專題16 分解法模型和最短路徑問題

類型1：分解模型例1．對33000分解質因數(shù)得33000=23×3×53×11，則33000的正偶數(shù)因數(shù)的個數(shù)是()A．48例2．5400的正約數(shù)有個A．48例3.30030能被多少個不同的偶數(shù)整除類型2：最短路徑問題例1．有一種走“方格迷宮”游戲，游戲規(guī)則是每次水平或豎直走動一個方格，走過的方格不能重復，只要有一個方格不同即為不同走法．現(xiàn)有如圖的方格迷宮，圖中的實線不能穿過，則從入口走到出口共有多少種例2．如圖，某城市中，M、N兩地有整齊的道路網(wǎng)，若規(guī)定只能向東或向北兩個方向沿途中路線前進，則從M到N不同的走法共有()A．10例3．如圖，螞蟻從A沿著長方體的棱以的方向行走至B，不同的行走路線有()例4．如圖所示為某市各旅游景點的分布圖，圖中一支箭頭表示一段有方向的路，試計算順著箭頭方向，從A到H可走的不同的旅游路線的條數(shù)為()A．14例5．小張從家出發(fā)去看望生病的同學，他需要先去水果店買水果，然后去花店買花，最后到達醫(yī)院.相關的地點都標在如圖所示的網(wǎng)格紙上，網(wǎng)格線是道路，則小張所走路程最短的走法的種數(shù)為()A．72例6．某人設計一項單人游戲，規(guī)則如下：先將一棋子放在如圖所示正方形ABCD（邊長為3個單位）的頂點A處，然后通過擲骰子來確定棋子沿正方形的邊按逆時針方向行走的單位，如果擲出的點數(shù)為i(i=1,2,...,6)，則棋子就按逆時針方向行走i個單位，一直循環(huán)下去.則某人拋擲三次次骰子后棋子恰好又回到點A處的所有不同走法共有()例7．如下圖，從A點出發(fā)每次只能向上或者向右走一步，則到達B點的路徑的條數(shù)為.3例8．如圖，甲從A到B，乙從C到D，兩人每次都只能向上或者向右走一格，如果兩個人的線路不相交，則稱這兩個人的路徑為一對孤立路，那么不同的孤立路一共有對.（用數(shù)字作答）例9．如圖所示線路圖，機器人從A地經(jīng)B地走到C地，最近的走法共有種.（用數(shù)字作答）例10．如圖所示，機器人明明從A地移到B地，每次只移動一個單位長度，則明明從A移到B最近的走法共有種.例11．如圖所示，機器人明明從A地移到B地，每次只移動一個單位長度，則明明從A移到B最近的走法共有種.例12．如圖，機器人亮亮沿著單位網(wǎng)格，從A地移動到B地，每次只移動一個單位長度，則亮亮從A移動到B最近的走法共有種.例13．某城市街區(qū)如下圖所示,其中實線表示馬路,如果只能在馬路上行走,則從A點到B點的最短路徑的走法有種.例14．某游戲中，一個珠子從如圖所示的通道由上至下滑下，從最下面的六個出口出來，規(guī)定猜中出口者為勝．如果你在該游戲中，猜得珠子從出口3出來，那么你取勝的概率為()例15．如圖所示，某城鎮(zhèn)由7條東西方向的街道和6條南北方向的街道組成，其中有一個池塘，街道在此變成一個菱形的環(huán)池大道．現(xiàn)要從城鎮(zhèn)的A處走到B處，使所走的路程最短，最多可以有45種不同的走法.例16．如圖所示，某城鎮(zhèn)由6條東西方向的街道和6條南北方向的街道組成，其中有一個池塘，街道在此變成一個菱形的環(huán)池大道，現(xiàn)要從城鎮(zhèn)的A處走到B處，使所走的路程最短，最多可以有35種不同的走法.例17．某個游戲中，一個珠子按如圖所示的通道，由上至下的滑下，從最下面的六個出口出來，規(guī)定猜中者為勝，如果某人在該游戲中，猜得珠子從3號口出來，那么他取勝的概率為例18．在n×n的方格中進行跳棋游戲．規(guī)定每跳一步只能向左，或向右，或向上，不能向下，且一次連續(xù)行走的路徑中不能重復經(jīng)過同一小方格．設f(n)表示從左下角“〇”位置開始，連續(xù)跳到右上角“☆”位置結束的所有不同路徑的條數(shù)．如圖，給出了n=3時的一條路徑．則f（3）=9；f(n)=.例19．某城市由n條東西方向的街道和m條南北方向的街道組成一個矩形街道網(wǎng)，要從A處走到B處，使所走的路程最短，有多少種不同的走法？類型1：分解模型例1．對33000分解質因數(shù)得33000=23×3×53×11，則33000的正偶數(shù)因數(shù)的個數(shù)是()A．48【解析】33000的因數(shù)由若干個2（共有23,22,21,20四種情況若干個3（共有3,30兩種情況若干個5（共有53,52,51,50四種情況若干個11（共有111,110兩種情況由分步計數(shù)乘法原理可得33000的因數(shù)共有4×2×4×2=64，不含2的共有2×4×2=16，:正偶數(shù)因數(shù)的個數(shù)有64—16=48個，即33000的正偶數(shù)因數(shù)的個數(shù)是48，故選A.例2．5400的正約數(shù)有個A．48【解析】5400=23×33×52，5400的正約數(shù)一定是由2的冪與3的冪和5的冪相乘的結果，故選：A.例3.30030能被多少個不同的偶數(shù)整除【解析】先把30030分解成質因數(shù)的乘積形式30030=2×3×5×7×11×13，依題意可知偶因數(shù)必先取2,再從其余5個因數(shù)中任取若干個組成乘積，所有的偶因數(shù)為：C+C+C+C+C+C=32.類型2：最短路徑問題例1．有一種走“方格迷宮”游戲，游戲規(guī)則是每次水平或豎直走動一個方格，走過的方格不能重復，只要有一個方格不同即為不同走法．現(xiàn)有如圖的方格迷宮，圖中的實線不能穿過，則從入口走到出口共有多少種【解析】如圖，①從入口-1-3-5-6-0-出口，②從入口-1-3-4-6-0-出口，③從入口-1-3-4-7-8-9-10-6-0-出口，④從入口-1-3-4-9-10-6-0-出口，⑤從入口-2-3-4-6-0-出口，⑥從入口-2-3-5-6-0-出口，⑦從入口-2-3-4-7-8-9-10-6-0-出口，⑧從入口-2-3-4-9-10-6-0-出口，故選：B.例2．如圖，某城市中，M、N兩地有整齊的道路網(wǎng)，若規(guī)定只能向東或向北兩個方向沿途中路線前進，則從M到N不同的走法共有()A．103【解析】因為只能向東或向北兩個方向向北走的路有5條，向東走的路有3條走路時向北走的路有5種結果，向東走的路有3種結果根據(jù)分步計數(shù)原理知共有3×5=15種結果，選C例3．如圖，螞蟻從A沿著長方體的棱以的方向行走至B，不同的行走路線有()【解析】共有3個頂點與A點相鄰，經(jīng)過每個相鄰頂點，按規(guī)定方向都有2條路徑到達B點，所以，螞蟻從A沿著長方體的棱以規(guī)定的方向行走至B，不同的行走路線有：3×2=6（條故選A.例4．如圖所示為某市各旅游景點的分布圖，圖中一支箭頭表示一段有方向的路，試計算順著箭頭方向，從A到H可走的不同的旅游路線的條數(shù)為()A．14【解析】要到H點，需從F、E、G走過來，F(xiàn)、E、G各點又可由哪些點走過來，這樣一步步倒推，最后歸結到A，然后再反推過去得到如下的計算方法：A至B、C、D的路數(shù)記在B、C、D的圓圈內，B、C、D分別到F、E、G的路數(shù)亦記在圈內，最后F、E、G各路數(shù)之和，即得到至H的總路數(shù)，如下圖所示，易得到17條路線，故選D.4例5．小張從家出發(fā)去看望生病的同學，他需要先去水果店買水果，然后去花店買花，最后到達醫(yī)院.相關的地點都標在如圖所示的網(wǎng)格紙上，網(wǎng)格線是道路，則小張所走路程最短的走法的種數(shù)為()A．72【解析】由題意可得從家到水果店有6種走法，水果店到花店有3種走法，花店到醫(yī)院有4種走法，因此一共有例6．某人設計一項單人游戲，規(guī)則如下：先將一棋子放在如圖所示正方形ABCD（邊長為3個單位）的頂點A處，然后通過擲骰子來確定棋子沿正方形的邊按逆時針方向行走的單位，如果擲出的點數(shù)為i(i=1,2,...,6)，則棋子就按逆時針方向行走i個單位，一直循環(huán)下去.則某人拋擲三次次骰子后棋子恰好又回到點A處的所有不同走法共有()【解析】由題意知正方形ABCD（邊長為3個單位）的周長是12，拋擲三次骰子后棋子恰好又回到點A處表示三次骰子的點數(shù)之和是12，列舉出在點數(shù)中三個數(shù)字能夠使得和為12的有1，5，6；2，4，6；3，4，5；3，3，4，4；共有6種組合，前三種組合1，5，6；2，4，6；3，4，5；又可以排列出A3=6種結果，33，3，6；5，5，2；有6種結果，4，4，4；有1種結果.根據(jù)分類計數(shù)原理知共有24+1=25種結果，故選：C.例7．如下圖，從A點出發(fā)每次只能向上或者向右走一步，則到達B點的路徑的條數(shù)為.【解析】如下圖所示從點A到C,D,E,F,G的路徑都只有1條從點A到點H的路徑有2條，分別為A→C→H,A→F→H從點A到點O的路徑有3條，分別為從A經(jīng)過H到點O有2條和A→F→G→O從點A到點M的路徑有3條，分別是從點A經(jīng)過點H到點M有2條和A→C→D→M從點A到點P的路徑有6條，分別是從點A經(jīng)過點O到點P的3條和從點A經(jīng)過點M到點P的3條從點A到點N的路徑有4條，分別是從點A經(jīng)過點M到點N的3條和從點A經(jīng)過點E到點N的1條從點A到點Q的路徑有10條，分別是從點A經(jīng)過點P到點Q的6條和從點A經(jīng)過點N到點Q的4條從點A到點R的路徑有6條，就是從點A經(jīng)過點P到點R的6條6所以從點A到點B的路徑有16條，分別是從點A經(jīng)過點R到點B的6條和從點A經(jīng)過點Q到點B的所以到達B點的路徑的條數(shù)為16條故答案為：16例8．如圖，甲從A到B，乙從C到D，兩人每次都只能向上或者向右走一格，如果兩個人的線路不相交，則稱這兩個人的路徑為一對孤立路，那么不同的孤立路一共有對.（用數(shù)字作答）【解析】甲從A到B，需要向右走4步，向上走4步，共需8步，所以從A到B共有C種走法，乙從C到D，需要向右走4步，向上走4步，共需8步，所以從A到B共有C種走法，根據(jù)分步乘法計數(shù)原理可知，共有不同路徑C4.C4對，甲從A到D，需要向右走6步，向上走4步，共需10步，所以從A到D共有C4種走法,乙從C到B，需要向右走2步，向上走4步，共需6步，所以從C到B共有C種走法,所以相交路徑共有C4.C2對，因此不同的孤立路一共有C.C—C0.C=70×70—210×15=1750對.故答案為：1750例9．如圖所示線路圖，機器人從A地經(jīng)B地走到C地，最近的走法共有 種.（用數(shù)字作答）【解析】A到B共2種走法，從B到C共C種不同走法，由分步乘法原理，知從A地經(jīng)B地走到C地，最近的走法共有2C2=20種.5故答案為：20例10．如圖所示，機器人明明從A地移到B地，每次只移動一個單位長度，則明明從A移到B最近的走法共有種.【解析】AC有A種方法；CB有C種方法；DB有A種方法；共有ACA=80例11．如圖所示，機器人明明從A地移到B地，每次只移動一個單位長度，則明明從A移到B最近的走法共有種.【解析】分步計算，第一步A→C最近走法有2種；第二步C→D最近走法有C3=20種；第三步D→B最近走6法有2種，故由A→B最近走法有2×20×2=80種.故答案為：80.例12．如圖，機器人亮亮沿著單位網(wǎng)格，從A地移動到B地，每次只移動一個單位長度，則亮亮從A移動到B最近的走法共有種.【解析】分三步來考查：①從A到C，則亮亮要移動兩步，一步是向右移動一個單位，一步是向上移動一個單位，此時有C種走法；②從C到D，則亮亮要移動六步，其中三步是向右移動一個單位，三步是向上移動一個單位，此時有C種走法；③從D到B，由①可知有C種走法.由分步乘法計數(shù)原理可知，共有C1C3C1=80種不同的走法.故答案為：80.例13．某城市街區(qū)如下圖所示,其中實線表示馬路,如果只能在馬路上行走,則從A點到B點的最短路徑的走法有種.【解析】根據(jù)題意，從A到B的最短路程，只能向左、向下運動；5種情況，但圖中有空格，故是方法數(shù)為10-3=7中故答案為：7.例14．某游戲中，一個珠子從如圖所示的通道由上至下滑下，從最下面的六個出口出來，規(guī)定猜中出口者為勝．如果你在該游戲中，猜得珠子從出口3出來，那么你取勝的概率為()【解析】我們把從A到3的路線圖單獨畫出來：分析可得，從A到3總共有C=10種走法，每一種走法的概率都是，:珠子從出口3出來是C.故選：A.例15．如圖所示，某城鎮(zhèn)由7條東西方向的街道和6條南北方向的街道組成，其中有一個池塘，街道在此變成一個菱形的環(huán)池大道．現(xiàn)要從城鎮(zhèn)的A處走到B處，使所走的路程最短，最多可以有45種不同的走法.【解析】由題意知本題有兩種途徑是最短的路程，①A→CF→B其中A→C有5法．F→B有1法，共有5×1=5法.②A→DE→B，從A到D，最短的路程需要向下走2次，向右走3次，即從5次中任取2次向下，剩下3次向右，故有C=10種，種，:從A→DE→B共有10×4=40法，:從A到B的短程線總共5+40=45種走法.故答案為：45.例16．如圖所示，某城鎮(zhèn)由6條東西方向的街道和6條南北方向的街道組成，其中有一個池塘，街道在此變成一個菱形的環(huán)池大道，現(xiàn)要從城鎮(zhèn)的A處走到B處，使所走的路程最短，最多可以有35種不同的走法.【解析】由題意知本題有兩種大途徑是最短的路程，Q①A→CD→B其中A→C有5法．D→B有1法，共有5×1=5法.②A→EF→B其中A→E有10種方法，F(xiàn)→B有3法，共有10×3=30法，:從A到B的短程線總共5+30=35種走法.故答案為：35.