高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)題型與戰(zhàn)法精準(zhǔn)訓(xùn)練(新高考專用)8.4.1拋物線(題型戰(zhàn)法)(原卷版+解析)

第八章平面解析幾何8.4.1拋物線（題型戰(zhàn)法）知識(shí)梳理一定義及標(biāo)準(zhǔn)方程定義：平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn)和一條定直線的距離相等的點(diǎn)的軌跡叫做拋物線。方程：焦點(diǎn)在x軸上焦點(diǎn)在y軸上圖形與方程標(biāo)準(zhǔn)方程焦點(diǎn)準(zhǔn)線二簡單幾何性質(zhì)拋物線：(1)焦半徑：，；焦點(diǎn)弦：(2)若直線的傾斜角為，則，(3)以為直徑的圓與準(zhǔn)線相切，以為直徑的圓與y軸相切(4)(5)(6)中點(diǎn)弦：（中點(diǎn)坐標(biāo)和斜率的關(guān)系）題型戰(zhàn)法題型戰(zhàn)法一拋物線的定義及辨析典例1．若動(dòng)點(diǎn)P到定點(diǎn)的距離與到直線的距離相等，則點(diǎn)P的軌跡是（

）A．拋物線 B．線段 C．直線 D．射線變式1-1．若點(diǎn)到直線的距離比它到點(diǎn)的距離小，則點(diǎn)的軌跡為（

）A．橢圓 B．雙曲線 C．拋物線 D．圓變式1-2．在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，為拋物線上一點(diǎn)，過點(diǎn)作，交準(zhǔn)線于點(diǎn)，若直線的傾斜角為，則點(diǎn)的縱坐標(biāo)為（

）A．3

B．2

C．1

D．變式1-3．拋物線上一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離是10，則點(diǎn)到軸的距離是（

）A．10 B．9 C．8 D．7變式1-4．已知拋物線：的焦點(diǎn)為，點(diǎn)在拋物線上，，則點(diǎn)的橫坐標(biāo)為（

）A．6 B．5 C．4 D．2題型戰(zhàn)法二拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)與定點(diǎn)距離的和、差最值典例2．已知拋物線，，點(diǎn)在拋物線上，記點(diǎn)到直線的距離為，則的最小值是（

）A．5 B．6 C．7 D．8變式2-1．已知焦點(diǎn)為F的拋物線的準(zhǔn)線是直線l，點(diǎn)P為拋物線C上一點(diǎn)，且垂足為Q，點(diǎn)則的最小值為（

）A． B．2 C． D．變式2-2．已知定點(diǎn)，為拋物線的焦點(diǎn)，為拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為（）A．5 B．4.5 C．3.5 D．不能確定變式2-3．拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)為F，定點(diǎn)M(2,1)，點(diǎn)P為拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則|MP|＋|PF|的最小值為（

）A．5 B．4 C．3 D．2變式2-4．已知拋物線：的準(zhǔn)線為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)在拋物線上，點(diǎn)到直線的距離為，則的最大值為（

）A． B． C．1 D．題型戰(zhàn)法三拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程典例3．以橢圓的對(duì)稱中心為頂點(diǎn)，橢圓的焦點(diǎn)為焦點(diǎn)的拋物線的方程是（

）．A． B．或C． D．或變式3-1．已知拋物線y2＝2px（p＞0）經(jīng)過點(diǎn)M（x0，2），若點(diǎn)M到準(zhǔn)線l的距離為3，則該拋物線的方程為（

）A．y2＝4x B．y2＝2x或y2＝4xC．y2＝8x D．y2＝4x或y2＝8x變式3-2．頂點(diǎn)在原點(diǎn)，關(guān)于軸對(duì)稱，并且經(jīng)過點(diǎn)的拋物線方程為（

）A． B．C． D．變式3-3．設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，為上一點(diǎn)，以為圓心，為半徑的圓交于，兩點(diǎn)．若，且的面積為，則拋物線的方程為（

）A． B．C． D．變式3-4．設(shè)拋物線：的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，為拋物線上一點(diǎn)，以為圓心的圓與準(zhǔn)線相切，且過點(diǎn)，則拋物線的方程為（

）A． B． C． D．或題型戰(zhàn)法四拋物線的軌跡方程典例4．在平面直角坐標(biāo)系中，已知，動(dòng)點(diǎn)滿足，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程是A． B． C． D．變式4-1．已知是拋物線的焦點(diǎn)，是該拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，則線段的中點(diǎn)的軌跡方程是（

）A． B．C． D．變式4-2．設(shè)動(dòng)點(diǎn)是拋物線上任意一點(diǎn)，點(diǎn)，存在點(diǎn)，使得，則的軌跡方程是（

）A． B．C． D．變式4-3．一個(gè)動(dòng)圓與定圓相外切，且與直線相切，則動(dòng)圓圓心的軌跡方程為（

）A． B． C． D．變式4-4．在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，點(diǎn)為直線：上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)在線段的垂直平分線上，且，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程是（

）A．B．C． D．題型戰(zhàn)法五拋物線的幾何性質(zhì)典例5．已知為拋物線的焦點(diǎn)，點(diǎn)A為上一點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為，若，則的面積為（

）A．2 B．4 C．8 D．16變式5-1．已知拋物線的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，點(diǎn)P在C上，直線PF交y軸于點(diǎn)Q，若，則點(diǎn)P到準(zhǔn)線l的距離為（

）A．3 B．4 C．5 D．6變式5-2．已知點(diǎn)是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)作圓的切線，切點(diǎn)為，則的最小值為（

）A． B． C． D．變式5-3．設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為F，A為拋物線上一點(diǎn)且A在第一象限，.現(xiàn)將直線AF繞點(diǎn)F逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到直線l，且直線l與拋物線交于C?D兩點(diǎn)，則(

)A．1 B． C．2 D．4變式5-4．拋物線的焦點(diǎn)為F，A，B是拋物線上兩點(diǎn)，若，若AB的中點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為3，則AF的中點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為（

）．A．1 B．2 C．3 D．4第八章平面解析幾何8.4.1拋物線（題型戰(zhàn)法）知識(shí)梳理一定義及標(biāo)準(zhǔn)方程定義：平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn)和一條定直線的距離相等的點(diǎn)的軌跡叫做拋物線。方程：焦點(diǎn)在x軸上焦點(diǎn)在y軸上圖形與方程標(biāo)準(zhǔn)方程焦點(diǎn)準(zhǔn)線二簡單幾何性質(zhì)拋物線：(1)焦半徑：，；焦點(diǎn)弦：(2)若直線的傾斜角為，則，(3)以為直徑的圓與準(zhǔn)線相切，以為直徑的圓與y軸相切(4)(5)(6)中點(diǎn)弦：（中點(diǎn)坐標(biāo)和斜率的關(guān)系）題型戰(zhàn)法題型戰(zhàn)法一拋物線的定義及辨析典例1．若動(dòng)點(diǎn)P到定點(diǎn)的距離與到直線的距離相等，則點(diǎn)P的軌跡是（

）A．拋物線 B．線段 C．直線 D．射線【答案】A【分析】由拋物線定義可直接得到結(jié)果.【詳解】動(dòng)點(diǎn)滿足拋物線定義，則其軌跡為拋物線.故選：A.變式1-1．若點(diǎn)到直線的距離比它到點(diǎn)的距離小，則點(diǎn)的軌跡為（

）A．橢圓 B．雙曲線 C．拋物線 D．圓【答案】C【解析】題設(shè)條件等價(jià)于點(diǎn)到直線的距離等于它到點(diǎn)的距離,滿足拋物線定義.【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)到直線的距離比它到點(diǎn)的距離小,所以點(diǎn)到直線的距離等于它到點(diǎn)的距離,∴點(diǎn)的軌跡為拋物線,故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查拋物線的基本定義,考查軌跡思想,屬于簡單題.變式1-2．在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，為拋物線上一點(diǎn)，過點(diǎn)作，交準(zhǔn)線于點(diǎn)，若直線的傾斜角為，則點(diǎn)的縱坐標(biāo)為（

）A．3

B．2

C．1

D．【答案】A【分析】求出的長，根據(jù)拋物線的定義可得．【詳解】設(shè)準(zhǔn)線與軸交于點(diǎn)，則，，∴，連接，則，又，所以是正三角形，∴，準(zhǔn)線的方程是，∴點(diǎn)縱坐標(biāo)為3.故選：A變式1-3．拋物線上一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離是10，則點(diǎn)到軸的距離是（

）A．10 B．9 C．8 D．7【答案】B【分析】由拋物線的定義即可求解.【詳解】解：由題可知，拋物線的準(zhǔn)線方程為，因?yàn)辄c(diǎn)到焦點(diǎn)的距離是10，故到準(zhǔn)線的距離是10，則點(diǎn)到軸的距離是9.故選：B.變式1-4．已知拋物線：的焦點(diǎn)為，點(diǎn)在拋物線上，，則點(diǎn)的橫坐標(biāo)為（

）A．6 B．5 C．4 D．2【答案】C【分析】根據(jù)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，確定準(zhǔn)線方程，根據(jù)拋物線的定義計(jì)算可得；【詳解】解：設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，拋物線的準(zhǔn)線方程為，點(diǎn)在拋物線上，，，．故選：C．題型戰(zhàn)法二拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)與定點(diǎn)距離的和、差最值典例2．已知拋物線，，點(diǎn)在拋物線上，記點(diǎn)到直線的距離為，則的最小值是（

）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】D【分析】先求出拋物線的焦點(diǎn)和準(zhǔn)線，利用拋物線的定義將轉(zhuǎn)化為的距離，即可求解.【詳解】由已知得拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線方程為，設(shè)點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為，則，則由拋物線的定義可知．∵，當(dāng)點(diǎn)、、三點(diǎn)共線時(shí)等號(hào)成立，∴，故選：.變式2-1．已知焦點(diǎn)為F的拋物線的準(zhǔn)線是直線l，點(diǎn)P為拋物線C上一點(diǎn)，且垂足為Q，點(diǎn)則的最小值為（

）A． B．2 C． D．【答案】A【分析】連接PF，由拋物線的定義可知PF=PQ，然后結(jié)合圖形可得答案【詳解】連接PF，由拋物線的定義可知PF=PQ，所以，故選A.變式2-2．已知定點(diǎn)，為拋物線的焦點(diǎn)，為拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為（）A．5 B．4.5 C．3.5 D．不能確定【答案】C【分析】過點(diǎn)作準(zhǔn)線，垂足為，根據(jù)拋物線的定義可知，當(dāng)且僅當(dāng)、、三點(diǎn)共線時(shí)，的最小值為.【詳解】如圖所示，過點(diǎn)作準(zhǔn)線，垂足為，則，當(dāng)且僅當(dāng)、、三點(diǎn)共線時(shí)，取得最小值.故選：C【點(diǎn)睛】本題考查了拋物線的定義、拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查了基本運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.變式2-3．拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)為F，定點(diǎn)M(2,1)，點(diǎn)P為拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則|MP|＋|PF|的最小值為（

）A．5 B．4 C．3 D．2【答案】C【分析】根據(jù)拋物線的性質(zhì)可知最短距離為到準(zhǔn)線的距離.【詳解】解：易知點(diǎn)在拋物線的內(nèi)部，其準(zhǔn)線方程為，過作準(zhǔn)線的垂線，垂足為，則，故而當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，|MP|＋|PF|取得最小值.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查拋物線的定義和性質(zhì)的應(yīng)用，考查運(yùn)算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想，解答的關(guān)鍵利用是拋物線定義，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想.變式2-4．已知拋物線：的準(zhǔn)線為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)在拋物線上，點(diǎn)到直線的距離為，則的最大值為（

）A． B． C．1 D．【答案】A【分析】利用拋物線定義，把問題轉(zhuǎn)化為拋物線上的點(diǎn)到點(diǎn)A和焦點(diǎn)F距離差的最大值求解.【詳解】拋物線：的焦點(diǎn)，依題意，，則，當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)P，F(xiàn)，A共線，即點(diǎn)P為拋物線頂點(diǎn)時(shí)取“=”，所以的最大值為.故選：A題型戰(zhàn)法三拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程典例3．以橢圓的對(duì)稱中心為頂點(diǎn)，橢圓的焦點(diǎn)為焦點(diǎn)的拋物線的方程是（

）．A． B．或C． D．或【答案】D【分析】由橢圓的方程得出橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)，然后可得答案.【詳解】因?yàn)闄E圓的對(duì)稱中心為原點(diǎn)，焦點(diǎn)為所以拋物線的方程為或故選：D變式3-1．已知拋物線y2＝2px（p＞0）經(jīng)過點(diǎn)M（x0，2），若點(diǎn)M到準(zhǔn)線l的距離為3，則該拋物線的方程為（

）A．y2＝4x B．y2＝2x或y2＝4xC．y2＝8x D．y2＝4x或y2＝8x【答案】D【分析】把M的坐標(biāo)代入拋物線方程可得M的橫坐標(biāo)，結(jié)合點(diǎn)M到準(zhǔn)線l的距離為3列式求得p，則拋物線方程可求.【詳解】∵拋物線y2＝2px（p＞0）經(jīng)過點(diǎn)M（x0，2），∴，可得.又點(diǎn)M到準(zhǔn)線l的距離為3，∴，解得p＝2或p＝4.則該拋物線的方程為y2＝4x或y2＝8x.故選：D.變式3-2．頂點(diǎn)在原點(diǎn)，關(guān)于軸對(duì)稱，并且經(jīng)過點(diǎn)的拋物線方程為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)題意，設(shè)拋物線的方程為，進(jìn)而待定系數(shù)求解即可.【詳解】解：由題，設(shè)拋物線的方程為，因?yàn)樵趻佄锞€上，所以，解得，即所求拋物線方程為故選：C變式3-3．設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，為上一點(diǎn)，以為圓心，為半徑的圓交于，兩點(diǎn)．若，且的面積為，則拋物線的方程為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】利用圓和拋物線的定義得到是等邊三角形，再面積得到的長度，進(jìn)而建立關(guān)于的等式即可求解.【詳解】解：∵以為圓心，為半徑的圓交于，兩點(diǎn)，，結(jié)合拋物線的定義可得：是等邊三角形，．的面積為：，．又點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為，則該拋物線的方程為．故選：B．變式3-4．設(shè)拋物線：的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，為拋物線上一點(diǎn)，以為圓心的圓與準(zhǔn)線相切，且過點(diǎn)，則拋物線的方程為（

）A． B． C． D．或【答案】D【分析】首先根據(jù)拋物線的定義得到圓經(jīng)過焦點(diǎn)，又也在圓上，接著分類討論當(dāng)，不重合時(shí)，根據(jù)垂徑定理求得；當(dāng)，重合時(shí)，，最后寫出拋物線的方程.【詳解】由拋物線的定義知，圓經(jīng)過焦點(diǎn)，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為5，由題意，當(dāng)，不重合時(shí)，是線段垂直平分線上的點(diǎn)，∴，∴，所以拋物線的方程為；當(dāng)，重合時(shí)，∴，∴，所以拋物線的方程為．故選D．【點(diǎn)睛】拋物線方程中，字母p的幾何意義是拋物線的焦點(diǎn)F到準(zhǔn)線的距離，等于焦點(diǎn)到拋物線頂點(diǎn)的距離．牢記它對(duì)解題非常有益．題型戰(zhàn)法四拋物線的軌跡方程典例4．在平面直角坐標(biāo)系中，已知，動(dòng)點(diǎn)滿足，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程是A． B． C． D．【答案】A【分析】設(shè)，然后表示出向量的坐標(biāo)，代入已知條件，整理后得到動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程.【詳解】設(shè)，，，因?yàn)樗哉淼霉蔬xA項(xiàng).【點(diǎn)睛】本題考查求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程，屬于簡單題.變式4-1．已知是拋物線的焦點(diǎn)，是該拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，則線段的中點(diǎn)的軌跡方程是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】先把拋物線整理成標(biāo)準(zhǔn)方程，然后求得拋物線的焦點(diǎn)，設(shè)出和的坐標(biāo)，然后利用和的坐標(biāo)表示出的坐標(biāo)，進(jìn)而利用拋物線方程的關(guān)系求得和的關(guān)系及的軌跡方程．【詳解】解：拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是，故．設(shè)，，的中點(diǎn)，即，即故選：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了拋物線的簡單性質(zhì)和求軌跡方程的問題．解題的關(guān)鍵是充分挖掘題設(shè)信息整理求得和的關(guān)系．變式4-2．設(shè)動(dòng)點(diǎn)是拋物線上任意一點(diǎn)，點(diǎn)，存在點(diǎn)，使得，則的軌跡方程是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】設(shè)，由得，代入即得解.【詳解】設(shè)，則．由得又在拋物線上，，即，即，故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查軌跡方程的求法，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平.變式4-3．一個(gè)動(dòng)圓與定圓相外切，且與直線相切，則動(dòng)圓圓心的軌跡方程為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)點(diǎn)到直線的距離與點(diǎn)到點(diǎn)之間距離的關(guān)系化簡即可.【詳解】定圓的圓心，半徑為2，設(shè)動(dòng)圓圓心P點(diǎn)坐標(biāo)為（x，y），動(dòng)圓的半徑為r，d為動(dòng)圓圓心到直線的距離，即r，則根據(jù)兩圓相外切及直線與圓相切的性質(zhì)可得，所以，化簡得：．∴動(dòng)圓圓心軌跡方程為．故選：D．變式4-4．在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，點(diǎn)為直線：上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)在線段的垂直平分線上，且，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】由拋物線定義得動(dòng)點(diǎn)軌跡是拋物線，由此易得方程．【詳解】由題意，，所以點(diǎn)軌跡是以為焦點(diǎn)，直線為準(zhǔn)線的拋物線，由得，所以拋物線方程為．故選：A．題型戰(zhàn)法五拋物線的幾何性質(zhì)典例5．已知為拋物線的焦點(diǎn)，點(diǎn)A為上一點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為，若，則的面積為（

）A．2 B．4 C．8 D．16【答案】C【分析】根據(jù)拋物線的焦半徑公式可求得點(diǎn)的橫坐標(biāo)，從而可求得點(diǎn)的縱坐標(biāo)，即可求出三角形的面積.【詳解】解：由題意得，則，即點(diǎn)A到準(zhǔn)線的距離為4，所以點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為2，當(dāng)時(shí)，，即，所以.故選：C.變式5-1．已知拋物線的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，點(diǎn)P在C上，直線PF交y軸于點(diǎn)Q，若，則點(diǎn)P到準(zhǔn)線l的距離為（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】C【分析】求出焦點(diǎn)的坐標(biāo)，過點(diǎn)作軸的垂線，垂足為，由可得，求出，