第43講 平面向量的數(shù)量積及其應(yīng)用（八大題型）（講義）（原卷版）-2025數(shù)學(xué)一輪復(fù)習（含2024年高考真題+回歸教材）

1/19第02講平面向量的數(shù)量積及其應(yīng)用目錄TOC\o"1-2"\h\z\u01考情透視·目標導(dǎo)航 202知識導(dǎo)圖·思維引航 303考點突破·題型探究 4知識點1：平面向量的數(shù)量積 4知識點2：數(shù)量積的運算律 4知識點3：數(shù)量積的性質(zhì) 5知識點4：數(shù)量積的坐標運算 5解題方法總結(jié) 6題型一：平面向量的數(shù)量積運算 7題型二：平面向量的夾角問題 8題型三：平面向量的模長 9題型四：平面向量的投影、投影向量 9題型五：平面向量的垂直問題 11題型六：建立坐標系解決向量問題 11題型七：平面向量的實際應(yīng)用 13題型八：向量回路恒等式 1504真題練習·命題洞見 1605課本典例·高考素材 1706易錯分析·答題模板 18易錯點：對向量數(shù)量積的定義理解不深刻導(dǎo)致出錯 18答題模板：利用定義法計算平面圖形的數(shù)量積 19

考點要求考題統(tǒng)計考情分析（1）平面向量的數(shù)量積（2）平面向量數(shù)量積的幾何意義2024年I卷第3題，5分2024年II卷第3題，5分2023年I卷第3題，5分2023年II卷第13題，5分2023年甲卷（理）第4題，5分2022年II卷第4題，5分平面向量數(shù)量積的運算、化簡、證明及數(shù)量積的應(yīng)用問題，如證明垂直、距離等是每年必考的內(nèi)容，單獨命題時，一般以選擇、填空形式出現(xiàn)．交匯命題時，向量一般與解析幾何、三角函數(shù)、平面幾何等相結(jié)合考查，而此時向量作為工具出現(xiàn)．向量的應(yīng)用是跨學(xué)科知識的一個交匯點，務(wù)必引起重視．預(yù)測命題時考查平面向量數(shù)量積的幾何意義及坐標運算，同時與三角函數(shù)及解析幾何相結(jié)合的解答題也是熱點．復(fù)習目標：（1）理解平面向量數(shù)量積的含義及其幾何意義（2）了解平面向量的數(shù)量積與投影向量的關(guān)系．（3）掌握數(shù)量積的坐標表達式，會進行平面向量數(shù)量積的運算（4）會用向量的方法解決某些簡單的平面幾何問題

知識點1：平面向量的數(shù)量積（1）平面向量數(shù)量積的定義已知兩個非零向量與，我們把數(shù)量叫做與的數(shù)量積（或內(nèi)積），記作，即=，規(guī)定：零向量與任一向量的數(shù)量積為0．（2）平面向量數(shù)量積的幾何意義①向量的投影：叫做向量在方向上的投影數(shù)量，當為銳角時，它是正數(shù)；當為鈍角時，它是負數(shù)；當為直角時，它是0．②的幾何意義：數(shù)量積等于的長度與在方向上射影的乘積．③設(shè)，是兩個非零向量，它們的夾角是與是方向相同的單位向量，，過的起點和終點，分別作所在直線的垂線，垂足分別為，得到，我們稱上述變換為向量向向量投影，叫做向量在向量上的投影向量．記為．【診斷自測】（2024·安徽安慶·三模）已知線段是圓的一條長為4的弦，則（

）A．4 B．6 C．8 D．16知識點2：數(shù)量積的運算律已知向量、、和實數(shù)，則：①；②；③．【診斷自測】（2024·四川雅安·模擬預(yù)測）在中，，，且，則（）A． B． C． D．知識點3：數(shù)量積的性質(zhì)設(shè)、都是非零向量，是與方向相同的單位向量，是與的夾角，則①．②．③當與同向時，；當與反向時，．特別地，或．④．⑤．【診斷自測】（2024·西藏·模擬預(yù)測）已知向量，．若，則實數(shù)的值是（

）A． B． C． D．2知識點4：數(shù)量積的坐標運算已知非零向量，，為向量、的夾角．結(jié)論幾何表示坐標表示模數(shù)量積夾角的充要條件的充要條件與的關(guān)系（當且僅當時等號成立）【診斷自測】已知平面向量，且，則實數(shù)的值為（

）A． B． C． D．解題方法總結(jié)（1）在上的投影是一個數(shù)量，它可以為正，可以為負，也可以等于0．（2）數(shù)量積的運算要注意時，，但時不能得到或，因為時，也有．（3）根據(jù)平面向量數(shù)量積的性質(zhì)：，，等，所以平面向量數(shù)量積可以用來解決有關(guān)長度、角度、垂直的問題．（4）若、、是實數(shù)，則（）；但對于向量，就沒有這樣的性質(zhì)，即若向量、、滿足（），則不一定有，即等式兩邊不能同時約去一個向量，但可以同時乘以一個向量．（5）數(shù)量積運算不適合結(jié)合律，即，這是由于表示一個與共線的向量，表示一個與共線的向量，而與不一定共線，因此與不一定相等．題型一：平面向量的數(shù)量積運算【典例1-1】設(shè)平面向量，，且，則=（

）A．1 B．14 C． D．【典例1-2】在中，，，，為的外心，則（

）A．5 B．2 C． D．【方法技巧】（1）求平面向量的數(shù)量積是較為常規(guī)的題型，最重要的方法是緊扣數(shù)量積的定義找到解題思路．（2）平面向量數(shù)量積的幾何意義及坐標表示，分別突出了它的幾何特征和代數(shù)特征，因而平面向量數(shù)量積是中學(xué)數(shù)學(xué)較多知識的交匯處，因此它的應(yīng)用也就十分廣泛．【變式1-1】（2024·高三·吉林四平·期末）已知向量，滿足，且與的夾角為，則（

）A．6 B．8 C．10 D．14【變式1-2】已知，，向量在方向上投影向量是，則為（

）A．12 B．8 C．-8 D．2【變式1-3】（2024·安徽蕪湖·模擬預(yù)測）已知邊長為1的正方形ABCD，點E，F(xiàn)分別是BC，CD的中點，則（

）A． B． C． D．【變式1-4】（2024·陜西安康·模擬預(yù)測）菱形的邊長為，以為圓心作圓且與相切于是與的交點，則.【變式1-5】（2024·浙江寧波·模擬預(yù)測）已知是邊長為1的正三角形，是上一點且，則（

）A． B． C． D．1題型二：平面向量的夾角問題【典例2-1】（2024·陜西安康·模擬預(yù)測）已知單位向量滿足，則.【典例2-2】（2024·陜西·二模）已知，則向量的夾角的余弦值為.【方法技巧】求夾角，用數(shù)量積，由得，進而求得向量的夾角．【變式2-1】（2024·江西宜春·三模）已知，均為非零向量，若，則與的夾角為．【變式2-2】已知與的夾角為．若為鈍角，則的取值范圍是．【變式2-3】（2024·高三·天津?qū)幒印て谀┮阎獑挝幌蛄颗c的夾角為，則向量與的夾角為．【變式2-4】（2024·四川綿陽·模擬預(yù)測）平面向量與相互垂直，已知，，且與向量的夾角是鈍角，則.【變式2-5】（2024·四川綿陽·模擬預(yù)測）已知非零向量滿足，且，則的夾角大小為．【變式2-6】（2024·上?！つM預(yù)測）已知向量，，滿足，，且，則．題型三：平面向量的模長【典例3-1】（2024·重慶·模擬預(yù)測）已知向量滿足，則【典例3-2】（2024·浙江溫州·二模）平面向量滿足，，，則．【方法技巧】求模長，用平方，．【變式3-1】（2024·安徽池州·模擬預(yù)測）已知向量，，且與共線，則.【變式3-2】（2024·江蘇連云港·模擬預(yù)測）若向量，滿足，，且，則（

）A．1 B． C． D．2【變式3-3】（2024·高三·上海奉賢·期中）已知平面向量，的夾角為，若，則的值為.題型四：平面向量的投影、投影向量【典例4-1】（2024·福建泉州·模擬預(yù)測）在平面直角坐標系中，點P在直線上.若向量，則在上的投影向量為（

）A． B．C． D．【典例4-2】（2024·新疆喀什·二模）在直角梯形中，且與交于點，則向量在向量上的投影向量為（

）A． B． C． D．【方法技巧】設(shè)，是兩個非零向量，它們的夾角是與是方向相同的單位向量，，過的起點和終點，分別作所在直線的垂線，垂足分別為，得到，我們稱上述變換為向量向向量投影，叫做向量在向量上的投影向量．記為．【變式4-1】（2024·黑龍江哈爾濱·模擬預(yù)測）已知向量滿足，則向量在向量方向上的投影向量為（

）A． B． C． D．【變式4-2】（2024·廣東深圳·模擬預(yù)測）已知向量，，則在上的投影向量為（）A． B． C． D．【變式4-3】在三角形中，若，則向量在向量上的投影向量為.【變式4-4】已知向量與的夾角為，，設(shè)在上的投影向量為，則（

）A． B． C． D．【變式4-5】已知雙曲線的左?右焦點分別為B，C，以BC為直徑的圓與漸近線交與點A，連接AB與另一條漸近線交與點E，為原點，，且.若在上的投影向量為，則（

）A． B． C． D．題型五：平面向量的垂直問題【典例5-1】（2024·西藏林芝·模擬預(yù)測）已知向量，若，則（

）A．2或3 B．或 C．1或 D．或6【典例5-2】（2024·甘肅張掖·模擬預(yù)測）已知向量滿足，且，若，則（

）A． B．C． D．【方法技巧】【變式5-1】（2024·遼寧·模擬預(yù)測）若，是夾角為的兩個單位向量，與垂直，則（

）A．0 B．2 C． D．【變式5-2】（2024·浙江紹興·二模）已知，是單位向量，且它們的夾角是，若，，且，則（

）A． B． C． D．【變式5-3】（2024·重慶·模擬預(yù)測）已知，且與不共線，若向量與互相垂直，則實數(shù)的值為（

）A． B． C． D．題型六：建立坐標系解決向量問題【典例6-1】（2024·全國·模擬預(yù)測）已知在菱形ABCD中，，若點M在線段AD上運動，則的取值范圍為．【典例6-2】如圖，已知正方形的邊長為，且，連接交于，則【方法技巧】邊長為的等邊三角形已知夾角的任意三角形正方形矩形平行四邊形直角梯形等腰梯形圓【變式6-1】（2024·高三·河南濮陽·開學(xué)考試）大約在公元222年，趙爽為《周髀算經(jīng)》一書作注時介紹了“勾股圓方圖”，即“趙爽弦圖”.如圖是某同學(xué)繪制的趙爽弦圖，其中四邊形均為正方形，，則.【變式6-2】（2024·天津·二模）已知菱形邊長為1，且為線段的中點，若在線段上，且，則，點為線段上的動點，過點作的平行線交邊于點，過點做的垂線交邊于點，則的最小值為.【變式6-3】窗，古時亦稱為牖，它伴隨著建筑的起源而出現(xiàn)，在中國建筑文化中是一種獨具文化意蘊和審美魅力的重要建筑構(gòu)件．如圖是某古代建筑群的窗戶設(shè)計圖，窗戶的輪廓ABCD是邊長為50cm的正方形，它是由四個全等的直角三角形和一個邊長為10cm的小正方形EFGH拼接而成，則．【變式6-4】如圖，正八邊形中，若，則的值為．題型七：平面向量的實際應(yīng)用【典例7-1】（2024·高三·廣東汕頭·期末）設(shè)表示向東走了10km，表示向南走了5km，則所表示的意義為（

）A．向東南走了km B．向西南走了kmC．向東南走了km D．向西南走了km【典例7-2】（2024·浙江溫州·二模）物理學(xué)中，如果一個物體受到力的作用，并在力的方向上發(fā)生了一段位移，我們就說這個力對物體做了功，功的計算公式：（其中是功，是力，是位移）一物體在力和的作用下，由點移動到點，在這個過程中這兩個力的合力對物體所作的功等于（

）A．25 B．5 C． D．【方法技巧】用向量方法解決實際問題的步驟【變式7-1】一條東西方向的河流兩岸平行，河寬，河水的速度為向正東．一艘小貨船準備從河南岸碼頭P處出發(fā)，航行到河對岸Q（與河的方向垂直）的正西方向并且與Q相距的碼頭M處卸貨，若水流的速度與小貨船航行的速度的合速度的大小為，則當小貨船的航程最短時，小貨船航行速度的大小為（

）A． B． C． D．【變式7-2】（2024·廣東梅州·二模）如圖，兩根繩子把物體M吊在水平桿子AB上.已知物體M的重力大小為20牛，且，在下列角度中，當角取哪個值時，繩承受的拉力最小.（

）A． B． C． D．【變式7-3】在水流速度的自西向東的河中，如果要使船以的速度從河的南岸垂直到達北岸，則船出發(fā)時行駛速度的方向和大小為（）A．北偏西，B．北偏西，C．北偏東，D．北偏東，【變式7-4】在日常生活中，我們會看到兩個人共提一個行李包的情況（如圖所示）．假設(shè)行李包所受的重力為，所受的兩個拉力分別為，，且，與的夾角為，則以下結(jié)論不正確的是（）A．的最小值為B．的范圍為C．當時，D．當時，題型八：向量回路恒等式【典例8-1】如圖，在平面四邊形中，，，則．【典例8-2】如圖，在平面四邊形中，若，，則．【方法技巧】向量回路恒等式：【變式8-1】如圖，已知在四邊形中，．則．1．（2024年北京高考數(shù)學(xué)真題）設(shè)，是向量，則“”是“或”的（

）．A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件2．（2024年新課標全國Ⅰ卷數(shù)學(xué)真題）已知向量，若，則（

）A． B． C．1 D．23．（2024年新課標全國Ⅱ卷數(shù)學(xué)真題）已知向量滿足，且，則（

）A． B． C． D．14．（2024年高考全國甲卷數(shù)學(xué)（理）真題）設(shè)向量，則（

）A．“”是“”的必要條件 B．“”是“”的必要條件C．“”是“”的充分條件 D．“”是“”的充分條件5．（2023年北京高考數(shù)學(xué)真題）已知向量滿足，則（

）A． B． C．0 D．11．已知的外接圓圓心為，且，，則向量在向量上的投影向量為（

）A． B． C． D．2．已知非零向量與滿足且，則為（

）A．三邊均不相等的三角形 B．直角三角形C．等腰非等邊三角形 D．等邊三角形3．已知O，N，P在所在平面內(nèi)，且，且，則點O，N，P依次是的（）（注：三角形的三條高線交于一點，此點為三角型的垂心）A．重心外心垂心 B．重心外心內(nèi)心C．外心重心垂心 D．外心重心內(nèi)心4．如圖，在中，是不是只需知道的半徑或弦AB的長度，就可以求出的值？