高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí)精講精練(新高考地區(qū))8.10圓錐曲線(xiàn)中最值、范圍模型(精講)(原卷版+解析)

8.10圓錐曲線(xiàn)中最值、范圍模型【題型解讀】【知識(shí)必備】1．圓錐曲線(xiàn)中范圍問(wèn)題求解的基本思路解決有關(guān)范圍問(wèn)題的基本思路是建立目標(biāo)函數(shù)或不等關(guān)系：建立目標(biāo)函數(shù)的關(guān)鍵是選用一個(gè)合適的變量，其原則是這個(gè)變量能夠表達(dá)要解決的問(wèn)題，利用求函數(shù)的值域的方法將待求量表示為其他變量的函數(shù)，求其值域，從而確定參數(shù)的取值范圍；建立不等關(guān)系時(shí)，先要恰當(dāng)?shù)匾胱兞?如點(diǎn)的坐標(biāo)、角、斜率等)，尋找不等關(guān)系．2．圓錐曲線(xiàn)中范圍問(wèn)題建立不等關(guān)系的基本方法(1)利用圓錐曲線(xiàn)的幾何性質(zhì)或判別式構(gòu)造不等關(guān)系，從而確定參數(shù)的取值范圍；(2)利用已知參數(shù)的范圍，求新參數(shù)的范圍，解這類(lèi)問(wèn)題的核心是建立兩個(gè)參數(shù)之間的等量關(guān)系；(3)利用已知的不等關(guān)系構(gòu)造不等式，從而求出參數(shù)的取值范圍；(4)利用隱含的不等關(guān)系建立不等式，從而求出參數(shù)的取值范圍．【題型精講】【題型一斜率型最值、范圍問(wèn)題】例1(2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，且|F1F2|＝6，直線(xiàn)y＝kx與橢圓交于A，B兩點(diǎn)．(1)若△AF1F2的周長(zhǎng)為16，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若k＝eq\f(\r(2),4)，且A，B，F(xiàn)1，F(xiàn)2四點(diǎn)共圓，求橢圓離心率e的值；(3)在(2)的條件下，設(shè)P(x0，y0)為橢圓上一點(diǎn)，且直線(xiàn)PA的斜率k1∈(－2，－1)，試求直線(xiàn)PB的斜率k2的取值范圍．【跟蹤精練】1.(2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知橢圓,過(guò)點(diǎn)作橢圓的兩條切線(xiàn),且兩切線(xiàn)垂直.(1)求；(2)已知點(diǎn),若存在過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)與橢圓交于,且以為直徑的圓過(guò)點(diǎn)（不與重合）,求直線(xiàn)斜率的取值范圍.【題型二距離型最值、范圍問(wèn)題】例2(2023·青島高三模擬）已知橢圓C：的離心率為,,分別為橢圓C的左、右焦點(diǎn),過(guò)且與x軸垂直的直線(xiàn)與橢圓C交于點(diǎn)A,B,且的面積為．（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)直線(xiàn)l與橢圓C交于不同于右頂點(diǎn)P的M,N兩點(diǎn),且,求的最大值．【跟蹤精練】1.已知橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的離心率為eq\f(\r(3),3)，且橢圓C過(guò)點(diǎn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，\f(\r(2),2)))．(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)過(guò)橢圓C的右焦點(diǎn)的直線(xiàn)l與橢圓C分別相交于A，B兩點(diǎn)，且與圓O：x2＋y2＝2相交于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，求|AB|·|EF|2的取值范圍．【題型三面積型最值、范圍問(wèn)題】例3(2023·全國(guó)高三專(zhuān)題練習(xí)）已知橢圓四個(gè)頂點(diǎn)的四邊形為菱形,它的邊長(zhǎng)為,面積為,過(guò)橢圓左焦點(diǎn)與橢圓C相交于M,N兩點(diǎn)（M,N兩點(diǎn)不在x軸上）,直線(xiàn)l的方程為：,過(guò)點(diǎn)M作垂直于直線(xiàn)l交于點(diǎn)E．(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn),求面積的最大值．【題型精練】1.(2023·山西太原五中高三期末）已知拋物線(xiàn)C：y2＝2px(p>0)，點(diǎn)F為拋物線(xiàn)C的焦點(diǎn)，點(diǎn)A(1，m)(m>0)在拋物線(xiàn)C上，且|FA|＝2，過(guò)點(diǎn)F作斜率為keq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)≤k≤2))的直線(xiàn)l與拋物線(xiàn)C交于P，Q兩點(diǎn)．(1)求拋物線(xiàn)C的方程；(2)求△APQ面積的取值范圍．【題型四數(shù)量積型最值、范圍問(wèn)題】例4(2023·湖北模擬）已知中心在原點(diǎn),焦點(diǎn)在軸上的橢圓過(guò)點(diǎn),離心率為,點(diǎn)為其右頂點(diǎn).過(guò)點(diǎn)作直線(xiàn)與橢圓相交于、兩點(diǎn),直線(xiàn)、與直線(xiàn)分別交于點(diǎn)、.(1)求橢圓的方程；(2)求的取值范圍.【題型精練】1.(2023·德陽(yáng)三模）已知橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的左、右頂點(diǎn)分別為A，B，且長(zhǎng)軸長(zhǎng)為8，T為橢圓上任意一點(diǎn)，直線(xiàn)TA，TB的斜率之積為－eq\f(3,4)．(1)求橢圓C的方程；(2)設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)M(0，2)的動(dòng)直線(xiàn)與橢圓C交于P，Q兩點(diǎn)，求eq\o(OP,\s\up7())·eq\o(OQ,\s\up7())＋eq\o(MP,\s\up7())·eq\o(MQ,\s\up7())的取值范圍．【題型五參數(shù)型最值、范圍問(wèn)題】例5(2023·湖北模擬）已知F1，F(xiàn)2是橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的兩個(gè)焦點(diǎn)，P為C上的點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．(1)若△POF2為等邊三角形，求C的離心率；(2)如果存在點(diǎn)P，使得PF1⊥PF2，且△F1PF2的面積等于16，求b的值和a的取值范圍．【題型精練】1.(2023·德陽(yáng)三模）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知△ABC的兩個(gè)頂點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為(－1，0)，(1，0)，且AC，BC所在直線(xiàn)的斜率之積等于－2，記頂點(diǎn)C的軌跡為曲線(xiàn)E．(1)求曲線(xiàn)E的方程；(2)設(shè)直線(xiàn)y＝kx＋2(0＜k＜2)與y軸相交于點(diǎn)P，與曲線(xiàn)E相交于不同的兩點(diǎn)Q，R(點(diǎn)R在點(diǎn)P和點(diǎn)Q之間)，且eq\o(PQ,\s\up6(→))＝λeq\o(PR,\s\up6(→))，求實(shí)數(shù)λ的取值范圍．【題型六坐標(biāo)型最值、范圍問(wèn)題】例6(2023·湖北模擬）如圖，設(shè)拋物線(xiàn)y2＝2px(p>0)的焦點(diǎn)為F，拋物線(xiàn)上的點(diǎn)A到y(tǒng)軸的距離等于|AF|－1．(1)求p的值；(2)若直線(xiàn)AF交拋物線(xiàn)于另一點(diǎn)B，過(guò)B與x軸平行的直線(xiàn)和過(guò)F與AB垂直的直線(xiàn)交于點(diǎn)N，AN與x軸交于點(diǎn)M．求M的橫坐標(biāo)的取值范圍．【題型精練】1.(2023·德陽(yáng)三模）已知曲線(xiàn)上一動(dòng)點(diǎn)到兩定點(diǎn),的距離之和為,過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)與曲線(xiàn)相交于點(diǎn),．(1)求曲線(xiàn)的方程；(2)動(dòng)弦滿(mǎn)足：,求點(diǎn)的軌跡方程；(3)求的取值范圍．8.10圓錐曲線(xiàn)中最值、范圍模型【題型解讀】【知識(shí)必備】1．圓錐曲線(xiàn)中范圍問(wèn)題求解的基本思路解決有關(guān)范圍問(wèn)題的基本思路是建立目標(biāo)函數(shù)或不等關(guān)系：建立目標(biāo)函數(shù)的關(guān)鍵是選用一個(gè)合適的變量，其原則是這個(gè)變量能夠表達(dá)要解決的問(wèn)題，利用求函數(shù)的值域的方法將待求量表示為其他變量的函數(shù)，求其值域，從而確定參數(shù)的取值范圍；建立不等關(guān)系時(shí)，先要恰當(dāng)?shù)匾胱兞?如點(diǎn)的坐標(biāo)、角、斜率等)，尋找不等關(guān)系．2．圓錐曲線(xiàn)中范圍問(wèn)題建立不等關(guān)系的基本方法(1)利用圓錐曲線(xiàn)的幾何性質(zhì)或判別式構(gòu)造不等關(guān)系，從而確定參數(shù)的取值范圍；(2)利用已知參數(shù)的范圍，求新參數(shù)的范圍，解這類(lèi)問(wèn)題的核心是建立兩個(gè)參數(shù)之間的等量關(guān)系；(3)利用已知的不等關(guān)系構(gòu)造不等式，從而求出參數(shù)的取值范圍；(4)利用隱含的不等關(guān)系建立不等式，從而求出參數(shù)的取值范圍．【題型精講】【題型一斜率型最值、范圍問(wèn)題】例1(2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，且|F1F2|＝6，直線(xiàn)y＝kx與橢圓交于A，B兩點(diǎn)．(1)若△AF1F2的周長(zhǎng)為16，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若k＝eq\f(\r(2),4)，且A，B，F(xiàn)1，F(xiàn)2四點(diǎn)共圓，求橢圓離心率e的值；(3)在(2)的條件下，設(shè)P(x0，y0)為橢圓上一點(diǎn)，且直線(xiàn)PA的斜率k1∈(－2，－1)，試求直線(xiàn)PB的斜率k2的取值范圍．【解析】(1)由題意得c＝3，根據(jù)2a＋2c＝16，得a＝5．結(jié)合a2＝b2＋c2，解得a2＝25，b2＝16。所以橢圓的方程為eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,16)＝1．(2)法一：由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(x2,a2)＋\f(y2,b2)＝1，,y＝\f(\r(2),4)x，))得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(b2＋\f(1,8)a2))x2－a2b2＝0．設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)．所以x1＋x2＝0，x1x2＝eq\f(－a2b2,b2＋\f(1,8)a2)，由AB，F(xiàn)1F2互相平分且共圓，易知，AF2⊥BF2，因?yàn)閑q\o(F2A,\s\up7(→))＝(x1－3，y1)，eq\o(F2B,\s\up7(→))＝(x2－3，y2)，所以eq\o(F2A,\s\up7(→))·eq\o(F2B,\s\up7(→))＝(x1－3)(x2－3)＋y1y2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,8)))x1x2＋9＝0．即x1x2＝－8，所以有eq\f(－a2b2,b2＋\f(1,8)a2)＝－8，結(jié)合b2＋9＝a2，解得a2＝12(a2＝6舍去)，所以離心率e＝eq\f(\r(3),2)．(若設(shè)A(x1，y1)，B(－x1，－y1)相應(yīng)給分)法二：設(shè)A(x1，y1)，又AB，F(xiàn)1F2互相平分且共圓，所以AB，F(xiàn)1F2是圓的直徑，所以xeq\o\al(2,1)＋yeq\o\al(2,1)＝9，又由橢圓及直線(xiàn)方程綜合可得：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1)＝9，,y1＝\f(\r(2),4)x1，,\f(x\o\al(2,1),a2)＋\f(y\o\al(2,1),b2)＝1.))由前兩個(gè)方程解得xeq\o\al(2,1)＝8，yeq\o\al(2,1)＝1，將其代入第三個(gè)方程并結(jié)合b2＝a2－c2＝a2－9，解得a2＝12，故e＝eq\f(\r(3),2)．(3)由(2)的結(jié)論知，橢圓方程為eq\f(x2,12)＋eq\f(y2,3)＝1，由題可設(shè)A(x1，y1)，B(－x1，－y1)，k1＝eq\f(y0－y1,x0－x1)，k2＝eq\f(y0＋y1,x0＋x1)，所以k1k2＝eq\f(y\o\al(2,0)－y\o\al(2,1),x\o\al(2,0)－x\o\al(2,1))，又eq\f(y\o\al(2,0)－y\o\al(2,1),x\o\al(2,0)－x\o\al(2,1))＝eq\f(3\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(x\o\al(2,0),12)))－3\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(x\o\al(2,1),12))),x\o\al(2,0)－x\o\al(2,1))＝－eq\f(1,4)，即k2＝－eq\f(1,4k1)，由－2＜k1＜－1可知，eq\f(1,8)＜k2＜eq\f(1,4)．即直線(xiàn)PB的斜率k2的取值范圍是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,8)，\f(1,4)))．【跟蹤精練】1.(2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知橢圓,過(guò)點(diǎn)作橢圓的兩條切線(xiàn),且兩切線(xiàn)垂直.(1)求；(2)已知點(diǎn),若存在過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)與橢圓交于,且以為直徑的圓過(guò)點(diǎn)（不與重合）,求直線(xiàn)斜率的取值范圍.【解析】（1）由題可知,切線(xiàn)斜率存在,則設(shè)切線(xiàn),聯(lián)立得,即,相切得：,即,所以由兩切線(xiàn)垂直得：（2）由（1）得,橢圓方程為由題可知,直線(xiàn)的斜率存在,設(shè),聯(lián)立得設(shè),由韋達(dá)定理得：由題意為直徑的圓過(guò)點(diǎn),①又代入①式得：或（舍去）,所以過(guò)定點(diǎn),,隨的增大而增大,,即直線(xiàn)斜率范圍【題型二距離型最值、范圍問(wèn)題】例2(2023·青島高三模擬）已知橢圓C：的離心率為,,分別為橢圓C的左、右焦點(diǎn),過(guò)且與x軸垂直的直線(xiàn)與橢圓C交于點(diǎn)A,B,且的面積為．（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)直線(xiàn)l與橢圓C交于不同于右頂點(diǎn)P的M,N兩點(diǎn),且,求的最大值．【解析】（1）因?yàn)闄E圓C的離心率為,所以①．將代入,得,所以,則,即②．由①②及,得,,故橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為．（2）由題意知,直線(xiàn)l的斜率不為0,則不妨設(shè)直線(xiàn)l的方程為．聯(lián)立得消去x得,,化簡(jiǎn)整理,得．設(shè),,則,．因?yàn)?所以．因?yàn)?所以,,得,將,代入上式,得,得,解得或（舍去）,所以直線(xiàn)l的方程為,則直線(xiàn)l恒過(guò)點(diǎn),所以．設(shè),則,,易知在上單調(diào)遞增,所以當(dāng)時(shí),取得最大值,為．又,所以．【跟蹤精練】1.已知橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的離心率為eq\f(\r(3),3)，且橢圓C過(guò)點(diǎn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，\f(\r(2),2)))．(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)過(guò)橢圓C的右焦點(diǎn)的直線(xiàn)l與橢圓C分別相交于A，B兩點(diǎn)，且與圓O：x2＋y2＝2相交于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，求|AB|·|EF|2的取值范圍．【解析】(1)由題意得eq\f(c,a)＝eq\f(\r(3),3)，所以a2＝eq\f(3,2)b2，所以橢圓的方程為eq\f(x2,\f(3,2)b2)＋eq\f(y2,b2)＝1，將點(diǎn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，\f(\r(2),2)))代入方程得b2＝2，即a2＝3，所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(x2,3)＋eq\f(y2,2)＝1．(2)由(1)可知，橢圓的右焦點(diǎn)為(1，0)，①若直線(xiàn)l的斜率不存在，直線(xiàn)l的方程為x＝1，則Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(2\r(3),3)))，Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，－\f(2\r(3),3)))，E(1，1)，F(xiàn)(1，－1)，所以|AB|＝eq\f(4\r(3),3)，|EF|2＝4，|AB|·|EF|2＝eq\f(16\r(3),3)．②若直線(xiàn)l的斜率存在，設(shè)直線(xiàn)l的方程為y＝k(x－1)，A(x1，y1)，B(x2，y2)．聯(lián)立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(x2,3)＋\f(y2,2)＝1，,y＝kx－1，))可得(2＋3k2)x2－6k2x＋3k2－6＝0，則x1＋x2＝eq\f(6k2,2＋3k2)，x1x2＝eq\f(3k2－6,2＋3k2)，所以|AB|＝eq\r((1＋k2)(x1－x2)2)＝eq\r((1＋k2)\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(6k2,2＋3k2)))2－4×\f(3k2－6,2＋3k2))))＝eq\f(4\r(3)k2＋1,2＋3k2)．因?yàn)閳A心O(0，0)到直線(xiàn)l的距離d＝eq\f(|k|,\r(k2＋1))，所以|EF|2＝4eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2－\f(k2,k2＋1)))＝eq\f(4k2＋2,k2＋1)，所以|AB|·|EF|2＝eq\f(4\r(3)(k2＋1),2＋3k2)·eq\f(4(k2＋2),k2＋1)＝eq\f(16\r(3)(k2＋2),2＋3k2)＝eq\f(16\r(3),3)·eq\f(k2＋2,k2＋\f(2,3))＝eq\f(16\r(3),3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(\f(4,3),k2＋\f(2,3))))．因?yàn)閗2∈[0，＋∞)，所以|AB|·|EF|2∈eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(16\r(3),3)，16\r(3)))．綜上，|AB|·|EF|2的取值范圍為eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(16\r(3),3)，16\r(3)))．【題型三面積型最值、范圍問(wèn)題】例3(2023·全國(guó)高三專(zhuān)題練習(xí)）已知橢圓四個(gè)頂點(diǎn)的四邊形為菱形,它的邊長(zhǎng)為,面積為,過(guò)橢圓左焦點(diǎn)與橢圓C相交于M,N兩點(diǎn)（M,N兩點(diǎn)不在x軸上）,直線(xiàn)l的方程為：,過(guò)點(diǎn)M作垂直于直線(xiàn)l交于點(diǎn)E．(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn),求面積的最大值．【解析】（1）由題意可得：,解得橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為（2）由（1）可得：,即由題意可設(shè)直線(xiàn),則聯(lián)立方程,消去x可得：∴,則∴直線(xiàn)的斜率,則直線(xiàn)的方程為令,則可得即直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)∴面積為令,則令,則當(dāng)時(shí)恒成立∴在單調(diào)遞減,則,即∴面積的最大值為【題型精練】1.(2023·山西太原五中高三期末）已知拋物線(xiàn)C：y2＝2px(p>0)，點(diǎn)F為拋物線(xiàn)C的焦點(diǎn)，點(diǎn)A(1，m)(m>0)在拋物線(xiàn)C上，且|FA|＝2，過(guò)點(diǎn)F作斜率為keq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)≤k≤2))的直線(xiàn)l與拋物線(xiàn)C交于P，Q兩點(diǎn)．(1)求拋物線(xiàn)C的方程；(2)求△APQ面積的取值范圍．【解析】(1)由拋物線(xiàn)的定義可得|FA|＝xA＋eq\f(p,2)＝1＋eq\f(p,2)＝2，所以p＝2，所以?huà)佄锞€(xiàn)的方程為y2＝4x．(2)設(shè)直線(xiàn)l的方程為y＝k(x－1)，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，聯(lián)立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝k(x－1)，,y2＝4x))得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0，Δ>0恒成立，由根與系數(shù)的關(guān)系得x1＋x2＝eq\f(2k2＋4,k2)，x1x2＝1，因?yàn)锳F⊥x軸，則S△APQ＝eq\f(1,2)×|AF|×|x1－x2|＝|x1－x2|＝eq\r((x1＋x2)2－4x1x2)＝4eq\r(\f(k2＋1,k4))＝4eq\r(\f(1,k2)＋\f(1,k4))，因?yàn)閑q\f(1,2)≤k≤2，令t＝eq\f(1,k2)，所以S△APQ＝4eq\r(t2＋t)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)≤t≤4))，所以eq\r(5)≤S△APQ≤8eq\r(5)，所以△APQ的面積的取值范圍為[eq\r(5)，8eq\r(5)]．【題型四數(shù)量積型最值、范圍問(wèn)題】例4(2023·湖北模擬）已知中心在原點(diǎn),焦點(diǎn)在軸上的橢圓過(guò)點(diǎn),離心率為,點(diǎn)為其右頂點(diǎn).過(guò)點(diǎn)作直線(xiàn)與橢圓相交于、兩點(diǎn),直線(xiàn)、與直線(xiàn)分別交于點(diǎn)、.(1)求橢圓的方程；(2)求的取值范圍.【解析】（1）由題意設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）,由題意,得,解得,,即橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）由（1）得,設(shè),,,聯(lián)立,得,即,則,,直線(xiàn),的方程分別為,,令,則,,則,,所以因?yàn)?所以,,即的取值范圍為.【題型精練】1.(2023·德陽(yáng)三模）已知橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的左、右頂點(diǎn)分別為A，B，且長(zhǎng)軸長(zhǎng)為8，T為橢圓上任意一點(diǎn)，直線(xiàn)TA，TB的斜率之積為－eq\f(3,4)．(1)求橢圓C的方程；(2)設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)M(0，2)的動(dòng)直線(xiàn)與橢圓C交于P，Q兩點(diǎn)，求eq\o(OP,\s\up7())·eq\o(OQ,\s\up7())＋eq\o(MP,\s\up7())·eq\o(MQ,\s\up7())的取值范圍．【解析】(1)設(shè)T(x，y)，由題意知A(－4，0)，B(4，0)，設(shè)直線(xiàn)TA的斜率為k1，直線(xiàn)TB的斜率為k2，則k1＝eq\f(y,x＋4)，k2＝eq\f(y,x－4)，由k1k2＝－eq\f(3,4)，得eq\f(y,x＋4)·eq\f(y,x－4)＝－eq\f(3,4)，整理得eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,12)＝1．故橢圓C的方程為eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,12)＝1．(2)當(dāng)直線(xiàn)PQ的斜率存在時(shí)，設(shè)直線(xiàn)PQ的方程為y＝kx＋2，點(diǎn)P，Q的坐標(biāo)分別為(x1，y1)，(x2，y2)，聯(lián)立方程eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(x2,16)＋\f(y2,12)＝1，,y＝kx＋2))消去y，得(4k2＋3)x2＋16kx－32＝0．所以x1＋x2＝－eq\f(16k,4k2＋3)，x1x2＝－eq\f(32,4k2＋3)．從而，eq\o(OP,\s\up7())·eq\o(OQ,\s\up7())＋eq\o(MP,\s\up7())·eq\o(MQ,\s\up7())＝x1x2＋y1y2＋[x1x2＋(y1－2)(y2－2)]＝2(1＋k2)x1x2＋2k(x1＋x2)＋4＝eq\f(－80k2－52,4k2＋3)＝－20＋eq\f(8,4k2＋3)，所以－20＜eq\o(OP,\s\up7())·eq\o(OQ,\s\up7())＋eq\o(MP,\s\up7())·eq\o(MQ,\s\up7())≤－eq\f(52,3)．當(dāng)直線(xiàn)PQ的斜率不存在時(shí)，eq\o(OP,\s\up7())·eq\o(OQ,\s\up7())＋eq\o(MP,\s\up7())·eq\o(MQ,\s\up7())的值為－20．綜上，eq\o(OP,\s\up7())·eq\o(OQ,\s\up7())＋eq\o(MP,\s\up7())·eq\o(MQ,\s\up7())的取值范圍為eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－20，－\f(52,3)))．【題型五參數(shù)型最值、范圍問(wèn)題】例5(2023·湖北模擬）已知F1，F(xiàn)2是橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的兩個(gè)焦點(diǎn)，P為C上的點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．(1)若△POF2為等邊三角形，求C的離心率；(2)如果存在點(diǎn)P，使得PF1⊥PF2，且△F1PF2的面積等于16，求b的值和a的取值范圍．【解析】(1)連接PF1(圖略)．由△POF2為等邊三角形可知，在△F1PF2中，∠F1PF2＝90°，|PF2|＝c，|PF1|＝eq\r(3)c，于是2a＝|PF1|＋|PF2|＝(eq\r(3)＋1)c，故C的離心率為e＝eq\f(c,a)＝eq\r(3)－1．(2)由題意可知，若滿(mǎn)足條件的點(diǎn)P(x，y)存在，則eq\f(1,2)|y|·2c＝16，eq\f(y,x＋c)·eq\f(y,x－c)＝－1，即c|y|＝16，①，x2＋y2＝c2，②，又eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1．③由②③及a2＝b2＋c2得y2＝eq\f(b4,c2)．又由①知y2＝eq\f(162,c2)，故b＝4．由②③及a2＝b2＋c2得x2＝eq\f(a2,c2)(c2－b2)，所以c2≥b2，從而a2＝b2＋c2≥2b2＝32，故a≥4eq\r(2)．當(dāng)b＝4，a≥4eq\r(2)時(shí)，存在滿(mǎn)足條件的點(diǎn)P．所以b＝4，a的取值范圍為[4eq\r(2)，＋∞)．【題型精練】1.(2023·德陽(yáng)三模）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知△ABC的兩個(gè)頂點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為(－1，0)，(1，0)，且AC，BC所在直線(xiàn)的斜率之積等于－2，記頂點(diǎn)C的軌跡為曲線(xiàn)E．(1)求曲線(xiàn)E的方程；(2)設(shè)直線(xiàn)y＝kx＋2(0＜k＜2)與y軸相交于點(diǎn)P，與曲線(xiàn)E相交于不同的兩點(diǎn)Q，R(點(diǎn)R在點(diǎn)P和點(diǎn)Q之間)，且eq\o(PQ,\s\up6(→))＝λeq\o(PR,\s\up6(→))，求實(shí)數(shù)λ的取值范圍．【解析】(1)設(shè)C(x，y)．由題意，可得eq\f(y,x－1)·eq\f(y,x＋1)＝－2(x≠±1)，∴曲線(xiàn)E的方程為x2＋eq\f(y2,2)＝1(x≠±1)．(2)設(shè)R(x1，y1)，Q(x2，y2)．聯(lián)立，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx＋2，,x2＋\f(y2,2)＝1，))消去y，可得(2＋k2)x2＋4kx＋2＝0，∴Δ＝8k2－16＞0，∴k2＞2．又0＜k＜2，∴eq\r(2)＜k＜2．由根與系數(shù)的關(guān)系得，x1＋x2＝－eq\f(4k,2＋k2)，①，x1x2＝eq\f(2,2＋k2)，②∵eq\o(PQ,\s\up6(→))＝λeq\o(PR,\s\up6(→))，點(diǎn)R在點(diǎn)P和點(diǎn)Q之間，∴x2＝λx1(λ＞1)，③聯(lián)立①②③，可得eq\f(1＋λ2,λ)＝eq\f(8k2,2＋k2)．∵eq\r(2)＜k＜2，∴eq\f(8k2,2＋k2)＝eq\f(8,\f(2,k