高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)資料09 圓錐曲線教學(xué)案

【2013考綱解讀】

1.掌握橢圓的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程和橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)；理解數(shù)形結(jié)合的思想；了解圓錐曲

線的簡(jiǎn)單應(yīng)用.

2.了解雙曲線的定義、幾何性質(zhì)，掌握雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程,會(huì)利用定義、標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何

性質(zhì)解決一些簡(jiǎn)單的問題.

3.了解拋物線的定義、幾何性質(zhì)，掌握拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程,會(huì)利用定義、標(biāo)準(zhǔn)方程和幾

何性質(zhì)解決一些簡(jiǎn)單的問題.

4.了解圓錐曲線的簡(jiǎn)單應(yīng)用，理解直線與橢圓、直線與拋物線的位置關(guān)系.

【知識(shí)網(wǎng)絡(luò)構(gòu)建】

l*線L

與

曲

線

曲線與方程位

置

圓錐曲線的應(yīng)用關(guān)

系

【重點(diǎn)知識(shí)整合】

1.慚圓

(1)桶圓的定義；

(2)兩種標(biāo)準(zhǔn)方程：2+。=1(3＞方＞0),焦點(diǎn)在x軸上；4+3=l(a＞方＞。)，焦點(diǎn)在■軸

abab

上；

(3)桶圓方程的一般形式：一+步=1(屬＞0,zr＞0,,其焦點(diǎn)位置有加下規(guī)律，當(dāng)

水n時(shí)，焦點(diǎn)在x軸上；當(dāng)JUXD時(shí)，焦點(diǎn)在尸軸上；

(4)佛圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì).

2.雙曲線

(1)雙曲線的定義；

2222

⑵兩種標(biāo)準(zhǔn)方程：之一￡=l(a＞0,b＞0),焦點(diǎn)在x軸上；當(dāng)一E=l(a＞。，力。)，焦點(diǎn)

abab

在y軸上；

(3)雙曲線方程的一般形式：W+/7y=lW0),其焦點(diǎn)位置有如下規(guī)律：當(dāng)加0,水0

時(shí)，焦點(diǎn)在x軸上；當(dāng)水0,〃＞0時(shí)，焦點(diǎn)在y軸上；

(4)雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì).

3.拋物線

(1)拋物線的定義；

(2)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(3)拋物線方程的一般形式：焦點(diǎn)在x軸上的拋物線方程可以用/=4x(4W0)表示；

焦點(diǎn)在y軸上的拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程可以用/="(iwo)表示；

(4)拋物線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì).

【高頻考點(diǎn)突破】

考點(diǎn)一橢圓

1.定義式：|陽|+|陽|=2a(2a>出網(wǎng)).

X22V

標(biāo)準(zhǔn)方程：焦點(diǎn)在軸上：F+R=1Q>6>0)；

2.xab

V2X2

焦點(diǎn)在軸上：F+R=1(。>；

yab6>0)

焦點(diǎn)不確定：mx+/?y=l(^>0,7?>0).

3.離心率：e=~=A/l--2<1.

a\la

過焦點(diǎn)垂直于對(duì)稱軸的弦長(zhǎng)即通徑長(zhǎng)為

4.a

22

例1、過點(diǎn)以0,1)的橢圓當(dāng)+V=l(a>6>0)的離心率為乎.橢圓與x軸交于兩點(diǎn)

ab2

4(a,0)、6(—a,0).過點(diǎn)C的直線/與橢圓交于另一點(diǎn)〃并與x軸交于點(diǎn)N直線AC與直

線初交于點(diǎn)Q.

(1)當(dāng)直線,過橢圓右焦點(diǎn)時(shí)，求線段繆的長(zhǎng)；

(2)當(dāng)點(diǎn)戶異于點(diǎn)6時(shí)，求證：op?OQ為定值.

解：⑴由已知得$=1，解得a=2,

所以桶圓方程為？+F=L

橢圓的右焦點(diǎn)為(3,0)，

此時(shí)直線/的方程為T=-^.v+l,

代入桶圓方程化簡(jiǎn)得7x-sV3x=0.

解得為=0,x尸半

代入直線/的方程得仙=1,^=-|,

所.以D點(diǎn)坐標(biāo)為(§羋，—.

,,,,/8\[3a.1916

故|切=y2+-y-2=—.

(2)當(dāng)直線I與、軸垂直時(shí)與題意不符.

設(shè)直線/的方程為y=kx+1(笈0且上g.

代入幃圓方程化簡(jiǎn)得(4F+l)x:+8fcv=0.

解得為=0,處=/；二；「

代入直線『的方程得『1=1,上=品三，

所以D點(diǎn)坐標(biāo)為(志?，"言).

4h+14￡-+1

又直線乂。的方程為9b=1,

聯(lián)立解得一二二:二

［丁——1.

因此。點(diǎn)坐標(biāo)為(一粒2升1).

又P點(diǎn)坐標(biāo)為(一1，0).

所以。POQ=(—50),(-4*:2*r4-1)=4.

故萬而為定值.

22-J

【變式探究】若橢圓當(dāng)+￡=1的焦點(diǎn)在X軸上，過點(diǎn)(1,R作圓/+/=1的切線，切

點(diǎn)分別為4B,直線加恰好經(jīng)過橢圓的右焦點(diǎn)和上頂點(diǎn)，則橢圓方程是.

解析：由題可設(shè)斜率存在的切線的方程為丁一1=&x-l)優(yōu)為切線的斜率)，即26一23

一1a

—2什1=0.由一：=三^==1,解得三一j.所以圓?W+F=l的一條切線方程為3x+電,-5=0,

44區(qū)+44

求得切點(diǎn).4(1，3,易知另一切點(diǎn)3(1,0),則直線.二的方程為j=-2x+2.

令v=0得右焦點(diǎn)為(10),令x=。得上頂點(diǎn)為Q2).

.?.￡=松+/=5.故得所求桶圓方程為5+?=1.

答案：5+彳=1

【方法技巧】

1.涉及橢圓基本量運(yùn)算時(shí)要注意以下幾個(gè)問題

(1)求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程或離心率要注意a、b、c三者之間關(guān)系；

⑵要善于借助于圖形分析問題；

(3)對(duì)于焦點(diǎn)三角形問題要注意定義與正弦定理余弦定理的綜合應(yīng)用，尤其是配方法的

使用.

2.直線與橢圓的位置關(guān)系問題

(1)判斷方法：利用/〉0,4=0,/〈0可解決;

(2)弦長(zhǎng)問題：|AB\=yj—+?—XLE-

(3)中點(diǎn)弦問題：用點(diǎn)差法較簡(jiǎn)單.

考點(diǎn)二雙曲線

1.定義式：||"IT必||=2a(2a〈出網(wǎng))

2.標(biāo)準(zhǔn)方程：

X2V2

焦點(diǎn)在X軸上：/一7=1(a0,Z?>0),

22

焦點(diǎn)在P軸上：5—￡=1(乃>0,8>0),

焦點(diǎn)不明確：mx+ny=l(mn<0).

3.離心率與漸近線問題：

(1)焦點(diǎn)到漸近線的距離為6.

(2)e=~=A/1+-2>1,

aMa

注意：若a〉b〉0,則〈鏡，

若a=b>0,則e=書,

若母a>0,則e>y[2.

b

焦點(diǎn)在軸上，漸近線的斜率“=土一，

(3)xa

焦點(diǎn)在y軸上，漸近線的斜率"=±弓.

b

X2V2X2V2

(4)與F一方=1共漸近線的雙曲線方程可設(shè)為F—￡=a(A=0).

abab

22

例2、已知雙曲線芻一￡=l(a>0,垃0)的一條漸近線方程是它的一個(gè)焦點(diǎn)在

abv

拋物線/=24x的準(zhǔn)線上，則雙曲線的方程為()

A——————1R———=1

36108927

/yxy

r----------=1n--------i

10836279=

解析：由雙曲線1一三=go,匕>0)的一條漸近線方程是產(chǎn)小，則①，拋物

Cr"DCL

線F=24x的準(zhǔn)線方程為x=-6,知一c=—6,c=6,3二+棧=6②,由①②得a=3,b=

3亞則雙曲線的方程為5一4=1.

答案：B

【變式探究】設(shè)直線/過雙曲線。的一個(gè)焦點(diǎn)，且與C的一條對(duì)稱軸垂直，/與C交于4B

兩點(diǎn)，\AB\

為C的實(shí)軸長(zhǎng)的2倍，則。的離心率為()

A.4B.十

C.2D.3

解析：設(shè)雙曲線C的方程為，U=1，焦點(diǎn)尸(一c,0),將x=-c代入H=1可得

*b-寸加

V*=~

*Or

承

所以=2'彳=2*2<1

...襁=2￡.c2=￡+b：=3￡..\e=；=Vi

答案:B

【方法技巧】

1.使用雙曲線定義時(shí)注意點(diǎn)在雙曲線的哪一個(gè)分支上.

2.對(duì)于雙曲線的離心率與漸近線的關(guān)系.若已知漸近線而不明確焦點(diǎn)位置，那么離心

率一定有兩解.

3.直線與雙曲線的交點(diǎn)比橢圓復(fù)雜，要注意結(jié)合圖形分析.尤其是直線與雙曲線有且

只有一個(gè)交點(diǎn)0/=0或，平行于漸近線.

考點(diǎn)三拋物線

1.定義式：|用|=d

2.根據(jù)焦點(diǎn)及開口確定標(biāo)準(zhǔn)方程.注意0〉0時(shí)才有幾何意義，即焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離.

3.直線/過拋物線V=2px(p>0)的焦點(diǎn)凡交拋物線于46兩點(diǎn)，則有：

(1)通徑的長(zhǎng)為2P.

(2)焦點(diǎn)弦公式：\AB\=xi-\-x2+p=g.

(3)xiXz=~tyiy2=-p-

(4)以焦點(diǎn)弦為直徑的圓與拋物線的準(zhǔn)線相切.

(5)

例3、如圖，直線/：y=x+6與拋物線C：丁=4/相切于點(diǎn)4

(1)求實(shí)數(shù)力的值；

(2)求以點(diǎn)/為圓心，且與拋物線C的準(zhǔn)線相切的圓的方程.

~ji=x+b,g

解：⑴由二得必一以一46=0,(*)

Lx-=4y

因?yàn)橹本€/與拋物線。相切，

所以J=(-4)--一4&)=0.

解得b=-\.

⑵由①可知b=~l,故方程［*)為必一4x+4=Q.

解得x=2,代入C=4y,得丁=1,

故點(diǎn)4(2,1).

因?yàn)閳A.4與拋物線C的準(zhǔn)線相切，

所以圓X的半徑〃就等于圓心X到拋物線的準(zhǔn)線丁=-1的距離.

即r=1—(—1)=2.

所以圓工的方程為(x-2):+(j—1>=4.

【變式探究】已知戶是拋物線/=矛的焦點(diǎn)，A,8是該拋物線上的兩點(diǎn)，|/川+|即|=3,

則線段45的中點(diǎn)到y(tǒng)軸的距離為()

3

A.-B.1

57

C1D-4

解析：根據(jù)拋物線定義與梯形中位線定理，得線段中點(diǎn)到y(tǒng)軸的距離為：

1315

4--2--4--4-

答案：C

【方法技巧】

1.求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程常采用待定系數(shù)法.利用題中已知條件確定拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)

線的距離。的值.注意定義轉(zhuǎn)化.

2.直線與拋物線有且只有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)，不一定有4=0,還有可能直線平行于拋物線

的對(duì)稱軸.

3.研'究拋物線的幾何性質(zhì)時(shí)要注意結(jié)合圖形進(jìn)行分析.

【難點(diǎn)探究】

難點(diǎn)一圓錐曲線的定義與標(biāo)準(zhǔn)方程

/廿

例1、已知雙曲線F—0=1（a>0,6>0）的兩條漸近線均和圓C：/+/—6x+5=0相切,

ab

且雙曲線的右焦點(diǎn)為圓。的圓心，則該雙曲線的方程為（）

【答案】A

【解析】圓方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程為（l3）；+y=4,所以圓心C（3,O）,r=2,所以雙曲

線焦點(diǎn)F（3,O）,即產(chǎn)3,漸近線為到±加=0,由圓心到漸近線的距離為2得隼里=2,

又一+方；=9,所以|方|=2,即方=4,』=廿一方=9-4=5,所以所求雙曲線方程為千一

04

1.

22

【變式探究】（1）已知點(diǎn)尸為雙曲線正X一V套=1右支上一點(diǎn)，鼻、K分別為雙曲線的左、右焦

1b9

點(diǎn)，/為△掰K的內(nèi)心，若S=S△此+成立，貝U4的值為（）

5443

A標(biāo)B-i%D.-

A（2

⑵在平面直角坐標(biāo)系X0中，橢圓。的中心為原點(diǎn)，焦點(diǎn)F\,E在X軸上，離心率為為

過人的直線/交。于48兩點(diǎn)，且△版的周長(zhǎng)為16,那么。的方程為.

22

【答案】⑴B（2）-Y+^-V=1

168

【解析】（1）根據(jù)三角形面積公式把SNPF\=SNPFH

AS△如K轉(zhuǎn)化為焦點(diǎn)三角形邊之間的關(guān)系.根據(jù)SXIPF\=SX

1P&+ASZFFz,得|陽|=|陽|+A出網(wǎng)，即2a=24c,貝!I

a4

4注意內(nèi)心是三角形內(nèi)切圓的圓心，到三角形各邊的距

c5

曷相等.

22

(2)設(shè)橢圓方程為FX+，V=1(a>?0).

ab

因?yàn)殡x心.率為當(dāng)，所以好=、八工,

zZ'a

8

-1

得

解2-2-

之即a=2t).

又XABF?的周長(zhǎng)為|"|+|■|+|跖』|■|+|%|+|砒|+1|=(|/|+

IZ否I)+(I仍I+I班I)=2a+2a=4劣所以4a=16,3=4,所以6=2隹，

所以橢圓方程為正x+gy=L

lb8

難點(diǎn)二圓錐曲線的幾何性質(zhì)

222

例2、已知橢圓G：2+芻=1(石>6>0)與雙曲線C：V一千=1有公共的焦點(diǎn)，C的一條

ab4

漸近線與以G的長(zhǎng)軸為直徑的圓相交于爾少兩點(diǎn).若G恰好將線段28三等分，貝卜)

2132

A.a=~B.a=13

C.D.B=2

【答案】C

【解析】由雙曲線x:-^=l知漸近線方程為尸土2x,又...楠圓與雙曲線有公共焦點(diǎn),

二桶圓方程可化為b^+(y+5)y=a：+5)b\

聯(lián)立直線與橢圓方程消了得，才=義工2「

OP-rJU

又???￡將線段四三等分，

二后乂2玳離聾,

解之得y=|.

X2V2

【變式探究】已知雙曲線F—￡=1左、右焦點(diǎn)分別為R、應(yīng)過點(diǎn)用作與X軸垂直的直線

ab

與雙曲線一個(gè)交點(diǎn)為產(chǎn)，且/

JI

PF\FZ=F，則雙曲線的漸近線方程為

b

【答案】y=±g

【解析】根據(jù)已知|杼;|=2?2且|依|=2故2?2一包=22所以與=2,-=y[2.

aaaaaa、

難點(diǎn)三直線與圓錐曲線的位置關(guān)系

例3、設(shè)橢圓的對(duì)稱中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，其中一個(gè)頂點(diǎn)為4(0,2),右焦點(diǎn)尸與點(diǎn)6(/,/)

的距離為2.

(1)求橢圓的方程;

⑵是否存在經(jīng)過點(diǎn)(0,—2)的直線，，使直線/與橢圓相交于不同的兩點(diǎn)〃,"滿足|說

=1加？若存在，求直線，的傾斜角若不存在，請(qǐng)說明理由.

TT

【解答】(1)依題意，設(shè)桶圓方程為二+1=1(&>3>0),

則其右焦點(diǎn)坐標(biāo)為廣go),c=F諄.

由|網(wǎng)|=2,得A/L/：十0一偵：=2,

即(l忠)：+2=4,故c=2也

又?.F=2,.?./=12,從而可得佛圓方程為J4=l.

124

(2)由題意可設(shè)直線1的方程為y=kx-2(20),由|加=|Z加知點(diǎn)A在線段妍的垂直平

y=kx-2,

分線上，由彳f/消去y得/+3(履-2y=12,即可得方程(1+3玲12加=

—+——1

124

0,(*)

由AW0得方程(*)的/=(—12?)2=1442〉0,即方程(*)有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.

設(shè)〃(xi,yi),N(X2,現(xiàn))，線段仞V的中點(diǎn)尸(xo,為)，則xi,至是方程(*)的兩個(gè)不等的

實(shí)根，故有xi+x2=Lj_2.

6A之一+3A-2-2

xi+x26k

從而有苞=2=1+32片"XL2==1+3?-

于是，可得線段廨的中點(diǎn)戶的坐標(biāo)為

一2

1+3A2-2-2-+3A2

又由于AW0,因此直線4戶的斜率為4=6k=6k

1+3?

—9—+3必

由APVMN,得-------贏-------XQT,即2+2+6妙=6,解得k=即tana

Ji5Jiji

又°Wa〈”,故或°=丁.綜上可知存在直線‘滿足題意,其傾斜角為0=不或

5兀

a=~'

【點(diǎn)評(píng)】本題屬于圓錐曲線與方程的經(jīng)典類試題，首先求出圓錐曲線方程，然后再研

究直線與圓錐曲線的位置關(guān)系.在直線與圓錐曲線位置關(guān)系的問題中，等價(jià)轉(zhuǎn)化和設(shè)而不求

是解決問題的一個(gè)重要指導(dǎo)思想，本題解答中使用的是等價(jià)轉(zhuǎn)化的方法，實(shí)際上也可以根據(jù)

兩點(diǎn)間距離公式得到點(diǎn)四”的坐標(biāo)滿足的關(guān)系式，即用+5—2）2=焉+（?—2）2,即（升十

xz）（為一苞）+（乃+乃一4）（為一再）=0,由于點(diǎn)瓶“在直線上，yi=kx、-2,yi=kxz-2,代

入（xi+xz）（為一用）+（K+刃―4）（k一萬）=0,得（xi+xz）（荀一生）+（左￥1+左勤一8）（kx、一kxj

=0,直線斜率存在，貝UxiW如所以（E+XZ）+"[A（XI+X2）-8]=0,然后根據(jù)韋達(dá)定理整

體代入即可求出“值.

【變式探究】如圖所示，設(shè)戶是圓/+/=25上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)，是戶在x軸上的投影，M

4

為加上一點(diǎn)，SL\MD\=~\PD\.

0

（1）當(dāng)戶在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求點(diǎn)〃的軌跡C的方程；

4-

（2）求過點(diǎn)⑶0）且斜率為三的直線被C所截線段的長(zhǎng)度.

【解答】（1）設(shè)"的坐標(biāo)為（x，E，尸的坐標(biāo)為（4萬），

由已知得「5?產(chǎn)在圓上，.'.父+-y*=25>

卜=產(chǎn)—

即C的方程為5+1=1.

Nb1O

44

⑵過點(diǎn)⑸0）且斜率為的直線方程為尸》L3）,

設(shè)直線與C的交點(diǎn)為皿"：,#）,加如無），

將直線方程尸幺L3）代入C的方程，得

□

???線段州的長(zhǎng)度為

|x^|=^x-x；+y—j^=A/1+—,xt—JC：=?\/~x41=—.

【規(guī)律技巧】

1.離心率的范圍問題其關(guān)鍵就是確立一個(gè)關(guān)于a,b,c的不等式，再根據(jù)a,6,c的

關(guān)系消掉6得到關(guān)于a,c的不等式，由這個(gè)不等式確定a,c的關(guān)系.

2.拋物線/=2px（p〉0）的過焦點(diǎn),，0）的弦若力（小，y.）,8（劉，乃），則為為=?

yiY2=-p,弦長(zhǎng)|相|=司+為+0.同樣可得拋物線/=-2px,x=2py,*=-2〃類似的

性質(zhì).

3.解決直線與圓錐曲線相交時(shí)的弦長(zhǎng)問題方法是：設(shè)而不求，根據(jù)韋達(dá)定理，進(jìn)行整體代

入.即當(dāng)直線與圓錐曲線交于點(diǎn)力（xi,yi）,8（期女）時(shí)，?明=-1+后與一可|=q1+.

M一乃I，而M—知=#:+苞2—4x倍等,根據(jù)將直線方程與圓錐曲線方程聯(lián)立消元后

的一元二次方程，利用韋達(dá)定理進(jìn)行整體代入.

【歷屆高考真題】

【2012年高考試題】

22

1.12012IWJ考真題浙江理8】如圖，F(xiàn)i,F2分別是雙曲線C：--—斗~=1（a,b>0）的

ab

左、右焦點(diǎn)，B是虛軸的端點(diǎn)，直線FB與C的兩條漸近線分別交于P,Q兩點(diǎn)，線段PQ的垂

(第8題圖)

直平分線與x軸交與點(diǎn)M,若|MF?|=|FIF2],則C的，離心率是

B。2C及D.73

【答案】B

y--x+b.

bJc

【解析】由題意知直線43的方程為：y=-x+b,聯(lián)立方程組,得點(diǎn)

c%y八

0(^^,—),聯(lián)立方程組<得點(diǎn)P(-上一)，所以PQ的中點(diǎn)坐標(biāo)為

c-ac-a

瑞,]，所以PQ的垂直平分線方程為：y-y=-|(x-^),令y=O,得

x=c(l+2),所以c(l+會(huì))=3c,所以4=2>2=2C2—2/,即3a2=2°2,所以

e=。故選B

2

2.[2012高考真題新課標(biāo)理81等軸雙曲線C的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，。與拋

物線/=16x的準(zhǔn)線交于A,B兩點(diǎn)，|A@=4G；則C的實(shí)軸長(zhǎng)為()

(A)0(B)20(C)4

(D)8

【答案】c

【解析】設(shè)等軸雙曲線方程為x：-]二=w(w>0),拋物線的準(zhǔn)線為》=-4,由

|^5|=4、6冽卜J=2內(nèi),把坐標(biāo)(T2g)代入雙曲線方程得

w=x*—v*=16—12=4,所以雙曲線方程為廣-丁=4,——--=11所以

■?44

a，=4：a=2,所以實(shí)軸長(zhǎng)2a=4,選C.

3.12012高考真題新課標(biāo)理4】設(shè)EB是橢圓石：工+二=1(。〉6〉0)的左、右焦點(diǎn)，P

ab~

為直線1=加上一點(diǎn),

△工尸工是底角為30的等腰三角形，則E的離心率為()

2

173

(A)-(B)-(C)一

234

4

(D)-

【答案】C

【解析】因?yàn)楣な堑捉菫?0的等腰三角形，則有

P

MI=M，號(hào)°,因?yàn)镹P片工=30°,所以

-I1Q-1

ZPF2D=60°,ZDPF2=30°,所以怩。|=萬歸用=萬閨可，即當(dāng)一c=]x2c=c,

所以網(wǎng)=2c,即￡=』，所以橢圓的離心率為e=3,選c.

2a44

4.[2012高考真題四川理8]已知拋物線關(guān)于x軸對(duì)稱，它的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)。，并

且經(jīng)過點(diǎn)用(2,%)。若點(diǎn)M到該拋物線焦點(diǎn)的距離為一3,貝||OM|=()

A、2-\/2B、273C、4D、2A/5

【答案】B

t解析】設(shè)拋物線方程為y=2*,則點(diǎn)"Q±2j5）Q焦點(diǎn)與0:，點(diǎn)口到該拋

物線焦點(diǎn)的距離為3,二￡；+4尸=9,解得p=2,所以ai/=j4+4x2

2

X5■=1（?！?〉0）的離心學(xué)率為半.雙曲

5.12012高考真題山東理10】已知橢圓C：一+

a

線必一J?=1的漸近線與橢圓。有四個(gè)交點(diǎn),以這四個(gè)焦點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形的面積為16,

則橢圓C的方程為

,2,2.2,2.2,2.2、,2

（A）?p(B)n+i=1(D)f5+T=1

【答案】D

【解析】因?yàn)闄E圓的離心率為逅所以e，c2=-a2

2a24

=a2-b2,所以。2=：/,即4=482,雙曲線的漸近線為y=±x,代入橢

c2=-a2

4

1*,2丫,22丫,22,22S丫,22A2

圓得＞+=L即kH審=L所以/堂2'一b,/=-&2

ab5

2

y=土忑b,則第一象限的交點(diǎn)坐標(biāo)為,所以四邊形的面積為

4x,〃x]A22

b=—b-=16,所以〃=5,所以橢圓方程為土+〕二=1,選D.

V55205

6.12012高考真題湖南理5】已知雙曲線C：k9-1的焦距為10,點(diǎn)P（2,1）

在C的漸近線上，則C的方程為

y,2x2y,，2x2y2X2,2

A.—--=1B.---=1C.——--=1D.---=1

20552080202080

【答案】A

【解析】設(shè)雙曲線C：三-二=1的半焦距為c,則2c=10,c=5.

a*b'

又?“的漸近線為y=±±x,點(diǎn)P(2,1)在C的漸近線上，,1=々2,即a=26.

aa

又c2=a：+b\/.a=l^b=y/5,二C的方程為京-：-=L

22

7.【2012高考真題福建理8】已知雙曲線土-斗=1的右焦點(diǎn)與拋物線y2=12x的焦點(diǎn)重合，

4片

則該雙曲線的焦點(diǎn)到其漸近線的距離等于

A.J?B.4A/2C.3D.5

【答案】A.

【解析】由拋物線方程/=12x易知其焦點(diǎn)坐標(biāo)為(3,0),又根據(jù)雙曲線的幾何性質(zhì)

可知4+Z^=32,所以6=石，從而可得漸進(jìn)線方程為y=±等x,即土行x—2y=0,

cc.,|+V5x3—2x01rz

所以d=-------==——、-=朋,故選A.

V5+4

8.[2012高考真題安徽理9]過拋物線y2=4x的焦點(diǎn)F的直線交拋物線于A,3兩點(diǎn)，

點(diǎn)。是原點(diǎn)，若|A月=3,則AAQB的面積為()

⑷字(B)41(C)哼(D)272

【答案】C

【解析】設(shè)乙1&=6(0<6<丁)及忸尸|二%則點(diǎn)M到準(zhǔn)線/:x=-l的距離為3,

123

得：3=2+3cos8=cos8=—Xw=2+wcos(^-0w=-------=—,

3l+cos82

S.4OB的面積為S=gx|0下卜口3ksin6=gx1x(3+：)x里=羋.

9.12012高考真題全國(guó)卷理3】橢圓的中心在原點(diǎn)，焦距為4一條準(zhǔn)線為x=-4,則該橢

圓的方程為

A——+—=1B——+—=1C——+—=1D——+—=1

161212884124

【答案】C

【解析】橢圓的焦距為4,所以2c=4,c=2因?yàn)闇?zhǔn)線為無=T,所以橢圓的焦點(diǎn)在x

2

軸上，且—二=—4,所以M=4C=8,b2=a2-c2=8-4=4,所以橢圓的方程為

C

22

土+二=1,選C.

84

10.12012高考真題全國(guó)卷理8】已知儲(chǔ)、Fz為雙曲線C：x?-y2=2的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P

在C上，PFi|=12PF21,貝ijcos/FiPF*

1334

(A)-(B)-(0-(D)-

4545

【答案】C

【解析】雙曲線的方程為三一^=1，所以4=6=戶工=2,因?yàn)閨PF：|=|2PF；|,

所以點(diǎn)P在雙曲線的右支上，則有|PF」-1PF；|=2a=20,所以解得|PF；|=2,|PF」=4,

所以根據(jù)余弦定理得cosF[PF、=二y)二二=3,選仁

2x272x4724

11.[2012高考真題北京理12]在直角坐標(biāo)系xOy中，直線1過拋物線y2=4x的焦點(diǎn)F.且與

該撇物線相交于A、B兩點(diǎn).其中點(diǎn)A在x軸上方。若直線1的傾斜角為60°.則AOAF的面積

為一_______________

【答案】73

【解析】由/=4x可求得焦點(diǎn)坐標(biāo)F(l,0),因?yàn)閹苯菫?0。，所以直線的斜率為

左=團(tuán)60。=、6，利用點(diǎn)斜式，直線方程為j=,將直線和曲線聯(lián)立

國(guó)2的

12出,因此Sq1f■=5、。尸x],'=彳'lx2、6=.

sq,一——)一-

22

12.12012高考真題四川理15】橢圓工+匕=1的左焦點(diǎn)為/，直線尤=加與橢圓相交于

43

點(diǎn)A、B,當(dāng)?shù)闹荛L(zhǎng)最大時(shí)，AE43的面積是。

【答案】3

【解析】當(dāng)直線x=過右焦點(diǎn)時(shí)AE4B的周長(zhǎng)最大，，加=1；

將x=l帶入解得'=±35；所以5曠"=；1義2x33=3.

13.12012高考真題陜西理13】右圖是拋物線形拱橋，當(dāng)水面在/時(shí)，拱頂離水面2米,

水面寬4米，水位下降1米后，水面寬一米

【答案】2n.

【解析】設(shè)水面與橋的一個(gè)交點(diǎn)為A,如圖建立直角坐標(biāo)系則,

A的坐標(biāo)為（2,-2）.設(shè)拋物線方程為x?=-2pj,帶入點(diǎn)A得p=L設(shè)水位下降1米后

水面與橋的交點(diǎn)坐標(biāo)為（如-3）,則/=-2、-3'=士次，所以水面寬度為2行.

14.［2012高考真題重慶理14］過拋物線V=2x的焦點(diǎn)尸作直線交拋物線于A,3兩點(diǎn),

若|4回=上25,|4司〈忸司，則

12

【答案】-

6

【解析】拋物線j：=2x的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（［（J）,準(zhǔn)線方程為x=-g,設(shè)&B的坐標(biāo)分

別為的（4用）＜W6）,貝IJ巧三=弓-=（,設(shè)以尸］=見忸尸|=〃，則

11（物-Wx〃-5）=；55

巧=加一,"？=萬一不，所以有一”“，解得m=—或九=一，所以

——2-64

w+w=——

I12

叫?

15.12012高考真題遼寧理15】已知產(chǎn)，。為拋物線必=2〉上兩點(diǎn)，點(diǎn)尸，0的橫坐標(biāo)分別

為4,-2,過只。分別作拋物線的切線，兩切線交于4則點(diǎn)力的縱坐標(biāo)為。

【答案】-4

1解析】因?yàn)辄c(diǎn)尸，。的橫坐標(biāo)分別為4,-2,代人拋物線方程得巴。的縱坐標(biāo)分別

為8,2.

由/=2;則y==所以過點(diǎn)產(chǎn)，。的拋物線的切線的斜率分別為4,-2,

所以過點(diǎn)P，Q的拋物線的切線方程分別為卜=依-&］，=-2乂-2,聯(lián)立方程組解得

x=Ly=-4:故點(diǎn)A的縱坐標(biāo)為一4

16.12012高考真題江西理13】橢圓「+二=1(?！?〉0)的左、右頂點(diǎn)分別是A,B,左、

ab

右焦點(diǎn)分別是Fi,F2O若|4同，陽閭，陽用成等比數(shù)列，則此橢圓的離心率為

【答案】李

【解析】橢圓的頂點(diǎn)A(-?,O),B(A,O)，焦點(diǎn)坐標(biāo)為耳(-c,0),居(c,0),所以

仙閔=。—G陽目=a+c,陽閭=2c,又因?yàn)椴范?，陽閭，陽可成等比?shù)列，所以有

4c2=(a—c)(a+c)—a2—c2,即5c2=a2,所以a=-y/5c,離心率為e=—=.

a5

22

17.12012高考江蘇8】(5分)在平面直角坐標(biāo)系xOy中.，若雙曲線^-----—=1的

mm+4

離心率為逐，則比的值為▲.

【答案】2.

［解析］由三■一'——=］得a=-Jm,b=JM：—4?c=^m-m2-4.

?n7〃-4

e=—=——X--=V5?艮口7”2-4加一4=0,解得比=2。

ay/m

22

18.［2012高考江蘇19］(16分)如圖,在平面直角坐標(biāo)系wy中，橢圓三+當(dāng)=l(a>6>0)

ab

的左、右焦點(diǎn)分別為￡(-c,0),F2(C,0).已知(1,e)和e,都在橢圓上，其中e為橢圓

的離心率.

(1)求橢圓的方程；

(2)設(shè)4,3是橢圓上位于無軸上方的兩點(diǎn)，且直線4耳與直線2工平行，A心與34交

于點(diǎn)P.

(i)若A耳一36=手，求直線Af；的斜率；

(ii)求證：2耳+P居是定值.

耳O

【答案】解：⑴由題設(shè)知，a2=b2+c2,e=-,由點(diǎn)(l,e)在橢圓上,得

2222222222

—，+—7z=1=>—i+99-1=>b+c=ab=^>a=ab=^>Z?=1,c=a—1o

在橢圓上，得

3