2024-2025學(xué)年河北省邯鄲市重點(diǎn)中學(xué)高三下學(xué)期期中考聯(lián)考數(shù)學(xué)試題試卷含解析_第1頁
2024-2025學(xué)年河北省邯鄲市重點(diǎn)中學(xué)高三下學(xué)期期中考聯(lián)考數(shù)學(xué)試題試卷含解析_第2頁
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文檔簡介

2024-2025學(xué)年河北省邯鄲市重點(diǎn)中學(xué)高三下學(xué)期期中考聯(lián)考數(shù)學(xué)試題試卷注意事項(xiàng)1.考生要認(rèn)真填寫考場號(hào)和座位序號(hào)。2.試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上,在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答;第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3.考試結(jié)束后,考生須將試卷和答題卡放在桌面上,待監(jiān)考員收回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.為得到函數(shù)的圖像,只需將函數(shù)的圖像()A.向右平移個(gè)長度單位 B.向右平移個(gè)長度單位C.向左平移個(gè)長度單位 D.向左平移個(gè)長度單位2.已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為、,過點(diǎn)的直線與橢圓交于、兩點(diǎn).若的內(nèi)切圓與線段在其中點(diǎn)處相切,與相切于點(diǎn),則橢圓的離心率為()A. B. C. D.3.的內(nèi)角的對(duì)邊分別為,若,則內(nèi)角()A. B. C. D.4.若(是虛數(shù)單位),則的值為()A.3 B.5 C. D.5.設(shè)是虛數(shù)單位,則“復(fù)數(shù)為純虛數(shù)”是“”的()A.充要條件 B.必要不充分條件C.既不充分也不必要條件 D.充分不必要條件6.已知直線:()與拋物線:交于(坐標(biāo)原點(diǎn)),兩點(diǎn),直線:與拋物線交于,兩點(diǎn).若,則實(shí)數(shù)的值為()A. B. C. D.7.某幾何體的三視圖如圖所示,其俯視圖是由一個(gè)半圓與其直徑組成的圖形,則此幾何體的體積是()A. B. C. D.8.圓心為且和軸相切的圓的方程是()A. B.C. D.9.已知,則的大小關(guān)系為()A. B. C. D.10.過點(diǎn)的直線與曲線交于兩點(diǎn),若,則直線的斜率為()A. B.C.或 D.或11.《九章算術(shù)》勾股章有一“引葭赴岸”問題“今有餅池徑丈,葭生其中,出水兩尺,引葭赴岸,適與岸齊,問水深,葭各幾何?”,其意思是:有一個(gè)直徑為一丈的圓柱形水池,池中心生有一顆類似蘆葦?shù)闹参?,露出水面兩尺,若把它引向岸邊,正好與岸邊齊,問水有多深,該植物有多高?其中一丈等于十尺,如圖若從該葭上隨機(jī)取一點(diǎn),則該點(diǎn)取自水下的概率為()A. B. C. D.12.已知非零向量滿足,,且與的夾角為,則()A.6 B. C. D.3二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.設(shè)滿足約束條件,則的取值范圍為__________.14.在中,,.若,則_________.15.“六藝”源于中國周朝的貴族教育體系,具體包括“禮、樂、射、御、書、數(shù)”.某校在周末學(xué)生業(yè)余興趣活動(dòng)中開展了“六藝”知識(shí)講座,每藝安排一節(jié),連排六節(jié),則滿足“禮”與“樂”必須排在前兩節(jié),“射”和“御”兩講座必須相鄰的不同安排種數(shù)為________.16.四邊形中,,,,,則的最小值是______.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知橢圓與x軸負(fù)半軸交于,離心率.(1)求橢圓C的方程;(2)設(shè)直線與橢圓C交于兩點(diǎn),連接AM,AN并延長交直線x=4于兩點(diǎn),若,直線MN是否恒過定點(diǎn),如果是,請(qǐng)求出定點(diǎn)坐標(biāo),如果不是,請(qǐng)說明理由.18.(12分)設(shè)函數(shù).(1)若,時(shí),在上單調(diào)遞減,求的取值范圍;(2)若,,,求證:當(dāng)時(shí),.19.(12分)已知函數(shù)(1)解不等式;(2)若均為正實(shí)數(shù),且滿足,為的最小值,求證:.20.(12分)已知數(shù)列滿足,,其前n項(xiàng)和為.(1)通過計(jì)算,,,猜想并證明數(shù)列的通項(xiàng)公式;(2)設(shè)數(shù)列滿足,,,若數(shù)列是單調(diào)遞減數(shù)列,求常數(shù)t的取值范圍.21.(12分)在四棱錐中,底面是平行四邊形,底面.(1)證明:;(2)求二面角的正弦值.22.(10分)已知函數(shù),.(1)若對(duì)于任意實(shí)數(shù),恒成立,求實(shí)數(shù)的范圍;(2)當(dāng)時(shí),是否存在實(shí)數(shù),使曲線:在點(diǎn)處的切線與軸垂直?若存在,求出的值;若不存在,說明理由.

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.D【解析】,所以要的函數(shù)的圖象,只需將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)長度單位得到,故選D2.D【解析】

可設(shè)的內(nèi)切圓的圓心為,設(shè),,可得,由切線的性質(zhì):切線長相等推得,解得、,并設(shè),求得的值,推得為等邊三角形,由焦距為三角形的高,結(jié)合離心率公式可得所求值.【詳解】可設(shè)的內(nèi)切圓的圓心為,為切點(diǎn),且為中點(diǎn),,設(shè),,則,且有,解得,,設(shè),,設(shè)圓切于點(diǎn),則,,由,解得,,,所以為等邊三角形,所以,,解得.因此,該橢圓的離心率為.故選:D.本題考查橢圓的定義和性質(zhì),注意運(yùn)用三角形的內(nèi)心性質(zhì)和等邊三角形的性質(zhì),切線的性質(zhì),考查化簡運(yùn)算能力,屬于中檔題.3.C【解析】

由正弦定理化邊為角,由三角函數(shù)恒等變換可得.【詳解】∵,由正弦定理可得,∴,三角形中,∴,∴.故選:C.本題考查正弦定理,考查兩角和的正弦公式和誘導(dǎo)公式,掌握正弦定理的邊角互化是解題關(guān)鍵.4.D【解析】

直接利用復(fù)數(shù)的模的求法的運(yùn)算法則求解即可.【詳解】(是虛數(shù)單位)可得解得本題正確選項(xiàng):本題考查復(fù)數(shù)的模的運(yùn)算法則的應(yīng)用,復(fù)數(shù)的模的求法,考查計(jì)算能力.5.D【解析】

結(jié)合純虛數(shù)的概念,可得,再結(jié)合充分條件和必要條件的定義即可判定選項(xiàng).【詳解】若復(fù)數(shù)為純虛數(shù),則,所以,若,不妨設(shè),此時(shí)復(fù)數(shù),不是純虛數(shù),所以“復(fù)數(shù)為純虛數(shù)”是“”的充分不必要條件.故選:D本題考查充分條件和必要條件,考查了純虛數(shù)的概念,理解充分必要條件的邏輯關(guān)系是解題的關(guān)鍵,屬于基礎(chǔ)題.6.D【解析】

設(shè),,聯(lián)立直線與拋物線方程,消去、列出韋達(dá)定理,再由直線與拋物線的交點(diǎn)求出點(diǎn)坐標(biāo),最后根據(jù),得到方程,即可求出參數(shù)的值;【詳解】解:設(shè),,由,得,∵,解得或,∴,.又由,得,∴或,∴,∵,∴,又∵,∴代入解得.故選:D本題考查直線與拋物線的綜合應(yīng)用,弦長公式的應(yīng)用,屬于中檔題.7.C【解析】由三視圖可知,該幾何體是下部是半徑為2,高為1的圓柱的一半,上部為底面半徑為2,高為2的圓錐的一半,所以,半圓柱的體積為,上部半圓錐的體積為,所以該幾何體的體積為,故應(yīng)選.8.A【解析】

求出所求圓的半徑,可得出所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.【詳解】圓心為且和軸相切的圓的半徑為,因此,所求圓的方程為.故選:A.本題考查圓的方程的求解,一般求出圓的圓心和半徑,考查計(jì)算能力,屬于基礎(chǔ)題.9.A【解析】

根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性,可得,再利用對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性,將與對(duì)比,即可求出結(jié)論.【詳解】由題知,,則.故選:A.本題考查利用函數(shù)性質(zhì)比較大小,注意與特殊數(shù)的對(duì)比,屬于基礎(chǔ)題..10.A【解析】

利用切割線定理求得,利用勾股定理求得圓心到弦的距離,從而求得,結(jié)合,求得直線的傾斜角為,進(jìn)而求得的斜率.【詳解】曲線為圓的上半部分,圓心為,半徑為.設(shè)與曲線相切于點(diǎn),則所以到弦的距離為,,所以,由于,所以直線的傾斜角為,斜率為.故選:A本小題主要考查直線和圓的位置關(guān)系,考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法,屬于中檔題.11.C【解析】

由題意知:,,設(shè),則,在中,列勾股方程可解得,然后由得出答案.【詳解】解:由題意知:,,設(shè),則在中,列勾股方程得:,解得所以從該葭上隨機(jī)取一點(diǎn),則該點(diǎn)取自水下的概率為故選C.本題考查了幾何概型中的長度型,屬于基礎(chǔ)題.12.D【解析】

利用向量的加法的平行四邊形法則,判斷四邊形的形狀,推出結(jié)果即可.【詳解】解:非零向量,滿足,可知兩個(gè)向量垂直,,且與的夾角為,說明以向量,為鄰邊,為對(duì)角線的平行四邊形是正方形,所以則.故選:.本題考查向量的幾何意義,向量加法的平行四邊形法則的應(yīng)用,考查分析問題解決問題的能力,屬于基礎(chǔ)題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.【解析】

由題意畫出可行域,轉(zhuǎn)化目標(biāo)函數(shù)為,數(shù)形結(jié)合即可得到的最值,即可得解.【詳解】由題意畫出可行域,如圖:轉(zhuǎn)化目標(biāo)函數(shù)為,通過平移直線,數(shù)形結(jié)合可知:當(dāng)直線過點(diǎn)A時(shí),直線截距最大,z最??;當(dāng)直線過點(diǎn)C時(shí),直線截距最小,z最大.由可得,由可得,當(dāng)直線過點(diǎn)時(shí),;當(dāng)直線過點(diǎn)時(shí),,所以.故答案為:.本題考查了簡單的線性規(guī)劃,考查了數(shù)形結(jié)合思想,屬于基礎(chǔ)題.14.【解析】分析:首先設(shè)出相應(yīng)的直角邊長,利用余弦勾股定理得到相應(yīng)的斜邊長,之后應(yīng)用余弦定理得到直角邊長之間的關(guān)系,從而應(yīng)用正切函數(shù)的定義,對(duì)邊比臨邊,求得對(duì)應(yīng)角的正切值,即可得結(jié)果.詳解:根據(jù)題意,設(shè),則,根據(jù),得,由勾股定理可得,根據(jù)余弦定理可得,化簡整理得,即,解得,所以,故答案是.點(diǎn)睛:該題考查的是有關(guān)解三角形的問題,在解題的過程中,注意分析要求對(duì)應(yīng)角的正切值,需要求誰,而題中所給的條件與對(duì)應(yīng)的結(jié)果之間有什么樣的連線,設(shè)出直角邊長,利用所給的角的余弦值,利用余弦定理得到相應(yīng)的等量關(guān)系,求得最后的結(jié)果.15.【解析】

分步排課,首先將“禮”與“樂”排在前兩節(jié),然后,“射”和“御”捆綁一一起作為一個(gè)元素與其它兩個(gè)元素合起來全排列,同時(shí)它們內(nèi)部也全排列.【詳解】第一步:先將“禮”與“樂”排在前兩節(jié),有種不同的排法;第二步:將“射”和“御”兩節(jié)講座捆綁再和其他兩藝全排有種不同的排法,所以滿足“禮”與“樂”必須排在前兩節(jié),“射”和“御”兩節(jié)講座必須相鄰的不同安排種數(shù)為.故答案為:1.本題考查排列的應(yīng)用,排列組合問題中,遵循特殊元素特殊位置優(yōu)先考慮的原則,相鄰問題用捆綁法,不相鄰問題用插入法.16.【解析】

在中利用正弦定理得出,進(jìn)而可知,當(dāng)時(shí),取最小值,進(jìn)而計(jì)算出結(jié)果.【詳解】,如圖,在中,由正弦定理可得,即,故當(dāng)時(shí),取到最小值為.故答案為:.本題考查解三角形,同時(shí)也考查了常見的三角函數(shù)值,考查邏輯推理能力與計(jì)算能力,屬于中檔題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(1)(2)直線恒過定點(diǎn),詳見解析【解析】

(1)依題意由橢圓的簡單性質(zhì)可求出,即得橢圓C的方程;(2)設(shè)直線的方程為:,聯(lián)立直線的方程與橢圓方程可求得點(diǎn)的坐標(biāo),同理可求出點(diǎn)的坐標(biāo),根據(jù)的坐標(biāo)可求出直線的方程,將其化簡成點(diǎn)斜式,即可求出定點(diǎn)坐標(biāo).【詳解】(1)由題有,.∴,∴.∴橢圓方程為.(2)設(shè)直線的方程為:,則∴或,∴,同理,當(dāng)時(shí),由有.∴,同理,又∴,當(dāng)時(shí),∴直線的方程為∴直線恒過定點(diǎn),當(dāng)時(shí),此時(shí)也過定點(diǎn)..綜上:直線恒過定點(diǎn).本題主要考查利用橢圓的簡單性質(zhì)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,以及直線與橢圓的位置關(guān)系應(yīng)用,定點(diǎn)問題的求法等,意在考查學(xué)生的邏輯推理能力和數(shù)學(xué)運(yùn)算能力,屬于難題.18.(1)(2)見解析【解析】

(1)在上單調(diào)遞減等價(jià)于在恒成立,分離參數(shù)即可解決.(2)先對(duì)求導(dǎo),化簡后根據(jù)零點(diǎn)存在性定理判斷唯一零點(diǎn)所在區(qū)間,構(gòu)造函數(shù)利用基本不等式求解即可.【詳解】(1),時(shí),,,∵在上單調(diào)遞減.∴,.令,,時(shí),;時(shí),,∴在上為減函數(shù),在上為增函數(shù).∴,∴.∴的取值范圍為.(2)若,,時(shí),,,令,顯然在上為增函數(shù).又,,∴有唯一零點(diǎn).且,時(shí),,;時(shí),,,∴在上為增函數(shù),在上為減函數(shù).∴.又,∴,,.∴.,.∴當(dāng)時(shí),.此題考查函數(shù)定區(qū)間上單調(diào),和零點(diǎn)存在性定理等知識(shí)點(diǎn),難點(diǎn)為找到最值后的構(gòu)造函數(shù)求值域,屬于較難題目.19.(1)或(2)證明見解析【解析】

(1)將寫成分段函數(shù)的形式,由此求得不等式的解集.(2)由(1)求得最小值,由此利用基本不等式,證得不等式成立.【詳解】(1)當(dāng)時(shí),恒成立,解得;當(dāng)時(shí),由,解得;當(dāng)時(shí),由解得所以的解集為或(2)由(1)可求得最小值為,即因?yàn)榫鶠檎龑?shí)數(shù),且(當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),取“”)所以,即.本小題主要考查絕對(duì)值不等式的求法,考查利用基本不等式證明不等式,屬于中檔題.20.(1),證明見解析;(2)【解析】

(1)首先利用賦值法求出的值,進(jìn)一步利用定義求出數(shù)列的通項(xiàng)公式;(2)首先利用疊乘法求出數(shù)列的通項(xiàng)公式,進(jìn)一步利用數(shù)列的單調(diào)性和基本不等式的應(yīng)用求出參數(shù)的范圍.【詳解】(1)數(shù)列滿足,,其前項(xiàng)和為.所以,,則,,,所以猜想得:.證明:由于,所以,則:(常數(shù)),所以數(shù)列是首項(xiàng)為1,公差為的等差數(shù)列.所以,整理得.(2)數(shù)列滿足,,所以,則,所以.則,所以,所以,整理得,由于,所以,即.本題考查的知識(shí)要點(diǎn):數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法及應(yīng)用,疊乘法的應(yīng)用,函數(shù)的單調(diào)性在數(shù)列中的應(yīng)用,基本不等式的應(yīng)用,主要考察學(xué)生的運(yùn)算能力和轉(zhuǎn)換能力,屬于中檔題型.21.(1)見解析(2)【解析】

(1)利用正弦定理求得,由此得到,結(jié)合證得平面,由此證得.(2)建立空間直角坐標(biāo)系,利用平面和平面的法向量,計(jì)算出二面角的余弦值,再轉(zhuǎn)化為正弦值.【詳解】(1)在中,由正弦定理可得:,,底面,平面,;(2)以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,,設(shè)平面的法向量為,由可得:,令,則,設(shè)平面的法向量為,由可得:,令,則,設(shè)二面角的平面角為,由圖可知為鈍角,則,,故二面角的正弦值為.本小題主要考查線線垂直的證明,考查空間向量法求二面角,考查空間想象能力和邏輯推理能力,屬于中檔題.22.(1);(2)不存在實(shí)數(shù),使曲線在點(diǎn)處的切線與軸垂直.【解析】

(1)分類時(shí),恒成立,時(shí),分離參數(shù)為,引入新函數(shù),利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)最值即可;(2),導(dǎo)出導(dǎo)函

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