高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第一篇 集合與常用邏輯用語(yǔ)（考點(diǎn)梳理+考點(diǎn)自測(cè)+揭秘高考）理 新人教A版

高考總復(fù)習(xí)·數(shù)學(xué)理(新課標(biāo)A)第一篇集合與常用邏輯用語(yǔ)第1講集合的概念和運(yùn)算【年高考會(huì)這樣考】1．考查集合的交、并、補(bǔ)的基本運(yùn)算，常與一次不等式、一元二次不等式、簡(jiǎn)單的分式不等式、指數(shù)不等式、對(duì)數(shù)不等式的求解或函數(shù)定義域相結(jié)合．2．利用集合運(yùn)算的結(jié)果確定某個(gè)集合，主要是有限數(shù)集的基本運(yùn)算，可用韋恩圖解決，多以選擇題的形式進(jìn)行考查．考點(diǎn)梳理1．集合的基本概念(1)集合元素的三個(gè)特征：確定性、互異性、無(wú)序性．(2)元素與集合的關(guān)系是屬于或不屬于關(guān)系，用符號(hào)∈或?表示．(3)集合的表示法：列舉法、描述法、圖示法、區(qū)間法．(4)常用數(shù)集：自然數(shù)集N；正整數(shù)集N*(或N＋)；整數(shù)集Z；有理數(shù)集Q；實(shí)數(shù)集R.(5)集合的分類：按集合中元素個(gè)數(shù)劃分，集合可以分為有限集、無(wú)限集、空集．2．集合間的基本關(guān)系(1)子集：對(duì)任意的x∈A，都有x∈B，則A?B(或B?A)．(2)真子集：若A?B，且A≠B，則AB(或BA)．(3)空集：空集是任意一個(gè)集合的子集，是任何非空集合的真子集．即??A，?B(B≠?)．(4)集合相等：若A?B，且B?A，則A＝B.3．集合的基本運(yùn)算及其性質(zhì)(1)并集：A∪B＝{x|x∈A，或x∈B}．(2)交集：A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}．(3)補(bǔ)集：?UA＝{x|x∈U，且x?A}，U為全集，?UA表示A相對(duì)于全集U的補(bǔ)集．(4)集合的運(yùn)算性質(zhì)①A∪B＝A?B?A，A∩B＝A?A?B；②A∩A＝A，A∩?＝?；③A∪A＝A，A∪?＝A；④A∩?UA＝?，A∪?UA＝U，?U(?UA)＝A.【助學(xué)·微博】常用一條性質(zhì)若集合A中含有n個(gè)元素，則A的子集有2n個(gè)，A的真子集有2n－1個(gè)．關(guān)注兩個(gè)“易錯(cuò)點(diǎn)”(1)注意空集在解題中的應(yīng)用，防止遺漏空集而導(dǎo)致失誤，如A?B，A∩B＝A，A∪B＝B中A＝?的情況需特別注意；(2)對(duì)于含參數(shù)的兩集合具有包含關(guān)系時(shí)，端點(diǎn)的取舍是易錯(cuò)點(diǎn)，對(duì)端點(diǎn)要單獨(dú)考慮．考點(diǎn)自測(cè)1．(·湖南)設(shè)集合M＝{－1,0,1}，N＝{x|x2≤x}，則M∩N＝()．A．{0}B．{0,1}C．{－1,1}D．{－1,0,1}解析由x2≤x，解得0≤x≤1，∴M∩N＝{0,1}．答案B2．(·廣東)設(shè)集合U＝{1,2,3,4,5,6}，M＝{1,2,4}，則?UM＝()．A．UB．{1,3,5}C．{3,5,6}D．{2,4,6}解析根據(jù)補(bǔ)集的定義，由于U＝{1,2,3,4,5,6}，M＝{1,2,4}，從而?UM＝{3,5,6}．答案C3．(·江西)若集合A＝{－1,1}，B＝{0,2}，則集合{z|z＝x＋y，x∈A，y∈B}中的元素的個(gè)數(shù)為()．A．5B．4C．3D．2解析涉及集合中元素個(gè)數(shù)的問(wèn)題，常用枚舉法求解．本題可用枚舉法求解：當(dāng)x＝－1，y＝0時(shí)，z＝－1；當(dāng)x＝－1，y＝2時(shí)，z＝1；當(dāng)x＝1，y＝0時(shí)，z＝1；當(dāng)x＝1，y＝2時(shí)，z＝3.故z的值為－1,1,3，故所求集合為{－1,1,3}，共3個(gè)元素．答案C4．設(shè)全集U＝{1,2,3,4,5,6}，集合A＝{1,2,4}，B＝{3,4,5}，則圖中的陰影部分表示的集合為()．A．{5}B．{4}C．{1,2}D．{3,5}解析由題圖可知陰影部分為集合(?UA)∩B，∵?UA＝{3,5,6}，∴(?UA)∩B＝{3,5}．答案D5．(·天津)已知集合A＝{x∈R||x＋2|<3}，集合B＝{x∈R|(x－m)(x－2)<0}，且A∩B＝(－1，n)，則m＝________，n＝________.解析A＝{x|－5<x<1}，因?yàn)锳∩B＝{x|－1<x<n}，B＝{x|(x－m)(x－2)<0}，所以m＝－1，n＝1.答案－11考向一集合的基本概念【例1】?已知a∈R，b∈R，若eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(a，\f(b,a)，1))＝{a2，a＋b,0}，則a2014＋b2014＝________.[審題視點(diǎn)]結(jié)合元素的互異性與集合相等入手．解析由已知得eq\f(b,a)＝0及a≠0，所以b＝0，于是a2＝1，即a＝1或a＝－1，又根據(jù)集合中元素的互異性可知a＝1應(yīng)舍去，因此a＝－1，故a2014＋b2014＝1.答案1(1)利用集合中元素的特點(diǎn)，列出方程組求解，但仍然要檢驗(yàn)，看所得結(jié)果是否符合集合中元素的互異性的特征．(2)此類問(wèn)題還可以根據(jù)兩集合中元素的和相等，元素的積相等，列出方程組求解，但仍然要檢驗(yàn)．【訓(xùn)練1】集合eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x∈N*\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(12,x)∈Z))))中含有的元素個(gè)數(shù)為()．A．4B．6C．8D．12解析令x＝1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12代入驗(yàn)證得x＝1,2,3,4,6,12時(shí)，eq\f(12,x)∈Z，故集合中有6個(gè)元素．答案B考向二集合間的基本關(guān)系【例2】?已知集合A＝{x|－2≤x≤7}，B＝{x|m＋1<x<2m－1}，若B?A，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．[審題視點(diǎn)]若B?A，則B＝?或B≠?，要分兩種情況討論．解當(dāng)B＝?時(shí)，有m＋1≥2m－1，則m≤2.當(dāng)B≠?時(shí)，若B?A，如圖．則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＋1≥－2，,2m－1≤7，,m＋1<2m－1，))解得2<m≤4.綜上，m的取值范圍為m≤4.(1)集合中元素的互異性，可以作為解題的依據(jù)和突破口；(2)對(duì)于數(shù)集關(guān)系問(wèn)題，往往利用數(shù)軸進(jìn)行分析；(3)對(duì)含參數(shù)的方程或不等式求解，要對(duì)參數(shù)進(jìn)行分類討論．【訓(xùn)練2】已知集合A＝{x|log2x≤2}，B＝(－∞，a)，若A?B，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(c，＋∞)，其中c＝________.解析A＝{x|log2x≤2}＝{x|0<x≤4}，即A＝(0,4]，由A?B，B＝(－∞，a)，且a的取值范圍是(c，＋∞)，可以結(jié)合數(shù)軸分析得c＝4.答案4考向三集合的基本運(yùn)算【例3】?設(shè)U＝R，集合A＝{x|x2＋3x＋2＝0}，B＝{x|x2＋(m＋1)x＋m＝0}．若(?UA)∩B＝?，則m的值是________．[審題視點(diǎn)]本題中的集合A，B均是一元二次方程的解集，其中集合B中的一元二次方程含有不確定的參數(shù)m，需要對(duì)這個(gè)參數(shù)進(jìn)行分類討論，同時(shí)需要根據(jù)(?UA)∩B＝?對(duì)集合A，B的關(guān)系進(jìn)行轉(zhuǎn)化．解析A＝{－2，－1}，由(?UA)∩B＝?，得B?A，∵方程x2＋(m＋1)x＋m＝0的判別式Δ＝(m＋1)2－4m＝(m－1)2≥0，∴B≠?.∴B＝{－1}或B＝{－2}或B＝{－1，－2}．①若B＝{－1}，則m＝1；②若B＝{－2}，則應(yīng)有－(m＋1)＝(－2)＋(－2)＝－4，且m＝(－2)·(－2)＝4，這兩式不能同時(shí)成立，∴B≠{－2}；③若B＝{－1，－2}，則應(yīng)有－(m＋1)＝(－1)＋(－2)＝－3，且m＝(－1)·(－2)＝2，由這兩式得m＝2.經(jīng)檢驗(yàn)知m＝1和m＝2符合條件．∴m＝1或2.答案1或2本題的主要難點(diǎn)有兩個(gè)：一是集合A，B之間關(guān)系的確定；二是對(duì)集合B中方程的分類求解．集合的交、并、補(bǔ)運(yùn)算和集合的包含關(guān)系存在著一些必然的聯(lián)系，這些聯(lián)系通過(guò)Venn圖進(jìn)行直觀的分析不難找出來(lái)，如A∪B＝A?B?A，(?UA)∩B＝??B?A等，在解題中碰到這種情況時(shí)要善于轉(zhuǎn)化，這是破解這類難點(diǎn)的一種極為有效的方法．【訓(xùn)練3】(1)(·陜西)集合M＝{x|lgx>0}，N＝{x|x2≤4}，則M∩N＝()．A．(1,2)B．[1,2)C．(1,2]D．[1,2](2)(·山東)已知全集U＝{0,1,2,3,4}，集合A＝{1,2,3}，B＝{2,4}，則(?UA)∪B為()．A．{1,2,4}B．{2,3,4}C．{0,2,4}D．{0,2,3,4}解析(1)由題意得M＝(1，＋∞)，N＝[－2,2]，故M∩N＝(1,2]．(2)∵?UA＝{0,4}，B＝{2,4}，∴(?UA)∪B＝{0,2,4}．答案(1)C(2)C熱點(diǎn)突破1——集合問(wèn)題的求解策略【命題研究】集合是數(shù)學(xué)中最基本的概念，高考對(duì)集合的考查內(nèi)容主要有：集合的基本概念、集合間的基本關(guān)系和集合的基本運(yùn)算，并且以集合的運(yùn)算為主，與不等式的解集、函數(shù)的定義域、方程的解集、平面上的點(diǎn)集等內(nèi)容相互交匯，涉及的知識(shí)面較廣，但難度不大．高考對(duì)集合的考查有兩種形式：一種是直接考查集合間的包含關(guān)系或交、并、補(bǔ)的基本運(yùn)算；另一種是以集合為工具考查集合語(yǔ)言和集合思想在方程、不等式、解析幾何等中的運(yùn)用．一、集合與不等式交匯問(wèn)題的解題策略【真題探究1】?(·北京)已知集合A＝{x∈R|3x＋2>0}，B＝{x∈R|(x＋1)(x－3)>0}，則A∩B＝()．A．(－∞，－1)B.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(－1，－\f(2,3)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3)，3))D．(3，＋∞)[教你解題]第1步解出A＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|x>－\f(2,3)))；第2步解出B＝{x|x>3或x<－1}；第3步結(jié)合數(shù)軸取交集，得A∩B＝(3，＋∞)．[答案]D[反思]應(yīng)牢固掌握一元二次不等式、簡(jiǎn)單的分式不等式、指數(shù)不等式、對(duì)數(shù)不等式的解法．【試一試1】已知全集U＝{y|y＝log2x，x>1}，集合P＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(y|y＝\f(1,x)，x>3))，則?UP＝()．A.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，＋∞))B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,3)))C．(0，＋∞)D．(－∞，0)∪eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，＋∞))解析因?yàn)楹瘮?shù)y＝log2x在(0，＋∞)上為增函數(shù)，所以當(dāng)x>1時(shí)，y>log21＝0，故U＝(0，＋∞)；因?yàn)楹瘮?shù)y＝eq\f(1,x)在(0，＋∞)上為減函數(shù)，故當(dāng)x>3時(shí)，0<y<eq\f(1,3)，故P＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,3))).顯然P?U，故?UP＝eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，＋∞))，所以選A.答案A二、集合中新定義問(wèn)題的求解策略【真題探究2】?(·新課標(biāo)全國(guó))已知集合A＝{1,2,3,4,5}，B＝{(x，y)|x∈A，y∈A，x－y∈A}，則B中所含元素的個(gè)數(shù)為()．A．3B．6C．8D．10[教你審題]解決本題的關(guān)鍵是準(zhǔn)確理解集合B.集合B中的元素是符合x(chóng)∈A，y∈A，x－y∈A的有序數(shù)對(duì)(x，y)．[解法]可用列表法yx1234510－1－2－3－4210－1－2－33210－1－243210－1543210也可用直接法(學(xué)生自己試一試)．[答案]D[反思]解決集合中新定義問(wèn)題的關(guān)鍵是準(zhǔn)確理解新定義的實(shí)質(zhì)，緊扣新定義進(jìn)行推理論證，把其轉(zhuǎn)化為我們熟知的基本運(yùn)算．如本例中的集合B就是一個(gè)由集合A中的元素通過(guò)附加條件“x∈A，y∈A，x－y∈A”演變而來(lái)的，所以要判斷集合B中元素的個(gè)數(shù)，需要根據(jù)x－y是否是集合A中的元素來(lái)進(jìn)行判斷．【試一試2】定義集合運(yùn)算：AB＝{z|z＝xy，x∈A，y∈B}，設(shè)A＝{－2014,0,2014}，B＝{lna，ea}，則集合AB的所有元素之和為()．A．2014B．0C．－2014D．ln2014＋e2014解析因?yàn)锳B＝{z|z＝xy，x∈A，y∈B}，所以當(dāng)x＝0時(shí)，無(wú)論y取何值，都有z＝0；當(dāng)x＝－2014，y＝lna時(shí)，z＝(－2014)×lna＝－2014lna；當(dāng)x＝2014，y＝lna時(shí)，z＝2014×lna＝2014lna；當(dāng)x＝－2014，y＝ea時(shí)，z＝(－2014)×ea＝－2014ea；當(dāng)x＝2014，y＝ea時(shí)，z＝2014×ea＝2014ea；故AB＝{0,2014lna，－2014lna,2014ea，－2014ea}．所以AB的所有元素之和為0.答案BA級(jí)基礎(chǔ)演練(時(shí)間：30分鐘滿分：55分)一、選擇題(每小題5分，共20分)1．(·浙江)設(shè)集合A＝{x|1<x<4}，集合B＝{x|x2－2x－3≤0}，則A∩(?RB)＝()．A．(1,4) B．(3,4)C．(1,3) D．(1,2)∪(3,4)解析因?yàn)?RB＝{x|x>3或x<－1}，所以A∩(?RB)＝{x|3<x<4}．答案B2．(·遼寧)已知全集U＝{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}，集合A＝{0,1,3,5,8}，集合B＝{2,4,5,6,8}，則(?UA)∩(?UB)等于 ()．A．{5,8} B．{7,9}C．{0,1,3} D．{2,4,6}解析根據(jù)集合運(yùn)算的性質(zhì)求解．因?yàn)锳∪B＝{0,1,2,3,4,5,6,8}，所以(?UA)∩(?UB)＝?U(A∪B)＝{7,9}．答案B3．(·鄭州三模)設(shè)集合U＝{x|x<5，x∈N*}，M＝{x|x2－5x＋6＝0}，則?UM＝()．A．{1,4} B．{1,5} C．{2,3} D．{3,4}解析U＝{1,2,3,4}，M＝{x|x2－5x＋6＝0}＝{2,3}，∴?UM＝{1,4}．答案A4．(·長(zhǎng)春名校聯(lián)考)若集合A＝{x||x|>1，x∈R}，B＝{y|y＝2x2，x∈R}，則(?RA)∩B＝ ()．A．{x|－1≤x≤1} B．{x|x≥0}C．{x|0≤x≤1} D．?解析?RA＝{x|－1≤x≤1}，B＝{y|y≥0}，∴(?RA)∩B＝{x|0≤x≤1}．答案C二、填空題(每小題5分，共10分)5．(·湘潭模擬)設(shè)集合A＝{－1,1,3}，B＝{a＋2，a2＋4}，A∩B＝{3}，則實(shí)數(shù)a＝________.解析∵3∈B，又a2＋4≥4，∴a＋2＝3，∴a＝1.答案16．(·四川)設(shè)全集U＝{a，b，c，d}，集合A＝{a，b}，B＝{b，c，d}，則(?UA)∪(?UB)＝________.解析依題意得知，?UA＝{c，d}，?UB＝{a}，(?UA)∪(?UB)＝{a，c，d}．答案{a，c，d}三、解答題(共25分)7．(12分)若集合A＝{－1,3}，集合B＝{x|x2＋ax＋b＝0}，且A＝B，求實(shí)數(shù)a，b.解∵A＝B，∴B＝{x|x2＋ax＋b＝0}＝{－1,3}．∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－a＝－1＋3＝2，,b＝－1×3＝－3，))∴a＝－2，b＝－3.8．(13分)已知集合A＝{－4,2a－1，a2}，B＝{a－5,1－a,9}，分別求適合下列條件的a(1)9∈(A∩B)；(2){9}＝A∩B.解(1)∵9∈(A∩B)，∴9∈A且9∈B，∴2a－1＝9或a2＝9，∴a＝5或a＝－3或a＝3，經(jīng)檢驗(yàn)a＝5或a＝－3符合題意．∴a＝5或a＝－3.(2)∵{9}＝A∩B，∴9∈A且9∈B，由(1)知a＝5或a＝－3.當(dāng)a＝－3時(shí)，A＝{－4，－7,9}，B＝{－8,4,9}，此時(shí)A∩B＝{9}，當(dāng)a＝5時(shí)，A＝{－4,9,25}，B＝{0，－4,9}，此時(shí)A∩B＝{－4,9}，不合題意．∴a＝－3.B級(jí)能力突破(時(shí)間：30分鐘滿分：45分)一、選擇題(每小題5分，共10分)1．(·廣東)已知集合A＝{(x，y)|x，y是實(shí)數(shù)，且x2＋y2＝1}，B＝{(x，y)|x，y是實(shí)數(shù)，且y＝x}，則A∩B的元素個(gè)數(shù)為 ()．A．0 B．1 C．2 D．3解析集合A表示圓x2＋y2＝1上的點(diǎn)構(gòu)成的集合，集合B表示直線y＝x上的點(diǎn)構(gòu)成的集合，可判定直線和圓相交，故A∩B的元素個(gè)數(shù)為2.答案C2．(·濰坊二模)設(shè)集合A＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(x2,4)＋\f(3y2,4)＝1))))，B＝{y|y＝x2}，則A∩B＝()．A．[－2,2] B．[0,2]C．[0，＋∞) D．{(－1,1)，(1,1)}解析A＝{x|－2≤x≤2}，B＝{y|y≥0}，∴A∩B＝{x|0≤x≤2}＝[0,2]．答案B二、填空題(每小題5分，共10分)3．給定集合A，若對(duì)于任意a，b∈A，有a＋b∈A，且a－b∈A，則稱集合A為閉集合，給出如下三個(gè)結(jié)論：①集合A＝{－4，－2,0,2,4}為閉集合；②集合A＝{n|n＝3k，k∈Z}為閉集合；③若集合A1，A2為閉集合，則A1∪A2為閉集合．其中正確結(jié)論的序號(hào)是________．解析①中，－4＋(－2)＝－6?A，所以不正確．②中設(shè)n1，n2∈A，n1＝3k1，n2＝3k2，n1＋n2∈A，n1－n2∈A，所以②正確．③令A(yù)1＝{n|n＝3k，k∈Z}，A2＝{n|n＝2k，k∈Z}，3∈A1,2∈A2，但是，3＋2?A1∪A2，則A1∪A2不是閉集合，所以③不正確．答案②4．已知集合A＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(6,x＋1)≥1，x∈R))))，B＝{x|x2－2x－m<0}，若A∩B＝{x|－1<x<4}，則實(shí)數(shù)m的值為_(kāi)_______．解析由eq\f(6,x＋1)≥1，得eq\f(x－5,x＋1)≤0，∴－1<x≤5，∴A＝{x|－1<x≤5}．又∵B＝{x|x2－2x－m<0}，A∩B＝{x|－1<x<4}，∴有42－2×4－m＝0，解得m＝8.此時(shí)B＝{x|－2<x<4}，符合題意，故實(shí)數(shù)m的值為8.答案8三、解答題(共25分)5．(12分)設(shè)A＝{x|x2－8x＋15＝0}，B＝{x|ax－1＝0}．(1)若a＝eq\f(1,5)，試判定集合A與B的關(guān)系；(2)若B?A，求實(shí)數(shù)a組成的集合C.解由x2－8x＋15＝0，得x＝3或x＝5.∴A＝{3,5}．(1)當(dāng)a＝eq\f(1,5)時(shí)，由eq\f(1,5)x－1＝0，得x＝5.∴B＝{5}，∴BA.(2)∵A＝{3,5}且B?A，∴若B＝?，則方程ax－1＝0無(wú)解，有a＝0.若B≠?，則a≠0，由方程ax－1＝0，得x＝eq\f(1,a)，∴eq\f(1,a)＝3或eq\f(1,a)＝5，即a＝eq\f(1,3)或a＝eq\f(1,5)，∴C＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,3)，\f(1,5))).6．(13分)(·衡水模擬)設(shè)全集I＝R，已知集合M＝{x|(x＋3)2≤0}，N＝{x|x2＋x－6＝0}．(1)求(?IM)∩N；(2)記集合A＝(?IM)∩N，已知集合B＝{x|a－1≤x≤5－a，a∈R}，若B∪A＝A，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．解(1)∵M(jìn)＝{x|(x＋3)2≤0}＝{－3}，N＝{x|x2＋x－6＝0}＝{－3,2}，∴?IM＝{x|x∈R且x≠－3}，∴(?IM)∩N＝{2}．(2)A＝(?IM)∩N＝{2}，∵B∪A＝A，∴B?A，∴B＝?或B＝{2}．當(dāng)B＝?時(shí)，a－1>5－a，∴a>3；當(dāng)B＝{2}時(shí)，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a－1＝2，,5－a＝2，))解得a＝3.綜上所述，所求a的取值范圍是{a|a≥3}.特別提醒：教師配贈(zèng)習(xí)題、課件、視頻、圖片、文檔等各種電子資源見(jiàn)《創(chuàng)新設(shè)計(jì)·高考總復(fù)習(xí)》光盤(pán)中內(nèi)容.第2講命題及其關(guān)系、充分條件與必要條件【年高考會(huì)這樣考】1．考查四種命題之間的關(guān)系，明確四種命題的構(gòu)成形式，能運(yùn)用所學(xué)知識(shí)判斷命題或其等價(jià)命題的真假，多以填空題或選擇題的形式考查．2．判斷指定的條件與結(jié)論之間的關(guān)系或探求其結(jié)論成立時(shí)的條件等，一般以選擇題、填空題的形式考查，有時(shí)融入到解答題中綜合考查．考點(diǎn)梳理1．四種命題及其關(guān)系(1)四種命題間的相互關(guān)系(2)四種命題的真假判斷①兩個(gè)命題互為逆否命題，它們具有相同的真假性．②兩個(gè)命題互為逆命題或否命題，它們的真假性沒(méi)有關(guān)系．2．充分條件、必要條件與充要條件(1)“若p，則q”形式的命題為真時(shí)，記作p?q，稱p是q的充分條件，q是p的必要條件．(2)如果既有p?q，又有q?p，記作p?q，則p是q的充要條件，q也是p的充要條件．【助學(xué)·微博】一個(gè)等價(jià)關(guān)系互為逆否命題的兩個(gè)命題的真假性相同，對(duì)于一些難于判斷真假的命題可轉(zhuǎn)化為對(duì)其等價(jià)命題來(lái)判斷．兩種判斷方法充分條件、必要條件的判斷方法(1)定義法：直接判斷若p則q、若q則p的真假．(2)集合法：記A＝{x|x∈p}，B＝{x|x∈q}．若A?B，則p是q的充分條件或q是p的必要條件；若A＝B，則p是q的充要條件．考點(diǎn)自測(cè)1．(·湖南)命題“若α＝eq\f(π,4)，則tanα＝1”的逆否命題是()．A．若α≠eq\f(π,4)，則tanα≠1B．若α＝eq\f(π,4)，則tanα≠1C．若tanα≠1，則α≠eq\f(π,4)D．若tanα≠1，則α＝eq\f(π,4)解析按逆否命題的定義知原命題的逆否命題是：若tanα≠1，則α≠eq\f(π,4).故選C.答案C2．(·天津)設(shè)φ∈R，則“φ＝0”是“f(x)＝cos(x＋φ)(x∈R)為偶函數(shù)”的()．A．充分而不必要條件B．必要而不充分條件C．充分必要條件D．既不充分也不必要條件解析因?yàn)閒(x)是偶函數(shù)?φ＝kπ，k∈Z，所以“φ＝0”是“f(x)是偶函數(shù)”的充分而不必要條件．答案A3．(人教A版教材習(xí)題改編)命題“如果b2－4ac＞0，則方程ax2＋bx＋c＝0(aA．0B．1C．2D．3解析原命題為真，則它的逆否命題為真，逆命題為“若方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有兩個(gè)不相等的實(shí)根，則b2－4ac＞0”，為真命題，則它的否命題也為真．答案D4．(·山東)已知a，b，c∈R，命題“若a＋b＋c＝3，則a2＋b2＋c2≥3”的否命題是()．A．若a＋b＋c≠3，則a2＋b2＋c2＜3B．若a＋b＋c＝3，則a2＋b2＋c2＜3C．若a＋b＋c≠3，則a2＋b2＋c2≥3D．若a2＋b2＋c2≥3，則a＋b＋c＝3解析同時(shí)否定原命題的條件和結(jié)論，所得命題就是它的否命題．答案A5．下列命題中所有真命題的序號(hào)是________．①“a＞b”是“a2＞b2”的充分條件；②“|a|＞|b|”是“a2＞b2”的必要條件；③“a＞b”是“a＋c＞b＋c”的充要條件．解析①由2＞－3?/22＞(－3)2知，該命題為假命題；②a2＞b2?|a|2＞|b|2?|a|＞|b|，該命題為真命題；③a＞b?a＋c＞b＋c，又a＋c＞b＋c?a＞b；∴“a＞b”是“a＋c＞b＋c”的充要條件為真命題．答案②③考向一四種命題及其關(guān)系【例1】?(·濟(jì)南模擬)下列有關(guān)命題的說(shuō)法正確的是()．A．命題“若xy＝0，則x＝0”的否命題為“若xy＝0，則x≠0”B．“若x＋y＝0，則x，y互為相反數(shù)”的逆命題為真命題C．命題“?x∈R，使得2x2－1<0”的否定是“?x∈R，均有2x2－1<0”D．命題“若cosx＝cosy，則x＝y(tǒng)”的逆否命題為真命題[審題視點(diǎn)](1)根據(jù)四種命題的定義判斷一個(gè)命題的逆命題、否命題、逆否命題表達(dá)格式的正誤．(2)判斷一個(gè)命題的真假時(shí)，若命題簡(jiǎn)單可直接判斷；否則，利用其逆否命題進(jìn)行真假判斷．解析命題“若xy＝0，則x＝0”的否命題為“若xy≠0，則x≠0”，所以A錯(cuò)；命題“?x∈R，使得2x2－1<0”的否定是“?x∈R，均有2x2－1≥0”，所以C錯(cuò)；命題“若cosx＝cosy，則x＝y(tǒng)”為假命題，故其逆否命題也假，故D錯(cuò)；“若x＋y＝0，則x，y互為相反數(shù)”的逆命題為“若x，y互為相反數(shù)，則x＋y＝0”顯然正確．所以應(yīng)選B.答案B[(1)熟悉四種命題的概念是正確書(shū)寫(xiě)或判斷四種命題真假的關(guān)鍵；(2)根據(jù)“原命題與逆否命題同真同假，逆命題與否命題同真同假”這一性質(zhì)，當(dāng)一個(gè)命題直接判斷不易進(jìn)行時(shí)，可轉(zhuǎn)化為判斷其等價(jià)命題的真假；(3)認(rèn)真仔細(xì)讀題，必要時(shí)舉特例．【訓(xùn)練1】以下關(guān)于命題的說(shuō)法正確的有________(填寫(xiě)所有正確命題的序號(hào))．①“若log2a>0，則函數(shù)f(x)＝logax(a>0，a≠1)在其定義域內(nèi)是減函數(shù)”是真命題；②命題“若a＝0，則ab＝0”的否命題是“若a≠0，則ab≠0”；③命題“若x，y都是偶數(shù)，則x＋y也是偶數(shù)”的逆命題為真命題；④命題“若a∈M，則b?M”與命題“若b∈M，則a?M”等價(jià)．解析對(duì)于①，若log2a>0＝log21，則a>1，所以函數(shù)f(x)＝logax在其定義域內(nèi)是增函數(shù)，因此①是假命題，故①不正確；對(duì)于②，依據(jù)一個(gè)命題的否命題的定義可知，該說(shuō)法正確；對(duì)于③，原命題的逆命題是“若x＋y是偶數(shù)，則x，y都是偶數(shù)”，是假命題，如1＋3＝4是偶數(shù)，但3和1均為奇數(shù)，故③不正確；對(duì)于④，不難看出，命題“若a∈M，則b?M”與命題“若b∈M，則a?M”是互為逆否命題，因此二者等價(jià)，所以④正確．綜上可知正確的說(shuō)法有②④.答案②④考向二充分條件與必要條件的判斷【例2】?(·北京)設(shè)a，b∈R.“a＝0”是“復(fù)數(shù)a＋bi是純虛數(shù)”的()．A．充分而不必要條件B．必要而不充分條件C．充分必要條件D．既不充分也不必要條件[審題視點(diǎn)]根據(jù)充分條件、必要條件的定義判斷．解析a＝0時(shí)，a＋bi不一定是純虛數(shù)，但a＋bi為純虛數(shù)時(shí)，a＝0一定成立，故“a＝0”是“復(fù)數(shù)a＋bi是純虛數(shù)”的必要不充分條件．答案B充分條件和必要條件反映了條件和結(jié)論之間的關(guān)系，結(jié)合具體問(wèn)題可按照以下三個(gè)步驟進(jìn)行判斷：①確定條件是什么，結(jié)論是什么；②嘗試從條件推結(jié)論，結(jié)論推條件；③確定條件和結(jié)論是什么關(guān)系．【訓(xùn)練2】(·天津)設(shè)x，y∈R，則“x≥2且y≥2”是“x2＋y2≥4”的()．A．充分而不必要條件B．必要而不充分條件C．充分必要條件D．既不充分也不必要條件解析由題意知，x≥2且y≥2?x2＋y2≥4，充分性滿足；反之，不成立，如x＝y(tǒng)＝eq\f(7,4)，滿足x2＋y2≥4，但不滿足x≥2且y≥2.答案A考向三充要條件的探求【例3】?(·陜西)設(shè)n∈N*，一元二次方程x2－4x＋n＝0有整數(shù)根的充要條件是n＝________.[審題視點(diǎn)]直接利用求根公式進(jìn)行計(jì)算，然后用整數(shù)等有關(guān)概念進(jìn)行分析、驗(yàn)證．解析x＝eq\f(4±\r(16－4n),2)＝2±eq\r(4－n)，因?yàn)閤是整數(shù)，即2±eq\r(4－n)為整數(shù)，所以eq\r(4－n)為整數(shù)，且n≤4，又因?yàn)閚∈N*，取n＝1,2,3,4，驗(yàn)證可知n＝3,4符合題意，所以n＝3,4時(shí)可以推出一元二次方程x2－4x＋n＝0有整數(shù)根．答案3或4解答此類題目，可先從結(jié)論出發(fā)，求出使結(jié)論成立的必要條件，然后再驗(yàn)證得到的必要條件是否滿足充分性．【訓(xùn)練3】(·湖北)若實(shí)數(shù)a，b滿足a≥0，b≥0，且ab＝0，則稱a與b互補(bǔ)．記φ(a，b)＝eq\r(a2＋b2)－a－b，那么φ(a，b)＝0是a與b互補(bǔ)的()．A．必要而不充分條件B．充分而不必要條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件解析若φ(a，b)＝0，即eq\r(a2＋b2)＝a＋b，兩邊平方整理，得ab＝0，故具備充分性．若a≥0，b≥0，ab＝0，則不妨設(shè)a＝0.φ(a，b)＝eq\r(a2＋b2)－a－b＝eq\r(b2)－b＝0.故具備必要性．故選C.答案C方法優(yōu)化1——充要條件的判斷方法【命題研究】通過(guò)對(duì)近三年高考試題的統(tǒng)計(jì)分析可以看出，有關(guān)充分條件和必要條件的考題，是通過(guò)對(duì)命題條件和結(jié)論的分析，一方面運(yùn)用集合觀點(diǎn)進(jìn)行求解，另一方面可從邏輯關(guān)系上去尋找聯(lián)系．考查對(duì)數(shù)學(xué)概念的準(zhǔn)確記憶和深層次的理解，考查角度主要是充分條件、必要條件和充要條件的判斷，它往往是在不同知識(shí)點(diǎn)的交會(huì)處進(jìn)行命題，考查面十分廣泛，涵蓋函數(shù)、立體幾何、不等式、向量、三角等內(nèi)容．判斷“p是q的什么條件”的實(shí)質(zhì)是對(duì)命題“若p，則q”與“若q，則p”的真假的確定．今后凡是遇到“p是q的什么條件”的題目，一要養(yǎng)成化簡(jiǎn)條件、結(jié)論為最簡(jiǎn)形式的好習(xí)慣，二要養(yǎng)成“解決徹底”的好習(xí)慣，既要解決充分性，又要解決必要性．【真題探究】?(·山東)設(shè)a>0且a≠1，則“函數(shù)f(x)＝ax在R上是減函數(shù)”是“函數(shù)g(x)＝(2－a)x3在R上是增函數(shù)”的()．A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充分必要條件D．既不充分也不必要條件[教你審題]先根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)確定這兩個(gè)命題的充要條件，然后根據(jù)定義法將其轉(zhuǎn)化為兩個(gè)簡(jiǎn)單命題進(jìn)行判斷．[一般解法]第1步確定“函數(shù)f(x)＝ax在R上是減函數(shù)”的充要條件：a∈(0,1)；第2步由g′(x)＝3(2－a)x2≥0知g(x)在R上是增函數(shù)的充要條件：a∈(0,1)∪(1,2)；第3步(0,1)(0,1)∪(1,2)．所以選A.[優(yōu)美解法](舉反例法)第1步在(0,1)內(nèi)任取一個(gè)實(shí)數(shù)，不妨取a＝eq\f(1,2)，前者?后者；第2步取a＝eq\f(3,2)，后者?/前者(前提：想到y(tǒng)＝x3的圖象和性質(zhì))．[答案]A【試一試】(·浙江)若a，b為實(shí)數(shù)，則“0＜ab＜1”是“a＜eq\f(1,b)或b＞eq\f(1,a)”的()．A．充分而不必要條件B．必要而不充分條件C．充分必要條件D．既不充分也不必要條件解析對(duì)于0＜ab＜1，如果a＞0，則b＞0，a＜eq\f(1,b)成立，如果a＜0，則b＜0，b＞eq\f(1,a)成立，因此“0＜ab＜1”是“a＜eq\f(1,b)或b＞eq\f(1,a)”的充分條件；反之，若a＝－1，b＝2，“a＜eq\f(1,b)或b＞eq\f(1,a)”成立，但不能推出0＜ab＜1，因此“0＜ab＜1”不是“a＜eq\f(1,b)或b＞eq\f(1,a)”的必要條件；故“0＜ab＜1”是“a＜eq\f(1,b)或b＞eq\f(1,a)”的充分而不必要條件．答案AA級(jí)基礎(chǔ)演練(時(shí)間：30分鐘滿分：55分)一、選擇題(每小題5分，共20分)1．(·福建)下列命題中，真命題是 ()．A．?x0∈R，ex0≤0B．?x∈R,2x>x2C．a(chǎn)＋b＝0的充要條件是eq\f(a,b)＝－1D．a(chǎn)>1，b>1是ab>1的充分條件解析因?yàn)?x∈R，ex>0，故排除A；取x＝2，則22＝22，故排除B；a＋b＝0，取a＝b＝0，則不能推出eq\f(a,b)＝－1，故排除C.應(yīng)選D.答案D2．(·徐州模擬)命題“若f(x)是奇函數(shù)，則f(－x)是奇函數(shù)”的否命題是()．A．若f(x)是偶函數(shù)，則f(－x)是偶函數(shù)B．若f(x)不是奇函數(shù)，則f(－x)不是奇函數(shù)C．若f(－x)是奇函數(shù)，則f(x)是奇函數(shù)D．若f(－x)不是奇函數(shù)，則f(x)不是奇函數(shù)解析否命題既否定題設(shè)又否定結(jié)論，故選B.答案B3．(·重慶)已知f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，且以2為周期，則“f(x)為[0,1]上的增函數(shù)”是“f(x)為[3,4]上的減函數(shù)”的 ()．A．既不充分也不必要條件 B．充分而不必要條件C．必要而不充分條件 D．充要條件解析∵x∈[0,1]時(shí)，f(x)是增函數(shù)，又∵y＝f(x)是偶函數(shù)，∴x∈[－1,0]時(shí)，f(x)是減函數(shù)．當(dāng)x∈[3,4]時(shí)，x－4∈[－1,0]，∵T＝2，∴f(x)＝f(x－4)．∴x∈[3,4]時(shí)，f(x)是減函數(shù)，充分性成立．反之：x∈[3,4]時(shí)，f(x)是減函數(shù)，x－4∈[－1,0]，∵T＝2，∴f(x)＝f(x－4)，∴x∈[－1,0]時(shí)，f(x)是減函數(shù)，∵y＝f(x)是偶函數(shù)，∴x∈[0,1]時(shí)，f(x)是增函數(shù)，必要性亦成立．答案D4．方程ax2＋2x＋1＝0至少有一個(gè)負(fù)實(shí)根的充要條件是 ()．A．0<a≤1 B．a(chǎn)<1C．a(chǎn)≤1 D．0<a≤1或a<0解析法一(直接法)當(dāng)a＝0時(shí)，x＝－eq\f(1,2)符合題意．當(dāng)a≠0時(shí)，若方程兩根一正一負(fù)(沒(méi)有零根)，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Δ＝4－4a>0，,\f(1,a)<0))?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a<1，,a<0))?a<0；若方程兩根均負(fù)，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Δ＝4－4a≥0，,－\f(2,a)<0，,\f(1,a)>0))?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a≤1，,a>0))?0<a≤1.綜上所述，所求充要條件是a≤1.法二(排除法)當(dāng)a＝0時(shí)，原方程有一個(gè)負(fù)實(shí)根，可以排除A，D；當(dāng)a＝1時(shí)，原方程有兩個(gè)相等的負(fù)實(shí)根，可以排除B，所以選C.答案C二、填空題(每小題5分，共10分)5．(·鹽城調(diào)研)“m<eq\f(1,4)”是“一元二次方程x2＋x＋m＝0有實(shí)數(shù)解”的________條件．解析x2＋x＋m＝0有實(shí)數(shù)解等價(jià)于Δ＝1－4m≥0，即m≤eq\f(1,4).答案充分不必要6．(·揚(yáng)州模擬)下列四個(gè)說(shuō)法：①一個(gè)命題的逆命題為真，則它的逆否命題一定為真；②命題“設(shè)a，b∈R，若a＋b≠6，則a≠3或b≠3”是一個(gè)假命題；③“x>2”是“eq\f(1,x)<eq\f(1,2)”的充分不必要條件；④一個(gè)命題的否命題為真，則它的逆命題一定為真．其中說(shuō)法不正確的序號(hào)是________．解析①逆命題與逆否命題之間不存在必然的真假關(guān)系，故①錯(cuò)誤；②此命題的逆否命題為“設(shè)a，b∈R，若a＝3且b＝3，則a＋b＝6”，此命題為真命題，所以原命題也是真命題，②錯(cuò)誤；③eq\f(1,x)<eq\f(1,2)，則eq\f(1,x)－eq\f(1,2)＝eq\f(2－x,2x)<0，解得x<0或x>2，所以“x>2”是“eq\f(1,x)<eq\f(1,2)”的充分不必要條件，③正確；④否命題和逆命題是互為逆否命題，真假性相同，故④正確．答案①②三、解答題(共25分)7．(12分)分別寫(xiě)出下列命題的逆命題、否命題、逆否命題，并判斷它們的真假．(1)若ab＝0，則a＝0或b＝0；(2)若x2＋y2＝0，則x，y全為零．解(1)逆命題：若a＝0或b＝0，則ab＝0，真命題．否命題：若ab≠0，則a≠0且b≠0，真命題．逆否命題：若a≠0且b≠0，則ab≠0，真命題．(2)逆命題：若x，y全為零，則x2＋y2＝0，真命題．否命題：若x2＋y2≠0，則x，y不全為零，真命題．逆否命題：若x，y不全為零，則x2＋y2≠0，真命題．8．(13分)已知p：x2－8x－20≤0，q：x2－2x＋1－a2≤0(a>0)．若p是q的充分不必要條件，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．解p：x2－8x－20≤0?－2≤x≤10，q：x2－2x＋1－a2≤0?1－a≤x≤1＋a.∵p?q，q?/p，∴{x|－2≤x≤10}{x|1－a≤x≤1＋a}．故有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－a≤－2，,1＋a≥10，,a>0，))且兩個(gè)等號(hào)不同時(shí)成立，解得a≥9.因此，所求實(shí)數(shù)a的取值范圍是[9，＋∞)．B級(jí)能力突破(時(shí)間：30分鐘滿分：45分)一、選擇題(每小題5分，共10分)1．(·皖南八校模擬)“m＝eq\f(1,2)”是“直線(m＋2)x＋3my＋1＝0與直線(m－2)x＋(m＋2)y－3＝0相互垂直”的 ()．A．充分必要條件 B．充分而不必要條件C．必要而不充分條件 D．既不充分也不必要條件解析由兩直線垂直的充要條件知(m＋2)(m－2)＋3m(m＋2)＝0，解得m＝－2或eq\f(1,2)，∴m＝eq\f(1,2)時(shí)，兩直線垂直，反過(guò)來(lái)不成立．答案B2．(·濰坊二模)下列說(shuō)法中正確的是 ()．A．命題“若am2<bm2，則a<b”的逆命題是真命題B．若函數(shù)f(x)＝lneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋\f(2,x＋1)))的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則a＝3C．?x∈R，使得sinx＋cosx＝eq\f(4,3)成立D．已知x∈R，則“x>1”是“x>2”的充分不必要條件解析A中命題的逆命題是“若a<b，則am2<bm2”是假命題，因?yàn)閙＝0時(shí)，上述命題就不正確，故A錯(cuò)誤；B選項(xiàng)，若f(x)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則f(x)為奇函數(shù)，則f(0)＝ln(a＋2)＝0，解得a＝－1，故B錯(cuò)誤；C選項(xiàng)，sinx＋cosx＝eq\r(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,4)))∈[－eq\r(2)，eq\r(2)]，且eq\f(4,3)∈[－eq\r(2)，eq\r(2)]，因此C是真命題．選項(xiàng)D，“x>1”是“x>2”的必要不充分條件．故選C.答案C二、填空題(每小題5分，共10分)3．(·長(zhǎng)沙模擬)若方程x2－mx＋2m解析方程x2－mx＋2m＝0對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)f(x)＝x2－mx＋2m，∵方程x2－mx＋2m＝0有兩根，其中一根大于3一根小于3，∴f(3)<0，解得m>9，即：方程x2－mx＋2m＝0有兩根，其中一根大于3一根小于3的充要條件是m>9.答案m>94．已知集合A＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)<2x<8，x∈R))))，B＝{x|－1<x<m＋1，x∈R}，若x∈B成立的一個(gè)充分不必要的條件是x∈A，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是________．解析A＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)<2x<8，x∈R))))＝{x|－1<x<3}，∵x∈B成立的一個(gè)充分不必要條件是x∈A，∴AB，∴m＋1>3，即m>2.答案(2，＋∞)三、解答題(共25分)5．(12分)求證：關(guān)于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一個(gè)根為1的充要條件是a＋b＋c＝0.證明充分性：若a＋b＋c＝0，∴b＝－a－c，∴ax2＋bx＋c＝0化為ax2－(a＋c)x＋c＝0，∴(ax－c)(x－1)＝0，∴當(dāng)x＝1時(shí)，ax2＋bx＋c＝0，∴方程ax2＋bx＋c＝0有一個(gè)根為1.必要性：若方程ax2＋bx＋c＝0有一個(gè)根為1，∴x＝1滿足方程ax2＋bx＋c＝0，∴a＋b＋c＝0.綜上可知，關(guān)于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一個(gè)根為1的充要條件是a＋b＋c＝0.6．(13分)已知全集U＝R，非空集合A＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|\f(x－2,x－3a＋1)<0))，B＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|\f(x－a2－2,x－a)<0)).(1)當(dāng)a＝eq\f(1,2)時(shí)，求(?UB)∩A；(2)命題p：x∈A，命題q：x∈B，若q是p的必要條件，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．解(1)當(dāng)a＝eq\f(1,2)時(shí)，A＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|\f(x－2,x－\f(5,2))<0))＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|2<x<\f(5,2)))，B＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|\f(x－\f(9,4),x－\f(1,2))<0))＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|\f(1,2)<x<\f(9,4)))，∴?UB＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|x≤\f(1,2)或x≥\f(9,4))).∴(?UB)∩A＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|\f(9,4)≤x<\f(5,2))).(2)∵a2＋2>a，∴B＝{x|a<x<a2＋2}．①當(dāng)3a＋1>2，即a>eq\f(1,3)時(shí)，A＝{x|2<x<3a＋1}．∵p是q的充分條件，∴A?B.∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a≤2,3a＋1≤a2＋2))，即eq\f(1,3)<a≤eq\f(3－\r(5),2).②當(dāng)3a＋1＝2，即a＝eq\f(1,3)時(shí)，A＝?，不符合題意；③當(dāng)3a＋1<2，即a<eq\f(1,3)時(shí)，A＝{x|3a＋1<x<2}，由A?B得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a≤3a＋1,a2＋2≥2))，∴－eq\f(1,2)≤a<eq\f(1,3).綜上所述，實(shí)數(shù)a的取值范圍是eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(1,3)))∪eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，\f(3－\r(5),2))).特別提醒：教師配贈(zèng)習(xí)題、課件、視頻、圖片、文檔等各種電子資源見(jiàn)《創(chuàng)新設(shè)計(jì)·高考總復(fù)習(xí)》光盤(pán)中內(nèi)容.第3講簡(jiǎn)單的邏輯聯(lián)結(jié)詞、全稱量詞與存在量詞【年高考會(huì)這樣考】1．考查邏輯聯(lián)結(jié)詞“或”、“且”、“非”的含義，能用“或”、“且”、“非”表述相關(guān)的數(shù)學(xué)內(nèi)容．2．考查對(duì)全稱量詞與存在量詞意義的理解，敘述簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)內(nèi)容，并能正確地對(duì)含有一個(gè)量詞的命題進(jìn)行否定．考點(diǎn)梳理1．命題p∧q，p∨q，綈p的真假判斷pqp∧qp∨q綈p真真真真假真假假真假假真假真真假假假假真2.全稱量詞與存在量詞(1)全稱命題與特稱命題①短語(yǔ)“所有的”“任意一個(gè)”這樣的詞語(yǔ)，一般在指定的范圍內(nèi)都表示事物的全體，這樣的詞叫做全稱量詞，用符號(hào)“?”表示，含有全稱量詞的命題，叫做全稱命題．全稱命題“對(duì)M中任意一個(gè)x，有p(x)成立”可用符號(hào)簡(jiǎn)記為：?x∈M，p(x)．②短語(yǔ)“存在一個(gè)”“至少有一個(gè)”這樣的詞語(yǔ)，都是表示事物的個(gè)體或部分的詞叫做存在量詞．并用符號(hào)“?”表示．含有存在量詞的命題叫做特稱命題．特稱命題“存在M中的一個(gè)x0，使p(x0)成立”可以用符號(hào)簡(jiǎn)記為：?x0∈M，p(x0)．(2)含有一個(gè)量詞的命題的否定命題命題的否定?x∈M，p(x)?x0∈M，綈p(x0)?x0∈M，p(x0)?x∈M，綈p(x)【助學(xué)·微博】一個(gè)逆用p∧q為真，可知p，q都為真．p∨q為真，可知p，q至少有一個(gè)為真．p∨q為假，兩個(gè)一定都假．兩點(diǎn)提醒(1)注意命題是全稱命題還是特稱命題，是正確寫(xiě)出命題的否定的前提．(2)注意命題所含的量詞，對(duì)于量詞隱含的命題要結(jié)合命題的含義顯現(xiàn)量詞，再進(jìn)行否定．考點(diǎn)自測(cè)1．若p是真命題，q是假命題，則()．A．p∧q是真命題B．p∨q是假命題C．綈p是真命題D．綈q是真命題解析q是假命題，故綈q是真命題，故選D.答案D2．(·安徽)命題“所有能被2整除的整數(shù)都是偶數(shù)”的否定是()．A．所有不能被2整除的整數(shù)都是偶數(shù)B．所有能被2整除的整數(shù)都不是偶數(shù)C．存在一個(gè)不能被2整除的整數(shù)是偶數(shù)D．存在一個(gè)能被2整除的整數(shù)不是偶數(shù)解析原命題是全稱命題，則其否定是特稱命題，故選D.答案D3．(·遼寧)已知命題p：?x1，x2∈R，(f(x2)－f(x1))·(x2－x1)≥0，則綈p()．A．?x1，x2∈R，(f(x2)－f(x1))(x2－x1)≤0B．?x1，x2∈R，(f(x2)－f(x1))(x2－x1)≤0C．?x1，x2∈R，(f(x2)－f(x1))(x2－x1)<0D．?x1，x2∈R，(f(x2)－f(x1))(x2－x1)<0解析利用“全稱命題的否定是特稱命題”求解．命題p的否定為“?x1，x2∈R，(f(x2)－f(x1))(x2－x1)<0”．答案C4．下列四個(gè)命題中，其中為真命題的是()．A．?x∈R，x2＋3<0B．?x∈N，x2≥1C．?x∈Z，使x5<1D．?x∈Q，x2＝3解析由于?x∈R都有x2≥0，因而有x2＋3≥3，所以命題“?x∈R，x2＋3<0”為假命題；由于0∈N，當(dāng)x＝0時(shí)，x2≥1不成立，所以命題“?x∈N，x2≥1”是假命題；由于－1∈Z，當(dāng)x＝－1時(shí)，x5<1，所以命題“?x∈Z，使x5<1”為真命題；由于使x2＝3成立的數(shù)只有±eq\r(3)，而它們都不是有理數(shù)，因此沒(méi)有任何一個(gè)有理數(shù)的平方能等于3，所以命題“?x∈Q，x2＝3”為假命題．答案C5．若命題“?x∈R，有x2－mx－m<0”是假命題，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是________．解析“?x∈R，有x2－mx－m<0”是假命題，則“?x∈R有x2－mx－m≥0”是真命題．即Δ＝m2＋4m≤0，∴－4≤m≤0.答案[－4,0]考向一含有邏輯聯(lián)結(jié)詞的命題的真假判斷【例1】?已知命題p：?x∈R，使tanx＝1，命題q：x2－3x＋2<0的解集是{x|1<x<2}，給出下列結(jié)論：①命題“p∧q”是真命題；②命題“p∧綈q”是假命題；③命題“綈p∨q”是真命題；④命題“綈p∨綈q”是假命題．其中正確的是()．A．②③B．①②④C．①③④D．①②③④[審題視點(diǎn)]先判斷命題p，q的真假，然后對(duì)用邏輯聯(lián)結(jié)詞構(gòu)成的復(fù)合命題進(jìn)行真假判斷．解析命題p：?x∈R，使tanx＝1是真命題，命題q：x2－3x＋2<0的解集是{x|1<x<2}也是真命題，∴①命題“p∧q”是真命題；②命題“p∧綈q”是假命題；③命題“綈p∨q”是真命題；④命題“綈p∨綈q”是假命題．答案D若要判斷一個(gè)含有邏輯聯(lián)結(jié)詞的命題的真假，需先判斷構(gòu)成這個(gè)命題的每個(gè)簡(jiǎn)單命題的真假，再依據(jù)“或”——一真即真，“且”——一假即假，“非”——真假相對(duì)，做出判斷即可．【訓(xùn)練1】已知命題p：??{0}，q：{1}∈{1,2}，由它們構(gòu)成的“p∨q”，“p∧q”，“綈p”形式的命題中，真命題有()．A．0個(gè)B．1個(gè)C．2個(gè)D．3個(gè)解析命題p為真命題，命題q為假命題，則p∨q為真命題，p∧q為假命題，綈p為假命題．答案B考向二含有一個(gè)量詞的命題的否定【例2】?(·湖北)命題“?x0∈?RQ，xeq\o\al(3,0)∈Q”的否定是()．A．?x0??RQ，xeq\o\al(3,0)∈QB．?x0∈?RQ，xeq\o\al(3,0)?QC．?x??RQ，x3∈QD．?x∈?RQ，x3?Q[審題視點(diǎn)]否定量詞，否定結(jié)論，寫(xiě)出命題的否定．解析其否定為?x∈?RQ，x3?Q.答案D全稱命題與特稱命題的否定與命題的否定有一定的區(qū)別，否定全稱命題和特稱命題時(shí)，一是要改寫(xiě)量詞，全稱量詞改寫(xiě)為存在量詞，存在量詞改寫(xiě)為全稱量詞；二是要否定結(jié)論，而一般命題的否定只需直接否定結(jié)論即可．【訓(xùn)練2】(·北京東城一模)命題“?x0∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，tanx0>sinx0”的否定是________．答案?x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，tanx≤sinx考向三全稱命題、特稱命題的真假判斷【例3】?下列命題中，真命題是()．A．?m0∈R，使函數(shù)f(x)＝x2＋m0x(x∈R)是偶函數(shù)B．?m0∈R，使函數(shù)f(x)＝x2＋m0x(x∈R)是奇函數(shù)C．?m∈R，使函數(shù)f(x)＝x2＋mx(x∈R)都是偶函數(shù)D．?m∈R，使函數(shù)f(x)＝x2＋mx(x∈R)都是奇函數(shù)[審題視點(diǎn)]根據(jù)量詞的意義和函數(shù)奇偶性的概念判斷．解析由函數(shù)奇偶性概念知，當(dāng)m0＝0時(shí)，f(x)＝x2為偶函數(shù)，故選A.答案A對(duì)于特稱命題的判斷，只要能找到符合要求的元素使命題成立，即可判斷該命題成立，對(duì)于全稱命題的判斷，必須對(duì)任意元素證明這個(gè)命題為真，而只要找到一個(gè)特殊元素使命題為假，即可判斷該命題不成立.【訓(xùn)練3】(·太原模擬)下列命題中的假命題是()．A．?x0∈R，lgx0＝0B．?x0∈R，tanx0＝eq\r(3)C．?x∈R，x3＞0D．?x∈R,2x＞0解析當(dāng)x＝1時(shí)，lgx＝0，故命題“?x0∈R，lgx0＝0”是真命題；當(dāng)x＝eq\f(π,3)時(shí)，tanx＝eq\r(3)，故命題“?x0∈R，tanx0＝eq\r(3)”是真命題；由于x＝－1時(shí)，x3＜0，故命題“?x∈R，x3＞0”是假命題；根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，對(duì)?x∈R,2x＞0，故命題“?x∈R,2x＞0”是真命題．答案C熱點(diǎn)突破2——含邏輯聯(lián)結(jié)詞的命題的判斷【命題研究】通過(guò)對(duì)近三年高考試題統(tǒng)計(jì)可以看出，高考對(duì)邏輯聯(lián)結(jié)詞的考查頻數(shù)不多，但并不是不考．多數(shù)以函數(shù)、不等式、三角函數(shù)、向量、立體幾何等知識(shí)為載體，考查含有邏輯聯(lián)結(jié)詞的命題的判斷．【真題探究】?(·山東)設(shè)命題p：函數(shù)y＝sin2x的最小正周期為eq\f(π,2)；命題q：函數(shù)y＝cosx的圖象關(guān)于直線x＝eq\f(π,2)對(duì)稱．則下列判斷正確的是()．A．p為真B．綈q為假C．p∧q為假D．p∨q為真[教你解題]第1步判斷命題p的真假；第2步判斷命題q的真假；第3步判斷含邏輯聯(lián)結(jié)詞的命題判斷真假．[解法]命題p為假命題，命題q為假命題，故p∧q為假，故選C.[答案]C[反思]含有邏輯聯(lián)結(jié)詞命題真假的判斷方法：p∧q“見(jiàn)假就假”，p∨q“見(jiàn)真就真”，綈p“真假相對(duì)”．【試一試】已知命題p：拋物線y＝2x2的準(zhǔn)線方程為y＝－eq\f(1,2)；命題q：若函數(shù)f(x＋1)為偶函數(shù)，則f(x)關(guān)于x＝1對(duì)稱．則下列命題是真命題的是()．A．p∧qB．p∨(綈q)C．(綈p)∧(綈q)D．p∨q解析由題意知：拋物線準(zhǔn)線方程為y＝－eq\f(1,8)，故命題p為假；函數(shù)f(x＋1)為偶函數(shù)，則函數(shù)f(x)的圖象向左平移1個(gè)單位關(guān)于y軸對(duì)稱，即f(x＋1)的圖象關(guān)于x＝1對(duì)稱，故命題q為真，故p∨q必為真．所以選D.答案DA級(jí)基礎(chǔ)演練(時(shí)間：30分鐘滿分：55分)一、選擇題(每小題5分，共20分)1．(·北京朝陽(yáng)二模)如果命題“p∧q”是假命題，“綈q”也是假命題，則 ()．A．命題“綈p∨q”是假命題B．命題“p∨q”是假命題C．命題“綈p∧q”是真命題D．命題“p∧綈q”是真命題解析由“綈q”為假命題得q為真命題，又“p∧q”是假命題，所以p為假命題，綈p為真命題．所以命題“綈p∨q”是真命題，A錯(cuò)；命題“p∨q”是真命題，B錯(cuò)；命題“p∧綈q”是假命題，D錯(cuò)；命題“綈p∧q”是真命題，故選C.答案C2．(·吉林模擬)已知命題p：有的三角形是等邊三角形，則 ()．A．綈p：有的三角形不是等邊三角形B．綈p：有的三角形是不等邊三角形C．綈p：所有的三角形都是等邊三角形D．綈p：所有的三角形都不是等邊三角形解析命題p：有的三角形是等邊三角形，其中隱含著存在量詞“有的”，所以對(duì)它的否定，應(yīng)該改存在量詞為全稱量詞“所有”，然后對(duì)結(jié)論進(jìn)行否定，故有綈p：所有的三角形都不是等邊三角形，所以選D.答案D3．(·開(kāi)封二模)下列命題中的真命題是 ()．A．?x∈R，使得sinx＋cosx＝eq\f(3,2)B．?x∈(0，＋∞)，ex>x＋1C．?x∈(－∞，0)，2x<3xD．?x∈(0，π)，sinx>cosx解析因?yàn)閟inx＋cosx＝eq\r(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,4)))≤eq\r(2)<eq\f(3,2)，故A錯(cuò)誤；當(dāng)x<0時(shí)，y＝2x的圖象在y＝3x的圖象上方，故C錯(cuò)誤；因?yàn)閤∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,4)))時(shí)有sinx<cosx，故D錯(cuò)誤．所以選B.答案B4．(·濰坊模擬)已知命題p：?a0∈R，曲線x2＋eq\f(y2,a0)＝1為雙曲線；命題q：x2－7x＋12＜0的解集是{x|3＜x＜4}．給出下列結(jié)論：①命題“p∧q”是真命題；②命題“p∧綈q”是假命題；③命題“綈p∨q”是真命題；④命題“綈p∨綈q”是假命題．其中正確的是________．A．②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④解析因?yàn)槊}p和命題q都是真命題，所以命題“p∧q”是真命題，命題“p∧綈q”是假命題，命題“綈p∨q”是真命題，命題“綈p∨綈q”是假命題．答案D二、填空題(每小題5分，共10分)5．命題“存在x∈R，使得x2＋2x＋5＝0成立”的否定是________．答案對(duì)任意x∈R，都有x2＋2x＋5≠06．(·南通調(diào)研)存在實(shí)數(shù)x，使得x2－4bx＋3b<0成立，則b的取值范圍是________．解析要使x2－4bx＋3b<0成立，只要方程x2－4bx＋3b＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)根，即判別式Δ＝16b2－12b>0，解得b<0或b>eq\f(3,4).答案(－∞，0)∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)，＋∞))三、解答題(共25分)7．(12分)寫(xiě)出由下列各組命題構(gòu)成的“p∨q”，“p∧q”，“綈p”形式的新命題，并判斷其真假．(1)p：2是4的約數(shù)，q：2是6的約數(shù)；(2)p：矩形的對(duì)角線相等，q：矩形的對(duì)角線互相平分；(3)p：方程x2＋x－1＝0的兩個(gè)實(shí)根的符號(hào)相同，q：方程x2＋x－1＝0的兩實(shí)根的絕對(duì)值相等．解(1)p∨q：2是4的約數(shù)或2是6的約數(shù)，真命題；p∧q：2是4的約數(shù)且2也是6的約數(shù)，真命題；綈p：2不是4的約數(shù)，假命題．(2)p∨q：矩形的對(duì)角線相等或互相平分，真命題；p∧q：矩形的對(duì)角線相等且互相平分，真命題；綈p：矩形的對(duì)角線不相等，假命題．(3)p∨q：方程x2＋x－1＝0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根符號(hào)相同或絕對(duì)值相等，假命題；p∧q：方程x2＋x－1＝0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根符號(hào)相同且絕對(duì)值相等，假命題；綈p：方程x2＋x－1＝0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根符號(hào)不同，真命題．8．(13分)寫(xiě)出下列命題的否定，并判斷真假．(1)所有的矩形都是平行四邊形；(2)每一個(gè)素?cái)?shù)都是奇數(shù)；(3)有些實(shí)數(shù)的絕對(duì)值是正數(shù)；(4)某些平行四邊形是菱形．解(1)存在一個(gè)矩形不是平行四邊形，假命題．(2)存在一個(gè)素?cái)?shù)不是奇數(shù)，真命題．(3)所有的實(shí)數(shù)的絕對(duì)值都不是正數(shù)，假命題．(4)每一個(gè)平行四邊形都不是菱形，假命題．B級(jí)能力突破(時(shí)間：30分鐘滿分：45分)一、選擇題(每小題5分，共10分)1．(·吉林二模)給出如下幾個(gè)結(jié)論：①命題“?x∈R，cosx＋sinx＝2”的否定是“?x∈R，cosx＋sinx≠2”；②命題“?x∈R，cosx＋eq\f(1,sinx)≥2”的否定是“?x∈R，cosx＋eq\f(1,sinx)<2”；③對(duì)于?x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，tanx＋eq\f(1,tanx)≥2；④?x∈R，使sinx＋cosx＝eq\r(2).其中正確的為 ()．A．③ B．③④ C．②③④ D．①②③④解析根據(jù)全稱命題的否定是特稱命題，特稱命題的否定是全稱命題，知①不正確，②正確；由基本不等式知③正確；由sinx＋cosx＝eq\r(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,4)))∈[－eq\r(2)，eq\r(2)]知④正確．答案C2．(·江西六校聯(lián)考)已知命題p：“?x∈[1,2]都有x2≥a”．命題q：“?x∈R，使得x2＋2ax＋2－a＝0成立”，若命題“p∧q”是真命題，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為 ()．A．(－∞，－2] B．(－2,1)C．(－∞，－2]∪{1} D．[1，＋∞)解析若p是真命題，即a≤(x2)min，x∈[1,2]，所以a≤1；若q是真命題，即x2＋2ax＋2－a＝0有解，則Δ＝4a2－4(2－a)≥0，即a≥1或a≤－2.命題“p∧q”是真命題，則p是真命題，q也是真命題，故有a≤－2或a＝1.答案C二、填空題(每小題5分，共10分)3．若命題“?x∈R，ax2－ax－2≤0”是真命題，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________．解析當(dāng)a＝0時(shí)，不等式顯然成立；當(dāng)a≠0時(shí)，由題意知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＜0，,Δ＝a2＋8a≤0，))得－8≤a＜0.綜上，－8≤a≤0.答案[－8,0]4．(·長(zhǎng)沙調(diào)研)下列結(jié)論：①若命題p：?x∈R，tanx＝eq\f(\r(3),3)；命題q：?x∈R，x2－x＋1>0.則命題“p∧綈q”是假命題；②已知直線l1：ax＋3y－1＝0，l2：x＋by＋1＝0，則l1⊥l2的充要條件是eq\f(a,b)＝－3；③命題“若x2－3x＋2＝0，則x＝1”的逆否命題為：“若x≠1，則x2－3x＋2≠0”．其中正確結(jié)論的序號(hào)為_(kāi)_______．解析①中命題p為真命題，命題q為真命題，所以p∧綈q為假命題，故①正確；②當(dāng)b＝a＝0時(shí)，有l(wèi)1⊥l2，故②不正確；③正確．所以正確結(jié)論的序號(hào)為①③.答案①③三、解答題(共25分)5．(12分)已知c>0，設(shè)命題p：函數(shù)y＝cx為減函數(shù)．命題q：當(dāng)x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，2))時(shí)，函數(shù)f(x)＝x＋eq\f(1,x)>eq\f(1,c)恒成立．如果“p或q”為真命題，“p且q”為假命題，求c的取值范圍．解由命題p為真知，0<c<1，由命題q為真知，2≤x＋eq\f(1,x)≤eq\f(5,2)，要使此式恒成立，需eq\f(1,c)<2，即c>eq\f(1,2)，若“p或q”為真命題，“p且q”為假命題，則p、q中必有一真一假，當(dāng)p真q假時(shí)，c的取值范圍是0<c≤eq\f(1,2)；當(dāng)p假q真時(shí)，c的取值范圍是c≥1.綜上可知，c的取值范圍是eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(c|0<c≤\f(1,2)或c≥1)).6．(13分)已知命題p：方程x2＋mx＋1＝0有兩個(gè)不等的負(fù)根；命題q：方程4x2＋4(m－2)x＋1＝0無(wú)實(shí)根．若“p∨q”為真，“p∧q”為假，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．解若方程x2＋mx＋1＝0有兩個(gè)不等的負(fù)根，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Δ＝m2－4＞0，,m＞0，))解得m＞2，即命題p：m＞2.若方程4x2＋4(m－2)x＋1＝0無(wú)實(shí)根，則Δ＝16(m－2)2－16＝16(m2－4m＋3)＜0，解得1＜m＜3，即q：1＜m＜3.因“p∨q”為真，所以p，q至少有一個(gè)為真，又“p∧q”為假，所以命題p，q至少有一個(gè)為假，因此，命題p，q應(yīng)一真一假，即命題p為真、命題q為假或命題p為假、命題q為真．∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＞2，,m≤1或m≥3))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m≤2，,1＜m＜3.))解得：m≥3或1＜m≤2，即實(shí)數(shù)m的取值范圍為[3，＋∞)∪(1,2].特別提醒：教師配贈(zèng)習(xí)題、課件、視頻、圖片、文檔等各種電子資源見(jiàn)《創(chuàng)新設(shè)計(jì)·高考總復(fù)習(xí)》光盤(pán)中內(nèi)容.小題專項(xiàng)集訓(xùn)(一)集合與常用邏輯用語(yǔ)(時(shí)間：40分鐘滿分：75分)一、選擇題(每小題5分，共50分)1．(·深圳調(diào)研)設(shè)全集U＝{1,3,5,6,8}，A＝{1,6}，B＝{5,6,8}，則(?UA)∩B＝ ()．A．{6} B．{5,8} C．{6,8} D．{5,6,8}解析依題意?UA＝{3,5,8}，(?UA)∩B＝{5,8}，選B.答案B2．(·遼寧)已知命題p：?n∈N,2n＞1000，則綈p為 ()．A．?n∈N,2n≤1000 B．?n∈N,2n＞1000C．?n∈N,2n≤1000 D．?n∈N,2n＜1000解析特稱命題的否定是全稱命題．即p：?x∈M，p(x)，則綈p：?x∈M，綈p(x)．故選A.答案A3．(·福建)已知集合M＝{1,2,3,4}，N＝{－2,2}，下列結(jié)論成立的是()．A．N?M B．M∪N＝MC．M∩N＝N D．M∩N＝{2}解析－2?M，可排除A；M∪N＝{－2,1,2,3,4}，可排除B；M∩N＝{2}，故應(yīng)選D.答案D4．(·河南重點(diǎn)中學(xué)聯(lián)考)已知集合A＝{圓}，B＝{直線}，則A∩B為()．A．? B．單元素集C．兩個(gè)元素的集合 D．以上情況均有可能解析集合A是各種圓構(gòu)成的集合，B中元素是直線，當(dāng)然A∩B＝?.答案A5．(·山東)對(duì)于函數(shù)y＝f(x)，x∈R，“y＝|f(x)|的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱”是“y＝f(x)是奇函數(shù)”的 ()．A．充分而不必要條件B．必要而不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件解析若y＝f(x)是奇函數(shù)，則f(－x)＝－f(x)，∴|f(－x)|＝|－f(x)|＝|f(x)|，∴y＝|f(x)|的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，但若y＝|f(x)|的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，如y＝f(x)＝x2，而它不是奇函數(shù)，故選B.答案B6．已知集合A＝{x|x2－2x＋a>0}，且1?A，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是 ()．A．(－∞，1] B．[1，＋∞)C．[0，＋∞) D．(－∞，－1)解析∵1?A，∴1－2＋a≤0，則a≤1.故選A.答案A7．(·安徽“江南十?！甭?lián)考)命題p：若a·b>0，則a與b的夾角為銳角；命題q：若函數(shù)f(x)在(－∞，0]及(0，＋∞)上都是減函數(shù)，則f(x)在(－∞，＋∞)上是減函數(shù)．下列說(shuō)法中正確的是 ()．A．“p或q”是真命題 B．“p或q”是假命題C．綈p為假命題 D．綈q為假命題解析當(dāng)a·b>0時(shí)，a與b的夾角為銳角或零度角，∴命題p是假命題；命題q是假命題，例如f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－x＋1，x≤0，,－x＋2，x>0，))所以“p或q”是假命題，選B.答案B8．(·濟(jì)南模擬)若函數(shù)f(x)＝eq\r(1－x)的定義域?yàn)锳，函數(shù)g(x)＝lg(x－1)，x∈[2,11]的值域?yàn)锽，則A∩B等于 ()．A．(－∞，1] B．(－∞，1) C．[0,1] D．[0,1)解析由題知，A＝(－∞，1]，B＝[0,1]，∴A∩B＝[0,1]．答案C9．(·哈師大附中模擬)設(shè)x，y是兩個(gè)實(shí)數(shù)，則命題“x，y中至少有一個(gè)數(shù)大于1”成立的充分不必要條件是 ()．A．x＋y＝2 B．x＋y>2C．x2＋y2>2 D．xy>1解析命題“x，y中至少有一個(gè)數(shù)大于1”等價(jià)于“x>1或y>1”，若x＋y>2，必有x>1或y>1，否則x＋y≤2；而當(dāng)x＝2，y＝－1時(shí)，2－1＝1<2，所以x>1或y>1不能推出x＋y>2.當(dāng)x＝1，且y＝1時(shí)，滿足x＋y＝2，不能推出x>1或y>1，所以A錯(cuò)；對(duì)于x2＋y2>2，當(dāng)x<－1，y<－1時(shí)，滿足x2＋y2>2，但不能推出x>1或y>1，故C錯(cuò)；對(duì)于xy>1，當(dāng)x<－1，y<－1時(shí)，滿足xy>1，但不能推出x>1或y>1，故D錯(cuò)，綜上知選B.答案B10．(·山西四校聯(lián)考)下列有關(guān)命題的說(shuō)法正確的是 ()．A．命題“若x2＝1，則x＝1”的否命題為“若x2＝1，則x≠1”B．“x＝－1”是“x2－5x－6＝0”的必要不充分條件C．命題“?x∈R，使得x2＋x－1<0”的否定是“?x∈R，均有x2＋x－1>0”D．命題“若x＝y(tǒng)，則sinx＝siny”的逆否命題為真命題解析對(duì)