7.6二面角與面面垂直答案

7.6二面角與面面垂直課標(biāo)要求精細(xì)考點(diǎn)素養(yǎng)達(dá)成1.理解二面角的概念和面面垂直的定義2.以立體幾何中的定義、公理和定理為出發(fā)點(diǎn),認(rèn)識和理解平面與平面垂直的判定定理和性質(zhì)定理3.能運(yùn)用平面與平面垂直的判定定理、性質(zhì)定理和已經(jīng)獲得的結(jié)論證明一些空間圖形中的垂直關(guān)系的簡單命題求二面角通過求二面角,培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)平面與平面垂直的判定與性質(zhì)通過平面與平面垂直的判定與性質(zhì)的應(yīng)用,培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理、直觀想象素養(yǎng)平行、垂直關(guān)系的綜合運(yùn)用通過平行與垂直關(guān)系的綜合應(yīng)用,培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理、直觀想象素養(yǎng)1.(2024·江蘇期初調(diào)研)設(shè)m,n,l是三條不同的直線,α,β,γ是三個(gè)不重合的平面,有下列命題中,真命題為().A.若m⊥n,n⊥l,則m⊥lB.若α⊥β,β⊥γ,則α⊥γC.若m⊥α,m∥n,n∥β,則α⊥βD.若m∥n,m∥α,則n∥α答案C解析對于A,若m⊥n,n⊥l,則m∥l或m,l相交或m,l異面,A錯(cuò)誤;對于B,若α⊥β,β⊥γ,則α∥γ或α,γ相交,B錯(cuò)誤;對于C,若m⊥α,m∥n,則n⊥α,又n∥β,則α⊥β,C正確;對于D,若m∥n,m∥α,則n?α或n∥α,D錯(cuò)誤.2.(對接教材)如圖,已知AB⊥平面BCD,BC⊥CD,則圖中互相垂直的平面有對.

答案3解析因?yàn)锳B⊥平面BCD,AB?平面ABD,AB?平面ABC,所以平面ABD⊥平面BCD,平面ABC⊥平面BCD.又AB⊥CD,BC⊥CD,AB∩BC=B,AB,BC?平面ABC,所以CD⊥平面ABC.又CD?平面ACD,所以平面ACD⊥平面ABC.3.(對接教材)如圖,在正方體ABCDA'B'C'D'中:(1)二面角D'ABD的大小為.

(2)二面角A'ABD的大小為.

答案(1)45°(2)90°解析(1)在正方體ABCDA'B'C'D'中,AB⊥平面ADD'A',所以AB⊥AD',AB⊥AD.因此∠D'AD為二面角D'ABD的平面角.在Rt△D'AD中,∠D'AD=45°,所以二面角D'ABD的大小為45°.同理∠A'AD為二面角A'ABD的平面角.因?yàn)椤螦'AD=90°,所以二面角A'ABD的大小為90°4.(易錯(cuò)自糾)(多選)如圖,已知六棱錐PABCDEF的底面是正六邊形,PA⊥平面ABC,PA=2AB,則結(jié)論正確的是().A.PB⊥ADB.平面PAB⊥平面PAEC.BC∥平面PAED.直線PD與平面ABC所成的角為45°答案BD解析因?yàn)榱呅蜛BCDEF是正六邊形,所以∠DAB=60°.因?yàn)镻A⊥平面ABC,所以PA⊥AD.若PB⊥AD,又PA∩PB=P,則AD⊥平面PAB,故AD垂直于平面PAB內(nèi)的任意一條直線,因此AD⊥AB,這與∠DAB=60°矛盾,故假設(shè)不成立,故A不正確.因?yàn)镻A⊥平面ABC,所以PA⊥AB,在正六邊形ABCDEF中,AB⊥AE,PA∩AE=A,所以AB⊥平面PAE.又AB?平面PAB,所以平面PAB⊥平面PAE,故B正確.因?yàn)锽C∥AD,AD∩平面PAE=A,所以BC與平面PAE不平行,故C不正確.在Rt△PAD中,PA=AD=2AB,所以∠PDA=45°,故D正確.5.(真題演練)在正方體ABCDA1B1C1D1中,E,F分別為AB,BC的中點(diǎn),則().A.平面B1EF⊥平面BDD1B.平面B1EF⊥平面A1BDC.平面B1EF∥平面A1ACD.平面B1EF∥平面A1C1D答案A解析如圖,對于A,因?yàn)镋,F分別為AB,BC的中點(diǎn),所以EF∥AC,又AC⊥BD,AC⊥DD1,BD∩DD1=D,且BD,DD1?平面BDD1,所以AC⊥平面BDD1,則EF⊥平面BDD1,又EF?平面B1EF,所以平面B1EF⊥平面BDD1,選項(xiàng)A正確;對于B,由選項(xiàng)A可知,平面B1EF⊥平面BDD1B1,而平面BDD1B1∩平面A1BD=BD,且BD與平面B1EF不垂直,故平面B1EF不可能與平面A1BD垂直,選項(xiàng)B錯(cuò)誤;對于C,在平面ABB1A1上,易知AA1與B1E必相交,故平面B1EF與平面A1AC不平行,選項(xiàng)C錯(cuò)誤;對于D,易知平面AB1C∥平面A1C1D,而平面AB1C與平面B1EF有公共點(diǎn)B1,故平面B1EF與平面A1C1D不可能平行,選項(xiàng)D錯(cuò)誤.求二面角典例1如圖,在四棱錐PABCD中,已知PC⊥底面ABCD,AB⊥AD,AB∥CD,AB=2,AD=CD=1,BC=PC,E是PB的中點(diǎn).(1)求證:PB⊥平面EAC.(2)求二面角PACE的大小.解析(1)由PC⊥平面ABCD,AC?平面ABCD,得AC⊥PC.在Rt△ADC中,由AD=CD=1,得AC=2.設(shè)AB的中點(diǎn)為G,連接CG(圖略),則四邊形ADCG是邊長為1的正方形,所以CG⊥AB,且BC=2,因?yàn)锳C2+BC2=AB2,所以AC⊥BC.又因?yàn)锽C∩PC=C,BC,PC?平面PBC,所以AC⊥平面PBC.又PB?平面PBC,所以AC⊥PB.因?yàn)锽C=PC,E是PB的中點(diǎn),所以PB⊥EC.因?yàn)锳C∩EC=C,又AC,EC?平面AEC,所以PB⊥平面AEC.(2)由(1)知AC⊥平面PBC,所以∠PCE是二面角PACE的平面角.因?yàn)椤鱌BC是等腰直角三角形,且E是PB的中點(diǎn),所以∠PCE=45°,所以二面角PACE的大小是45°.綜合法求二面角的方法1.定義法:步驟是“一作、二證、三求”.(1)一作:作出二面角的平面角.(2)二證:證明所作的平面角滿足定義,即為所求二面角的平面角.(3)三求:將作出的角放在三角形中,計(jì)算出平面角的大小.注:作二面角的平面角的點(diǎn)撥.①定義法:分別在兩個(gè)半平面內(nèi)向棱作垂線,垂足為同一點(diǎn),求兩線的夾角.②垂面法:作垂直于棱的一個(gè)垂面,這個(gè)平面與兩個(gè)半平面分別有一條交線,求兩條交線所成的角.③三垂線法:過一個(gè)半平面內(nèi)的一點(diǎn)A作另一個(gè)半平面的一條垂線,過垂足B作棱的垂線,記垂足為C,連接AC,則∠ACB或其補(bǔ)角即為二面角的平面角.2.面積法:若二面角一個(gè)面上的幾何圖形的面積為S,其在另一個(gè)面上的投影的面積為S',則二面角的余弦值cosα=S'S(客觀題訓(xùn)練1(2023·全國乙卷理)已知△ABC為等腰直角三角形,AB為斜邊,△ABD為等邊三角形,若二面角CABD為150°,則直線CD與平面ABC所成角的正切值為().A.15 B.25 C.35 答案C解析如圖,取AB的中點(diǎn)E,連接CE,DE,因?yàn)椤鰽BC是等腰直角三角形,且AB為斜邊,所以有CE⊥AB,又△ABD是等邊三角形,則DE⊥AB,從而∠CED為二面角CABD的平面角,即∠CED=150°,顯然CE∩DE=E,CE,DE?平面CDE,于是AB⊥平面CDE,又AB?平面ABC,因此,平面CDE⊥平面ABC,顯然平面CDE∩平面ABC=CE,直線CD?平面CDE,則直線CD在平面ABC內(nèi)的射影為直線CE,從而∠DCE為直線CD與平面ABC所成的角,令A(yù)B=2,則CE=1,DE=3,在△CDE中,由余弦定理得CD=CE2+DE2由正弦定理得DEsin∠DCE=CDsin∠CED,即sin∠DCE=3sin150°顯然∠DCE是銳角,cos∠DCE=1?sin2∠DCE=1?所以直線CD與平面ABC所成的角的正切值為35平面與平面垂直的判定與性質(zhì)典例2如圖,在三棱柱ABCA1B1C1中,A1C⊥平面ABC,∠ACB=90°(1)證明:平面ACC1A1⊥平面BB1C1C;(2)設(shè)AB=A1B,AA1=2,求四棱錐A1BB1C1C的高.解析(1)證明:因?yàn)锳1C⊥平面ABC,BC?平面ABC,所以A1C⊥BC,又因?yàn)椤螦CB=90°,即AC⊥BC,又A1C,AC?平面ACC1A1,A1C∩AC=C,所以BC⊥平面ACC1A1,又因?yàn)锽C?平面BCC1B1,所以平面ACC1A1⊥平面BCC1B1.(2)如圖,過點(diǎn)A1作A1O⊥CC1,垂足為O.因?yàn)槠矫鍭CC1A1⊥平面BCC1B1,平面ACC1A1∩平面BCC1B1=CC1,A1O?平面ACC1A1,所以A1O⊥平面BCC1B1,所以四棱錐A1BB1C1C的高為A1O.因?yàn)锳1C⊥平面ABC,AC,BC?平面ABC,所以A1C⊥BC,A1C⊥AC.又因?yàn)锳1B=AB,BC為公共邊,所以△ABC與△A1BC全等,所以A1C=AC.設(shè)A1C=AC=x,則A1C1=x,所以O(shè)為CC1的中點(diǎn),OC1=12AA1=1又因?yàn)锳1C⊥AC,所以A1C2+AC2=AA1即x2+x2=22,解得x=2,所以A1O=A1C12-所以四棱錐A1BB1C1C的高為1.1.面面垂直判定的兩種方法與一個(gè)轉(zhuǎn)化(1)兩種方法:①面面垂直的定義,即證明兩個(gè)平面所成的二面角是直二面角,把證明面面垂直的問題轉(zhuǎn)化為證明平面角為直角的問題.②面面垂直的判定定理(a⊥β,a?α?α⊥β).(2)一個(gè)轉(zhuǎn)化:在已知兩個(gè)平面垂直時(shí),一般要用性質(zhì)定理進(jìn)行轉(zhuǎn)化.首先在一個(gè)平面內(nèi)作交線的垂線,轉(zhuǎn)化為線面垂直,然后進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為線線垂直.2.面面垂直性質(zhì)的應(yīng)用(1)證明線面垂直,運(yùn)用時(shí)要注意“平面內(nèi)的直線”.(2)兩個(gè)相交平面同時(shí)垂直于第三個(gè)平面,它們的交線也垂直于第三個(gè)平面.訓(xùn)練2已知三棱錐PABC(如圖1)的展開圖如圖2,其中四邊形ABCD為邊長等于2的正方形,△ABE和△BCF均為正三角形.求證:平面PAC⊥平面ABC.圖1圖2解析如圖,取AC的中點(diǎn)O,連接BO,PO.由題意可知PA=PB=PC=2,PO=AO=BO=CO=1,又AB=BC,所以BO⊥AC.因?yàn)樵凇鱌AC中,PA=PC,O為AC的中點(diǎn),所以PO⊥AC.所以∠POB為二面角PACB的平面角.因?yàn)樵凇鱌OB中,PO=1,OB=1,PB=2,所以PO2+OB2=PB2,所以∠POB=90°,所以平面PAC⊥平面ABC.平行、垂直關(guān)系的綜合運(yùn)用典例3(2023·宿遷第二學(xué)期市統(tǒng)測)如圖,在三棱臺ABCA1B1C1中,側(cè)面BB1C1C⊥底面ABC,且BB1=B1C1=C1C=1,BC=2,底面△ABC為正三角形.(1)求三棱臺ABCA1B1C1的體積.(2)過點(diǎn)B1作平面B1DE平行于平面AA1C1C,分別交BC,AB,A1B于點(diǎn)D,E,F.求證:B1E⊥平面A1BC.解析(1)在三棱臺ABCA1B1C1中,因?yàn)榈酌妗鰽BC為正三角形,所以△A1B1C1也為正三角形,因?yàn)锽C=2,B1C1=1,所以S△ABC=3,S△A1因?yàn)锽B1=B1C1=C1C=1,BC=2,所以四邊形CBB1C1為等腰梯形,作C1H⊥CB交CB于點(diǎn)H,則CH=12所以梯形CBB1C1高為C1H=32由側(cè)面BB1C1C⊥底面ABC,側(cè)面BB1C1C∩底面ABC=CB,C1H⊥CB,C1H?平面CBB1C1,所以C1H⊥平面ABC,所以C1H為三棱臺ABCA1B1C1的高.由三棱臺體積公式得V=13C1H(S△ABC+S△ABC=13×323(2)證明:連接DF,A1E,因?yàn)槠矫鍮1DE∥平面AA1C1C,平面A1CB∩平面ACC1A1=CA1,平面A1CB∩平面DB1E=DF,所以CA1∥DF,同理,CC1∥DB1,又由CB∥C1B1,得四邊形CDB1C1為平行四邊形,由B1C1=C1C=1,BC=2,得DB=1,所以D為BC的中點(diǎn),同理E為BA的中點(diǎn),所以DE=12CA=1,DE=DB1=1因?yàn)锳1B1∥EB,A1B1=EB=B1B=1,所以四邊形A1B1BE為菱形,所以A1B⊥B1E,因?yàn)镕為菱形A1B1BE對角線的交點(diǎn),所以F為A1B的中點(diǎn),又DE=DB1,所以DF⊥B1E,又DF∥CA1,則CA1⊥B1E,又A1B∩CA1=A1,A1B?平面A1BC,CA1?平面A1BC,所以B1E⊥平面A1BC.1.三種垂直的綜合問題,一般通過作輔助線進(jìn)行線線、線面、面面垂直間的轉(zhuǎn)化.2.垂直與平行的綜合問題,求解時(shí)應(yīng)注意平行、垂直的性質(zhì)及判定的綜合應(yīng)用.如果有平面垂直,那么一般要用性質(zhì)定理,先在一個(gè)平面內(nèi)作交線的垂線,使之轉(zhuǎn)化為線面垂直,然后進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為線線垂直.3.線面平行與垂直關(guān)系的相互轉(zhuǎn)化:訓(xùn)練3如圖,在四棱錐PABCD中,底面ABCD為矩形,平面PAD⊥平面ABCD,PA⊥PD,PA=PD,E,F分別為AD,PB的中點(diǎn).求證:(1)PE⊥BC;(2)平面PAB⊥平面PCD;(3)EF∥平面PCD.解析(1)因?yàn)镻A=PD,E為AD的中點(diǎn),所以PE⊥AD.因?yàn)榈酌鍭BCD為矩形,所以BC∥AD,所以PE⊥BC.(2)因?yàn)榈酌鍭BCD為矩形,所以AB⊥AD.又因?yàn)槠矫鍼AD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,AB?平面ABCD,所以AB⊥平面PAD.因?yàn)镻D?平面PAD,所以AB⊥PD.又因?yàn)镻A⊥PD,AB∩PA=A,AB,PA?平面PAB,所以PD⊥平面PAB.因?yàn)镻D?平面PCD,所以平面PAB⊥平面PCD.(3)如圖,取PC的中點(diǎn)G,連接FG,DG.因?yàn)镕,G分別為PB,PC的中點(diǎn),所以FG∥BC,FG=12因?yàn)樗倪呅蜛BCD為矩形,且E為AD的中點(diǎn),所以DE∥BC,DE=12所以DE∥FG,DE=FG,所以四邊形DEFG為平行四邊形.所以EF∥DG.又因?yàn)镋F?平面PCD,DG?平面PCD,所以EF∥平面PCD.投影法求二面角典例如圖,在四棱錐PABCD中,四邊形ABCD是菱形,其中∠BAD=60°,平面PAD⊥平面ABCD,其中△PAD為等邊三角形,AB=4,M為棱PD的中點(diǎn).求異面直線PB與AM所成角的余弦值.解析如圖,設(shè)AC∩BD=N,則點(diǎn)N為BD的中點(diǎn),連接MN,則MN∥PB,所以∠AMN(或其補(bǔ)角)是異面直線PB與AM所成的角.設(shè)AD的中點(diǎn)為O,連接OB,OP,因?yàn)椤鱌AD,△BAD均為等邊三角形,所以O(shè)P⊥AD,又平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,OP?平面PAD,所以O(shè)P⊥平面ABCD,所以△POB為直角三角形,又因?yàn)镺P=OB=23,所以PB=26,MN=12PB=6在△MAN中,AM=AN=23,MN=6,由余弦定理可得cos∠AMN=24故異面直線PB與AM所成角的余弦值為24訓(xùn)練如圖,在五面體ABCDFE中,四邊形ABEF為正方形,平面ABEF⊥平面CDFE,CD∥EF,DF⊥EF,EF=2CD=2,DF=2.求二面角ACEF的正弦值.解析因?yàn)槠矫鍭BEF⊥平面CDFE,平面ABEF∩平面CDFE=EF,DF⊥EF,DF?平面CDFE,所以DF⊥平面ABEF.又AF?平面ABEF,所以DF⊥AF.又因?yàn)锳F⊥EF,DF∩EF=F,DF?平面CDFE,EF?平面CDFE,所以AF⊥平面CDFE.在平面CEF內(nèi)過點(diǎn)F作FG⊥CE于點(diǎn)G,連接AG,則AG⊥CE.所以∠AGF為二面角ACEF的平面角.在△CEF中,CE=CF=5,EF=2,由S△CEF=12EF·DF=12·CE·FG,得FG=在△AFG中,AG=AF2+F所以sin∠AGF=AFAG=5所以二面角ACEF的正弦值為53一、單選題1.已知平面α,β和直線m,l,則下列命題正確的是().A.若α⊥β,α∩β=m,l⊥m,則l⊥βB.若α∩β=m,l?α,l⊥m,則l⊥βC.若α⊥β,l?α,則l⊥βD.若α⊥β,α∩β=m,l?α,l⊥m,則l⊥β答案D解析對于A,若α⊥β,α∩β=m,l⊥m,則l?β或l∥β或l與β相交,故選項(xiàng)A不正確;對于B,若α∩β=m,l?α,l⊥m,則l與β相交但不一定垂直,故選項(xiàng)B不正確;對于C,若α⊥β,l?α,則l?β或l∥β或l與β相交,故選項(xiàng)C不正確;對于D,若α⊥β,α∩β=m,l?α,l⊥m,則l⊥β,由面面垂直的性質(zhì)定理可知選項(xiàng)D正確.2.已知兩個(gè)平面垂直,則下列結(jié)論正確的是().A.一個(gè)平面內(nèi)的已知直線必垂直于另一個(gè)平面內(nèi)的任意一條直線B.一個(gè)平面內(nèi)的已知直線必垂直于另一個(gè)平面內(nèi)的無數(shù)條直線C.一個(gè)平面內(nèi)的任一條直線必垂直于另一個(gè)平面D.若過一個(gè)平面內(nèi)任意一點(diǎn)作交線的垂線,則此垂線必垂直于另一個(gè)平面答案B解析如圖,對于A,在正方體ABCDA1B1C1D1中,平面ADD1A1⊥平面ABCD,A1D?平面ADD1A1,BD?平面ABCD,但A1D與BD不垂直,故A錯(cuò)誤;對于B,在正方體ABCDA1B1C1D1中,平面ADD1A1⊥平面ABCD,l是平面ADD1A1內(nèi)任意一條直線,l與平面ABCD內(nèi)和AB平行的所有直線都垂直,故B正確;對于C,在正方體ABCDA1B1C1D1中,平面ADD1A1⊥平面ABCD,A1D?平面ADD1A1,但A1D與平面ABCD不垂直,故C錯(cuò)誤;對于D,在正方體ABCDA1B1C1D1中,平面ADD1A1⊥平面ABCD,且平面ADD1A1∩平面ABCD=AD,過交線AD上的任一點(diǎn)作交線的垂線l,則l可能與平面ABCD垂直,也可能與平面ABCD不垂直,故D錯(cuò)誤.3.如圖所示,在平行四邊形ABCD中,AB⊥BD,沿BD將△ABD折起,使平面ABD⊥平面BCD,連接AC,則在四面體ABCD的四個(gè)面中,互相垂直的平面的對數(shù)為().A.1 B.2 C.3 D.4答案C解析平面ABD⊥平面BCD,平面ABD∩平面BCD=BD,AB⊥BD,AB?平面ABD,故AB⊥平面BCD,又AB?平面ABC,故平面ABC⊥平面BCD;又CD⊥BD,CD?平面BCD,平面ABD⊥平面BCD,故CD⊥平面ABD,CD?平面ACD,故平面ACD⊥平面ABD.綜上所述,平面ABD⊥平面BCD,平面ABC⊥平面BCD,平面ACD⊥平面ABD.4.在正方體ABCDA1B1C1D1中,二面角AB1D1A1的正切值為().A.22 B.22 C.2 D答案D解析如圖,設(shè)A1C1和B1D1相交于點(diǎn)O,連接AO.因?yàn)锳BCDA1B1C1D1為正方體,所以A1C1⊥B1D1,AB1=AD1.因?yàn)镺為B1D1的中點(diǎn),所以AO⊥B1D1.則∠AOA1為二面角AB1D1A1的平面角.設(shè)正方體ABCDA1B1C1D1的邊長為a,則AA1=a,OA1=22a所以tan∠AOA1=AA1OA1二、多選題5.如圖,AC=2R為圓O的直徑,∠PCA=45°,PA垂直于圓O所在的平面,B為圓周上不與點(diǎn)A,C重合的點(diǎn),AS⊥PC于點(diǎn)S,AN⊥PB于點(diǎn)N,則下列結(jié)論正確的是().A.平面ANS⊥平面PBCB.平面ANS⊥平面PABC.平面PAB⊥平面PBCD.平面ABC⊥平面PAC答案ACD解析因?yàn)镻A⊥平面ABC,BC?平面ABC,所以PA⊥BC.又AC為圓O的直徑,所以AB⊥BC.又PA∩AB=A,PA,AB?平面PAB,所以BC⊥平面PAB.因?yàn)锳N?平面PAB,所以BC⊥AN.又AN⊥PB,BC∩PB=B,BC,PB?平面PBC,所以AN⊥平面PBC.因?yàn)锳N?平面ANS,所以平面ANS⊥平面PBC,所以A正確,C,D顯然正確.6.已知圓錐的頂點(diǎn)為P,底面圓心為O,AB為底面直徑,∠APB=120°,PA=2,點(diǎn)C在底面圓周上,且二面角PACO為45°,則().A.該圓錐的體積為π B.該圓錐的側(cè)面積為43πC.AC=22 D.△PAC的面積為3答案AC解析依題意,∠APB=120°,PA=2,所以O(shè)P=1,OA=OB=3,A選項(xiàng),圓錐的體積為13×π×(3)2×1=πB選項(xiàng),圓錐的側(cè)面積為π×3×2=23π,B選項(xiàng)錯(cuò)誤;C選項(xiàng),設(shè)D是AC的中點(diǎn),連接OD,PD,則AC⊥OD,AC⊥PD,所以∠PDO是二面角PACO的平面角,則∠PDO=45°,所以O(shè)P=OD=1,故AD=CD=3?1=2,則AC=22,C選項(xiàng)正確;D選項(xiàng),PD=12+12=2,所以S△PAC=12×22×2=三、填空題7.m,n表示直線,α,β,γ表示平面,給出下列結(jié)論:①若m⊥α,n⊥β,m⊥n,則α⊥β;②若α⊥β,m⊥α,n⊥β,則m⊥n;③若α∩β=m,n?α,n⊥m,則n⊥β;④若α⊥β,α∩γ=m,β∩γ=n,則n⊥m.其中正確的是.(填序號)

答案①②解析對于①,若m⊥α,n⊥β,m⊥n,則α⊥β,故①正確;對于②,若α⊥β,m⊥α,n⊥β,則m⊥n,故②正確;對于③,若α∩β=m,n?α,n⊥m,如正方體中,平面ABCD∩平面A1BCD1=BC,AB?平面ABCD,AB⊥BC,但AB與平面A1BCD1不垂直,故③錯(cuò)誤;對于④,α⊥β,α∩γ=m,β∩γ=n,如正方體中,平面ABCD⊥平面ADD1A1,平面ABCD∩平面A1BCD1=BC,平面ADD1A1∩平面A1BCD1=A1D1,但BC∥A1D1,故④錯(cuò)誤.8.如圖,在四棱錐PABCD中,四邊形ABCD是邊長為2的正方形,側(cè)面PAB是等邊三角形,PC=PD=2,則平面PAB與平面ABCD的夾角為.

答案π解析分別取AB,CD的中點(diǎn)F,G,連接PF,PG,FG.因?yàn)閭?cè)面PAB是等邊三角形,PC=PD=2,四邊形ABCD是邊長為2的正方形,所以PF⊥AB,PG⊥DC,AB⊥FG,PF=3,PG=1,FG=2,又PF⊥AB,AB⊥FG,平面PAB∩平面ABCD=AB,所以∠PFG是平面PAB與平面ABCD的平面角,又PF=3,PG=1,FG=2,所以cos∠PFG=PF2+FG2-PG22PF×FG所以平面PAB與平面ABCD的夾角為π6四、解答題9.如圖,在矩形ABCD中,AB=2AD=4,E是AB的中點(diǎn),沿DE將△ADE折起,得到如圖所示的四棱錐PBCDE.(1)若平面PDE⊥平面BCDE,求四棱錐PBCDE的體積;(2)若PB=PC,求證:平面PDE⊥平面BCDE.解析(1)如圖所示,取DE的中點(diǎn)M,連接PM,由題意知,PD=PE,所以PM⊥DE,又平面PDE⊥平面BCDE,平面PDE∩平面BCDE=DE,PM?平面PDE,所以PM⊥平面BCDE,即PM為四棱錐PBCDE的高.在等腰直角三角形PDE中,PE=PD=AD=2,所以PM=12DE=2直角梯形BCDE的面積S=12(BE+CD)·BC=12×(2+4)×2=所以四棱錐PBCDE的體積V=13PM·S梯形BCDE=13×2×6(2)取BC的中點(diǎn)N,連接PN,MN,則BC⊥MN.因?yàn)镻B=PC,所以BC⊥PN.因?yàn)镸N∩PN=N,MN,PN?平面PMN,所以BC⊥平面PMN.因?yàn)镻M?平面PMN,所以BC⊥PM.由(1)知,PM⊥DE,又BC,DE?平面BCDE,且BC與DE是相交直線,所以PM⊥平面BCDE.因?yàn)镻M?平面PDE,所以平面PDE⊥平面BCDE.如圖,在四棱錐PABCD中,PA⊥平面ABCD,PA=AB=BC=3,AD=CD=1,∠ADC=120°,M是AC與BD的交點(diǎn),點(diǎn)N在線段PB上,且PN=14(1)求證:MN∥平面PDC.(2)在線段BC上是否存在一點(diǎn)Q,使得平面MNQ⊥平面PAD?若存在,求出點(diǎn)Q的位置;若不存在,請說明理由.解析(1)在四邊形ABCD中,由AB=BC=3,AD=CD=1,可得△ABD≌△CBD,所以AC⊥BD,且M為AC的中點(diǎn).由AD=CD=1,∠ADC=120°,可得DM=CDcos60°=12,AC=2CDsin60°=3,則BM=32×3=由DMBM=PNBN=13,可得MN而MN?平面PDC,PD?平面PDC,所以MN∥平面PDC.(2)存在,Q為B