第四章指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)

第四章指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)

4.4.1對(duì)數(shù)函數(shù)的概念

學(xué)習(xí)目標(biāo)

1.理解對(duì)數(shù)函數(shù)的概念；

2.會(huì)求對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域.

重點(diǎn)難點(diǎn)

重點(diǎn)：理解對(duì)數(shù)函數(shù)的概念

難點(diǎn)：會(huì)求對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域.

即識(shí)梳理

對(duì)數(shù)函數(shù)的概念

函數(shù)y=（?>0,且存1）叫做對(duì)數(shù)函數(shù)，其中—是自變量，函數(shù)的定義域是

學(xué)習(xí)過程

1、問題探究

問題1當(dāng)生物死亡后，它機(jī)體內(nèi)原有的碳14含量會(huì)按確定的比率衰減（稱為衰減率），大約每經(jīng)

過5730年衰減為原來的一半，這個(gè)時(shí)間稱為“半衰期”.按照上述變化規(guī)律，生物體內(nèi)碳14含量與

死亡年數(shù)之間有怎樣的關(guān)系？

設(shè)死亡生物體內(nèi)碳14含量的年衰減率為p,如果把剛死亡的生物體內(nèi)碳14含量看成1個(gè)單位，那

么，死亡1年后，生物體內(nèi)碳14含量為（l-p）；

2

死亡2年后，生物體內(nèi)碳14含量為（l-p）；

3

死亡3年后，生物體內(nèi)碳14含量為（l-p）；

5730

死亡5730年后，生物體內(nèi)碳14含量為（l-p）.

57301j

根據(jù)已知條件，（i-p）=[,從而i-p=G）而，所以p=i-g標(biāo).

設(shè)生物死亡年數(shù)為X,死亡生物體內(nèi)碳14含量為y,那么y=（l-p）",

即y=（（-）573°）,（xc[o,+oo））.

這也是一個(gè)函數(shù)，指數(shù)x是自變量.死亡生物體內(nèi)碳14含量每年都以1-(》而減率衰減.像這樣，

衰減率為常數(shù)的變化方式，我們稱為指數(shù)衰減.因此，死亡生物體內(nèi)碳14含量呈指數(shù)衰減.

在上述問題中，我們用指數(shù)函數(shù)模型研究了呈指數(shù)增長(zhǎng)或衰減變化規(guī)律的問題.對(duì)這樣的問題，在

引入對(duì)數(shù)后，我們還可以從另外的角度，對(duì)其蘊(yùn)含的規(guī)律作進(jìn)一步的研究.

在問題中，我們已經(jīng)研究了死亡生物體內(nèi)碳14的含量y隨死亡時(shí)間

x的變化而衰減的規(guī)律.反過來，已知死亡生物體內(nèi)碳14的含量，如何得知它死亡

了多長(zhǎng)時(shí)間呢？進(jìn)一步地，死亡時(shí)間x是碳14的含量y的函數(shù)嗎？

2、概念建構(gòu)

根據(jù)指數(shù)與對(duì)數(shù)的關(guān)系，由y=(?)康)”(x>0)得到x=log

573鏟。＜yw1).

如圖過y軸正半軸上任意一點(diǎn)(0,%))(0<y0<1)

作x軸的平行線，與y=((|)許)(x>0)

的圖象有且只有一個(gè)交點(diǎn)(殉，y。).

這就說明，對(duì)于任意一個(gè)y￡(0,1],

通過對(duì)應(yīng)關(guān)系x=log5730ry，在[0,+oo)上

都有唯一確定的數(shù)x和它對(duì)應(yīng)，所以x也是y的函數(shù).

也就是說，函數(shù)x=logS730ry(0<y<1)

刻畫了時(shí)間x隨碳14含量y的衰減而變化的規(guī)律.

同樣地，根據(jù)指數(shù)與對(duì)數(shù)的關(guān)系，由丫=。，(a>0,且a#l)

可以得到x=logay(a>0,且a?1),x也是y的函數(shù).

通常，我們用x表示自變量，表y示函數(shù).為此，將x=logay(a>0,且中的字母x和

y對(duì)調(diào)，寫成y=loga\(a>0,且a#1).

對(duì)數(shù)函數(shù)的概念

函數(shù)y=(a>0,且在1)叫做對(duì)數(shù)函數(shù)，其中—是自變量，函數(shù)的定義域是

3、典例解析

題型1對(duì)數(shù)函數(shù)的概念及應(yīng)用

例1(1)下列給出的函數(shù)：①y=log5x+l；

②/=10&r伍>0,且存1);③y=log(《1聲；

@y=-jlogu；⑤y=log小(x>0,且存1);

⑥y=log%其中是對(duì)數(shù)函數(shù)的為()

A.③④⑤B.②④⑥

C.①@?⑥D(zhuǎn).③⑥

(2)若函數(shù)^=10g%-1)%+(42—5a+4)是對(duì)數(shù)函數(shù)，則a=.

(3)已知對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象過點(diǎn)(16,4),則/0)=.

跟蹤訓(xùn)練1.若函數(shù)_/(x)=(“2+a-5)logd是對(duì)數(shù)函數(shù)，貝1］。=.

題型2對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域

例2求下列函數(shù)的定義域.

ayu)=

(2)/(JC)=^=+ln(x+1)；

(3)Ax)=logQ'T)(—4x+8).

跟蹤訓(xùn)練2.求下列函數(shù)的定義域：

(l)f(x)=lg(x-2)(2)/(x)=logv+i(16-4x).

題型3對(duì)數(shù)函數(shù)的應(yīng)用

例3假設(shè)某地初始物價(jià)為1,每年以5%的增長(zhǎng)率遞增，經(jīng)過y年后的物價(jià)為X.

(1)該地的物價(jià)經(jīng)過幾年后會(huì)翻一番？

(2)填寫下表，并根據(jù)表中的數(shù)據(jù)，說明該地物價(jià)的變化規(guī)律.

7

物價(jià)1234568910

年數(shù)y0

達(dá)標(biāo)槍測(cè)

I.下列函數(shù)是對(duì)數(shù)函數(shù)的是()

A.y=2+logKB.y=k>ga(2a)(〃>0,且存1)

2

C.y=logax(6f>0,且。#1)D.y=lnx

2.函數(shù)#%)="或+lg(5-3x)的定義域是()

A.0,§B.0,|C.1,§D.1,|

3.已知y(x)=k>g3X.

⑴作出這個(gè)函數(shù)的圖象；(2)若犬〃)勺(2),利用圖象求。的取值范圍.

課堂4?結(jié)

1.對(duì)數(shù)函數(shù)的概念。

2.求對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域及對(duì)數(shù)函數(shù)的應(yīng)用。

參考答案:

二、學(xué)習(xí)過程

典例1(1)D(2)4(3)-1

［(I)由對(duì)數(shù)函數(shù)定義知，③⑥是對(duì)數(shù)函數(shù)，故選D.

(2)因?yàn)楹瘮?shù)y=log(2“-i)x+(a2—5。+4)是對(duì)■數(shù)函數(shù)，

［267-1>0,

所以(2“一屏1,解得a=4.

［a2—5a+4=0,

(3)設(shè)對(duì)數(shù)函數(shù)為/(x)=k>gHa>0且4聲)，由/16)=4可知log"16=4,/.a=2,

：.J(x)=\og2X,.'.f⑤=bg2：=-1J

跟蹤訓(xùn)練1答案：2

［由a2+a—5=I得a=—3或a=2.又a>0且,所以a=2.J

例2［解］⑴要使函數(shù)段)有意義，則log|r+l>0,BPlogl,v>-1,

解得0a<2,即函數(shù)y(x)的定義域?yàn)?0,2).

式+1>0,

(2)函數(shù)式若有意義，需滿足J2—XK),即

x<2,

、2—中0

解得一l<r<2,故函數(shù)的定義域?yàn)?-1,2).

-4x+8>0,(x<2,

(3)由題意得，2x-l>0,解得《號(hào)，

國(guó)-陽，以

故函數(shù)y=log(2x—l)(—4x+8)的定義域?yàn)椴穦<x<2,且對(duì)1

跟蹤訓(xùn)練2［解］(I)要使函數(shù)有意義，需滿足

解得x>2且左3,

所以函數(shù)定義域?yàn)?2,3)U(3,+OO).

16-4x>0,

(2)要使函數(shù)有意義，需滿足尸+1>0,

.x+陽，

解得一1a<0或0<x<4,

所以函數(shù)定義域?yàn)?-1,0)U(0,4).

例3解：(1)山題意可知，經(jīng)過y年后物價(jià)x為

x=(1+5%y,即％=1.05丫(yG[0,+oo)).

由對(duì)數(shù)與指數(shù)間的關(guān)系，可得yNogi,osX，%e[1,+oo).

由計(jì)算工具可得，當(dāng)x=2時(shí)，yxl4.

所以，該地區(qū)的物價(jià)大約經(jīng)過14年后會(huì)翻一番.

(2)根據(jù)函數(shù)丫=，0陰.05%xG[1,+s).利用計(jì)算工具，可得下表:

物價(jià)Z12345678910

年數(shù)y011232833371()431517

由表中的數(shù)據(jù)可以發(fā)現(xiàn)，該地區(qū)的物價(jià)隨時(shí)間的增長(zhǎng)而增長(zhǎng)，

但大約每增加1倍所需要的時(shí)間在逐漸縮小.

三、達(dá)標(biāo)檢測(cè)

1.【答案】D[結(jié)合對(duì)數(shù)函數(shù)的形式y(tǒng)=bgum>0且存1)可知D正確.]