2024-2025學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué) 第3章 排列、組合與二項(xiàng)式定理 3.1 排列與組合 3.1.1 第1課時(shí) 基本計(jì)數(shù)原理教案 新人教B版選擇性必修第二冊(cè)

2024-2025學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)第3章排列、組合與二項(xiàng)式定理3.1排列與組合3.1.1第1課時(shí)基本計(jì)數(shù)原理教案新人教B版選擇性必修第二冊(cè)主備人備課成員教學(xué)內(nèi)容分析本節(jié)課的主要教學(xué)內(nèi)容是排列與組合。教材的章節(jié)為高中數(shù)學(xué)第3章“排列、組合與二項(xiàng)式定理”中的3.1“排列與組合”。具體內(nèi)容為3.1.1第1課時(shí)“基本計(jì)數(shù)原理教案”。

教學(xué)內(nèi)容與學(xué)生已有知識(shí)的聯(lián)系：學(xué)生在之前的學(xué)習(xí)中已經(jīng)掌握了有理數(shù)的乘方和整數(shù)的乘方，這為理解排列與組合的概念打下了基礎(chǔ)。同時(shí)，學(xué)生也學(xué)習(xí)了函數(shù)、集合等數(shù)學(xué)概念，這些知識(shí)都將有助于學(xué)生對(duì)排列與組合的理解和應(yīng)用。核心素養(yǎng)目標(biāo)分析本節(jié)課的核心素養(yǎng)目標(biāo)主要包括邏輯推理、數(shù)學(xué)建模和數(shù)學(xué)抽象。

首先，通過(guò)學(xué)習(xí)排列與組合的概念和原理，學(xué)生能夠培養(yǎng)邏輯推理能力，能夠從已知的事實(shí)出發(fā)，推導(dǎo)出排列與組合的規(guī)律，理解其內(nèi)在邏輯關(guān)系。

其次，學(xué)生能夠通過(guò)實(shí)例分析和問(wèn)題解決，掌握排列與組合在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用，培養(yǎng)數(shù)學(xué)建模的能力，能夠?qū)?shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題，并利用排列與組合的知識(shí)進(jìn)行解決。

最后，通過(guò)探索排列與組合的性質(zhì)和規(guī)律，學(xué)生能夠抽象出數(shù)學(xué)模型，培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象的能力，能夠從具體的事物中抽象出一般的規(guī)律，并能夠運(yùn)用這些規(guī)律進(jìn)行推理和解決問(wèn)題。學(xué)習(xí)者分析1.學(xué)生已經(jīng)掌握了哪些相關(guān)知識(shí)：在開(kāi)始本節(jié)課之前，學(xué)生應(yīng)該已經(jīng)掌握了有理數(shù)的乘方、整數(shù)的乘方、函數(shù)、集合等數(shù)學(xué)概念。這些知識(shí)將為學(xué)生理解排列與組合的概念打下基礎(chǔ)。同時(shí)，學(xué)生也應(yīng)該具備一定程度的問(wèn)題解決能力和數(shù)學(xué)思維能力，這將有助于他們?cè)趯W(xué)習(xí)排列與組合時(shí)進(jìn)行更好的理解和應(yīng)用。

2.學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣、能力和學(xué)習(xí)風(fēng)格：學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)時(shí)，可能對(duì)具有實(shí)際應(yīng)用背景的知識(shí)更感興趣。因此，在教學(xué)過(guò)程中，教師可以通過(guò)引入生活中的實(shí)例和問(wèn)題，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。在學(xué)習(xí)能力方面，學(xué)生可能存在差異，有的學(xué)生可能對(duì)抽象的數(shù)學(xué)概念掌握得較好，而有的學(xué)生可能更擅長(zhǎng)具體的操作和實(shí)踐。因此，教師在教學(xué)時(shí)應(yīng)注重因材施教，通過(guò)不同的教學(xué)方法和教學(xué)素材，滿足不同學(xué)生的學(xué)習(xí)需求。在學(xué)習(xí)風(fēng)格方面，有的學(xué)生可能喜歡通過(guò)自主探索學(xué)習(xí)，而有的學(xué)生可能更傾向于通過(guò)與他人合作學(xué)習(xí)。教師可以根據(jù)學(xué)生的不同學(xué)習(xí)風(fēng)格，采取相應(yīng)的教學(xué)策略，促進(jìn)學(xué)生的學(xué)習(xí)效果。

3.學(xué)生可能遇到的困難和挑戰(zhàn)：在學(xué)習(xí)排列與組合時(shí)，學(xué)生可能對(duì)排列與組合的概念和原理理解起來(lái)有困難，尤其是對(duì)于一些抽象的數(shù)學(xué)模型和規(guī)律的把握。同時(shí)，學(xué)生可能在將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題，并利用排列與組合的知識(shí)進(jìn)行解決時(shí)遇到挑戰(zhàn)。此外，學(xué)生可能對(duì)排列與組合在不同情境下的應(yīng)用有一定的疑惑，不知道如何靈活運(yùn)用所學(xué)的知識(shí)。針對(duì)這些困難和挑戰(zhàn)，教師需要通過(guò)耐心講解、舉例說(shuō)明、引導(dǎo)思考等方式，幫助學(xué)生理解和掌握排列與組合的知識(shí)，并能夠應(yīng)用到實(shí)際問(wèn)題中。同時(shí)，教師可以組織學(xué)生進(jìn)行討論和交流，讓學(xué)生相互借鑒和學(xué)習(xí)，共同克服困難，提高學(xué)習(xí)效果。學(xué)具準(zhǔn)備Xxx課型新授課教法學(xué)法講授法課時(shí)第一課時(shí)師生互動(dòng)設(shè)計(jì)二次備課教學(xué)資源1.軟硬件資源：多媒體投影儀、計(jì)算機(jī)、白板、黑板、粉筆、教學(xué)卡片、計(jì)算器、數(shù)學(xué)模型等。

2.課程平臺(tái)：學(xué)校提供的教學(xué)管理系統(tǒng)，如Moodle或Blackboard，用于發(fā)布教學(xué)材料、作業(yè)和測(cè)試。

3.信息化資源：教學(xué)PPT、視頻講座、在線習(xí)題庫(kù)、數(shù)學(xué)軟件（如GeoGebra）、排列與組合的案例研究等。

4.教學(xué)手段：講演法、互動(dòng)討論、小組合作、案例分析、問(wèn)題解決、實(shí)踐操作、反饋與評(píng)價(jià)等。

5.輔助材料：教科書(shū)、輔導(dǎo)書(shū)、練習(xí)冊(cè)、在線資源鏈接、實(shí)際問(wèn)題收集材料等。

6.評(píng)估工具：課堂練習(xí)、小測(cè)驗(yàn)、作業(yè)、項(xiàng)目作業(yè)、自我評(píng)估表、同伴評(píng)估等。教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)1.導(dǎo)入新課（5分鐘）

目標(biāo)：引起學(xué)生對(duì)排列與組合的興趣，激發(fā)其探索欲望。

過(guò)程：

開(kāi)場(chǎng)提問(wèn)：“你們知道排列與組合是什么嗎？它們?cè)跀?shù)學(xué)和生活中有什么應(yīng)用？”

展示一些實(shí)際問(wèn)題場(chǎng)景，如舉辦活動(dòng)時(shí)的座位安排、商品組合優(yōu)惠等，讓學(xué)生初步感受排列與組合的應(yīng)用。

簡(jiǎn)短介紹排列與組合的基本概念和重要性，為接下來(lái)的學(xué)習(xí)打下基礎(chǔ)。

2.排列與組合基礎(chǔ)知識(shí)講解（10分鐘）

目標(biāo)：讓學(xué)生了解排列與組合的基本概念、組成部分和原理。

過(guò)程：

講解排列與組合的定義，包括其主要組成元素或結(jié)構(gòu)。

詳細(xì)介紹排列與組合的計(jì)算方法和原理，使用圖表或示意圖幫助學(xué)生理解。

3.排列與組合案例分析（20分鐘）

目標(biāo)：通過(guò)具體案例，讓學(xué)生深入了解排列與組合的特性和重要性。

過(guò)程：

選擇幾個(gè)典型的排列與組合案例進(jìn)行分析。

詳細(xì)介紹每個(gè)案例的背景、特點(diǎn)和意義，讓學(xué)生全面了解排列與組合的多樣性或復(fù)雜性。

引導(dǎo)學(xué)生思考這些案例對(duì)實(shí)際生活或?qū)W習(xí)的影響，以及如何應(yīng)用排列與組合解決實(shí)際問(wèn)題。

4.學(xué)生小組討論（10分鐘）

目標(biāo)：培養(yǎng)學(xué)生的合作能力和解決問(wèn)題的能力。

過(guò)程：

將學(xué)生分成若干小組，每組選擇一個(gè)與排列與組合相關(guān)的主題進(jìn)行深入討論。

小組內(nèi)討論該主題的現(xiàn)狀、挑戰(zhàn)以及可能的解決方案。

每組選出一名代表，準(zhǔn)備向全班展示討論成果。

5.課堂展示與點(diǎn)評(píng)（15分鐘）

目標(biāo)：鍛煉學(xué)生的表達(dá)能力，同時(shí)加深全班對(duì)排列與組合的認(rèn)識(shí)和理解。

過(guò)程：

各組代表依次上臺(tái)展示討論成果，包括主題的現(xiàn)狀、挑戰(zhàn)及解決方案。

其他學(xué)生和教師對(duì)展示內(nèi)容進(jìn)行提問(wèn)和點(diǎn)評(píng)，促進(jìn)互動(dòng)交流。

教師總結(jié)各組的亮點(diǎn)和不足，并提出進(jìn)一步的建議和改進(jìn)方向。

6.課堂小結(jié)（5分鐘）

目標(biāo)：回顧本節(jié)課的主要內(nèi)容，強(qiáng)調(diào)排列與組合的重要性和意義。

過(guò)程：

簡(jiǎn)要回顧本節(jié)課的學(xué)習(xí)內(nèi)容，包括排列與組合的基本概念、組成部分、案例分析等。

強(qiáng)調(diào)排列與組合在現(xiàn)實(shí)生活或?qū)W習(xí)中的價(jià)值和作用，鼓勵(lì)學(xué)生進(jìn)一步探索和應(yīng)用排列與組合。

布置課后作業(yè)：讓學(xué)生撰寫(xiě)一篇關(guān)于排列與組合的應(yīng)用案例報(bào)告，以鞏固學(xué)習(xí)效果。知識(shí)點(diǎn)梳理本節(jié)課的主要教學(xué)內(nèi)容是排列與組合，涉及到高中數(shù)學(xué)第3章“排列、組合與二項(xiàng)式定理”中的3.1“排列與組合”。具體內(nèi)容為3.1.1第1課時(shí)“基本計(jì)數(shù)原理教案”。以下是對(duì)本節(jié)課知識(shí)點(diǎn)的詳細(xì)梳理：

1.排列與組合的定義：

-排列：從n個(gè)不同元素中取出m（m≤n）個(gè)元素的所有可能的順序排列的個(gè)數(shù)。

-組合：從n個(gè)不同元素中取出m（m≤n）個(gè)元素的所有可能的非順序排列的個(gè)數(shù)。

2.排列的計(jì)算公式：

-排列數(shù)公式：A(n,m)=n!/(n-m)!，其中n!表示n的階乘。

-特殊情況的排列數(shù)：

-A(n,n)=n!

-A(n,1)=n

-A(n,0)=1

3.組合的計(jì)算公式：

-組合數(shù)公式：C(n,m)=A(n,m)/m!，其中m!表示m的階乘。

-特殊情況的組合數(shù)：

-C(n,n)=1

-C(n,1)=n

-C(n,0)=1

4.排列與組合的性質(zhì)：

-排列與組合是相互獨(dú)立的，即從n個(gè)元素中先進(jìn)行排列再進(jìn)行組合的結(jié)果與先進(jìn)行組合再進(jìn)行排列的結(jié)果相同。

-排列與組合滿足交換律，即對(duì)于任意兩個(gè)元素a和b，A(n,m)(a,b)=A(n,m)(b,a)和C(n,m)(a,b)=C(n,m)(b,a)。

-排列與組合滿足結(jié)合律，即對(duì)于任意三個(gè)元素a、b和c，A(n,m)(a,b,c)=A(n,m)(a,b)A(n,m)(c)和C(n,m)(a,b,c)=C(n,m)(a,b)C(n,m)(c)。

5.排列與組合的應(yīng)用：

-活動(dòng)安排：如聚會(huì)座位安排、比賽選手排序等。

-商品組合優(yōu)惠：如買(mǎi)一送一、打折組合套餐等。

-問(wèn)題解決：如求解排列組合問(wèn)題、計(jì)算概率等。

6.實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為排列組合問(wèn)題的方法：

-確定元素：將問(wèn)題中的每個(gè)選項(xiàng)或物品看作是一個(gè)元素。

-確定排列組合方式：根據(jù)問(wèn)題的要求，確定是進(jìn)行排列還是組合。

-計(jì)算排列組合數(shù)：根據(jù)排列與組合的公式，計(jì)算出所有可能的排列或組合數(shù)。

-得出結(jié)果：根據(jù)計(jì)算出的排列組合數(shù)，得出問(wèn)題的解答。典型例題講解例題1：排列問(wèn)題

題目：從5本不同的書(shū)中隨機(jī)抽取3本進(jìn)行閱讀，求不同的抽取方法有多少種？

解答：

這是一個(gè)排列問(wèn)題，因?yàn)轭}目要求書(shū)的順序。

使用排列數(shù)公式A(n,m)=n!/(n-m)!，其中n=5，m=3。

計(jì)算得到A(5,3)=5!/(5-3)!=(5×4×3×2×1)/(2×1)=60。

所以，不同的抽取方法有60種。

例題2：組合問(wèn)題

題目：一個(gè)班級(jí)有20名學(xué)生，從中選出10名參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽，求不同的選法有多少種？

解答：

這是一個(gè)組合問(wèn)題，因?yàn)轭}目不要求學(xué)生的順序。

使用組合數(shù)公式C(n,m)=A(n,m)/m!，其中n=20，m=10。

計(jì)算得到C(20,10)=A(20,10)/10!=(20×19×18×...×11)/(10×9×8×...×1)。

所以，不同的選法有大約1.21×10^12種。

例題3：排列與組合混合問(wèn)題

題目：一個(gè)籃子里有5個(gè)蘋(píng)果，3個(gè)橘子和2個(gè)香蕉，如果隨機(jī)取出2個(gè)水果，求取出的水果既有蘋(píng)果又有橘子的方法有多少種？

解答：

這個(gè)問(wèn)題涉及到排列與組合的混合。

我們可以先計(jì)算出所有可能的取法，即A(10,2)。

然后計(jì)算出只有蘋(píng)果或只有橘子的取法，分別是A(5,2)和A(3,2)。

最后，用總的取法減去只有蘋(píng)果和只有橘子的取法，即A(10,2)-(A(5,2)+A(3,2))。

計(jì)算得到A(10,2)=10!/(10-2)!=45，A(5,2)=5!/(5-2)!=10，A(3,2)=3!/(3-2)!=3。

所以，取出的水果既有蘋(píng)果又有橘子的方法有45-(10+3)=22種。

例題4：排列的應(yīng)用問(wèn)題

題目：一個(gè)班級(jí)有6名女生和4名男生，班主任要從這些學(xué)生中選出3名班干部，要求女生至少占一名，求選法的種數(shù)？

解答：

這個(gè)問(wèn)題是排列的應(yīng)用問(wèn)題。

我們可以分為三種情況：一女兩男、兩女一男、三女。

計(jì)算每種情況的選法種數(shù)，然后相加。

一女兩男的情況有C(6,1)×C(4,2)種，兩女一男的情況有C(6,2)×C(4,1)種，三女的情況有C(6,3)種。

計(jì)算得到一女兩男的選法有6×6=36種，兩女一男的選法有15×4=60種，三女的選法有20種。

所以，總的選法種數(shù)為36+60+20=116種。

例題5：組合的應(yīng)用問(wèn)題

題目：一個(gè)密碼鎖由4位數(shù)字組成，數(shù)字范圍是0到9，求設(shè)置一個(gè)密碼的方法有多少種？

解答：

這是一個(gè)組合的應(yīng)用問(wèn)題，因?yàn)槊艽a的順序不重要。

每位數(shù)字都有10種選擇（0-9），所以總的組合方法是10×10×10×10=10^4種。

所以，設(shè)置一個(gè)密碼的方法有10^4種。教學(xué)反思今天我上了一節(jié)關(guān)于排列與組合的課，總體來(lái)說(shuō)，學(xué)生們表現(xiàn)得非常積極，參與度很高。在講解基本概念和公式時(shí)，我發(fā)現(xiàn)學(xué)生們對(duì)于排列的計(jì)算公式A(n,m)=n!/(n-m)!和組合的計(jì)算公式C(n,m)=A(n,m)/m!理解得比較到位，能夠正確應(yīng)用這些公式來(lái)解決問(wèn)題。

在解決排列與組合混合問(wèn)題時(shí)，我發(fā)現(xiàn)學(xué)生們對(duì)于將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為排列與組合的計(jì)算有些困難。這個(gè)問(wèn)題可能是因?yàn)閷W(xué)生們對(duì)于排列與組合的混合應(yīng)用還不夠熟練，需要更多的練習(xí)來(lái)加強(qiáng)理解和應(yīng)用能力。

在課堂討論和小組活動(dòng)中，我發(fā)現(xiàn)學(xué)生們能夠積極參與，提出自己的想法和解決方案。這表明學(xué)生們對(duì)于排列與組合的應(yīng)用有一定的理解和掌握，同時(shí)也能夠通過(guò)合作來(lái)解決問(wèn)題。

在課堂小結(jié)和課后作業(yè)布置中，我強(qiáng)調(diào)了排列與組合在實(shí)際生活中的應(yīng)用，鼓勵(lì)學(xué)生們進(jìn)一步探索和應(yīng)用排列與組合的知識(shí)。學(xué)生們對(duì)于排列與組合在實(shí)際生活中的應(yīng)用表示出濃厚的興趣，希望能夠?qū)⑺鶎W(xué)知識(shí)應(yīng)用到實(shí)際問(wèn)題中。板書(shū)設(shè)計(jì)1.排列與組合的定義：

-排列：從n個(gè)不同元素中取出m（m≤n）個(gè)元素的所有可能的順序排列的個(gè)數(shù)。

-組合：從n個(gè)不同元素中取出m（m≤n）個(gè)元素的所有可能的非順序排列的個(gè)數(shù)。

2.排列的計(jì)算公式：

-排列數(shù)公式：A(n,m)=n!/(n-m)!，其中n!表示n的階乘。

-特殊情況：

-A(n,n)=n!

-A(n,1)=n

-A(n,0)=1

3.組合的計(jì)算公式：

-組合數(shù)公式：C(n,m)=A(n,m)/m!，其中m!表示m的階乘。

-特殊情況：

-C(n,n)=1

-C(n,1)=n

-C(n,0)=1

4.排列與組合的性質(zhì)：

-排列與組合是相互獨(dú)立的。

-排列與組合滿足交換律。

-排列與組合滿足結(jié)合律。

5.排列與組合的應(yīng)用：

-活動(dòng)安排

-商品組合優(yōu)惠

-問(wèn)題解決

6.實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為排列組合問(wèn)題的方法：

-確定元素

-確定排列組合方式

-計(jì)算排列組合數(shù)

-得出結(jié)果教學(xué)評(píng)價(jià)與反饋1.課堂表現(xiàn)：學(xué)生們?cè)谡n堂上表現(xiàn)積極，對(duì)于排列與組合的概念和公式能夠快速理解并應(yīng)用。大部分學(xué)生能夠跟上教師的思路，積極參與課堂討論。然而，仍有部分學(xué)生在理解和應(yīng)用排列與組合公式時(shí)存在困難，需要進(jìn)一步的指導(dǎo)和練習(xí)。

2.小組討論成果展示：各小組在討論中表現(xiàn)出了良好的合作和溝通能力。他們能夠針對(duì)給定的問(wèn)題提出自己的觀點(diǎn)和解決方案，并通過(guò)小組討論來(lái)達(dá)成共識(shí)。在展示中，學(xué)生們能夠清晰地表達(dá)自己的觀點(diǎn)，同時(shí)也能夠接受其他小組的反饋和建議。

3.隨堂測(cè)試：在隨堂測(cè)試中，大部分學(xué)生能夠正確應(yīng)用排列與組合的公式來(lái)解決問(wèn)題。學(xué)生們?cè)诮鉀Q實(shí)際問(wèn)題時(shí)能夠靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)，表現(xiàn)出較好的理解和應(yīng)用能力。然而，仍有部分學(xué)生在解決特定類(lèi)型的問(wèn)題時(shí)出現(xiàn)錯(cuò)誤，需要進(jìn)一步的練習(xí)和指導(dǎo)