shí)值與近似值差的絕對(duì)值。

?相對(duì)誤差（relativeerror）：絕對(duì)誤差與精確值之比（如果精確值未知，計(jì)算時(shí)用近

似值代替）。

?絕對(duì)誤差限（精度，accuracy）：絕對(duì)誤差的范圍；

?相對(duì)誤差限：相對(duì)誤差的范圍；

?真實(shí)值=00123.000456

?要求保留5位有效數(shù)字：00123.00（最前面0不計(jì)，最后0不?。?/p>

?絕對(duì)誤差=|真實(shí)值-近似值|=0.000456,

?相對(duì)誤差=0.000456/00123.000456=3.7073e-006

?保留7位有效數(shù)字：00123.0005（四舍五入）

?絕對(duì)誤差=0.000044<0.00005（絕對(duì)誤差不大于其最末數(shù)字的半個(gè)單位）

?相對(duì)誤差=0.000044/00123.000456=3.5772e-007

?浮點(diǎn)數(shù)是什么數(shù)？

?實(shí)數(shù)？有理數(shù)？有限小數(shù)？

?有多少個(gè)不同的浮點(diǎn)數(shù)？

?28（64位，每位有兩個(gè)狀態(tài)，"0"和"1"）

?浮點(diǎn)數(shù)是由2s4個(gè)有限小數(shù)（包含整數(shù)）構(gòu)成的集合？

?錯(cuò)。IEEE定義了一些異常值，inf（無(wú)窮）和NaN（“非數(shù)字”）

?浮點(diǎn)數(shù)精度是多少？（絕對(duì)誤差限）

?esp=252=2.2204E-16

-最大的浮點(diǎn)數(shù)是多少？

?realmax=（2-esp）X21023=1.7977E+308

-最小的浮點(diǎn)數(shù)是多少？

?realmax=-1.7977E+308

?最小的正浮點(diǎn)數(shù)是多少？

?realmin=21022X2-52=4.9407e-324

?避免相近二數(shù)相減易減小有效數(shù)字

?避免小分母：分母小會(huì)造成浮點(diǎn)溢出

?求和時(shí)從小到大相加，可使和的誤差減小

?簡(jiǎn)化計(jì)算步驟，減少運(yùn)算次數(shù)，避免誤差積累。

?選用穩(wěn)定的算法

?eps是/的絕對(duì)誤差限

,eps是f的精度

?浮點(diǎn)數(shù)的絕對(duì)誤差不同；浮點(diǎn)數(shù)絕對(duì)值越大，絕對(duì)誤差越大。

?浮點(diǎn)數(shù)的相對(duì)誤差不大于eps,

?Matlab中“null”函數(shù)可計(jì)算欠定方程Ax=0的基礎(chǔ)解系。

?Matlab中的“\"可計(jì)算方程的特解。

?性質(zhì)1：若A的所有順序主子式均不為0,則高斯消元無(wú)需換行即可進(jìn)行到底，得到

唯一解。

?性質(zhì)2：只要A非奇異，即A-1存在，則可通過(guò)逐次消元及行交換，將方程組化

為三角形方程組，求出唯一解。

?1.上（下）三角方陣的行列式的值等于對(duì)角線元素的乘積；

?2.上（下）三角方陣的轉(zhuǎn)置為下（上）三角矩陣；

?3.上（下）三角方陣的逆矩陣為（上）三角矩陣，且對(duì)角元是原三角矩陣對(duì)角元

的倒數(shù)；

?4.兩個(gè)上（下）三角方陣的乘積也是上（下）三角矩陣，且對(duì)角元是原三角矩陣

對(duì)角元的乘積。

?1

例：計(jì)算迭代方程2=：p“一1-p”.2,加廣〃=2,3,...A=6

該迭代方程存在解析解，7

Pn=G（；）"+c?3"

14

其中，Ci，C2由Po和Pl的取值決定,列和

如果取Po=1和Pl=所以，行和范數(shù)ML為24,列和范數(shù)MIL為16

貝"凡=lx（；）"+0x3"114=Aax（^）=16.7197

但是由于精度有限，

算子范數(shù)與其對(duì)應(yīng)的向量范數(shù)相容,即網(wǎng)一引“"磯2,8

如果取p（）=1和[P=（）.33333,

則凡=1X（；）"+0.125x1（）4x3"網(wǎng)=皿胃=＞加|國(guó)硼*||

誤差為：

e=0.125x1（）5x3”

矩陣A的譜半徑記為0（4=嗯*41,其中4?為A的特征根。且班（A）411Ali

若A對(duì)稱矩陣，則有||AII2=p（A）

若原始數(shù)據(jù)有很小的變化6x,對(duì)應(yīng)的輸出變化6y也很小，則稱該數(shù)學(xué)問(wèn)題

是良態(tài)問(wèn)題：

-若8y很大，則稱為病態(tài)問(wèn)題

病態(tài)問(wèn)題中，結(jié)果對(duì)于數(shù)據(jù)的變化率都很大（很敏感），因此數(shù)據(jù)微小變化

必將導(dǎo)致參數(shù)模型精確解的很大變化

-數(shù)學(xué)問(wèn)題的病態(tài)問(wèn)題完全取決于該數(shù)學(xué)問(wèn)題本身的屬性，在采用數(shù)值方法求

解之前就存在，與數(shù)值方法無(wú)關(guān)。

問(wèn)題一：b存在擾動(dòng)：

-給定方程組Ax=b,其解為x*,k*一斗MM上帆同

另給定包含誤差方程組Ax=b+e,其解為分析其誤差_11111

問(wèn)題二，A存在擾動(dòng)：WTT-wm"W

-給定方程組Ax=b,其解為x*,

-給定包含誤差方程組（A+E）x=b,其解為，，分析誤差CA+E可逆）

富業(yè)/+憫VIIA-1IlliEII/=(/士B)(I±Bp=(/土BY'±B(I±BY'

A-WM1-IIA''￡II

==I+B(I±B)-1

HATIIIIAII㈣

nll(Z±B)-|ll<l+IISII-ll(7+B)-1II

<IIAII?IIA-1IlliAIIH

nII(/±B)-1II(1-IIBII)<1

IIAII

\-\\A-'IlliAII

問(wèn)題三，A,b都存在擾動(dòng)JA"n(/±5)'ll<---

、)II1-IIfill

-給定方程組Ax=b,其解為x*,

另給定包含誤差方程組（A+E）x=b+e,其解為x,,分析誤差

野的鳥(niǎo)-嗯+得

IIAII

￡件數(shù):所取的矩陣范數(shù)有關(guān)。]對(duì)任何非奇異矩陣AeMAR]

帚用本件數(shù)有.2.對(duì)非奇異矩陣A和常數(shù)CHO,有c、o〃d(cA)=co〃d(A)

⑴cond(A,oo)=PLP,lL3.對(duì)正交矩陣A,2-范數(shù)對(duì)應(yīng)的條件數(shù)co〃d(A,2)=1

l4面(AZ)

⑵cond(A,2)=||A||2p-||2=

|A』同為該方程對(duì)應(yīng)于該(相容)?矩陣范數(shù)的條件數(shù)

當(dāng)條件數(shù)很大時(shí),方程組Ax=b是病態(tài)問(wèn)題。條件數(shù)是矩陣的特征，與算法無(wú)關(guān)。條件數(shù)與

所選擇的范數(shù)有關(guān)，不同范數(shù)計(jì)算的條件數(shù)不同。

迭代法基本原理：如果迭代序列｛x"*"=/(x">)｝收斂，則其極限點(diǎn)為方程f(x)=x的

解

?迭代公式的構(gòu)建：

將方程Ax=b改寫(xiě)為：x=Mx+c,/W稱為迭代矩陣

迭代公式一(Jacobi迭代

+++=乂=42%2+歷3%+…&

a^XxanXi-a[?x?b\

+++=X=+…+兒忒“+&

a2xXia22X2'a2?xnb22

a?yX+aX2+---+ax,^b?+++++

illimx?=b?txibn2X2b??,X3---g?

定義對(duì)角矩陣：

Jacobi迭代公式為：x(k+l)=Mx{k)+g

Zioo-

M

。=o...o

g=D~]b

00a

利用Jacobi迭代求初程組

0.8

也=-zrg+u)=

U.o0

gj=—。一/=(0.2,0.2尸

迭代公式三(Gauss-Seidel迭代)

一般認(rèn)為新近似解要比老近似解更接近真實(shí)解，將已計(jì)算出的x<*">分量替換Jacobi迭代

公式中x⑷相應(yīng)分量即可得到Gauss-Seidel迭代。r..

5—4I

?利用Gauss-Seidel迭代求解方程組A=,b=.

?步驟1、構(gòu)造Jacobi迭代公式L-45JL1.

,00.81T

場(chǎng)一(su)=[o.8=—,%=(0.2,0.21

?步驟2、選擇初值公°)=[0,0.5]

步驟3、利用Jacobi迭代公式計(jì)算一次迭代的第一分量

x；n=[00.8]?！?1。2=。.6

?步驟4、將4，驟，得到的一次迭代的第一分量替換初值的第一分量，計(jì)算一次迭代

的第二分量:0.6

嫂=[0.80]+0.2=0.68

0.5

步驟5、如果第三分量存在，利用一次迭代的第一、二分量計(jì)算第三分量，直到計(jì)算出所有

迭代向量分量。步驟6、重復(fù)步驟3-5,進(jìn)行迭代與々c?。萬(wàn)相比，只需一組工作單元存放近似解。

。42…bj

+l)=+

X2b2lXl''+匕23%，+…+b2fg20°b“

001?.

(Jt+1).(*+l),(A+l)f(A+l)、0000,

+

x?=b?^x^b?2Xi+…

’0000、

A00°

:0

b\bn2…°>

%(%+D=Lx伏+1)+Ux伏)+g

<=>(Z-L)xa+,)=[/xu)+g

=x("D=(/_L)TUx(Q+(/-L)-1g

迭代法求解線性方程組

Gauss-Seidel迭代矩陣

如果用矩陣A來(lái)表示，記

00…0-…-a

0-an-a]31H

a

~2\°0-a23"-~a2n

L=一〃3]一〃32二?U=

,--an-\n

ran\-a?20???0

則L=D'L,U=D-'U

=>I-L=D-'D-D'L=D\D-L)

由x(k+')^U-Ly'Ux{k}+U-LY'g

=>x(k+l)=(D-Ly'Ux(k)+(D-L)~'b

式中矩陣M=(D-LY'U為Gauss-Seide/迭代法的迭代矩陣。

SOR是Gauss-Seidel迭代法的一種加速法。

假設(shè)：V已知，X，+')為Gauss-Seidel迭代法結(jié)果，

定義：Ax=瑞日-%叫則,SO丈迭代法的表達(dá)式為:

-⑹+如

”釗=%⑹+皿=%出+。4旬一切工⑹=壯釗+(G—l)(X*+D—%⑹)

其中，G稱為松弛因子。

當(dāng)G<1時(shí)稱為低松弛；

0)=1是Ga〃ss-Seidel迭代;

co>1時(shí)稱為超松弛法。

超松弛迭代/SOR迭代矩陣第k步迭代誤差公式

根據(jù)高斯迭代法的矩陣表示：

x(k+l)=D-'Lx{k+'y+D-'Ux(k)+D^'b

Ax=x(i+n-x{k}=D-'Lx[k+{>+(D'U)x(k>+D'b-x(k)

*伏釗=心)+如性質(zhì)：x(k)-x=Mk(xw-x^

xw+co(D-'Lx(k+l)+D'Ux(k)+D-'b-x(k))證明：如果存在，則X*滿足：

=(1-o)x(&)+coD'Lx^+&ZTbx")+coD'bx*-Mx+g

因?yàn)椋?。。闿=1,故(/-。。叱廠|與(。-a)L)'存在，有：x*>-x*=Mx(k'')+g-Mx-g

(k+i)(M)

x=(D-a)LY'[(l-co)D+a)U]x">+(￡>-coLY'(ob=M(X-X*)

松弛法的迭代矩陣為：=M2(x(k-2)-x)

M=(D-CDLY'{[\-CD)D+COU]

g=(D-a)Lyla)b

=M\xw-x*)

線性方程組迭代法收斂性：如果絕對(duì)值最大特征值(譜半徑)小于1,則收斂，反之發(fā)散

引理：設(shè)A為〃階方陣,則lim屋=0的充要條件為夕(4)<1。

k—>8

證：充分，性：若夕(A)<1,取￡J-丁)〉0,

定理：設(shè)A為任意八階方陣,

則對(duì)任意正數(shù)￡,存在矩陣存在矩陣范數(shù)||||,使得

范數(shù)II||,使得：Ml歸夕⑷+￡=匕誓^<1

則有:lim||A|p=0

由算子范數(shù)相容性，可得：

由夾逼定理，可得：

limA*=0.

定理：對(duì)任意初始向量x(°>和右端項(xiàng)g,由迭代式k+"=Mx@+g產(chǎn)生的

向量序列｛淤>｝收斂的充要條件是2(M)<L

推論1:對(duì)任意初始向量x⑼和右端項(xiàng)g,若他|<1,

由迭代式/包=Mx?+g產(chǎn)生的向量序列｛/)｝收斂.

xx+2X2-2X3=1

例：對(duì)方程組<xt+x2+x3=2

2xt+2X2+x3=3

討論Jacobi迭代法與Gauss-Seidel送代法的收斂性。

解：求迭代矩陣判別其譜半徑是否小于LJac。初迭代法的迭代矩陣為

B=I-D

23=0

Gauss-Seidel迭代,由因此有4=4=4=0,于是P(8)=o<1,

-100一100所以Jaco初迭代法收斂。

D-L=110=(D-L)-1=-110

2210-21推論2:松弛法收斂的必要條件是0<。<2。

證明：設(shè)松弛法的迭代矩陣M有特征值4,4，…,&。

1000-220-22

因?yàn)閨det(M)|=|2^...2|<[p(M)r

M=(D-L\'U=-11000-1=02-31n

0-21000002由定理，松弛法收斂必有|det(M)|<l

22-2又因?yàn)閨det(A/)|=|(D-0L)[|(1-CD)D+cdj\

特征方程02-23=2(2-2)2=0

\(D-coLy'\=]

002-2

i

特征值為4=0,4=4=2,故2(M)=2>1,所以迭代發(fā)散。|(1-co)D+以/|=(1-o)yaxxa22...ann

=>|det(M)|=|(l-^r|<ln0<刃<2。

定義：若”階方陣A=(旬)滿足|%白￡|%|(z=l,2,L,?)

j=i

博

且至少有一個(gè)，值，使上式中不等號(hào)嚴(yán)格成立，則稱A為弱

對(duì)角占優(yōu)陣。若對(duì)所有i,上式不等號(hào)均嚴(yán)格成立，則稱A

為嚴(yán)格角占優(yōu)陣。

定義：如果矩陣A不能通過(guò)行的互換和相應(yīng)的列互換成

4A2

為形式4=，其中A”，42為方陣，則稱A為不可約。

0^22

'110-'21O-

例：A=110P=/'3>PTAP^011

012011

Gauss-Seidel迭代收斂性

設(shè)有線性方程組4c="下列結(jié)論成立：

1.若A為嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)陣或不可約弱對(duì)角占優(yōu)陣，則

Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法均收斂。

2.若A為嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)陣,0<0W1,則松弛法收斂。

3.若A為對(duì)稱正定陣，則松弛法收斂的充要條件為0<042。

1

22

]_]_

例：Ax=b,A1討論用三種迭代法求解的收斂性O(shè)

22

]_]_

1

1

22

解：因A為對(duì)稱且其各階主子式皆大于零，故A為對(duì)稱正定矩陣。

由判別條件3,Gauss-Seide/迭代法與松弛法(0<。<2)均收斂。

A不是嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)陣，故不能用條件1判斷o

]_j_

0

2'2

Jac。方迭代法的迭代矩陣為8=/-。/=--0--

22

其特征方程

22注意：改變方程組中方程的次序，即將系數(shù)矩陣作行交換,

⑷用=g2L=力3一。/1+工會(huì)改變迭代法的收斂性。

244

22例：Ax-b,A-

][9-4_

（丸-]）（幾+1）=0Jacobi與Gauss-Seide/迭代的迭代矩陣分別為

得4=4=g，4=/，因而p(B)=11010

0

ToT

M=

=>JacoAi迭代法不收斂。915

o0

4

譜半徑分別是p(B)=與,PIM)*,均不收斂。

若交換方程的次序，得Ax=b的同解方程組Ax=K一一

3-109-4

A=A=

9-43-10

4為嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)陣，因而對(duì)方程如4x=Z/用

Jacobi與Gauss-Seide/迭代求解均收斂。

第k步迭代誤差與初始迭代步長(zhǎng)關(guān)系

性質(zhì):x{k>-x*=M\I-My'(x⑻-*)

證明：如果X1存在，則X*滿足：

x(k)-x^M\xw-x)

=Mk[xw-(I-My'g]

=Mk(I-MY'[xw-xw]

定理：設(shè)有迭代公式心+D=M”)+g,若收斂于x*,

則有誤差估計(jì)式：.)-小瑞卜"。)|

證：因夕(M)引故M|wO,于是

根據(jù)事先給定的精度￡,(/_〃)」存在，方程組x=Mx+g有唯一解J,

kmw

可估計(jì)出迭代的次數(shù)k：x^-x*=M(I-M)'[x-x]

)Z:1(0)(,)

lng(l~||A/||)取范數(shù)歸"-X*||<||M||||(/-M)'||||X-X||

1(I)_(0)

k2:/又因?yàn)镸-")華陋(矩陣范數(shù)性質(zhì)5)

代人得—黑―

-00.10.2--0--7.2-

例：若M=0.100.2,3。)=0，八8.3￡<10-4,

0.20.2008.4

則有IML=0.4,卜⑴=8.4

n攵212.932,即需迭代13次才能滿足精度。

第k步迭代誤差與前步迭代步長(zhǎng)關(guān)系

性質(zhì)：一x*=M(/-加尸(/7一”,)

證明：如果X*存在，則x*滿足：

xr=(I-MY'g

xw-x=M(x^-x)

=M[x(k-')-(I-My'g]

=)'[(7-M)X“T)-g]

=M(I-My'[x(k-')-xw]

定理：設(shè)有迭代公式心+"=Mx?)+g,若||M||<l,{x(A)}收斂于x*,則有誤差估計(jì)式:

證：因-x*=M(/-例)“(”」)-/))

當(dāng)||M||不太接近1時(shí)，可用卜7glM*/⑼』嚴(yán)。叫

,鋁產(chǎn)作為停機(jī)準(zhǔn)則。

Jacobi:

例：設(shè)?!非奇異，B為奇異矩陣，證明：co〃d(A)NMil

Mj=(I-D'A),g=D'biMI

Gauss-Seicle:

證明：cond(A)WMh總o|A-B|Wh

1

MCS=(D-L)-'U,g=(D-Ly'h

SOR:

由矩陣相容性,可得:||4-珊A』N『-84」|

MSOR^(D-a)LY'[(,\-a))D+coU]

)

g={D-a>L)'col所以：co〃d(A)>“Ml-

引理：設(shè)4非奇異，B為奇異矩陣山-BA［卜1

證明：反證法：假設(shè)則有：

有：可逆,

即：BA」可逆,

矛盾!

?插值(interpolate)

-已知函數(shù)在出處的值為諱，求f(x),使之滿足：yi=f(X|)

-其中，f(X)為插值函數(shù)，Xi處為插值節(jié)點(diǎn)，插值節(jié)點(diǎn)的區(qū)間稱為插值區(qū)間，

%=f(Xi)為插值條件。

,擬合(fit)

-已知函數(shù)在Xi處的值為諱，求f(x),使之滿足：e=||y「f(Xi)II在給定的

準(zhǔn)則下最小。

?問(wèn)題描述：

-給定插值點(diǎn)<%,Yi>,構(gòu)造多項(xiàng)式函數(shù)Pn(x)=a0+Qi*+ai^+...+ay,使之

滿足：

-PJx/)=y,(i=0,1,2,...,")。

?如何計(jì)算：

多項(xiàng)式由其多項(xiàng)式系數(shù)的,

P/x)Qi,a?,an決定，只需要求解多項(xiàng)式系

數(shù)，即可獲得該插值多項(xiàng)式。

將P.(x,)=%寫(xiě)為矩陣形式可得：

〃“芯+...+°￡+%=%%0

n.,1.k

anx1+...+alxl+aQ=yx王

o

a,X+???+%￡+&=，〃X；

求解該線性方程組即可得到多項(xiàng)式的系數(shù)

?該線性方程組有解嗎，解唯一嗎？唯一性定理：通過(guò)"+1個(gè)節(jié)點(diǎn)的”階插值多項(xiàng)式

存在且唯一

?多項(xiàng)式插值的拉格朗日多項(xiàng)式表示：

?給定插值點(diǎn)<局，y,>,其插值多項(xiàng)式可表示為：

Pn（x）=yoloM+（x）+…+ynln（x）=Zyklk（x）

氏=0

其中，/（0,（X_/）…（工一八1）。_、7）…（.一七）二自（尤_馬）

'（%,.-JC0-X,..,）（x,.-xM-xn）十4（4一%）

j*k

令：0"+i（x）=（x-XO）（X-X1）...（X-X?）

*(xj=(菁一%)...(七一菁_[)(Xj-蒼+1)???(士一當(dāng))

二例+1(X)

則：4（x）

(x-x,.)<yn+1(x,.)

一階插值公式：Io(x)=^^~4(X)=23

Xo-XjXj—x0

x

二階插值公式：鼠尤)=g_須)(％_%)/|(x)=(-x0)(x-x2)

(拓-X|)(小一%2)(X|一%)(王一%)

w=(x-x0)(x-x.)

(%一%)(％2一占)

?例：已知lgl0=l,lgl5=1.1761,lg20=1.3010,利用一次、二次多項(xiàng)式插值計(jì)算Igl2的近

似值。

一階插值，選擇x=10和20則插值基函數(shù)為：

r-20-1r-1()1

/(x)==—(x-20)I.(X)==—(x-10)

0°10-2010120-1010

耳(X)=(x)+M(x)=$(x-20)+(X-10)

二階插值，則插值基函數(shù)為：

(x-15)(x-20)1

/()(x)=---------------=——(龍一15)(x—20)

°(10-15)(10-20)50

(x-10)(x-20)-1

4(x)=(x-10)(%-20)

(15-10)(15-20)25

2=燒瑞加號(hào)$（-0）（15）

P2(X)="(X)+(X)+M(X)

=^U-20)(x-15)

1.1761

H-------(x-10)(x-20)

25

1.3010

4-------(x-10)(x-15)

50

最后得到：

^(12)=1.0602(三位有效數(shù)字)

^(12)=1.0766(四位有效數(shù)字)

log(12)=1.0792

設(shè)函數(shù)y=/(x)的〃階導(dǎo)數(shù)尸")(x)在口，回上連續(xù)，

/"""(X)在(a,b)存在，節(jié)點(diǎn)在/

￡(x)是〃次拉格朗日插值多項(xiàng)式，則對(duì)任意的xw[a,b],

必存一點(diǎn)&w(a,b),使插值余項(xiàng)：

5+1)O/?(n+1)/^\〃

R.(x)〃x)—A(x)=%(“)=口a―)

(n+1)!十U1)=0

n=1時(shí)通常抹知，一般取|尸用)(到的上界,|尸"+D(X)|MM

"=2時(shí)/?,(%)=^^(x-x0)(x-xl)(x-x2)則Wxe(a,b),有誤差小于‘"用『Jlx-丁

05+1)!廿

推論：利用p階多項(xiàng)式插值逼近q階多項(xiàng)式函數(shù)，

若pNq,則該逼近過(guò)程不存在誤差。

證明：嚴(yán))?)三0

一&.41.)1.71V3

已先sin—=—,sin—=一產(chǎn)，sin———

624V232

分別利用sinx的1次、2次Lagrange插值計(jì)算sin50°并估計(jì)誤差

一階插值，選擇X=TZ76和7/4則插值基函數(shù)為：

,、X-KIA1X-7T/61萬(wàn)、.

Pn.ex(x)---------x-+----------x,P<v(——)=0n.77614

17T/6-7T/4271/4-71/67218

一階插值，選擇x=7/4和萬(wàn)/3則插值基函數(shù)為：

4"'(x)=犬一萬(wàn)/3.J+X—萬(wàn)/4.且已"(包)=0.76008

萬(wàn)/4-%/3V2萬(wàn)/3-%/4218

二階插值，插值基函數(shù)為：

5%

PM,P,(——)=0.76543

2218

5萬(wàn)

sin(一)=0.76604,外推誤差：0.01001,內(nèi)插誤差：0.00596,二階誤差：0.00061

18

外推誤差>內(nèi)插誤差>二階誤差

設(shè)2〃+1階多項(xiàng)式為:

2

H(x)=a2llx"+...+axx+aQ

clearall埃爾米特插值的矩陣表示:

則：

H'(x)=2nax2nl++0

?closeall2n

?cic構(gòu)造矩陣可得：

,formatlong

,%插值

?x=[1/6,l/4,1/3]*pi;

?y=[1/2,1/sqrt(2),sqrt(3)/2];

?xx=1/6:1/60:1/3;

?xx=xx*pi;

?xx50=50/180*pi;

,%一階插值-ex

yylex=y(l)*(xx-x(2))/(x(l)-x(2))+y(2)*(xx-x(l))/(x(2)-x(l));

yyl50ex=y(l)*(xx50-x(2))/(x(l)-x(2))+y(2)*(xx50-x(l))/(x(2)-x(l))

%一階插值-in

yylin=丫⑵*(xx-x⑶)/(x(2)-x(3))+y⑶*(xx-x⑵)/(x⑶-x(2));

yyl50in=y(2)*(xx50-x⑶)/(x(2)-x⑶)+y(3)*(xx50-x(2))/(x(3)-x(2))

%%一階插值

%11=(xx-x(2)),*(xx-x(3))/(x(l)-x(2))/(x(l)-x(3));

%12=(xx-x(l)),*(xx-x(3))/(x(2)-x(l))/(x(2)-x(3));

%13=(xx-x(l)),*(xx-x(2))/(x(3)-x(l))/(x(3)-x(2));

%

%yy2=y(l)*11+y(2)*12+y(3)*13;

%

%11=(xx50-x(2)).*(xx50-x(3))/(x(l)-x(2))/(x(l)-x(3));

%12=(xx50-x(l)).*(xx50-x(3))/(x(2)-x(l))/(x(2)-x(3));

%13=(xx50-x(l)).*(xx50-x(2))/(x(3)-x(l))/(x(3)-x(2));

%yy250=y(l)*11+y(2)*12+y(3)*13

figure

holdon

plot(xx*180/pi,sin(xx),'r');

plot(xx*180/pi,yylex,'g');

plot(xx*180/pi,yylin,'black');

%plot(xx*180/pi,yy2,'black');

plot(x*180/pi,y,'b')

設(shè)/、(％)=一二,Xe[-5,5],取/1=2,4,8,10作了(%)的n次插值多項(xiàng)式

1+%

clearall

closeall埃爾米特插值的矩陣表示

cic

%runge

x=-5:1.0:5;

y=l./(l+x.A2);

t=-5:0.05:5;

yO=l./(l+t.A2);

P=polyfit(x,y,10);

yl=polyval(p,t)；

plot(t,yO,x,y,'o',t,yl,'.')

在不少實(shí)際問(wèn)題中，對(duì)插值不但要求在節(jié)點(diǎn)上函數(shù)值相等而且還要求它的導(dǎo)數(shù)值也相等。

數(shù)學(xué)描述：

設(shè)在節(jié)點(diǎn)Q<x0<X]<...<xn<b,.=/(x,.),mi=f(.),?=0,1,2,...,n)

要求插值多項(xiàng)式"(x)滿足：H(x,.)=f(x,.),H(x,.)=m,,(/=0,1,2,.n)

構(gòu)造定理：給定/1(x)wCg,力和〃+1個(gè)不同的節(jié)點(diǎn)如…當(dāng)日。，處則滿足條件:

的最小階多項(xiàng)式為2〃+1階”〃加注插值多項(xiàng)式：

H2n+l(X)=￡"(七)a(x)+/'(X,)用X)]

/=0、

〃1

其中,%(%)=l-2(x-x,.)^-----/,2(x)^.(x)=(x-x,.)/,2(x)

k=QX-X

kwiik)

證明：

步驟一、目標(biāo)：構(gòu)造a,(x)滿足條件：

?,(x;)=0,ai(xj)=0,(iwj),a,.(x,.)=1,a,'(x,)=0

(X-Xo，.(X-X,一|)(X-Xj+J..(X-X“)

由于拉格朗日基函數(shù)Mx)

(X,.-x0-乙|)(%,.-x(+1-x?)

滿足條件：式Xj)=0,(iHj)

構(gòu)造a：(x)=(ax+A)/：(x),則a,(x)為2〃+欣多項(xiàng)式，且滿足條件:

%(Xj)=0,a,'(x/)=0,(/豐j)

為滿足條件：a,(3)=1,a,(x,)=0,則

a,(x,)=(aXj+b)l：(x)=1

a,(x,)=/(%)[〃.(%)+2(ax,.+b)l.(x,)]=0

整理得，axi+b=\,a+2Z;'(x,.)=0

解得：a--21.(3)，h-\+2xJ；(x,.)

a,(x)=(-2/；(七)》+1+2xj(x,.))/；(x)=(1

唯一性定理：Hermite插值存在且唯一。

證：假設(shè)H(x)和〃*(x)均滿足〃erm〃e插值條件，

于是。0)="2"+1(尤)-"*2“+1(》)在節(jié)點(diǎn)*0，.../11Wb,有:

(p(xk)=%“+1g)-H*2“+i(Z)=0,(k=0,1,2,…

。(4)=H2n+l(々)-H'\n+i(4)=0,(k=0,1,2,…,”)

在每個(gè)節(jié)點(diǎn)々上均有二重根，即0(x)有2〃+2個(gè)根。

與。(x)是2n+1次多項(xiàng)式矛盾。

"夕插值余項(xiàng)定理：函數(shù)y=/(X)的2〃+2階導(dǎo)如"""a)在(〃,份存在,

對(duì)任意的工￡[〃,加插值余項(xiàng)

r(2?+2)z匕)

R(x)=/*)-H(x)=M界蘇川(x)

2II+I(2〃+2)!

其中：CDn+l(X)^(X-Xu)(X-X,)...(X-Xn)

Hermite插值也存在Runge現(xiàn)象

已知：x,=1.3,x2-l.6,x3=1.9

X=0.6200,y2=0.4554,%=。2818

y',=-0.5220,y'2=-0.5699,y'3=-0.5811

求插值公式。

步驟1、寫(xiě)出拉格朗日多項(xiàng)式和其導(dǎo)數(shù)：

/0(x)=(x-xj(x-z)502175152100175

=-X-——X+/'O(A-)=---A*■