3.6 位似 （課件）2024-2025湘教版 數(shù)學(xué)九年級上冊

3.6位似知識點位似圖形的定義1

2.位似與相似的關(guān)系：(1)相似僅要求兩個圖形形狀完全相同，而位似是在相似的基礎(chǔ)上要求對應(yīng)頂點的連線所在直線相交于一點；(2)如果兩個圖形是位似圖形，那么這兩個圖形必是相似圖形，但是相似的兩個圖形不一定是位似圖形，因此，位似是相似的特殊情況.特別提醒◆兩個位似圖形的位似中心一般只有一個.◆位似中心可能位于兩個位似圖形的同側(cè)，也可能位于兩個位似圖形之間，還可能位于兩個位似圖形的內(nèi)部或邊上或某一個頂點處.

常見位似圖形的構(gòu)成如圖3.6-1所示.判斷如圖3.6-2所示的各圖中的兩個圖形是否是位似圖形，如果是，請指出其位似中心.例1解題秘方：緊扣“位似圖形的定義”進(jìn)行判斷.解：(1)是位似圖形，位似中心為點A；(2)不是位似圖形；(3)是位似圖形，位似中心為點O.感悟新知1-1.視力表用來測試一個人的視力，如圖是視力表的一部分，圖中的類似“E”的圖形均是相似圖形，下面不是位似圖形的是(

)A.①和④B.②和③C.①和②D.②和④B知識點位似圖形的性質(zhì)2位似圖形具有的性質(zhì)：(1)位似圖形每組對應(yīng)頂點的連線必過位似中心.(2)位似圖形任意一組對應(yīng)點到位似中心的距離之比等于位似比.(3)位似圖形的對應(yīng)線段平行(或在一條直線上)，且對應(yīng)線段之比相等.(4)兩個圖形位似，則兩個圖形必相似，其周長比等于位似比，面積比等于位似比的平方.特別解讀：(1)我們利用位似圖形的性質(zhì)，可以作出已知圖形的位似圖形，把一個圖形放大或縮小，同時也可以利用位似圖形的性質(zhì)確定位似中心，求位似比及圖形的周長與面積等.(2)利用位似圖形的性質(zhì)求兩個位似圖形的位似比，先要確定位似的順序，再確定位似比.示例圖如圖3.6-3，△ABC與△DEF位似.

相等[母題教材P100習(xí)題T1]找出如圖3.6-4所示的位似圖形的位似中心.解題秘方：緊扣“位似圖形每組對應(yīng)頂點的連線必過位似中心”進(jìn)行查找.例2

解：如圖3.6-5，點P1，P2，P3即為所求的位似中心.感悟新知2-1.

[模擬·東營]如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，△ABC

與△ODE

是位似圖形，其中點A(2，1)，則位似中心的坐標(biāo)是______．(4，2)感悟新知[期中·重慶沙坪壩區(qū)]如圖3.6-6，△ABC

與△DEF

是位似圖形，點O

為位似中心，已知AB∶DE

＝1∶2，△ABC的面積為4，則△DEF的面積為()A．6B．8C．12D．16例3感悟新知解題秘方：緊扣位似圖形位似比的性質(zhì)進(jìn)行計算.

答案：D感悟新知3-1.

[中考·重慶]如圖，△ABC與△DEF位似，點O

為位似中心，相似比為2∶3．若△ABC的周長為4，則△DEF的周長是(

)A．4B．6C．9D．16B知識點位似圖形的畫法3畫位似圖形的步驟：(1)確定位似中心(位似中心可以在圖形外部，也可以在圖形內(nèi)部，還可以在圖形的邊上或在某一個頂點處)；(2)分別連接位似中心和能代表原圖的關(guān)鍵點，并延長；(3)根據(jù)位似比，確定所畫位似圖形的關(guān)鍵點的位置；(4)順次連接所作各點，得到放大或縮小的圖形.注意：畫位似圖形時，要弄清位似比，即分清是已知圖形與新圖形的位似比，還是新圖形與已知圖形的位似比.特別提醒1.

位似中心的選取一般考慮使畫圖方便且符合要求.2.以一點為位似中心畫位似圖形時，符合要求的圖形往往不唯一，一般情況下，同一個位似中心的兩側(cè)各有一個符合要求的圖形.如圖3.6-7，已知四邊形ABCD，將四邊形ABCD以點A為位似中心放大，使放大后的圖形與原圖形是位似圖形，且放大后的圖形與原圖形對應(yīng)線段的比為2∶1.例4

解題秘方：緊扣“位似圖形的定義和性質(zhì)”，按畫位似圖形的步驟作圖(畫法不唯一).解：當(dāng)原圖與新圖形在點

A

同側(cè)時，如圖3.6-8，四邊形AB1C1D1

就是所求作的圖形；當(dāng)原圖形與新圖形在點A

異側(cè)時，如圖3.6-9，四邊形AB1C1D1就是所求作的圖形.感悟新知4-1.如圖，在8×8的網(wǎng)格中，每個小正方形的頂點叫做格點，△OAB

的頂點都在格點上，請在網(wǎng)格中畫出△OAB

的一個位似圖形，使兩個圖形以O(shè)為位似中心，且所畫圖形與△OAB

的位似比為2∶1．解：如圖，分別延長AO，BO到A′，B′，使OA′∶OA＝OB′∶OB＝2∶1，則△OA′B′即為所求．知4－講知識點平面直角坐標(biāo)系中的位似41.

位似變換時對應(yīng)點的坐標(biāo)變化規(guī)律：在平面直角坐標(biāo)系中，如果位似變換是以原點為位似中心，位似比為k，那么位似圖形對應(yīng)點的坐標(biāo)的比等于k或－k.即若原圖形的某一頂點坐標(biāo)為(x0，y0)，則其位似圖形對應(yīng)頂點的坐標(biāo)為(kx0，ky0)或(－kx0，－ky0).注意：這里的位似比指的是新圖形與原圖形的對應(yīng)邊的比.知4－講2.

位似變換與平移、軸對稱、旋轉(zhuǎn)三種變換的聯(lián)系和區(qū)別：(1)位似、平移、軸對稱、旋轉(zhuǎn)都是圖形變換的基本形式，它們的本質(zhì)區(qū)別在于：平移、軸對稱、旋轉(zhuǎn)三種圖形變換是全等變換，而位似變換是相似變換.知4－講(2)在直角坐標(biāo)系中，把一個圖形進(jìn)行平移、軸對稱、旋轉(zhuǎn)或位似變換，其對應(yīng)點的坐標(biāo)都有各自的變化規(guī)律：①平移變換是橫坐標(biāo)或縱坐標(biāo)加上(或減去)平移的距離；②在軸對稱變換中，以x軸為對稱軸，則對應(yīng)點的橫坐標(biāo)相等，縱坐標(biāo)互為相反數(shù)；以y軸為對稱軸，則縱坐標(biāo)相等，橫坐標(biāo)互為相反數(shù)；知4－講③在旋轉(zhuǎn)變換中，一個圖形繞原點旋轉(zhuǎn)180°，則旋轉(zhuǎn)前后兩個圖形對應(yīng)點的橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)都分別互為相反數(shù)；④在位似變換中，當(dāng)以原點為位似中心時，變換后與變換前兩個圖形對應(yīng)點的橫坐標(biāo)之比的絕對值、縱坐標(biāo)之比的絕對值都等于變換后的圖形與變換前的圖形的位似比.知4－講特別提醒1.在平面直角坐標(biāo)系中，以原點為位似中心時，使位似圖形與原圖形的位似比為k，那么當(dāng)位似圖形與原圖形在原點的同側(cè)時，原圖形上的點(x，y)對應(yīng)的位似圖形上的點的坐標(biāo)為(kx，ky)；當(dāng)位似圖形與原圖形在原點的兩側(cè)時，原圖形上的點(x，y)對應(yīng)的位似圖形上的點的坐標(biāo)為(－kx，－ky).2.當(dāng)k>1時，圖形擴大為原來的k倍；當(dāng)0<k<1時，圖形縮小為原來的k.[母題教材P99例]如圖3.6-10，已知O是坐標(biāo)原點，B，C兩點的坐標(biāo)分別為(3，－1)，(2，1).(1)畫出以點O為位似中心，在y軸的左側(cè)將△OBC放大為原來的2倍(即新圖與原圖的位似比為2∶1)的位似圖形△OB′C′；(2)分別寫出B，C兩點的對應(yīng)點B′，C′的坐標(biāo)；(3)如果△OBC內(nèi)部一點M的坐標(biāo)為(x，y)，試寫出點M的對應(yīng)點M′的坐標(biāo).例5解題秘方：先根據(jù)位似中心及位似比作圖，再利用位似變換時對應(yīng)點的坐標(biāo)變化規(guī)律求對應(yīng)點的坐標(biāo).(1)畫出以點O為位似中心，在y軸的左側(cè)將△OBC放大為原來的2倍(即新圖與原圖的位似比為2∶1)的位似圖形△OB′C′；解：如圖3.6-10，延長BO到點B′，使OB′＝2OB.延長CO到點C′，使OC′＝2OC，連接B′C′，則△OB′C′就是要畫的圖形.(2)分別寫出B，C兩點的對應(yīng)點B′，C′的坐標(biāo)；(3)如果△OBC內(nèi)部一點M的坐標(biāo)為(x，y)，試寫出點M的對應(yīng)點M′的坐標(biāo).解：點B′，C′的坐標(biāo)分別為(－6，2)，(－4，－2).點M(x，y)的對應(yīng)點M′的坐標(biāo)為(－2x，－2y).感悟新知5-1.

[中考·營口]如圖，在邊