九年級(jí)數(shù)學(xué)下學(xué)期期中檢測(cè)題新版北師大版

Page5期中檢測(cè)題(時(shí)間：120分鐘滿分：120分)一、選擇題(每小題3分，共30分)1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，AC＝4，sinB＝(D)A.eq\f(2,3)B.eq\f(3,5)C.eq\f(3,4)D.eq\f(4,5)2．若函數(shù)y＝(2－m)xm2－3是二次函數(shù)，且開口向上，則m的值為(B)A．±eq\r(5)B．－eq\r(5)C.eq\r(5)D．03．在△ABC中，∠A，∠B均為銳角，且有|tanA－eq\r(3)|＋(2sinB－eq\r(3))2＝0，則△ABC是(D)A．直角三角形B．等腰直角三角形C．等腰(非等邊)三角形D．等邊三角形4．將如圖所示的拋物線向右平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，再向上平移3個(gè)單位長(zhǎng)度后，得到的拋物線的表達(dá)式是(C)A．y＝(x－1)2＋1B．y＝(x＋1)2＋1C．y＝2(x－1)2＋1D．y＝2(x＋1)2＋1,第4題圖),第5題圖),第7題圖),第9題圖),第10題圖)5．小明利用測(cè)角儀和旗桿的拉繩測(cè)量學(xué)校旗桿的高度．如圖，旗桿PA的高度與拉繩PB的長(zhǎng)度相等．小明將PB拉到PB′的位置，測(cè)得∠PB′C＝α(B′C為水平線)，測(cè)角儀B′D的高度為1米，當(dāng)α＝60°時(shí)，旗桿PA的高度為(A)A．4＋2eq\r(3)B．4－2eq\r(3)C．2＋eq\r(3)D.eq\f(2＋\r(3),2)6．將進(jìn)貨單價(jià)為70元的某種商品按零售價(jià)100元一個(gè)售出時(shí)，每天能賣出20個(gè)，若這種商品在肯定范圍內(nèi)每降價(jià)1元，每日銷量就增加1個(gè)，為了獲得最大利潤(rùn)，則應(yīng)當(dāng)降價(jià)(A)A．5元B．10元C．15元D．20元7．如圖，在矩形ABCD中，CE⊥BD于點(diǎn)E，BE＝2，DE＝8，則tan∠ACE的值為(C)A.eq\f(1,2)B.eq\f(4,3)C.eq\f(3,4)D．28．函數(shù)y＝ax2－a與y＝eq\f(a,x)(a≠0)在同始終角坐標(biāo)系中的圖象可能是圖中的(A)9．已知拋物線y＝eq\f(1,4)x2＋1具有如下性質(zhì)：該拋物線上隨意一點(diǎn)到定點(diǎn)F(0，2)的距離與到x軸的距離始終相等．如圖，點(diǎn)M的坐標(biāo)為(eq\r(3)，3)，P是拋物線y＝eq\f(1,4)x2＋1上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則△PMF周長(zhǎng)的最小值是(C)A．3B．4C．5D．610．已知二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的圖象如圖所示，其對(duì)稱軸為直線x＝－1，給出下列結(jié)論：①b2>4ac；②abc>0；③2a＋b＝0；④a＋b＋c>0；⑤a－b＋c<0.則正確的結(jié)論是(D)A．①②③④B．②④⑤C．②③④D．①④⑤二、填空題(每小題3分，共24分)11．在△ABC中，∠C＝90°，假如AB＝4，cosA＝eq\f(1,2)，那么BC的長(zhǎng)為__2eq\r(3)__．12．拋物線y＝－x2＋bx＋c的部分圖象如圖所示，若y>0，則x的取值范圍是__－3<x<1__．,第12題圖),第14題圖),第15題圖)13．二次函數(shù)y＝x2－4x＋m與x軸的一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為(3，0)，則一元二次方程x2－4x＋m＝0的兩根是__x1＝3，x2＝1__．14．如圖所示，某攔水大壩的橫斷面為梯形ABCD，AE，DF為梯形的高，其中迎水坡AB的坡角α＝45°，坡長(zhǎng)AB＝10eq\r(2)米，背水坡CD的坡度i＝1∶eq\r(3)，則背水坡的坡長(zhǎng)CD為__20__米．15．如圖，某大橋有一段拋物線型的拱梁，拋物線的表達(dá)式為y＝ax2＋bx.小強(qiáng)騎自行車從拱梁一端O沿直線勻速穿過拱梁部分的橋面OC，當(dāng)小強(qiáng)騎自行車行駛10秒時(shí)和26秒時(shí)拱梁的高度相同，則小強(qiáng)騎自行車通過拱梁部分的橋面OC共需__36__秒．16．如圖，在菱形ABCD中，DE⊥AB，cosA＝eq\f(3,5)，BE＝2，則tan∠DBE的值是__2__．,第16題圖),第17題圖),第18題圖)17．如圖，一幢大樓的頂部豎有一塊寫有“校訓(xùn)”的宣揚(yáng)牌CD，小明在山坡的底部A處測(cè)得宣揚(yáng)牌底部D的仰角為60°，沿山坡向上走到B處測(cè)得宣揚(yáng)牌頂部C的仰角為45°，已知山坡AB垂直于視線AD，AB＝20米，AE＝30米，則這塊宣揚(yáng)牌CD的高度為__5.4米__．(測(cè)角器的高度忽視不計(jì)，結(jié)果精確到0.1米，參考數(shù)據(jù)：eq\r(2)≈1.414，eq\r(3)≈1.732)18．如圖，在△ABC中，AC＝6，BC＝10，tanC＝eq\f(3,4)，點(diǎn)D是AC邊上的動(dòng)點(diǎn)(不與點(diǎn)C重合)，過D作DE⊥BC，垂足為E，點(diǎn)F是BD的中點(diǎn)，連接EF，設(shè)CD＝x，△DEF的面積為S，則S與x之間的函數(shù)關(guān)系式為__S＝－eq\f(3,25)x2＋eq\f(3,2)x(0<x≤6)__．三、解答題(共66分)19．(6分)計(jì)算：6tan230°－cos30°·tan60°－2sin45°＋cos60°.解：原式＝1－eq\r(2).20．(6分)已知二次函數(shù)y＝x2＋bx－c的圖象與x軸兩交點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(m，0)，(－3m，0)(m≠0)．(1)求證：4c＝3b2；(2)若該函數(shù)圖象的對(duì)稱軸為直線x＝1，試求二次函數(shù)的最小值．解：(1)證明：設(shè)二次函數(shù)表達(dá)式為y＝(x－m)(x＋3m)＝x2＋2mx－3m2，∴b＝2m，－c＝－3m2，∴c＝3m2，∴4c＝12m2，3b2＝12m2，∴4c＝3b2.(2)依題意－eq\f(b,2a)＝－eq\f(2m,2)＝1，∴m＝－1，∴表達(dá)式為y＝x2－2x－3＝(x－1)2－4，∴y最?。剑?.21．(8分)如圖，AD是△ABC的中線，tanB＝eq\f(1,3)，cosC＝eq\f(\r(2),2)，AC＝eq\r(2)，求：(1)BC的長(zhǎng)；(2)sin∠ADC的值．解：(1)過點(diǎn)A作AE⊥BC于點(diǎn)E，∵cosC＝eq\f(\r(2),2)，∴∠C＝45°.∵AC＝eq\r(2)，∴AE＝eq\r(2)sin45°＝1，∴CE＝1.∵tanB＝eq\f(AE,BE)＝eq\f(1,3)，∴BE＝3，∴BC＝BE＋CE＝4.(2)∵AD是△ABC的中線，∴BD＝CD＝2，DE＝CD－CE＝1，∴AD＝eq\r(2)，∴sin∠ADC＝eq\f(AE,AD)＝eq\f(1,\r(2))＝eq\f(\r(2),2).22．(8分)在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y＝x2＋bx＋c(b，c都是常數(shù))的圖象經(jīng)過點(diǎn)(1，0)和(0，2)．(1)當(dāng)－2≤x≤2時(shí)，求y的取值范圍；(2)已知點(diǎn)P(m，n)在該函數(shù)的圖象上，且m＋n＝1，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．解：(1)將(1，0)，(0，2)代入y＝x2＋bx＋c，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1＋b＋c＝0，,c＝2，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(b＝－3，,c＝2，))∴這個(gè)函數(shù)的表達(dá)式為y＝x2－3x＋2.∵y＝x2－3x＋2＝(x－eq\f(3,2))2－eq\f(1,4)，∴當(dāng)x＝eq\f(3,2)時(shí)，y的值最小，最小值為－eq\f(1,4).分別把x＝－2，x＝2代入y＝x2－3x＋2，得y＝12；y＝0.∴y的取值范圍是－eq\f(1,4)≤y≤12.(2)∵點(diǎn)P(m，n)在該函數(shù)的圖象上，∴n＝m2－3m＋2.∵m＋n＝1，∴m2－2m＋1＝0，解得m＝1，n＝0，∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為(1，0)．23．(8分)某市正在進(jìn)行商業(yè)街改造，商業(yè)街起點(diǎn)在古民居P的南偏西60°方向上的A處，現(xiàn)已改造至古民居P南偏西30°方向上的B處，A與B相距150米，且B在A的正東方向，為不破壞古民居的風(fēng)貌，根據(jù)有關(guān)規(guī)定，在古民居四周100米以內(nèi)不得修建現(xiàn)代化商業(yè)街，若工程隊(duì)接著向正東方向修建200米商業(yè)街至C處，則對(duì)于從B到C的商業(yè)街改造是否違反有關(guān)規(guī)定？解：過點(diǎn)P作PD⊥BC，垂足為D，在Rt△APD中，∠APD＝60°，∴tan60°＝eq\f(AD,PD)＝eq\r(3)，∴AD＝eq\r(3)PD，在Rt△BPD中，∠BPD＝30°，∴tan30°＝eq\f(BD,PD)＝eq\f(\r(3),3)，BD＝eq\f(\r(3),3)PD.∵AD－BD＝AB，∴eq\r(3)PD－eq\f(\r(3),3)PD＝150，解得PD＝75eq\r(3)，∵75eq\r(3)>100，∴從B到C的商業(yè)街改造不違反有關(guān)規(guī)定．24．(8分)如圖，某倉(cāng)儲(chǔ)中心有一斜坡AB，其坡度為i＝1∶2，頂部A處的高AC為4m，B，C在同一水平地面上．(1)求斜坡AB的水平寬度BC；(2)矩形DEFG為長(zhǎng)方體貨柜的側(cè)面圖，其中DE＝2.5m，EF＝2m，將該貨柜沿斜坡向上運(yùn)輸，當(dāng)BF＝3.5m時(shí)，求點(diǎn)D離地面的高度．(eq\r(5)≈2.236，結(jié)果精確到0.1m)解：(1)∵坡度為i＝1∶2，AC＝4m，∴BC＝4×2＝8m.(2)過點(diǎn)D作DS⊥BC，垂足為S，且與AB相交于點(diǎn)H，∵∠DGH＝∠BSH，∠DHG＝∠BHS，∴∠GDH＝∠SBH，∴eq\f(GH,GD)＝eq\f(1,2).∵DG＝EF＝2m，∴GH＝1m，∴DH＝eq\r(12＋22)＝eq\r(5)m，BH＝BF＋FH＝3.5＋(2.5－1)＝5m．設(shè)HS＝xm，則BS＝2xm，∴x2＋(2x)2＝52，∴x＝eq\r(5)m，∴DS＝eq\r(5)＋eq\r(5)＝2eq\r(5)≈4.5m，∴點(diǎn)D離地面的高度為4.5m.25．(10分)(2024·威海)為了支持高校生創(chuàng)業(yè)，某市政府出臺(tái)了一項(xiàng)實(shí)惠政策：供應(yīng)10萬元的無息創(chuàng)業(yè)貸款．小王利用這筆貸款，注冊(cè)了一家淘寶網(wǎng)店，招收5名員工，銷售一種火爆的電子產(chǎn)品，并約定用該網(wǎng)店經(jīng)營(yíng)的利潤(rùn)，逐月償還這筆無息貸款．已知該產(chǎn)品的成本為每件4元，員工每人每月的工資為4千元，該網(wǎng)店還需每月支付其它費(fèi)用1萬元．該產(chǎn)品每月銷售量y(萬件)與銷售單價(jià)x(元)萬件之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示．(1)求該網(wǎng)店每月利潤(rùn)w(萬元)與銷售單價(jià)x(元)之間的函數(shù)表達(dá)式；(2)小王自網(wǎng)店開業(yè)起，最快在第幾個(gè)月可還清10萬元的無息貸款？解：(1)設(shè)直線AB的表達(dá)式為y＝kx＋b，代入A(4，4)，B(6，2)，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(4k＋b＝4，,6k＋b＝2.))，解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k＝1，,b＝8.))∴直線AB的表達(dá)式為y＝－x＋8.同理代入B(6，2)，C(8，1)可得直線BC的表達(dá)式為y＝－eq\f(1,2)x＋5.∵工資及其他費(fèi)用為0.4×5＋1＝3萬元，∴當(dāng)4≤x≤6時(shí)，w1＝(x－4)(－x＋8)－3＝－x2＋12x－35，當(dāng)6≤x≤8時(shí)，w2＝(x－4)(－eq\f(1,2)x＋5)－3＝－eq\f(1,2)x2＋7x－23.(2)當(dāng)4≤x≤6時(shí)，w1＝－x2＋12x－35＝－(x－6)2＋1，∴當(dāng)x＝6時(shí)，w1取最大值是1，當(dāng)6≤x≤8時(shí)，w2＝－eq\f(1,2)x2＋7x－23＝－eq\f(1,2)(x－7)2＋eq\f(3,2)，當(dāng)x＝7時(shí)，w2取最大值是1.5，∴eq\f(10,1.5)＝eq\f(20,3)＝6eq\f(2,3)，即最快在第7個(gè)月可還清10萬元的無息貸款．26.(12分)如圖，已知拋物線y＝ax2＋bx＋3過等腰Rt△BOC的兩頂點(diǎn)B，C，且與x軸交于點(diǎn)A(－1，0)．(1)求拋物線的表達(dá)式；(2)若拋物線的對(duì)稱軸與直線BC相交于點(diǎn)M，點(diǎn)N為x軸上一點(diǎn)，當(dāng)以M，N，B為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相像時(shí)，求BN的長(zhǎng)；(3)若P為線段BC上方的拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P到直線BC的距離是否存在最大值？若存在，懇求出這個(gè)最大值及此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．解：(1)令x＝0，則y＝3，∴C(0，3)，∴OC＝3.又∵Rt△BOC是等腰直角三角形，∴B(3，0)．將A(－1，0)，B(3，0)代入y＝ax2＋bx＋3，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a－b＋3＝0，,9a＋3b＋3＝0，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝－1，,b＝2，))∴y＝－x2＋2x＋3.(2)拋物線的對(duì)稱軸為直線x＝－eq\f(b,2a)＝1，由B(3，0)，C(0，3)可得直線BC的表達(dá)式為y＝－x＋3.當(dāng)x＝1時(shí)，y＝－x＋3＝2，∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為(1，2)．∴AB＝4，BC＝3eq\r(2)，BM＝2eq\r(2).①當(dāng)△MNB∽△CAB時(shí)，eq\f(BN,AB)＝eq\f(MB,CB)，即eq\f(BN,4)＝eq\f(2\r(2),3\r(2))，BN＝eq\f(8,3)；②當(dāng)△MNB∽△ACB時(shí)，eq\f(BN,BC)＝eq\f(MB,AB)，即eq\f(BN,3\r(2))＝eq\f(2\r(2),4)，BN＝3.綜上所述，BN的長(zhǎng)為3或eq\f(8,3)時(shí)，△MNB與△ABC相像．(3)存在．設(shè)P(x，－x2＋2x＋3)，且0<x<3，過點(diǎn)P作y軸的平行線交BC于點(diǎn)Q，∵直線BC的表達(dá)式為y＝－x＋3，∴點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(x，－x＋3)，∴PQ＝－x2＋2x＋3－(－x＋3)＝－x2＋3x.設(shè)點(diǎn)P到直線BC的距離為d，∵S△BCP＝S△CPQ＋S△BPQ＝eq\f(1,2)BC·