人教高中數(shù)學(xué)A版必修一 4《函數(shù)的零點(diǎn)與方程的解 用二分法求方程的近似解 函數(shù)模型的應(yīng)用》

4.5.1

函數(shù)的零點(diǎn)與方程的解指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)一二三一、函數(shù)的零點(diǎn)1.已知函數(shù)f(x)=2x+6.(1)求方程f(x)=0的解;提示:由2x+6=0,解得x=-3.(2)求函數(shù)f(x)的圖象與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo).提示:交點(diǎn)坐標(biāo)A(-3,0).(3)方程的解與函數(shù)圖象與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)之間是怎樣的關(guān)系?提示:相等.一二三2.填空:函數(shù)的零點(diǎn)(1)定義:對(duì)于函數(shù)y=f(x),我們把使f(x)=0的實(shí)數(shù)x叫做函數(shù)y=f(x)的零點(diǎn).(2)幾何意義:函數(shù)y=f(x)的圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)就是函數(shù)y=f(x)的零點(diǎn).3.函數(shù)y=f(x)的零點(diǎn)是點(diǎn)嗎?為什么?提示:不是.函數(shù)的零點(diǎn)的本質(zhì)是方程f(x)=0的實(shí)數(shù)根,因此,函數(shù)的零點(diǎn)不是點(diǎn),而是一個(gè)實(shí)數(shù),當(dāng)函數(shù)的自變量取這個(gè)實(shí)數(shù)時(shí),函數(shù)值為零.4.你能說(shuō)出函數(shù)①y=lgx;②y=lg(x+1);③y=2x;④y=2x-2的零點(diǎn)嗎?提示:①y=lg

x的零點(diǎn)是x=1;②y=lg

(x+1)的零點(diǎn)是x=0;③y=2x沒(méi)有零點(diǎn);④y=2x-2的零點(diǎn)是x=1.一二三5.做一做:函數(shù)f(x)=x2-1的零點(diǎn)是(

)A.(±1,0) B.(1,0)C.0 D.±1解析:解方程f(x)=x2-1=0,得x=±1,因此函數(shù)f(x)=x2-1的零點(diǎn)是±1.答案:D一二三二、方程、函數(shù)、圖象之間的關(guān)系1.考察下列一元二次方程與對(duì)應(yīng)的二次函數(shù):①方程x2-2x-3=0與函數(shù)y=x2-2x-3;②方程x2-2x+1=0與函數(shù)y=x2-2x+1;③方程x2-2x+3=0與函數(shù)y=x2-2x+3.(1)你能夠畫(huà)出關(guān)于上述方程的根,函數(shù)圖象與x軸的交點(diǎn)及函數(shù)的零點(diǎn)的表格嗎?一二三提示:一二三(2)從你所列的表格中,你能得出什么結(jié)論?提示:方程f(x)=0有實(shí)數(shù)根?函數(shù)y=f(x)的圖象與x軸有交點(diǎn)?函數(shù)y=f(x)有零點(diǎn).一二三三、函數(shù)零點(diǎn)存在性定理1.觀察二次函數(shù)f(x)=x2-2x-3的圖象,發(fā)現(xiàn)這個(gè)二次函數(shù)在區(qū)間[-2,1]上有零點(diǎn)x=-1,而f(-2)>0,f(1)<0,即f(-2)·f(1)<0.二次函數(shù)在區(qū)間[2,4]上有零點(diǎn)x=3,而f(2)<0,f(4)>0,即f(2)·f(4)<0.由以上兩步探索,你可以得出什么樣的結(jié)論?提示:如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a,b]上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線,并且有f(a)·f(b)<0,那么函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)有零點(diǎn).2.填空:函數(shù)零點(diǎn)存在性定理:如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a,b]上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線,并且有f(a)·f(b)<0,那么,函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)有零點(diǎn),即存在c∈(a,b),使得f(c)=0,這個(gè)c也就是方程f(x)=0的根.一二三3.如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a,b]上的圖象是間斷的,上述定理成立嗎?提示:不一定成立,由下圖可知.4.反過(guò)來(lái),如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a,b]上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線,函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b)上存在零點(diǎn),f(a)·f(b)<0是否一定成立?提示:不一定成立,由二次函數(shù)f(x)=x2-2x+1的圖象可知.一二三5.判斷正誤:函數(shù)y=f(x)的圖象是在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)的曲線,若f(a)·f(b)>0,則f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)沒(méi)有零點(diǎn).(

)答案:×6.做一做:函數(shù)f(x)=x3+2x+1的零點(diǎn)一定位于下列哪個(gè)區(qū)間上(

)A.[-2,-1] B.[-1,0]C.[0,1] D.[1,2]解析:因?yàn)閒(-2)=-11<0,f(-1)=-2<0,f(0)=1>0,f(1)=4>0,f(2)=13>0,所以f(-1)f(0)<0.所以f(x)的零點(diǎn)在區(qū)間[-1,0]上.答案:B探究一探究二探究三思想方法隨堂演練求函數(shù)的零點(diǎn)例1

判斷下列函數(shù)是否存在零點(diǎn),如果存在,請(qǐng)求出零點(diǎn).(1)f(x)=-8x2+7x+1;(2)f(x)=1+log3x;(3)f(x)=4x-16;分析:可通過(guò)解方程f(x)=0求得函數(shù)的零點(diǎn).探究一探究二探究三思想方法隨堂演練(3)令4x-16=0,即4x=42,解得x=2.所以函數(shù)的零點(diǎn)為2.反思感悟

因?yàn)楹瘮?shù)f(x)的零點(diǎn)就是方程f(x)=0的實(shí)數(shù)解,也是函數(shù)y=f(x)的圖象與x軸公共點(diǎn)的橫坐標(biāo),所以求函數(shù)的零點(diǎn)通常有兩種方法:一是代數(shù)法,令f(x)=0,通過(guò)求方程f(x)=0的解求得函數(shù)的零點(diǎn);二是幾何法,畫(huà)出函數(shù)y=f(x)的圖象,圖象與x軸公共點(diǎn)的橫坐標(biāo)即為函數(shù)的零點(diǎn).探究一探究二探究三思想方法隨堂演練變式訓(xùn)練1已知函數(shù)f(x)=x2+3(m+1)x+n的零點(diǎn)是1和2,求函數(shù)y=logn(mx+1)的零點(diǎn).解:由題意知函數(shù)f(x)=x2+3(m+1)x+n的零點(diǎn)為1和2,則1和2是方程x2+3(m+1)x+n=0的實(shí)根.所以函數(shù)y=logn(mx+1)的解析式為y=log2(-2x+1).令log2(-2x+1)=0,得x=0.所以函數(shù)y=log2(-2x+1)的零點(diǎn)為0.探究一探究二探究三思想方法隨堂演練利用函數(shù)零點(diǎn)存在定理判斷函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)例2判斷函數(shù)f(x)=2x+lg(x+1)-2的零點(diǎn)個(gè)數(shù).探究一探究二探究三思想方法隨堂演練解:(方法一)∵f(0)=1+0-2=-1<0,f(2)=4+lg

3-2=2+lg

3>0,∴f(x)在區(qū)間(0,2)內(nèi)必定存在實(shí)數(shù)根.又f(x)=2x+lg(x+1)-2在區(qū)間(-1,+∞)上為增函數(shù),故f(x)有且只有一個(gè)零點(diǎn).(方法二)令h(x)=2-2x,g(x)=lg(x+1),在同一平面直角坐標(biāo)系中作出h(x)與g(x)的圖象如圖所示.由圖象知g(x)=lg(x+1)和h(x)=2-2x的圖象有且只有一個(gè)公共點(diǎn),即f(x)=2x+lg(x+1)-2有且只有一個(gè)零點(diǎn).探究一探究二探究三思想方法隨堂演練反思感悟判斷函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的常用方法1.解方程f(x)=0,方程f(x)=0解的個(gè)數(shù)就是函數(shù)f(x)零點(diǎn)的個(gè)數(shù).2.直接作出函數(shù)f(x)的圖象,圖象與x軸公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)就是函數(shù)f(x)零點(diǎn)的個(gè)數(shù).3.f(x)=g(x)-h(x)=0,得g(x)=h(x),在同一平面直角坐標(biāo)系中作出y1=g(x)和y2=h(x)的圖象,則兩個(gè)圖象公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)就是函數(shù)y=f(x)零點(diǎn)的個(gè)數(shù).4.若證明一個(gè)函數(shù)的零點(diǎn)唯一,也可先由零點(diǎn)存在定理判斷出函數(shù)有零點(diǎn),再證明該函數(shù)在定義域內(nèi)單調(diào).探究一探究二探究三思想方法隨堂演練變式訓(xùn)練

2(1)若abc≠0,且b2=ac,則函數(shù)f(x)=ax2+bx+c的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)是(

)A.0 B.1 C.2 D.1或2(2)判斷函數(shù)f(x)=x-3+lnx的零點(diǎn)個(gè)數(shù).(1)解析:∵b2=ac,∴方程ax2+bx+c=0的判別式Δ=b2-4ac=b2-4b2=-3b2.∵abc≠0,∴b≠0.因此Δ<0.故函數(shù)f(x)=ax2+bx+c的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為0.答案:A探究一探究二探究三思想方法隨堂演練(2)解:(方法一)令f(x)=x-3+ln

x=0,則ln

x=3-x.在同一平面直角坐標(biāo)系中分別畫(huà)出函數(shù)y=ln

x與y=-x+3的圖象,如圖所示.由圖可知函數(shù)y=ln

x與y=-x+3的圖象只有一個(gè)公共點(diǎn),即函數(shù)f(x)=x-3+ln

x只有一個(gè)零點(diǎn).(方法二)因?yàn)閒(3)=ln

3>0,f(2)=-1+ln

2=ln<0,所以f(3)f(2)<0,說(shuō)明函數(shù)f(x)=x-3+ln

x在區(qū)間(2,3)內(nèi)有零點(diǎn).又f(x)=x-3+ln

x在區(qū)間(0,+∞)上是增函數(shù),所以原函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn).探究一探究二探究三思想方法隨堂演練判斷函數(shù)的零點(diǎn)所在的大致區(qū)間例3

(1)方程log3x+x=3的解所在的區(qū)間為

(

)A.(0,2) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4)(2)根據(jù)表格中的數(shù)據(jù),可以判定方程ex-x-2=0的一個(gè)實(shí)數(shù)解所在的區(qū)間為(k,k+1)(k∈N),則k的值為

.

分析:(1)構(gòu)造函數(shù)f(x)=log3x+x-3,轉(zhuǎn)化為確定函數(shù)f(x)的零點(diǎn)所在的區(qū)間;(2)構(gòu)造與方程對(duì)應(yīng)的函數(shù),然后根據(jù)表格判斷函數(shù)值的符號(hào),從而確定零點(diǎn)所在的區(qū)間,再求k值.探究一探究二探究三思想方法隨堂演練解析:(1)令f(x)=log3x+x-3,則f(1)=log31+1-3=-2<0,f(2)=log32+2-3=log3

<0,f(3)=log33+3-3=1>0,f(4)=log34+4-3=log312>0,則函數(shù)f(x)的零點(diǎn)所在的區(qū)間為(2,3),所以方程log3x+x=3的實(shí)數(shù)解所在的區(qū)間為(2,3).(2)記f(x)=ex-x-2,則該函數(shù)的零點(diǎn)就是方程ex-x-2=0的實(shí)數(shù)解.由題表可知f(-1)=0.37-1<0,f(0)=1-2<0,f(1)=2.72-3<0,f(2)=7.39-4>0,f(3)=20.09-5>0.由零點(diǎn)存在定理可得f(1)f(2)<0,故函數(shù)的零點(diǎn)所在的區(qū)間為(1,2).所以k=1.答案:(1)C

(2)1探究一探究二探究三思想方法隨堂演練反思感悟1.依據(jù)函數(shù)零點(diǎn)存在定理判斷函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)是否有零點(diǎn),關(guān)鍵看兩點(diǎn):一是曲線是否連續(xù)不斷;二是f(a)與f(b)是否異號(hào),就是說(shuō)這種方法只能判斷變號(hào)零點(diǎn)(即在零點(diǎn)左右兩側(cè)附近函數(shù)值的符號(hào)發(fā)生改變的零點(diǎn)).2.判斷函數(shù)零點(diǎn)所在區(qū)間的三個(gè)步驟:(1)代.將區(qū)間端點(diǎn)代入函數(shù)求出函數(shù)的值.(2)判.把所得函數(shù)值相乘,并進(jìn)行符號(hào)判斷.(3)結(jié).若符號(hào)為正且函數(shù)在該區(qū)間內(nèi)是單調(diào)函數(shù),則函數(shù)在該區(qū)間內(nèi)無(wú)零點(diǎn),若符號(hào)為負(fù)且函數(shù)圖象連續(xù),則函數(shù)在該區(qū)間內(nèi)至少有一個(gè)零點(diǎn).探究一探究二探究三思想方法隨堂演練探究一探究二探究三思想方法隨堂演練答案:(1)B

(2)A探究一探究二探究三思想方法隨堂演練函數(shù)與方程思想在一元二次方程解的分布問(wèn)題中的應(yīng)用典例

關(guān)于x的方程ax2-2(a+1)x+a-1=0,求a為何值時(shí):(1)方程有一個(gè)正解和一個(gè)負(fù)解;(2)方程的兩個(gè)解都大于1.【審題視角】

題意→畫(huà)草圖→轉(zhuǎn)換為數(shù)量關(guān)系→求解探究一探究二探究三思想方法隨堂演練解:令f(x)=ax2-2(a+1)x+a-1.(1)當(dāng)方程有一個(gè)正解和一個(gè)負(fù)解時(shí),f(x)對(duì)應(yīng)的草圖可能如圖①,②所示.解得0<a<1.所以當(dāng)0<a<1時(shí),方程有一個(gè)正解和一個(gè)負(fù)解.探究一探究二探究三思想方法隨堂演練(2)當(dāng)方程的兩個(gè)解都大于1時(shí),f(x)對(duì)應(yīng)的草圖可能如圖③,④所示.解得a∈?.所以不存在實(shí)數(shù)a,使方程的兩個(gè)解都大于1.探究一探究二探究三思想方法隨堂演練方法點(diǎn)睛解決有關(guān)解的分布問(wèn)題應(yīng)注意以下幾點(diǎn):(1)首先畫(huà)出符合題意的草圖,轉(zhuǎn)化為函數(shù)問(wèn)題.(2)結(jié)合草圖考慮四個(gè)方面:①開(kāi)口方向;②Δ與0的大小關(guān)系;③對(duì)稱軸與所給端點(diǎn)值的關(guān)系;④端點(diǎn)的函數(shù)值與零的關(guān)系.(3)寫(xiě)出由題意得到的不等式(組).(4)由得到的不等式(組)的解去驗(yàn)證圖象是否符合題意.這類問(wèn)題充分體現(xiàn)了函數(shù)與方程的思想,也體現(xiàn)了方程的解就是函數(shù)的零點(diǎn).在寫(xiě)不等式(組)時(shí)要注意條件的完備性.探究一探究二探究三思想方法隨堂演練變式訓(xùn)練本例已知條件不變,求a為何值時(shí):(1)方程有唯一實(shí)數(shù)解;(2)方程的一個(gè)解大于1,一個(gè)解小于1.解:(1)令f(x)=ax2-2(a+1)x+a-1.

探究一探究二探究三思想方法隨堂演練(2)因?yàn)榉匠痰囊粋€(gè)解大于1,一個(gè)解小于1.f(x)的草圖可能如圖⑤,⑥所示.所以當(dāng)a>0時(shí),方程的一個(gè)解大于1,一個(gè)解小于1.探究一探究二探究三思想方法隨堂演練1.函數(shù)f(x)=log5(x-1)的零點(diǎn)是(

)A.0 B.1 C.2 D.3解析:令log5(x-1)=0,解得x=2,所以函數(shù)f(x)=log5(x-1)的零點(diǎn)是2,故選C.答案:C2.若x0是方程lnx+x=4的解,則x0所在的區(qū)間是

(

)A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4)解析:設(shè)f(x)=ln

x+x-4,則f(1)=-3<0,f(2)=ln

2-2<0,f(3)=ln

3-1>0,f(4)=ln

4>0,則x0∈(2,3).答案:C探究一探究二探究三思想方法隨堂演練3.已知函數(shù)y=ax2-x-1只有一個(gè)零點(diǎn),則實(shí)數(shù)a的值為

.

解析:當(dāng)a=0時(shí),函數(shù)為y=-x-1,顯然該函數(shù)的圖象與x軸只有一個(gè)公共點(diǎn),即函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn).當(dāng)a≠0時(shí),函數(shù)y=ax2-x-1為二次函數(shù).∵函數(shù)y=ax2-x-1只有一個(gè)零點(diǎn),∴方程ax2-x-1=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)解.探究一探究二探究三思想方法隨堂演練4.函數(shù)y=2|x|+x-2的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為

.

解析:令2|x|+x-2=0,得2|x|=2-x.在同一平面直角坐標(biāo)系中作出函數(shù)y=2|x|與函數(shù)y=2-x的圖象,如圖,圖象有2個(gè)公共點(diǎn),即方程2|x|+x-2=0有2個(gè)實(shí)數(shù)解,也就是函數(shù)有2個(gè)零點(diǎn).答案:2探究一探究二探究三思想方法隨堂演練5.判斷下列函數(shù)在給定區(qū)間上是否存在零點(diǎn):(1)f(x)=x2-3x-18,x∈[-4,7];(2)f(x)=x2+2x+1-,x∈(0,+∞).解:(1)令x2-3x-18=0,解得x=-3或x=6.又-3∈[-4,7],6∈[-4,7],∴f(x)=x2-3x-18在[-4,7]上有兩個(gè)零點(diǎn).所以函數(shù)f(x)在(0,+∞)上存在零點(diǎn),且僅有一個(gè)零點(diǎn).4.5.2

用二分法求方程的近似解指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)一二一、二分法的概念1.在一檔娛樂(lè)節(jié)目中,主持人讓選手在規(guī)定時(shí)間內(nèi)猜某物品的價(jià)格,若猜中了,就把物品獎(jiǎng)給選手.某次競(jìng)猜的物品為價(jià)格在800元~1200元之間的一款手機(jī),選手開(kāi)始報(bào)價(jià):選手:1000.主持人:低了.選手:1100.主持人:高了.選手:1050.主持人:祝賀你,答對(duì)了.(1)主持人說(shuō)“低了”隱含著手機(jī)價(jià)格在哪個(gè)范圍內(nèi)?提示:(1

000,1

200].(2)選手每次的報(bào)價(jià)值同競(jìng)猜前手機(jī)價(jià)格所在范圍有何關(guān)系?提示:報(bào)價(jià)值為競(jìng)猜前手機(jī)價(jià)格所在范圍的中間值.一二2.填空對(duì)于在區(qū)間[a,b]上圖象連續(xù)不斷且f(a)f(b)<0的函數(shù)y=f(x),通過(guò)不斷地把它的零點(diǎn)所在區(qū)間一分為二,使所得區(qū)間的兩個(gè)端點(diǎn)逐步逼近零點(diǎn),進(jìn)而得到零點(diǎn)近似值的方法叫做二分法.3.判斷正誤函數(shù)f(x)=|x|可以用二分法求其零點(diǎn).(

)答案:×一二4.做一做下列函數(shù)圖象與x軸均有公共點(diǎn),其中不能用二分法求圖中函數(shù)零點(diǎn)的是(

)解析:利用二分法求函數(shù)零點(diǎn)必須滿足零點(diǎn)兩側(cè)的函數(shù)值異號(hào).在選項(xiàng)B中,不滿足f(a)·f(b)<0,不能用二分法求函數(shù)零點(diǎn),由于選項(xiàng)A,C,D中零點(diǎn)兩側(cè)的函數(shù)值異號(hào),故可采用二分法求函數(shù)零點(diǎn).答案:B一二二、用二分法求f(x)零點(diǎn)近似值的步驟1.在上述猜物品價(jià)格的實(shí)例中,競(jìng)猜的過(guò)程是否有規(guī)律可循?提示:競(jìng)猜過(guò)程歸結(jié)為:設(shè)原價(jià)為x,則(1)給定價(jià)格區(qū)間[a,b];(2)求區(qū)間(a,b)的中點(diǎn)c;(3)若c>x,則在區(qū)間(a,c)內(nèi)競(jìng)猜;若c<x,則在區(qū)間(c,b)內(nèi)競(jìng)猜;(4)依次類推,直到猜出原價(jià)x.2.填空給定精確度ε,用二分法求f(x)零點(diǎn)x0的近似值的一般步驟如下:(1)確定零點(diǎn)x0的初始區(qū)間[a,b],驗(yàn)證f(a)f(b)<0;(2)求區(qū)間(a,b)的中點(diǎn)c;(3)計(jì)算f(c),并進(jìn)一步確定零點(diǎn)所在的區(qū)間;若f(c)=0(此時(shí)x0=c),則c就是函數(shù)的零點(diǎn);若f(a)f(c)<0(此時(shí)零點(diǎn)x0∈(a,c)),則令b=c;若f(c)f(b)<0(此時(shí)零點(diǎn)x0∈(c,b)),則令a=c.(4)判斷是否達(dá)到精確度ε:若|a-b|<ε,則得到零點(diǎn)近似值a(或b),否則重復(fù)(2)~(4).一二3.判斷正誤二分法只可用來(lái)求方程的近似解.(

)答案:×一二4.做一做若函數(shù)f(x)=log3x+x-3的一個(gè)零點(diǎn)附近的函數(shù)值用二分法逐次計(jì)算,參考數(shù)據(jù)如下:f(2)≈-0.3691

f(2.5)≈0.3340f(2.25)≈-0.0119 f(2.375)≈0.1624f(2.3125)≈0.0756 f(2.28125)≈0.0319

則方程x-3+log3x=0的一個(gè)近似解(精確度0.1)為(

)A.2.1 B.2.2 C.2.3 D.2.4解析:由參考數(shù)據(jù)可知f(2.25)·f(2.312

5)<0,且|2.312

5-2.25|=0.062

5<0.1,所以當(dāng)精確度為0.1時(shí),可以將x=2.3作為函數(shù)f(x)=log3x+x-3零點(diǎn)的近似值,也即為方程x-3+log3x=0的近似根.答案:C探究一探究二探究三思想方法隨堂演練二分法的概念例1下列圖象表示的函數(shù)中,能使用二分法求零點(diǎn)的是(

)分析:利用二分法求函數(shù)零點(diǎn)的條件是:函數(shù)在零點(diǎn)的左右兩側(cè)的函數(shù)值符號(hào)相反,即穿過(guò)x軸,分析選項(xiàng)可得答案.解析:能用二分法求函數(shù)零點(diǎn)的函數(shù),在零點(diǎn)的左右兩側(cè)的函數(shù)值符號(hào)相反,由圖象可得,A、B、D不能滿足此條件.答案:C探究一探究二探究三思想方法隨堂演練反思感悟

(1)二分法就是通過(guò)不斷地將所選區(qū)間一分為二,逐步逼近零點(diǎn)的方法,找到零點(diǎn)附近足夠小的區(qū)間,根據(jù)所要求的精確度,用此區(qū)間的某個(gè)數(shù)值近似地表示真正的零點(diǎn).(2)只有滿足函數(shù)圖象在零點(diǎn)附近連續(xù)且在該零點(diǎn)左右函數(shù)值異號(hào)才能應(yīng)用“二分法”求函數(shù)零點(diǎn).探究一探究二探究三思想方法隨堂演練變式訓(xùn)練1若二次函數(shù)f(x)=2x2+3x+m存在零點(diǎn),且能夠利用二分法求得此零點(diǎn),則實(shí)數(shù)m的取值范圍是

.

探究一探究二探究三思想方法隨堂演練用二分法求函數(shù)的零點(diǎn)例2求函數(shù)f(x)=x2-5的負(fù)零點(diǎn)的近似值(精確度0.1).分析:先確定f(-2)與f(-3)的符號(hào),再按照二分法求函數(shù)零點(diǎn)近似值的步驟求解.解:由于f(-2)=-1<0,f(-3)=4>0,故取區(qū)間[-3,-2]作為計(jì)算的初始區(qū)間.用二分法逐次計(jì)算,列表如下:由于|-2.25-(-2.187

5)|=0.062

5<0.1,所以函數(shù)的一個(gè)近似負(fù)零點(diǎn)可取-2.25.探究一探究二探究三思想方法隨堂演練反思感悟用二分法求函數(shù)零點(diǎn)的近似值應(yīng)遵循的原則及求解流程圖1.用二分法求函數(shù)零點(diǎn)的近似值應(yīng)遵循的原則:(1)依據(jù)圖象估計(jì)零點(diǎn)所在的初始區(qū)間[m,n](這個(gè)區(qū)間既要包含所求的根,又要使其長(zhǎng)度盡可能的小,區(qū)間的端點(diǎn)盡量為整數(shù)).(2)取區(qū)間端點(diǎn)的平均數(shù)c,計(jì)算f(c),確定有解區(qū)間是(m,c)還是(c,n),逐步縮小區(qū)間的“長(zhǎng)度”,直到區(qū)間的長(zhǎng)度符合精確度要求(這個(gè)過(guò)程中應(yīng)及時(shí)檢驗(yàn)所得區(qū)間端點(diǎn)差的絕對(duì)值是否達(dá)到給定的精確度),才終止計(jì)算,得到函數(shù)零點(diǎn)的近似值(為了比較清晰地表達(dá)計(jì)算過(guò)程與函數(shù)零點(diǎn)所在的區(qū)間往往采用列表法).探究一探究二探究三思想方法隨堂演練2.利用二分法求函數(shù)近似零點(diǎn)的流程圖:探究一探究二探究三思想方法隨堂演練延伸探究如本例中的精確度改為0.2呢?解:由【例2】的表格可知,區(qū)間(-2.25,-2)的長(zhǎng)度為|-2-(-2.25)|=0.25>0.2;而區(qū)間(-2.25,-2.125)的長(zhǎng)度|-2.125-(-2.25)|=0.125<0.2,所以這個(gè)區(qū)間的兩個(gè)端點(diǎn)值就可以作為其近似值,所以其近似值可取-2.125.探究一探究二探究三思想方法隨堂演練求方程的近似解例3

求方程lgx=2-x的近似解(精確度0.1).分析:在同一平面直角坐標(biāo)系中,畫(huà)出y=lg

x和y=2-x的圖象,確定方程的解所在的大致區(qū)間,再用二分法求解.解:在同一平面直角坐標(biāo)系中,作出y=lg

x,y=2-x的圖象如圖所示,可以發(fā)現(xiàn)方程lg

x=2-x有唯一解,記為x0,并且解在區(qū)間(1,2)內(nèi).若f(x)=lg

x+x-2,則f(x)的零點(diǎn)為x0.用計(jì)算器計(jì)算,得f(1)<0,f(2)>0?x0∈(1,2);f(1.5)<0,f(2)>0?x0∈(1.5,2);f(1.75)<0,f(2)>0?x0∈(1.75,2);f(1.75)<0,f(1.875)>0?x0∈(1.75,1.875);f(1.75)<0,f(1.812

5)>0?x0∈(1.75,1.812

5).∵|1.812

5-1.75|=0.062

5<0.1,∴方程的近似解可取為1.812

5.探究一探究二探究三思想方法隨堂演練反思感悟用二分法求方程的近似解需明確的兩點(diǎn)1.根據(jù)函數(shù)的零點(diǎn)與相應(yīng)方程的解的關(guān)系,求函數(shù)的零點(diǎn)與求相應(yīng)方程的解是等價(jià)的.求方程f(x)=0的近似解,即按照用二分法求函數(shù)零點(diǎn)近似值的步驟求解.2.對(duì)于求形如f(x)=g(x)的方程的近似解,可以通過(guò)移項(xiàng)轉(zhuǎn)化成求形如F(x)=f(x)-g(x)=0的方程的近似解,然后按照用二分法求函數(shù)零點(diǎn)近似值的步驟求解.探究一探究二探究三思想方法隨堂演練變式訓(xùn)練2用二分法求2x+x=4在區(qū)間(1,2)內(nèi)的近似解(精確度0.2).參考數(shù)據(jù):解:令f(x)=2x+x-4,則f(1)=2+1-4<0,f(2)=22+2-4>0.∵|1.375-1.5|=0.125<0.2,∴2x+x=4在(1,2)內(nèi)的近似解可取為1.375.探究一探究二探究三思想方法隨堂演練轉(zhuǎn)化與化歸思想在二分法中的應(yīng)用

以下用二分法求其零點(diǎn)的近似值.由于f(1)=-1<0,f(2)=6>0,故可以取區(qū)間[1,2]為計(jì)算的初始區(qū)間.用二分法逐步計(jì)算,列表如下:探究一探究二探究三思想方法隨堂演練由于區(qū)間(1.257

812

5,1.265

625)的長(zhǎng)度為1.265

625-1.257

812

5=0.007

812

5<0.01,探究一探究二探究三思想方法隨堂演練方法點(diǎn)睛1.求根式的近似值,實(shí)質(zhì)上就是將根式轉(zhuǎn)化為方程的無(wú)理根,再轉(zhuǎn)化為函數(shù)的零點(diǎn),通過(guò)二分法求解.2.二分法思想的實(shí)質(zhì)是一種逼近思想,所求值與近似值間的差異程度取決于精確度ε.探究一探究二探究三思想方法隨堂演練用二分法逐次計(jì)算,見(jiàn)表如下:探究一探究二探究三思想方法隨堂演練1.已知函數(shù)f(x)的圖象如圖,其中零點(diǎn)的個(gè)數(shù)及可以用二分法求其零點(diǎn)的個(gè)數(shù)分別為(

)A.4,4B.3,4C.5,4D.4,3解析:由題圖知函數(shù)f(x)與x軸有4個(gè)公共點(diǎn),因此零點(diǎn)個(gè)數(shù)為4,從左往右數(shù)第4個(gè)公共點(diǎn)橫坐標(biāo)的左右兩側(cè)的函數(shù)值同號(hào),因此不能用二分法求該零點(diǎn),而其余3個(gè)均可使用二分法來(lái)求.故選D.答案:D探究一探究二探究三思想方法隨堂演練2.用二分法求函數(shù)f(x)=-x3-3x+5的近似零點(diǎn)時(shí)的初始區(qū)間是(

)A.(1,3) B.(1,2)C.(-2,-1) D.(-3,-2)解析:本題考查對(duì)用二分法求函數(shù)零點(diǎn)近似值的理解及初始區(qū)間的選擇.∵f(1)=1,f(2)=-9,f(-1)=9,f(-2)=19,f(3)=-31,∴f(1)f(2)<0.又函數(shù)f(x)=-x3-3x+5的定義域?yàn)镽,故f(x)的一個(gè)零點(diǎn)的近似值所在的初始區(qū)間為(1,2).答案:B3.用二分法求方程f(x)=0在區(qū)間(0,1)內(nèi)的近似解時(shí),經(jīng)計(jì)算,f(0.425)<0,f(0.532)>0,f(0.605)<0,即得到方程的一個(gè)近似解為

.(精確度0.1)

解析:∵0.605-0.532=0.073<0.1,∴(0.532,0.605)內(nèi)的值都可以作為方程精確度為0.1的一個(gè)近似解.答案:0.532(答案不唯一)探究一探究二探究三思想方法隨堂演練4.用二分法求函數(shù)f(x)=lnx-2+x在區(qū)間[1,2]上零點(diǎn)的近似值,先取

解析:∵f(1)=-1<0,f(2)=ln

2>0,探究一探究二探究三思想方法隨堂演練5.求方程x2=2x+1的一個(gè)近似解(精確度0.1).解:設(shè)f(x)=x2-2x-1,因?yàn)閒(2)=-1<0,f(3)=2>0,所以可以確定區(qū)間[2,3]作為計(jì)算的初始區(qū)間.用二分法逐步計(jì)算,列表如下:因?yàn)閨2.375-2.437

5|=0.062

5<0.1.所以方程x2=2x+1的一個(gè)近似解可取2.437

5.4.5.3

函數(shù)模型的應(yīng)用指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)一二一、利用具體函數(shù)模型解決實(shí)際問(wèn)題1.除了上一章涉及到的數(shù)學(xué)模型,常見(jiàn)的數(shù)學(xué)模型還有哪些?提示:利用具體函數(shù)解決實(shí)際問(wèn)題是我們要關(guān)注的內(nèi)容,具體函數(shù)的運(yùn)用在生活中有很多體現(xiàn),在學(xué)習(xí)完函數(shù)這部分內(nèi)容以后,希望同學(xué)們能重點(diǎn)運(yùn)用上一章提到的函數(shù)及指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)等常見(jiàn)函數(shù)來(lái)解決問(wèn)題.下面是幾種常見(jiàn)的函數(shù)模型:(1)指數(shù)函數(shù)模型:f(x)=a·bx+c(a,b,c為常數(shù),a≠0,b>0,且b≠1);(2)對(duì)數(shù)函數(shù)模型:f(x)=mlogax+n(m,n,a為常數(shù),m≠0,a>0,且a≠1);一二2.做一做某種細(xì)胞分裂時(shí),由1個(gè)分裂成2個(gè),2個(gè)分裂成4個(gè),……現(xiàn)有2個(gè)這樣的細(xì)胞,分裂x次后得到細(xì)胞的個(gè)數(shù)y與x的函數(shù)關(guān)系是(

)A.y=2x B.y=2x-1C.y=2x D.y=2x+1解析:分裂一次后由2個(gè)變成2×2=22(個(gè)),分裂兩次后變成4×2=23(個(gè)),……,分裂x次后變成2x+1個(gè).答案:D一二二、擬合函數(shù)模型1.應(yīng)用擬合函數(shù)模型解決問(wèn)題的基本過(guò)程一二2.解答函數(shù)實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題時(shí),一般要分哪四步進(jìn)行?提示:第一步:分析、聯(lián)想、轉(zhuǎn)化、抽象;第二步:建立函數(shù)模型,把實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題;第三步:解答數(shù)學(xué)問(wèn)題,求得結(jié)果;第四步:把數(shù)學(xué)結(jié)果轉(zhuǎn)譯成具體問(wèn)題的結(jié)論,做出解答.而這四步中,最為關(guān)鍵的是把第二步處理好.只要把函數(shù)模型建立妥當(dāng),所有的問(wèn)題即可在此基礎(chǔ)上迎刃而解.一二3.做一做“紅豆生南國(guó),春來(lái)發(fā)幾枝.”圖中給出了紅豆生長(zhǎng)時(shí)間t(月)與枝數(shù)y(枝)的散點(diǎn)圖,那么紅豆的枝數(shù)與生長(zhǎng)時(shí)間的關(guān)系用下列哪個(gè)函數(shù)模型擬合最好?(

)A.指數(shù)函數(shù)y=2tB.對(duì)數(shù)函數(shù)y=log2tC.冪函數(shù)y=t3D.二次函數(shù)y=2t2解析:根據(jù)所給的散點(diǎn)圖,觀察可知圖象在第一象限,且從左到右圖象是上升的,并且增長(zhǎng)速度越來(lái)越快,根據(jù)四個(gè)選項(xiàng)中函數(shù)的增長(zhǎng)趨勢(shì)可得,用指數(shù)函數(shù)模型擬合最好.答案:A探究一探究二探究三隨堂演練指數(shù)或?qū)?shù)函數(shù)模型的應(yīng)用例1

一片森林原來(lái)的面積為a,計(jì)劃每年砍伐一些樹(shù),且每年砍伐面積的百分比相等,當(dāng)砍伐到面積的一半時(shí),所用時(shí)間是10年,(1)求每年砍伐面積的百分比;(2)到今年為止,該森林已砍伐了多少年?(3)今后最多還能砍伐多少年?分析:可建立指數(shù)函數(shù)模型求解.探究一探究二探究三隨堂演練解得n≤15.故今后最多還能砍伐15年.

探究一探究二探究三隨堂演練反思感悟1.本題涉及平均增長(zhǎng)率的問(wèn)題,求解可用指數(shù)函數(shù)模型表示,通?？梢员硎緸閥=N·(1+p)x(其中N為原來(lái)的基礎(chǔ)數(shù),p為增長(zhǎng)率,x為時(shí)間)的形式.2.在實(shí)際問(wèn)題中,有關(guān)人口增長(zhǎng)、銀行利率、細(xì)胞分裂等增長(zhǎng)問(wèn)題,都常用到指數(shù)函數(shù)模型.探究一探究二探究三隨堂演練變式訓(xùn)練1為落實(shí)國(guó)家“精準(zhǔn)扶貧”政策,讓市民吃上放心蔬菜,某企業(yè)于2017年在其扶貧基地投入100萬(wàn)元研發(fā)資金,用于蔬菜的種植及開(kāi)發(fā),并計(jì)劃今后十年內(nèi)在此基礎(chǔ)上每年投入的資金比上一年增長(zhǎng)10%.(1)寫(xiě)出第x年(2018年為第一年)該企業(yè)投入的資金數(shù)y(萬(wàn)元)與x的函數(shù)關(guān)系式,并指出函數(shù)的定義域;(2)該企業(yè)從第幾年開(kāi)始(2018年為第一年),每年投入的資金數(shù)將超過(guò)200萬(wàn)元?(參考數(shù)據(jù)lg0.11≈-0.959,lg1.1≈0.041,lg11≈1.041,lg2≈0.301)探究一探究二探究三隨堂演練解:(1)第一年投入的資金數(shù)為100(1+10%)萬(wàn)元,第二年投入的資金數(shù)為100(1+10%)+100(1+10%)10%=100(1+10%)2萬(wàn)元,第x年(2018年為第一年)該企業(yè)投入的資金數(shù)y(萬(wàn)元)與x的函數(shù)關(guān)系式為y=100(1+10%)x萬(wàn)元,其定義域?yàn)閧x∈N*|x≤10}.即企業(yè)從第8年開(kāi)始(2018年為第一年),每年投入的資金數(shù)將超過(guò)200萬(wàn)元.探究一探究二探究三隨堂演練對(duì)數(shù)函數(shù)模型例2科學(xué)研究表明:人類對(duì)聲音有不一樣的感覺(jué),這與聲音的強(qiáng)度I(單位:瓦/平方米)有關(guān).在實(shí)際測(cè)量時(shí),常用L(單位:分貝)來(lái)表示聲音強(qiáng)弱的等級(jí),它與聲音的強(qiáng)度I滿足關(guān)系式:

(a是常數(shù)),其中I0=1×10-12瓦/平方米.如風(fēng)吹落葉沙沙聲的強(qiáng)度I=1×10-11瓦/平方米,它的強(qiáng)弱等級(jí)L=10分貝.(1)已知生活中幾種聲音的強(qiáng)度如下表:求a和m的值;(2)為了不影響正常的休息和睡眠,聲音的強(qiáng)弱等級(jí)一般不能超過(guò)50分貝,求此時(shí)聲音強(qiáng)度I的最大值.探究一探究二探究三隨堂演練分析:(1)根據(jù)條件代入關(guān)系式,即可求出a和m的值;(2)解不等式L≤50即可.即I≤105×10-12=10-7.答:此時(shí)聲音強(qiáng)度I的最大值為10-7瓦/平方米.探究一探究二探究三隨堂演練反思感悟

(1)基本類型:有關(guān)對(duì)數(shù)函數(shù)模型的應(yīng)用題一般都會(huì)給出函數(shù)解析式,然后根據(jù)實(shí)際問(wèn)題再求解.(2)求解策略:首先根據(jù)實(shí)際情況求出函數(shù)解析式中的參數(shù),或給出具體情境,從中提煉出數(shù)據(jù),代入解析式求值,然后根據(jù)數(shù)值回答其實(shí)際意義.探究一探究二探究三隨堂演練變式訓(xùn)練2大西洋鮭魚(yú)每年都要逆流而上,游回產(chǎn)地產(chǎn)卵.記鮭魚(yú)的游速為v(單位:m/s),鮭魚(yú)的耗氧量的單位數(shù)為Q,研究中發(fā)現(xiàn)v與

成正比,且當(dāng)Q=900時(shí),v=1.(1)求出v關(guān)于Q的函數(shù)解析式;(2)計(jì)算一條鮭魚(yú)的游速是1.5m/s時(shí)耗氧量的單位數(shù);(3)一條鮭魚(yú)要想把游速提高1m/s,其耗氧量的單位數(shù)應(yīng)怎樣變化?探究一探究二探究三隨堂演練探究一探究二探究三隨堂演練擬合函數(shù)模型的應(yīng)用題例3

為了估計(jì)山上積雪融化后對(duì)下游灌溉的影響,在山上建立了一個(gè)觀察站,測(cè)量最大積雪深度xcm與當(dāng)年灌溉面積yhm2.現(xiàn)有連續(xù)10年的實(shí)測(cè)資料,如下表所示:探究一探究二探究三隨堂演練(1)描出灌溉面積yhm2隨積雪深度xcm變化的數(shù)據(jù)點(diǎn)(x,y);(2)建立一個(gè)能基本反映灌溉面積變化的函數(shù)模型y=f(x),并作出其圖象;(3)根據(jù)所建立的函數(shù)模型,若今年最大積雪深度為25cm,則可以灌溉的土地面積是多少?分析:首先根據(jù)表中數(shù)據(jù)描出各點(diǎn),然后通過(guò)觀察圖象來(lái)判斷問(wèn)題所適用的函數(shù)模型.探究一探究二探究三隨堂演練解:(1)數(shù)據(jù)點(diǎn)分布如圖甲所示.

探究一探究二探究三隨堂演練(2)從圖甲中可以看到,數(shù)據(jù)點(diǎn)大致落在一條直線附近,由此,我們假設(shè)灌溉面積y

hm2和最大積雪深度x

cm滿足線性函數(shù)模型y=a+bx(a,b為常數(shù),b≠0).取其中的兩組數(shù)據(jù)(10.4,21.1),(24.0,45.8),用計(jì)算器可算得a≈2.4,b≈1.8.這樣,我們得到一個(gè)函數(shù)模型y=2.4+1.8x.作出函數(shù)圖象如圖乙,可以發(fā)現(xiàn),這個(gè)函數(shù)模型與已知數(shù)據(jù)的擬合程度較好,這說(shuō)明它能較好地反映最大積雪深度與灌溉面積的關(guān)系.(3)由(2)得當(dāng)x=25時(shí),y=2.4+1.8×25=47.4,即當(dāng)最大積雪深度為25

cm時(shí),可以灌溉土地47.4

hm2.探究一